helm/software/matita/library/formal_topology/basic_topologies_to_o-basic_topologies.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/basic_topologies.ma".
  16 include "formal_topology/o-basic_topologies.ma".
  17 include "formal_topology/relations_to_o-algebra.ma".
  18
  19 definition o_basic_topology_of_basic_topology: basic_topology → Obasic_topology.
  20  intros (b); constructor 1;
  21   [ apply (POW' b) | apply (A b) | apply (J b);
  22   | apply (A_is_saturation b) | apply (J_is_reduction b) | apply (compatibility b) ]
  23 qed.
  24
  25 definition o_continuous_relation_of_continuous_relation:
  26  ∀BT1,BT2.continuous_relation BT1 BT2 →
  27   Ocontinuous_relation (o_basic_topology_of_basic_topology BT1) (o_basic_topology_of_basic_topology BT2).
  28  intros (BT1 BT2 c); constructor 1;
  29   [ apply (orelation_of_relation ?? c) | apply (reduced ?? c) | apply (saturated ?? c) ]
  30 qed.
  31
  32 axiom daemon: False.
  33
  34 lemma o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism :
  35   ∀S,T:category2_of_category1 BTop.
  36   unary_morphism2 (arrows2 (category2_of_category1 BTop) S T)
  37    (arrows2 OBTop (o_basic_topology_of_basic_topology S) (o_basic_topology_of_basic_topology T)).
  38 intros (S T);
  39    constructor 1;
  40      [ apply (o_continuous_relation_of_continuous_relation S T);
  41      | cases daemon (*apply (o_relation_pair_of_relation_pair_is_morphism S T)*)]
  42 qed.
  43
  44 definition BTop_to_OBTop: carr3 ((category2_of_category1 BTop) ⇒_\c3 OBTop).
  45  constructor 1;
  46   [ apply o_basic_topology_of_basic_topology;
  47   | intros; apply o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism;
  48   | cases daemon (*apply o_relation_topology_of_relation_topology_morphism_respects_id*);
  49   | cases daemon (*apply o_relation_topology_of_relation_topology_morphism_respects_comp*);]
  50 qed.
  51
  52 (* FIXME
  53 alias symbol "eq" (instance 2) = "setoid1 eq".
  54 alias symbol "eq" (instance 1) = "setoid2 eq".
  55 theorem BTop_to_OBTop_faithful: faithful2 ?? BTop_to_OBTop.
  56  intros 5;
  57  whd in e; unfold BTop_to_OBTop in e; simplify in e;
  58  change in match (oA ?) in e with (A o1);
  59  whd in f g;
  60  alias symbol "OR_f_minus_star" (instance 1) = "relation f⎻*".
  61  change in match ((o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism o1 o2 f)⎻* ) in e with ((foo ?? f)⎻* );
  62  change in match ((o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism o1 o2 g)⎻* ) in e with ((foo ?? g)⎻* );
  63  whd; whd in o1 o2;
  64  intro b;
  65  alias symbol "OR_f_minus" (instance 1) = "relation f⎻".
  66  letin fb ≝ ((ext ?? f) b);
  67  lapply (e fb);
  68  whd in Hletin:(? ? ? % %);
  69  cases (Hletin); simplify in s s1;
  70  split;
  71   [2: intro; simplify;
  72     lapply depth=0 (s b); intro; apply (Hletin1 ? a ?)
  73      [ 2: whd in f1;
  74  change in Hletin with ((foo ?? f)⎻*
  75
  76  alias symbol "OR_f_minus_star" (instance 4) = "relation f⎻*".
  77  alias symbol "OR_f_minus_star" (instance 4) = "relation f⎻*".
  78 change in e with
  79  (comp2 SET1 (Ω^o1) (Ω^o1) (Ω^o2) (A o1) (foo o1 o2 f)⎻* =_1
  80   comp2 SET1 (Ω^o1) (Ω^o1) (Ω^o2) (A o1) (foo o1 o2 g)⎻*
  81  );
  82
  83
  84
  85  change in e with (comp1 SET (Ω^o1) ?? (A o1) (foo o1 o2 f)⎻*  = ((foo o1 o2 g)⎻* ∘ A o1));
  86  unfold o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism in e;
  87  unfold o_continuous_relation_of_continuous_relation in e;
  88  simplify in e;
  89 qed.
  90
  91 include "formal_topology/notation.ma".
  92
  93 theorem BTop_to_OBTop_full:
  94    ∀S,T.∀f. exT22 ? (λg. map_arrows2 ?? BTop_to_OBTop S T g = f).
  95  intros;
  96  cases (POW_full (carrbt S) (carrbt T) (Ocont_rel ?? f)) (g Hg);
  97  exists[
  98    constructor 1;
  99     [ apply g
 100     | apply hide; intros; lapply (Oreduced ?? f ? e);
 101       cases Hg; lapply (e3 U) as K; apply (.= K);
 102       apply (.= Hletin); apply rule (†(K^-1));
 103     | apply hide; intros; lapply (Osaturated ?? f ? e);
 104       cases Hg; lapply (e1 U) as K; apply (.= K);
 105       apply (.= Hletin); apply rule (†(K^-1));
 106     ]
 107  | simplify; unfold BTop_to_OBTop; simplify;
 108    unfold o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism; simplify;
 109    cases Hg; whd; simplify; intro;
 110 qed.
 111 *)