helm/software/matita/library/formal_topology/concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/basic_pairs.ma".
  16
  17 definition comprehension: ∀b:REL. (b ⇒ CPROP) → Ω \sup b.
  18  apply (λb:REL. λP: b ⇒ CPROP. {x | x ∈ b ∧ P x});
  19  intros; simplify; apply (.= (H‡#)‡(†H)); apply refl1.
  20 qed.
  21
  22 interpretation "subset comprehension" 'comprehension s p =
  23  (comprehension s (mk_unary_morphism __ p _)).
  24
  25 definition ext: ∀X,S:REL. ∀r: arrows1 ? X S. S ⇒ Ω \sup X.
  26  apply (λX,S,r.mk_unary_morphism ?? (λf.{x ∈ X | x ♮r f}) ?);
  27   [ intros; simplify; apply (.= (H‡#)); apply refl1
  28   | intros; simplify; split; intros; simplify; intros;
  29      [ apply (. #‡(#‡H)); assumption
  30      | apply (. #‡(#‡H\sup -1)); assumption]]
  31 qed.
  32
  33 definition BPext: ∀o: basic_pair. form o ⇒ Ω \sup (concr o) ≝ λo.ext ? ? (rel o).
  34
  35 definition extS: ∀X,S:REL. ∀r: arrows1 ? X S. Ω \sup S ⇒ Ω \sup X.
  36  (* ∃ is not yet a morphism apply (λX,S,r,F.{x ∈ X | ∃a. a ∈ F ∧ x ♮r a});*)
  37  intros (X S r); constructor 1;
  38   [ intro F; constructor 1; constructor 1;
  39     [ apply (λx. x ∈ X ∧ ∃a:S. a ∈ F ∧ x ♮r a);
  40     | intros; split; intro; cases f (H1 H2); clear f; split;
  41        [ apply (. (H‡#)); assumption
  42        |3: apply (. (H\sup -1‡#)); assumption
  43        |2,4: cases H2 (w H3); exists; [1,3: apply w]
  44          [ apply (. (#‡(H‡#))); assumption
  45          | apply (. (#‡(H \sup -1‡#))); assumption]]]
  46   | intros; split; simplify; intros; cases f; cases H1; split;
  47      [1,3: assumption
  48      |2,4: exists; [1,3: apply w]
  49       [ apply (. (#‡H)‡#); assumption
  50       | apply (. (#‡H\sup -1)‡#); assumption]]]
  51 qed.
  52
  53 definition BPextS: ∀o: basic_pair. Ω \sup (form o) ⇒ Ω \sup (concr o) ≝
  54  λo.extS ?? (rel o).
  55
  56 definition fintersects: ∀o: basic_pair. binary_morphism1 (form o) (form o) (Ω \sup (form o)).
  57  intros (o); constructor 1;
  58   [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
  59     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
  60   | intros; split; simplify; intros;
  61      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
  62      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
  63 qed.
  64
  65 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersects _) U V).
  66
  67 definition fintersectsS:
  68  ∀o:basic_pair. binary_morphism1 (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)).
  69  intros (o); constructor 1;
  70   [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω \sup (form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
  71     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
  72   | intros; split; simplify; intros;
  73      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
  74      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
  75 qed.
  76
  77 interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersectsS _) U V).
  78
  79 definition relS: ∀o: basic_pair. binary_morphism1 (concr o) (Ω \sup (form o)) CPROP.
  80  intros (o); constructor 1;
  81   [ apply (λx:concr o.λS: Ω \sup (form o).∃y: form o.y ∈ S ∧ x ⊩ y);
  82   | intros; split; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
  83      [ apply (. (#‡H1)‡(H‡#)); assumption
  84      | apply (. (#‡H1 \sup -1)‡(H \sup -1‡#)); assumption]]
  85 qed.
  86
  87 interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y = (fun1 (concr _) __ (relS _) x y).
  88 interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash = (fun1 ___ (relS _)).
  89
  90 record concrete_space : Type ≝
  91  { bp:> basic_pair;
  92    converges: ∀a: concr bp.∀U,V: form bp. a ⊩ U → a ⊩ V → a ⊩ (U ↓ V);
  93    all_covered: ∀x: concr bp. x ⊩ form bp
  94  }.
  95
  96 record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type ≝
  97  { rp:> relation_pair CS1 CS2;
  98    respects_converges:
  99     ∀b,c.
 100      extS ?? rp \sub\c (BPextS CS2 (b ↓ c)) =
 101      BPextS CS1 ((extS ?? rp \sub\f b) ↓ (extS ?? rp \sub\f c));
 102    respects_all_covered:
 103     extS ?? rp\sub\c (BPextS CS2 (form CS2)) = BPextS CS1 (form CS1)
 104  }.
 105
 106 definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
 107  intros;
 108  constructor 1;
 109   [ apply (convergent_relation_pair c c1)
 110   | constructor 1;
 111      [ intros;
 112        apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
 113      | intros 1; apply refl1;
 114      | intros 2; apply sym1;
 115      | intros 3; apply trans1]]
 116 qed.
 117
 118 lemma equalset_extS_id_X_X: ∀o:REL.∀X.extS ?? (id1 ? o) X = X.
 119  intros;
 120  unfold extS; simplify;
 121  split; simplify;
 122   [ intros 2; change with (a ∈ X);
 123     cases f; clear f;
 124     cases H; clear H;
 125     cases x; clear x;
 126     change in f2 with (eq1 ? a w);
 127     apply (. (f2\sup -1‡#));
 128     assumption
 129   | intros 2; change in f with (a ∈ X);
 130     split;
 131      [ whd; exact I
 132      | exists; [ apply a ]
 133        split;
 134         [ assumption
 135         | change with (a = a); apply refl]]]
 136 qed.
 137
 138 lemma extS_id: ∀o:basic_pair.∀X.extS (concr o) (concr o) (id o) \sub \c X = X.
 139  intros;
 140  unfold extS; simplify;
 141  split; simplify; intros;
 142   [ change with (a ∈ X);
 143     cases f; cases H; cases x; change in f3 with (eq1 ? a w);
 144     apply (. (f3\sup -1‡#));
 145     assumption
 146   | change in f with (a ∈ X);
 147     split;
 148      [ apply I
 149      | exists; [apply a]
 150        split; [ assumption | change with (a = a); apply refl]]]
 151 qed.
 152
 153 (*
 154 definition CSPA: category1.
 155  constructor 1;
 156   [ apply concrete_space
 157   | apply convergent_relation_space_setoid
 158   | intro; constructor 1;
 159      [ apply id
 160      | intros;
 161        unfold id; simplify;
 162        apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
 163        apply (.= (†((equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1‡
 164                     (equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1)));
 165        apply refl1;
 166      | apply (.= (extS_id ??));
 167        apply refl1]
 168   | intros; constructor 1;
 169      [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
 170        constructor 1;
 171         [ apply (fun1 ??? (comp1 BP ???)); [apply (bp o2) |*: apply rp; assumption]
 172         | intros;
 173         |
 174         ]
 175      | intros; intros 2; simplify;
 176        letin xxx ≝ (comp BP); clearbody xxx; unfold BP in xxx:(?→?→?→?→?→%); simplify in xxx;
 177        unfold basic_pair in xxx; simplify in xxx;
 178      ]
 179 *)