helm/software/matita/library/didactic/support/natural_deduction.ma

   1 (* Logic system *)
   2
   3 inductive Imply (A,B:CProp) : CProp ≝
   4 | Imply_intro: (A → B) → Imply A B.
   5
   6 definition Imply_elim ≝ λA,B.λf:Imply A B. λa:A.
   7   match f with [ Imply_intro g ⇒ g a].
   8
   9 inductive And (A,B:CProp) : CProp ≝
  10 | And_intro: A → B → And A B.
  11
  12 definition And_elim_l ≝ λA,B.λc:And A B.
  13   match c with [ And_intro a b ⇒ a ].
  14
  15 definition And_elim_r ≝ λA,B.λc:And A B.
  16   match c with [ And_intro a b ⇒ b ].
  17
  18 inductive Or (A,B:CProp) : CProp ≝
  19 | Or_intro_l: A → Or A B
  20 | Or_intro_r: B → Or A B.
  21
  22 definition Or_elim ≝ λA,B,C:CProp.λc:Or A B.λfa: A → C.λfb: B → C.
  23   match c with
  24   [ Or_intro_l a ⇒ fa a
  25   | Or_intro_r b ⇒ fb b].
  26
  27 inductive Top : CProp :=
  28 | Top_intro : Top.
  29
  30 inductive Bot : CProp := .
  31
  32 definition Bot_elim ≝ λP:CProp.λx:Bot.
  33   match x in Bot return λx.P with [].
  34
  35 definition Not := λA:CProp.Imply A Bot.
  36
  37 definition Not_intro : ∀A.(A → Bot) → Not A ≝  λA.
  38   Imply_intro A Bot.
  39
  40 definition Not_elim : ∀A.Not A → A → Bot ≝ λA.
  41   Imply_elim ? Bot.
  42
  43 definition Discharge := λA:CProp.λa:A.
  44   a.
  45
  46 axiom Raa : ∀A.(Not A → Bot) → A.
  47
  48 (* Dummy proposition *)
  49 axiom unit : CProp.
  50
  51 (* Notations *)
  52 notation "hbox(a break ⇒ b)" right associative with precedence 20
  53 for @{ 'Imply $a $b }.
  54 interpretation "Imply" 'Imply a b = (Imply a b).
  55 interpretation "constructive or" 'or x y = (Or x y).
  56 interpretation "constructive and" 'and x y = (And x y).
  57 notation "⊤" non associative with precedence 90 for @{'Top}.
  58 interpretation "Top" 'Top = Top.
  59 notation "⊥" non associative with precedence 90 for @{'Bot}.
  60 interpretation "Bot" 'Bot = Bot.
  61 interpretation "Not" 'not a = (Not a).
  62 notation "✶" non associative with precedence 90 for @{'unit}.
  63 interpretation "dummy prop" 'unit = unit.
  64
  65 (* Variables *)
  66 axiom A : CProp.
  67 axiom B : CProp.
  68 axiom C : CProp.
  69 axiom D : CProp.
  70 axiom E : CProp.
  71 axiom F : CProp.
  72 axiom G : CProp.
  73 axiom H : CProp.
  74 axiom I : CProp.
  75 axiom J : CProp.
  76 axiom K : CProp.
  77 axiom L : CProp.
  78 axiom M : CProp.
  79 axiom N : CProp.
  80 axiom O : CProp.
  81 axiom P : CProp.
  82 axiom Q : CProp.
  83 axiom R : CProp.
  84 axiom S : CProp.
  85 axiom T : CProp.
  86 axiom U : CProp.
  87 axiom V : CProp.
  88 axiom W : CProp.
  89 axiom X : CProp.
  90 axiom Y : CProp.
  91 axiom Z : CProp.
  92
  93 (* Every formula user provided annotates its proof:
  94    `A` becomes `(show A ?)` *)
  95 definition show : ∀A.A→A ≝ λA:CProp.λa:A.a.
  96
  97 (* When something does not fit, this daemon is used *)
  98 axiom cast: ∀A,B:CProp.B → A.
  99
 100 (* begin a proof: draws the root *)
 101 notation > "'prove' p" non associative with precedence 19
 102 for @{ 'prove $p }.
 103 interpretation "prove KO" 'prove p = (cast _ _ (show p _)).
 104 interpretation "prove OK" 'prove p = (show p _).
 105
 106 (* Leaves *)
 107 notation < "\infrule (t\atop ⋮) a ?" with precedence 19
 108 for @{ 'leaf_ok $a $t }.
 109 interpretation "leaf OK" 'leaf_ok a t = (show a t).
 110 notation < "\infrule (t\atop ⋮) mstyle color #ff0000 (a) ?" with precedence 19
 111 for @{ 'leaf_ko $a $t }.
 112 interpretation "leaf KO" 'leaf_ko a t = (cast _ _ (show a t)).
 113
 114 (* discharging *)
 115 notation < "[ a ] \sup mstyle color #ff0000 (H)" with precedence 19
 116 for @{ 'discharge_ko_1 $a $H }.
 117 interpretation "discharge_ko_1" 'discharge_ko_1 a H =
 118   (show a (cast _ _ (Discharge _ H))).
 119 notation < "[ mstyle color #ff0000 (a) ] \sup mstyle color #ff0000 (H)" with precedence 19
 120 for @{ 'discharge_ko_2 $a $H }.
 121 interpretation "discharge_ko_2" 'discharge_ko_2 a H =
 122   (cast _ _ (show a (cast _ _ (Discharge _ H)))).
 123
 124 notation < "[ a ] \sup H" with precedence 19
 125 for @{ 'discharge_ok_1 $a $H }.
 126 interpretation "discharge_ok_1" 'discharge_ok_1 a H =
 127   (show a (Discharge _ H)).
 128 notation < "[ mstyle color #ff0000 (a) ] \sup H" with precedence 19
 129 for @{ 'discharge_ok_2 $a $H }.
 130 interpretation "discharge_ok_2" 'discharge_ok_2 a H =
 131   (cast _ _ (show a (Discharge _ H))).
 132
 133 notation > "'discharge' [H]" with precedence 19
 134 for @{ 'discharge $H }.
 135 interpretation "discharge KO" 'discharge H = (cast _ _ (Discharge _ H)).
 136 interpretation "discharge OK" 'discharge H = (Discharge _ H).
 137
 138 (* ⇒ introduction *)
 139 notation < "\infrule hbox(\emsp b \emsp) ab (mstyle color #ff0000 (⇒\sub\i \emsp) ident H) " with precedence 19
 140 for @{ 'Imply_intro_ko_1 $ab (λ${ident H}:$p.$b) }.
 141 interpretation "Imply_intro_ko_1" 'Imply_intro_ko_1 ab \eta.b =
 142   (show ab (cast _ _ (Imply_intro _ _ b))).
 143
 144 notation < "\infrule hbox(\emsp b \emsp) mstyle color #ff0000 (ab) (mstyle color #ff0000 (⇒\sub\i \emsp) ident H) " with precedence 19
 145 for @{ 'Imply_intro_ko_2 $ab (λ${ident H}:$p.$b) }.
 146 interpretation "Imply_intro_ko_2" 'Imply_intro_ko_2 ab \eta.b =
 147   (cast _ _ (show ab (cast _ _ (Imply_intro _ _ b)))).
 148
 149 notation < "\infrule hbox(\emsp b \emsp) ab (⇒\sub\i \emsp ident H) " with precedence 19
 150 for @{ 'Imply_intro_ok_1 $ab (λ${ident H}:$p.$b) }.
 151 interpretation "Imply_intro_ok_1" 'Imply_intro_ok_1 ab \eta.b =
 152   (show ab (Imply_intro _ _ b)).
 153
 154 notation < "\infrule hbox(\emsp b \emsp) mstyle color #ff0000 (ab) (⇒\sub\i \emsp ident H) " with precedence 19
 155 for @{ 'Imply_intro_ok_2 $ab (λ${ident H}:$p.$b) }.
 156 interpretation "Imply_intro_ok_2" 'Imply_intro_ok_2 ab \eta.b =
 157   (cast _ _ (show ab (Imply_intro _ _ b))).
 158
 159 notation > "⇒_'i' [ident H] term 90 b" with precedence 19
 160 for @{ 'Imply_intro $b (λ${ident H}.show $b ?) }.
 161 interpretation "Imply_intro KO" 'Imply_intro b pb =
 162   (cast _ (Imply unit b) (Imply_intro _ b pb)).
 163 interpretation "Imply_intro OK" 'Imply_intro b pb =
 164   (Imply_intro _ b pb).
 165
 166 (* ⇒ elimination *)
 167 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp\emsp\emsp a\emsp) b mstyle color #ff0000 (⇒\sub\e) " with precedence 19
 168 for @{ 'Imply_elim_ko_1 $ab $a $b }.
 169 interpretation "Imply_elim_ko_1" 'Imply_elim_ko_1 ab a b =
 170   (show b (cast _ _ (Imply_elim _ _ (cast _ _ ab) (cast _ _ a)))).
 171
 172 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp\emsp\emsp a\emsp) mstyle color #ff0000 (b) mstyle color #ff0000 (⇒\sub\e) " with precedence 19
 173 for @{ 'Imply_elim_ko_2 $ab $a $b }.
 174 interpretation "Imply_elim_ko_2" 'Imply_elim_ko_2 ab a b =
 175   (cast _ _ (show b (cast _ _ (Imply_elim _ _ (cast _ _ ab) (cast _ _ a))))).
 176
 177 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp\emsp\emsp a\emsp) b (⇒\sub\e) " with precedence 19
 178 for @{ 'Imply_elim_ok_1 $ab $a $b }.
 179 interpretation "Imply_elim_ok_1" 'Imply_elim_ok_1 ab a b =
 180   (show b (Imply_elim _ _ ab a)).
 181
 182 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp\emsp\emsp a\emsp) mstyle color #ff0000 (b) (⇒\sub\e) " with precedence 19
 183 for @{ 'Imply_elim_ok_2 $ab $a $b }.
 184 interpretation "Imply_elim_ok_2" 'Imply_elim_ok_2 ab a b =
 185   (cast _ _ (show b (Imply_elim _ _ ab a))).
 186
 187 notation > "⇒_'e' term 90 ab term 90 a" with precedence 19
 188 for @{ 'Imply_elim (show $ab ?) (show $a ?) }.
 189 interpretation "Imply_elim KO" 'Imply_elim ab a =
 190   (cast _ _ (Imply_elim _ _ (cast (Imply unit unit) _ ab) (cast unit _ a))).
 191 interpretation "Imply_elim OK" 'Imply_elim ab a =
 192   (Imply_elim _ _ ab a).
 193
 194 (* ∧ introduction *)
 195 notation < "\infrule hbox(\emsp a \emsp\emsp\emsp b \emsp) ab mstyle color #ff0000 (∧\sub\i)" with precedence 19
 196 for @{ 'And_intro_ko_1 $a $b $ab }.
 197 interpretation "And_intro_ko_1" 'And_intro_ko_1 a b ab =
 198   (show ab (cast _ _ (And_intro _ _ a b))).
 199
 200 notation < "\infrule hbox(\emsp a \emsp\emsp\emsp b \emsp) mstyle color #ff0000 (ab) mstyle color #ff0000 (∧\sub\i)" with precedence 19
 201 for @{ 'And_intro_ko_2 $a $b $ab }.
 202 interpretation "And_intro_ko_2" 'And_intro_ko_2 a b ab =
 203   (cast _ _ (show ab (cast _ _ (And_intro _ _ a b)))).
 204
 205 notation < "\infrule hbox(\emsp a \emsp\emsp\emsp b \emsp) ab (∧\sub\i)" with precedence 19
 206 for @{ 'And_intro_ok_1 $a $b $ab }.
 207 interpretation "And_intro_ok_1" 'And_intro_ok_1 a b ab =
 208   (show ab (And_intro _ _ a b)).
 209
 210 notation < "\infrule hbox(\emsp a \emsp\emsp\emsp b \emsp) mstyle color #ff0000 (ab) (∧\sub\i)" with precedence 19
 211 for @{ 'And_intro_ok_2 $a $b $ab }.
 212 interpretation "And_intro_ok_2" 'And_intro_ok_2 a b ab =
 213   (cast _ _ (show ab (And_intro _ _ a b))).
 214
 215 notation > "∧_'i' term 90 a term 90 b" with precedence 19
 216 for @{ 'And_intro (show $a ?) (show $b ?) }.
 217 interpretation "And_intro KO" 'And_intro a b = (cast _ _ (And_intro _ _ a b)).
 218 interpretation "And_intro OK" 'And_intro a b = (And_intro _ _ a b).
 219
 220 (* ∧ elimination *)
 221 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp) a mstyle color #ff0000 (∧\sub(\e_\l))" with precedence 19
 222 for @{ 'And_elim_l_ko_1 $ab $a }.
 223 interpretation "And_elim_l_ko_1" 'And_elim_l_ko_1 ab a =
 224   (show a (cast _ _ (And_elim_l _ _ (cast _ _ ab)))).
 225
 226 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp) mstyle color #ff0000 (a) mstyle color #ff0000 (∧\sub(\e_\l))" with precedence 19
 227 for @{ 'And_elim_l_ko_2 $ab $a }.
 228 interpretation "And_elim_l_ko_2" 'And_elim_l_ko_2 ab a =
 229   (cast _ _ (show a (cast _ _ (And_elim_l _ _ (cast _ _ ab))))).
 230
 231 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp) a (∧\sub(\e_\l))" with precedence 19
 232 for @{ 'And_elim_l_ok_1 $ab $a }.
 233 interpretation "And_elim_l_ok_1" 'And_elim_l_ok_1 ab a =
 234   (show a (And_elim_l _ _ ab)).
 235
 236 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp) mstyle color #ff0000 (a) (∧\sub(\e_\l))" with precedence 19
 237 for @{ 'And_elim_l_ok_2 $ab $a }.
 238 interpretation "And_elim_l_ok_2" 'And_elim_l_ok_2 ab a =
 239   (cast _ _ (show a (And_elim_l _ _ ab))).
 240
 241 notation > "∧_'e_l' term 90 ab" with precedence 19
 242 for @{ 'And_elim_l (show $ab ?) }.
 243 interpretation "And_elim_l KO" 'And_elim_l a = (cast _ _ (And_elim_l _ _ (cast (And unit unit) _ a))).
 244 interpretation "And_elim_l OK" 'And_elim_l a = (And_elim_l _ _ a).
 245
 246 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp) a mstyle color #ff0000 (∧\sub(\e_\r))" with precedence 19
 247 for @{ 'And_elim_r_ko_1 $ab $a }.
 248 interpretation "And_elim_r_ko_1" 'And_elim_r_ko_1 ab a =
 249   (show a (cast _ _ (And_elim_r _ _ (cast _ _ ab)))).
 250
 251 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp) mstyle color #ff0000 (a) mstyle color #ff0000 (∧\sub(\e_\r))" with precedence 19
 252 for @{ 'And_elim_r_ko_2 $ab $a }.
 253 interpretation "And_elim_r_ko_2" 'And_elim_r_ko_2 ab a =
 254   (cast _ _ (show a (cast _ _ (And_elim_r _ _ (cast _ _ ab))))).
 255
 256 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp) a (∧\sub(\e_\r))" with precedence 19
 257 for @{ 'And_elim_r_ok_1 $ab $a }.
 258 interpretation "And_elim_r_ok_1" 'And_elim_r_ok_1 ab a =
 259   (show a (And_elim_r _ _ ab)).
 260
 261 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp) mstyle color #ff0000 (a) (∧\sub(\e_\r))" with precedence 19
 262 for @{ 'And_elim_r_ok_2 $ab $a }.
 263 interpretation "And_elim_r_ok_2" 'And_elim_r_ok_2 ab a =
 264   (cast _ _ (show a (And_elim_r _ _ ab))).
 265
 266 notation > "∧_'e_r' term 90 ab" with precedence 19
 267 for @{ 'And_elim_r (show $ab ?) }.
 268 interpretation "And_elim_r KO" 'And_elim_r a = (cast _ _ (And_elim_r _ _ (cast (And unit unit) _ a))).
 269 interpretation "And_elim_r OK" 'And_elim_r a = (And_elim_r _ _ a).
 270
 271 (* ∨ introduction *)
 272 notation < "\infrule hbox(\emsp a \emsp) ab mstyle color #ff0000 (∨\sub(\i_\l))" with precedence 19
 273 for @{ 'Or_intro_l_ko_1 $a $ab }.
 274 interpretation "Or_intro_l_ko_1" 'Or_intro_l_ko_1 a ab =
 275   (show ab (cast _ _ (Or_intro_l _ _ a))).
 276
 277 notation < "\infrule hbox(\emsp a \emsp) mstyle color #ff0000 (ab) mstyle color #ff0000 (∨\sub(\i_\l))" with precedence 19
 278 for @{ 'Or_intro_l_ko_2 $a $ab }.
 279 interpretation "Or_intro_l_ko_2" 'Or_intro_l_ko_2 a ab =
 280   (cast _ _ (show ab (cast _ _ (Or_intro_l _ _ a)))).
 281
 282 notation < "\infrule hbox(\emsp a \emsp) ab (∨\sub(\i_\l))" with precedence 19
 283 for @{ 'Or_intro_l_ok_1 $a $ab }.
 284 interpretation "Or_intro_l_ok_1" 'Or_intro_l_ok_1 a ab =
 285   (show ab (Or_intro_l _ _ a)).
 286
 287 notation < "\infrule hbox(\emsp a \emsp) mstyle color #ff0000 (ab) (∨\sub(\i_\l))" with precedence 19
 288 for @{ 'Or_intro_l_ok_2 $a $ab }.
 289 interpretation "Or_intro_l_ok_2" 'Or_intro_l_ok_2 a ab =
 290   (cast _ _ (show ab (Or_intro_l _ _ a))).
 291
 292 notation > "∨_'i_l' term 90 a" with precedence 19
 293 for @{ 'Or_intro_l (show $a ?) }.
 294 interpretation "Or_intro_l KO" 'Or_intro_l a = (cast _ (Or _ unit) (Or_intro_l _ _ a)).
 295 interpretation "Or_intro_l OK" 'Or_intro_l a = (Or_intro_l _ _ a).
 296
 297 notation < "\infrule hbox(\emsp a \emsp) ab mstyle color #ff0000 (∨\sub(\i_\r))" with precedence 19
 298 for @{ 'Or_intro_r_ko_1 $a $ab }.
 299 interpretation "Or_intro_r_ko_1" 'Or_intro_r_ko_1 a ab =
 300   (show ab (cast _ _ (Or_intro_r _ _ a))).
 301
 302 notation < "\infrule hbox(\emsp a \emsp) mstyle color #ff0000 (ab) mstyle color #ff0000 (∨\sub(\i_\r))" with precedence 19
 303 for @{ 'Or_intro_r_ko_2 $a $ab }.
 304 interpretation "Or_intro_r_ko_2" 'Or_intro_r_ko_2 a ab =
 305   (cast _ _ (show ab (cast _ _ (Or_intro_r _ _ a)))).
 306
 307 notation < "\infrule hbox(\emsp a \emsp) ab (∨\sub(\i_\r))" with precedence 19
 308 for @{ 'Or_intro_r_ok_1 $a $ab }.
 309 interpretation "Or_intro_r_ok_1" 'Or_intro_r_ok_1 a ab =
 310   (show ab (Or_intro_r _ _ a)).
 311
 312 notation < "\infrule hbox(\emsp a \emsp) mstyle color #ff0000 (ab) (∨\sub(\i_\r))" with precedence 19
 313 for @{ 'Or_intro_r_ok_1 $a $ab }.
 314 interpretation "Or_intro_r_ok_2" 'Or_intro_r_ok_2 a ab =
 315   (cast _ _ (show ab (Or_intro_r _ _ a))).
 316
 317 notation > "∨_'i_r' term 90 a" with precedence 19
 318 for @{ 'Or_intro_r (show $a ?) }.
 319 interpretation "Or_intro_r KO" 'Or_intro_r a = (cast _ (Or unit _) (Or_intro_r _ _ a)).
 320 interpretation "Or_intro_r OK" 'Or_intro_r a = (Or_intro_r _ _ a).
 321
 322 (* ∨ elimination *)
 323 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp\emsp\emsp ac \emsp\emsp\emsp bc \emsp) c (mstyle color #ff0000 (∨\sub\e \emsp) ident Ha \emsp ident Hb)" with precedence 19
 324 for @{ 'Or_elim_ko_1 $ab $c (λ${ident Ha}:$ta.$ac) (λ${ident Hb}:$tb.$bc) }.
 325 interpretation "Or_elim_ko_1" 'Or_elim_ko_1 ab c \eta.ac \eta.bc =
 326   (show c (cast _ _ (Or_elim _ _ _ (cast _ _ ab) (cast _ _ ac) (cast _ _ bc)))).
 327
 328 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp\emsp\emsp ac \emsp\emsp\emsp bc \emsp) mstyle color #ff0000 (c) (mstyle color #ff0000 (∨\sub\e) \emsp ident Ha \emsp ident Hb)" with precedence 19
 329 for @{ 'Or_elim_ko_2 $ab (λ${ident Ha}:$ta.$ac) (λ${ident Hb}:$tb.$bc) $c }.
 330 interpretation "Or_elim_ko_2" 'Or_elim_ko_2 ab \eta.ac \eta.bc c =
 331   (cast _ _ (show c (cast _ _ (Or_elim _ _ _ (cast _ _ ab) (cast _ _ ac) (cast _ _ bc))))).
 332
 333 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp\emsp\emsp ac \emsp\emsp\emsp bc \emsp) c (∨\sub\e \emsp ident Ha \emsp ident Hb)" with precedence 19
 334 for @{ 'Or_elim_ok_1 $ab (λ${ident Ha}:$ta.$ac) (λ${ident Hb}:$tb.$bc) $c }.
 335 interpretation "Or_elim_ok_1" 'Or_elim_ok_1 ab \eta.ac \eta.bc c =
 336   (show c (Or_elim _ _ _ ab ac bc)).
 337
 338 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp\emsp\emsp ac \emsp\emsp\emsp bc \emsp) mstyle color #ff0000 (c) (∨\sub\e \emsp ident Ha \emsp ident Hb)" with precedence 19
 339 for @{ 'Or_elim_ok_2 $ab (λ${ident Ha}:$ta.$ac) (λ${ident Hb}:$tb.$bc) $c }.
 340 interpretation "Or_elim_ok_2" 'Or_elim_ok_2 ab \eta.ac \eta.bc c =
 341   (cast _ _ (show c (Or_elim _ _ _ ab ac bc))).
 342
 343 definition unit_to ≝ λx:CProp.unit → x.
 344
 345 notation > "∨_'e' term 90 ab [ident Ha] term 90 cl [ident Hb] term 90 cr" with precedence 19
 346 for @{ 'Or_elim (show $ab ?) (λ${ident Ha}.show $cl ?) (λ${ident Hb}.show $cr ?) }.
 347 interpretation "Or_elim KO" 'Or_elim ab ac bc =
 348   (cast _ _ (Or_elim _ _ _
 349     (cast (Or unit unit) _ ab)
 350     (cast (unit_to unit) (unit_to _) ac)
 351     (cast (unit_to unit) (unit_to _) bc))).
 352 interpretation "Or_elim OK" 'Or_elim ab ac bc = (Or_elim _ _ _ ab ac bc).
 353
 354 (* ⊤ introduction *)
 355 notation < "\infrule \nbsp ⊤ mstyle color #ff0000 (⊤\sub\i)" with precedence 19
 356 for @{'Top_intro_ko_1}.
 357 interpretation "Top_intro_ko_1" 'Top_intro_ko_1 =
 358   (show _ (cast _ _ Top_intro)).
 359
 360 notation < "\infrule \nbsp mstyle color #ff0000 (⊤) mstyle color #ff0000 (⊤\sub\i)" with precedence 19
 361 for @{'Top_intro_ko_2}.
 362 interpretation "Top_intro_ko_2" 'Top_intro_ko_2 =
 363   (cast _ _ (show _ (cast _ _ Top_intro))).
 364
 365 notation < "\infrule \nbsp ⊤ (⊤\sub\i)" with precedence 19
 366 for @{'Top_intro_ok_1}.
 367 interpretation "Top_intro_ok_1" 'Top_intro_ok_1 = (show _ Top_intro).
 368
 369 notation < "\infrule \nbsp ⊤ (⊤\sub\i)" with precedence 19
 370 for @{'Top_intro_ok_2 }.
 371 interpretation "Top_intro_ok_2" 'Top_intro_ok_2 = (cast _ _ (show _ Top_intro)).
 372
 373 notation > "⊤_'i'" with precedence 19 for @{ 'Top_intro }.
 374 interpretation "Top_intro KO" 'Top_intro = (cast _ _ Top_intro).
 375 interpretation "Top_intro OK" 'Top_intro = Top_intro.
 376
 377 (* ⊥ introduction *)
 378 notation < "\infrule b a mstyle color #ff0000 (⊥\sub\e)" with precedence 19
 379 for @{'Bot_elim_ko_1 $a $b}.
 380 interpretation "Bot_elim_ko_1" 'Bot_elim_ko_1 a b =
 381   (show a (Bot_elim _ (cast _ _ b))).
 382
 383 notation < "\infrule b mstyle color #ff0000 (a) mstyle color #ff0000 (⊥\sub\e)" with precedence 19
 384 for @{'Bot_elim_ko_2 $a $b}.
 385 interpretation "Bot_elim_ko_2" 'Bot_elim_ko_2 a b =
 386   (cast _ _ (show a (Bot_elim _ (cast _ _ b)))).
 387
 388 notation < "\infrule b a (⊥\sub\e)" with precedence 19
 389 for @{'Bot_elim_ok_1 $a $b}.
 390 interpretation "Bot_elim_ok_1" 'Bot_elim_ok_1 a b =
 391   (show a (Bot_elim _ b)).
 392
 393 notation < "\infrule b mstyle color #ff0000 (a) (⊥\sub\e)" with precedence 19
 394 for @{'Bot_elim_ok_2 $a $b}.
 395 interpretation "Bot_elim_ok_2" 'Bot_elim_ok_2 a b =
 396   (cast _ _ (show a (Bot_elim _ b))).
 397
 398 notation > "⊥_'e' term 90 b" with precedence 19
 399 for @{ 'Bot_elim (show $b ?) }.
 400 interpretation "Bot_elim KO" 'Bot_elim a = (Bot_elim _ (cast _ _ a)).
 401 interpretation "Bot_elim OK" 'Bot_elim a = (Bot_elim _ a).
 402
 403 (* ¬ introduction *)
 404 notation < "\infrule hbox(\emsp b \emsp) ab (mstyle color #ff0000 (\lnot\sub\i) \emsp ident H)" with precedence 19
 405 for @{ 'Not_intro_ko_1 $ab (λ${ident H}:$p.$b) }.
 406 interpretation "Not_intro_ko_1" 'Not_intro_ko_1 ab \eta.b =
 407   (show ab (cast _ _ (Not_intro _ (cast _ _ b)))).
 408
 409 notation < "\infrule hbox(\emsp b \emsp) mstyle color #ff0000 (ab) (mstyle color #ff0000 (\lnot\sub\i) \emsp ident H)" with precedence 19
 410 for @{ 'Not_intro_ko_2 $ab (λ${ident H}:$p.$b) }.
 411 interpretation "Not_intro_ko_2" 'Not_intro_ko_2 ab \eta.b =
 412   (cast _ _ (show ab (cast _ _ (Not_intro _ (cast _ _ b))))).
 413
 414 notation < "\infrule hbox(\emsp b \emsp) ab (\lnot\sub\i \emsp ident H) " with precedence 19
 415 for @{ 'Not_intro_ok_1 $ab (λ${ident H}:$p.$b) }.
 416 interpretation "Not_intro_ok_1" 'Not_intro_ok_1 ab \eta.b =
 417   (show ab (Not_intro _ b)).
 418
 419 notation < "\infrule hbox(\emsp b \emsp) mstyle color #ff0000 (ab) (\lnot\sub\i \emsp ident H) " with precedence 19
 420 for @{ 'Not_intro_ok_2 $ab (λ${ident H}:$p.$b) }.
 421 interpretation "Not_intro_ok_2" 'Not_intro_ok_2 ab \eta.b =
 422   (cast _ _ (show ab (Not_intro _ b))).
 423
 424 notation > "¬_'i' [ident H] term 90 b" with precedence 19
 425 for @{ 'Not_intro (λ${ident H}.show $b ?) }.
 426 interpretation "Not_intro KO" 'Not_intro a = (cast _ _ (Not_intro _ (cast _ _ a))).
 427 interpretation "Not_intro OK" 'Not_intro a = (Not_intro _ a).
 428
 429 (* ¬ elimination *)
 430 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp\emsp\emsp a\emsp) b mstyle color #ff0000 (\lnot\sub\e) " with precedence 19
 431 for @{ 'Not_elim_ko_1 $ab $a $b }.
 432 interpretation "Not_elim_ko_1" 'Not_elim_ko_1 ab a b =
 433   (show b (cast _ _ (Not_elim _ (cast _ _ ab) (cast _ _ a)))).
 434
 435 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp\emsp\emsp a\emsp) mstyle color #ff0000 (b) mstyle color #ff0000 (\lnot\sub\e) " with precedence 19
 436 for @{ 'Not_elim_ko_2 $ab $a $b }.
 437 interpretation "Not_elim_ko_2" 'Not_elim_ko_2 ab a b =
 438   (cast _ _ (show b (cast _ _ (Not_elim _ (cast _ _ ab) (cast _ _ a))))).
 439
 440 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp\emsp\emsp a\emsp) b (\lnot\sub\e) " with precedence 19
 441 for @{ 'Not_elim_ok_1 $ab $a $b }.
 442 interpretation "Not_elim_ok_1" 'Not_elim_ok_1 ab a b =
 443   (show b (Not_elim _ ab a)).
 444
 445 notation < "\infrule hbox(\emsp ab \emsp\emsp\emsp a\emsp) mstyle color #ff0000 (b) (\lnot\sub\e) " with precedence 19
 446 for @{ 'Not_elim_ok_2 $ab $a $b }.
 447 interpretation "Not_elim_ok_2" 'Not_elim_ok_2 ab a b =
 448   (cast _ _ (show b (Not_elim _ ab a))).
 449
 450 notation > "¬_'e' term 90 ab term 90 a" with precedence 19
 451 for @{ 'Not_elim (show $ab ?) (show $a ?) }.
 452 interpretation "Not_elim KO" 'Not_elim ab a =
 453   (cast _ _ (Not_elim unit (cast _ _ ab) (cast _ _ a))).
 454 interpretation "Not_elim OK" 'Not_elim ab a =
 455   (Not_elim _ ab a).
 456
 457 (* RAA *)
 458 notation < "\infrule hbox(\emsp Px \emsp) Pn (mstyle color #ff0000 (\RAA) \emsp ident x)" with precedence 19
 459 for @{ 'RAA_ko_1 (λ${ident x}:$tx.$Px) $Pn }.
 460 interpretation "RAA_ko_1" 'RAA_ko_1 Px Pn =
 461   (show Pn (cast _ _ (Raa _ (cast _ _ Px)))).
 462
 463 notation < "\infrule hbox(\emsp Px \emsp) mstyle color #ff0000 (Pn) (mstyle color #ff0000 (\RAA) \emsp ident x)" with precedence 19
 464 for @{ 'RAA_ko_2 (λ${ident x}:$tx.$Px) $Pn }.
 465 interpretation "RAA_ko_2" 'RAA_ko_2 Px Pn =
 466   (cast _ _ (show Pn (cast _ _ (Raa _ (cast _ _ Px))))).
 467
 468 notation < "\infrule hbox(\emsp Px \emsp) Pn (\RAA \emsp ident x)" with precedence 19
 469 for @{ 'RAA_ok_1 (λ${ident x}:$tx.$Px) $Pn }.
 470 interpretation "RAA_ok_1" 'RAA_ok_1 Px Pn =
 471   (show Pn (Raa _ Px)).
 472
 473 notation < "\infrule hbox(\emsp Px \emsp) mstyle color #ff0000 (Pn) (\RAA \emsp ident x)" with precedence 19
 474 for @{ 'RAA_ok_2 (λ${ident x}:$tx.$Px) $Pn }.
 475 interpretation "RAA_ok_2" 'RAA_ok_2 Px Pn =
 476   (cast _ _ (show Pn (Raa _ Px))).
 477
 478 notation > "'RAA' [ident H] term 90 b" with precedence 19
 479 for @{ 'Raa (λ${ident H}.show $b ?) }.
 480 interpretation "RAA KO" 'Raa p = (cast _ unit (Raa _ (cast _ (unit_to _) p))).
 481 interpretation "RAA OK" 'Raa p = (Raa _ p).
 482
 483 (*DOCBEGIN
 484 Templates for rules:
 485
 486         apply rule (⇒_i […] (…)).
 487
 488         apply rule (∧_i (…) (…));
 489                 [
 490                 |
 491                 ]
 492
 493         apply rule (∨_i_l (…)).
 494
 495         apply rule (∨_i_r (…)).
 496
 497         apply rule (¬_i […] (…)).
 498
 499         apply rule (⊤_i).
 500
 501         apply rule (⇒_e (…) (…));
 502                 [
 503                 |
 504                 ]
 505
 506         apply rule (∧_e_l (…)).
 507
 508         apply rule (∧_e_r (…)).
 509
 510         apply rule (∨_e (…) […] (…) […] (…));
 511                 [
 512                 |
 513                 |
 514                 ]
 515
 516         apply rule (¬_e (…) (…));
 517                 [
 518                 |
 519                 ]
 520
 521         apply rule (⊥_e (…)).
 522
 523         apply rule (prove (…)).
 524
 525         apply rule (RAA […] (…)).
 526
 527         apply rule (discharge […]).
 528
 529 DOCEND*)
 530
 531
 532
 533