helm/software/matita/library/formal_topology/basic_topologies.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/relations.ma".
  16 include "formal_topology/saturations.ma".
  17
  18 record basic_topology: Type1 ≝
  19  { carrbt:> REL;
  20    A: Ω^carrbt ⇒_1 Ω^carrbt;
  21    J: Ω^carrbt ⇒_1 Ω^carrbt;
  22    A_is_saturation: is_saturation ? A;
  23    J_is_reduction: is_reduction ? J;
  24    compatibility: ∀U,V. (A U ≬ J V) =_1 (U ≬ J V)
  25  }.
  26
  27 definition foo : ∀o1,o2:REL.carr1 (o1 ⇒_\r1 o2) → carr2 (setoid2_of_setoid1 (o1 ⇒_\r1 o2)) ≝ λo1,o2,x.x.
  28
  29 record continuous_relation (S,T: basic_topology) : Type1 ≝
  30  { cont_rel:> S ⇒_\r1 T;
  31    reduced: ∀U. U =_1 J ? U → image_coercion ?? cont_rel U =_1 J ? (image_coercion ?? cont_rel U);
  32    saturated: ∀U. U =_1 A ? U → (foo ?? cont_rel)⎻* U = _1A ? ((foo ?? cont_rel)⎻* U)
  33  }.
  34
  35 definition continuous_relation_setoid: basic_topology → basic_topology → setoid1.
  36  intros (S T); constructor 1;
  37   [ apply (continuous_relation S T)
  38   | constructor 1;
  39      [ apply (λr,s:continuous_relation S T.∀b. A ? (ext ?? r b) = A ? (ext ?? s b));
  40      | simplify; intros; apply refl1;
  41      | simplify; intros (x y H); apply sym1; apply H
  42      | simplify; intros; apply trans1; [2: apply f |3: apply f1; |1: skip]]]
  43 qed.
  44
  45 definition continuos_relation_of_continuous_relation_setoid :
  46  ∀P,Q. continuous_relation_setoid P Q → continuous_relation P Q ≝ λP,Q,x.x.
  47 coercion continuos_relation_of_continuous_relation_setoid.
  48
  49 axiom continuous_relation_eq':
  50  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  51   a = a' → ∀X.(foo ?? a)⎻* (A o1 X) = (foo ?? a')⎻* (A o1 X).
  52 (*
  53  intros; split; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  54   [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  55     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  56     cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
  57     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  58     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
  59      [ apply I | assumption ]
  60   | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  61     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  62     cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
  63     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  64     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
  65      [ apply I | assumption ]]
  66 qed.*)
  67
  68 axiom continuous_relation_eq_inv':
  69  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  70   (∀X.(foo ?? a)⎻* (A o1 X) = (foo ?? a')⎻* (A o1 X)) → a=a'.
  71 (* intros 6;
  72  cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  73   (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) →
  74    ∀V:o2. A ? (ext ?? a' V) ⊆ A ? (ext ?? a V));
  75   [2: clear b H a' a; intros;
  76       lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
  77        (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
  78        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
  79         [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  80             apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
  81        clear Hletin;
  82        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
  83         [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
  84        (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
  85       intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
  86       unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
  87       whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
  88       apply (if ?? (A_is_saturation ???));
  89       intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
  90        [ apply refl | cases H; assumption; ]
  91       change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
  92       apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
  93       assumption;]
  94  split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
  95 qed.
  96 *)
  97
  98 definition continuous_relation_comp:
  99  ∀o1,o2,o3.
 100   continuous_relation_setoid o1 o2 →
 101    continuous_relation_setoid o2 o3 →
 102     continuous_relation_setoid o1 o3.
 103  intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
 104   [ alias symbol "compose" (instance 1) = "category1 composition".
 105 apply (s ∘ r)
 106   | intros;
 107     apply sym1;
 108     (*change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? %) ?) with (image_coercion ?? (s ∘ r) U);*)
 109     apply (.= †(image_comp ??????));
 110     apply (.= (reduced ?? s (image_coercion ?? r U) ?)^-1);
 111      [ apply (.= (reduced ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
 112      | change in ⊢ (? ? ? % ?) with ((image_coercion ?? s ∘ image_coercion ?? r) U);
 113        apply (.= (image_comp ??????)^-1);
 114        apply refl1]
 115      | intros;
 116        apply sym1; unfold foo;
 117        apply (.= †(minus_star_image_comp ??????));
 118        apply (.= (saturated ?? s ((foo ?? r)⎻* U) ?)^-1);
 119         [ apply (.= (saturated ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
 120         | change in ⊢ (? ? ? % ?) with (((foo ?? s)⎻* ∘ (foo ?? r)⎻* ) U);
 121           apply (.= (minus_star_image_comp ??????)^-1);
 122           apply refl1]]
 123 qed.
 124
 125 definition BTop: category1.
 126  constructor 1;
 127   [ apply basic_topology
 128   | apply continuous_relation_setoid
 129   | intro; constructor 1;
 130      [ apply id1
 131      | intros;
 132        apply (.= (image_id ??));
 133        apply sym1;
 134        apply (.= †(image_id ??));
 135        apply sym1;
 136        assumption
 137      | intros;
 138        apply (.= (minus_star_image_id ??));
 139        apply sym1;
 140        apply (.= †(minus_star_image_id ??));
 141        apply sym1;
 142        assumption]
 143   | intros; constructor 1;
 144      [ apply continuous_relation_comp;
 145      | intros; simplify; intro x; simplify;
 146        lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? e) as H';
 147        lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? e1) as H1';
 148        letin K ≝ (λX.H1' (minus_star_image ?? (foo ?? a) (A ? X))); clearbody K;
 149        cut (∀X:Ω \sup o1.
 150               minus_star_image o2 o3 (foo ?? b) (A o2 (minus_star_image o1 o2 (foo ?? a) (A o1 X)))
 151             =_1 minus_star_image o2 o3 (foo ?? b') (A o2 (minus_star_image o1 o2 (foo ?? a') (A o1 X))));
 152         [2: intro; apply sym1;
 153             apply (.= (†(†((H' X)^-1)))); apply sym1; apply (K X);]
 154        clear K H' H1';
 155 alias symbol "compose" (instance 1) = "category1 composition".
 156 alias symbol "compose" (instance 1) = "category1 composition".
 157 alias symbol "compose" (instance 1) = "category1 composition".
 158 cut (∀X:Ω^o1.
 159               minus_star_image ?? (foo ?? (b ∘ a)) (A o1 X) =_1 minus_star_image ?? (foo ?? (b'∘a')) (A o1 X));
 160         [2: intro; unfold foo;
 161             apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
 162             change in ⊢ (? ? ? % ?) with ((foo ?? b)⎻* ((foo ?? a)⎻* (A o1 X)));
 163             apply (.= †(saturated ?????));
 164              [ apply ((saturation_idempotent ????)^-1); apply A_is_saturation ]
 165             apply sym1;
 166             apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
 167             change in ⊢ (? ? ? % ?) with ((foo ?? b')⎻* ((foo ?? a')⎻* (A o1 X)));
 168             apply (.= †(saturated ?????));
 169              [ apply ((saturation_idempotent ????)^-1); apply A_is_saturation ]
 170            apply ((Hcut X)^-1)]
 171        clear Hcut; generalize in match x; clear x;
 172        apply (continuous_relation_eq_inv');
 173        apply Hcut1;]
 174   | intros; simplify; intro; do 2 (unfold continuous_relation_comp); simplify;
 175     alias symbol "trans" (instance 1) = "trans1".
 176 alias symbol "refl" (instance 5) = "refl1".
 177 alias symbol "prop2" (instance 3) = "prop21".
 178 alias symbol "prop1" (instance 2) = "prop11".
 179 alias symbol "assoc" (instance 4) = "category1 assoc".
 180 apply (.= †(ASSOC‡#));
 181     apply refl1
 182   | intros; simplify; intro; unfold continuous_relation_comp; simplify;
 183     apply (.= †((id_neutral_right1 ????)‡#));
 184     apply refl1
 185   | intros; simplify; intro; simplify;
 186     apply (.= †((id_neutral_left1 ????)‡#));
 187     apply refl1]
 188 qed.
 189
 190 (*
 191 (*CSC: unused! *)
 192 (* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
 193 theorem continuous_relation_eqS:
 194  ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
 195   a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
 196  intros;
 197  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
 198   [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
 199       try assumption; split; assumption]
 200  cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
 201   [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
 202       apply (. #‡(H1 ?));
 203       apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
 204       assumption;] clear Hcut;
 205  split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
 206   [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
 207   cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
 208  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
 209   [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
 210       exists [1,3: apply w] split; assumption;]
 211  cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
 212   [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
 213  apply Hcut2; assumption.
 214 qed.
 215 *)