helm/software/matita/library/formal_topology/basic_topologies.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/relations.ma".
  16 include "datatypes/categories.ma".
  17 include "formal_topology/saturations_reductions.ma".
  18
  19 record basic_topology: Type ≝
  20  { carrbt:> REL;
  21    A: unary_morphism (Ω \sup carrbt) (Ω \sup carrbt);
  22    J: unary_morphism (Ω \sup carrbt) (Ω \sup carrbt);
  23    A_is_saturation: is_saturation ? A;
  24    J_is_reduction: is_reduction ? J;
  25    compatibility: ∀U,V. (A U ≬ J V) = (U ≬ J V)
  26  }.
  27
  28 record continuous_relation (S,T: basic_topology) : Type ≝
  29  { cont_rel:> arrows1 ? S T;
  30    reduced: ∀U. U = J ? U → image ?? cont_rel U = J ? (image ?? cont_rel U);
  31    saturated: ∀U. U = A ? U → minus_star_image ?? cont_rel U = A ? (minus_star_image ?? cont_rel U)
  32  }.
  33
  34 definition continuous_relation_setoid: basic_topology → basic_topology → setoid1.
  35  intros (S T); constructor 1;
  36   [ apply (continuous_relation S T)
  37   | constructor 1;
  38      [ apply (λr,s:continuous_relation S T.∀b. A ? (ext ?? r b) = A ? (ext ?? s b));
  39      | simplify; intros; apply refl1;
  40      | simplify; intros; apply sym1; apply H
  41      | simplify; intros; apply trans1; [2: apply H |3: apply H1; |1: skip]]]
  42 qed.
  43
  44 definition cont_rel': ∀S,T: basic_topology. continuous_relation_setoid S T → arrows1 ? S T ≝ cont_rel.
  45
  46 coercion cont_rel'.
  47
  48 definition cont_rel'': ∀S,T: basic_topology. continuous_relation_setoid S T → binary_relation S T ≝ cont_rel.
  49
  50 coercion cont_rel''.
  51
  52 theorem continuous_relation_eq':
  53  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  54   a = a' → ∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X).
  55  intros; split; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  56   [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  57     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  58     cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
  59     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  60     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
  61      [ apply I | assumption ]
  62   | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  63     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  64     cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
  65     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  66     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
  67      [ apply I | assumption ]]
  68 qed.
  69
  70 theorem continuous_relation_eq_inv':
  71  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  72   (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) → a=a'.
  73  intros 6;
  74  cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  75   (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) →
  76    ∀V:o2. A ? (ext ?? a' V) ⊆ A ? (ext ?? a V));
  77   [2: clear b H a' a; intros;
  78       lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
  79        (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
  80        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
  81         [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  82             apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
  83        clear Hletin;
  84        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
  85         [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
  86        (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
  87       intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
  88       unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
  89       whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
  90       apply (if ?? (A_is_saturation ???));
  91       intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
  92        [ apply refl | cases H; assumption; ]
  93       change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
  94       apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
  95       assumption;]
  96  split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
  97 qed.
  98
  99 definition continuous_relation_comp:
 100  ∀o1,o2,o3.
 101   continuous_relation_setoid o1 o2 →
 102    continuous_relation_setoid o2 o3 →
 103     continuous_relation_setoid o1 o3.
 104  intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
 105   [ apply (s ∘ r)
 106   | intros;
 107     apply sym1;
 108     apply (.= †(image_comp ??????));
 109     apply (.= (reduced ?????)\sup -1);
 110      [ apply (.= (reduced ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
 111      | apply (.= (image_comp ??????)\sup -1);
 112        apply refl1]
 113      | intros;
 114        apply sym1;
 115        apply (.= †(minus_star_image_comp ??????));
 116        apply (.= (saturated ?????)\sup -1);
 117         [ apply (.= (saturated ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
 118         | apply (.= (minus_star_image_comp ??????)\sup -1);
 119           apply refl1]]
 120 qed.
 121
 122 definition BTop: category1.
 123  constructor 1;
 124   [ apply basic_topology
 125   | apply continuous_relation_setoid
 126   | intro; constructor 1;
 127      [ apply id1
 128      | intros;
 129        apply (.= (image_id ??));
 130        apply sym1;
 131        apply (.= †(image_id ??));
 132        apply sym1;
 133        assumption
 134      | intros;
 135        apply (.= (minus_star_image_id ??));
 136        apply sym1;
 137        apply (.= †(minus_star_image_id ??));
 138        apply sym1;
 139        assumption]
 140   | intros; constructor 1;
 141      [ apply continuous_relation_comp;
 142      | intros; simplify; intro x; simplify;
 143        lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? H) as H';
 144        lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? H1) as H1';
 145        letin K ≝ (λX.H1' (minus_star_image ?? a (A ? X))); clearbody K;
 146        cut (∀X:Ω \sup o1.
 147               minus_star_image o2 o3 b (A o2 (minus_star_image o1 o2 a (A o1 X)))
 148             = minus_star_image o2 o3 b' (A o2 (minus_star_image o1 o2 a' (A o1 X))));
 149         [2: intro; apply sym1; apply (.= #‡(†((H' ?)\sup -1))); apply sym1; apply (K X);]
 150        clear K H' H1';
 151        cut (∀X:Ω \sup o1.
 152               minus_star_image o1 o3 (b ∘ a) (A o1 X) = minus_star_image o1 o3 (b'∘a') (A o1 X));
 153         [2: intro;
 154             apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
 155             apply (.= #‡(saturated ?????));
 156              [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
 157             apply sym1;
 158             apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
 159             apply (.= #‡(saturated ?????));
 160              [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
 161            apply ((Hcut X) \sup -1)]
 162        clear Hcut; generalize in match x; clear x;
 163        apply (continuous_relation_eq_inv');
 164        apply Hcut1;]
 165   | intros; simplify; intro; do 2 (unfold continuous_relation_comp); simplify;
 166     apply (.= †(ASSOC1‡#));
 167     apply refl1
 168   | intros; simplify; intro; unfold continuous_relation_comp; simplify;
 169     apply (.= †((id_neutral_right1 ????)‡#));
 170     apply refl1
 171   | intros; simplify; intro; simplify;
 172     apply (.= †((id_neutral_left1 ????)‡#));
 173     apply refl1]
 174 qed.
 175
 176 (*CSC: unused! *)
 177 (* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
 178 theorem continuous_relation_eqS:
 179  ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
 180   a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
 181  intros;
 182  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
 183   [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
 184       try assumption; split; assumption]
 185  cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
 186   [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
 187       apply (. #‡(H1 ?));
 188       apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
 189       assumption;] clear Hcut;
 190  split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
 191   [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
 192   cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
 193  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
 194   [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
 195       exists [1,3: apply w] split; assumption;]
 196  cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
 197   [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
 198  apply Hcut2; assumption.
 199 qed.