helm/software/matita/library/formal_topology/concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/basic_pairs.ma".
  16
  17 record concrete_space : Type ≝
  18  { bp:> BP;
  19    converges: ∀a: concr bp.∀U,V: form bp. a ⊩ U → a ⊩ V → a ⊩ (U ↓ V);
  20    all_covered: ∀x: concr bp. x ⊩ form bp
  21  }.
  22
  23 definition bp': concrete_space → basic_pair ≝ λc.bp c.
  24
  25 coercion bp'.
  26
  27 record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type ≝
  28  { rp:> arrows1 ? CS1 CS2;
  29    respects_converges:
  30     ∀b,c.
  31      extS ?? rp \sub\c (BPextS CS2 (b ↓ c)) =
  32      BPextS CS1 ((extS ?? rp \sub\f b) ↓ (extS ?? rp \sub\f c));
  33    respects_all_covered:
  34     extS ?? rp\sub\c (BPextS CS2 (form CS2)) = BPextS CS1 (form CS1)
  35  }.
  36
  37 definition rp' : ∀CS1,CS2. convergent_relation_pair CS1 CS2 → relation_pair CS1 CS2 ≝
  38  λCS1,CS2,c. rp CS1 CS2 c.
  39
  40 coercion rp'.
  41
  42 definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
  43  intros;
  44  constructor 1;
  45   [ apply (convergent_relation_pair c c1)
  46   | constructor 1;
  47      [ intros;
  48        apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
  49      | intros 1; apply refl1;
  50      | intros 2; apply sym1;
  51      | intros 3; apply trans1]]
  52 qed.
  53
  54 definition rp'': ∀CS1,CS2.convergent_relation_space_setoid CS1 CS2 → arrows1 BP CS1 CS2 ≝
  55  λCS1,CS2,c.rp ?? c.
  56
  57 coercion rp''.
  58
  59 definition convergent_relation_space_composition:
  60  ∀o1,o2,o3: concrete_space.
  61   binary_morphism1
  62    (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
  63    (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
  64    (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
  65  intros; constructor 1;
  66      [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
  67        constructor 1;
  68         [ apply (fun1 ??? (comp1 BP ???)); [apply (bp o2) |*: apply rp; assumption]
  69         | intros;
  70           change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c \sub \c ∘ c1 \sub \c);
  71           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?)))
  72             with (c \sub \f ∘ c1 \sub \f);
  73           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?))))
  74             with (c \sub \f ∘ c1 \sub \f);
  75           apply (.= (extS_com ??????));
  76           apply (.= (†(respects_converges ?????)));
  77           apply (.= (respects_converges ?????));
  78           apply (.= (†(((extS_com ??????) \sup -1)‡(extS_com ??????)\sup -1)));
  79           apply refl1;
  80         | change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c \sub \c ∘ c1 \sub \c);
  81           apply (.= (extS_com ??????));
  82           apply (.= (†(respects_all_covered ???)));
  83           apply (.= respects_all_covered ???);
  84           apply refl1]
  85      | intros;
  86        change with (a ∘ b = a' ∘ b');
  87        change in H with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
  88        change in H1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
  89        apply (.= (H‡H1));
  90        apply refl1]
  91 qed.
  92
  93 definition CSPA: category1.
  94  constructor 1;
  95   [ apply concrete_space
  96   | apply convergent_relation_space_setoid
  97   | intro; constructor 1;
  98      [ apply id1
  99      | intros;
 100        unfold id; simplify;
 101        apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
 102        apply (.= (†((equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1‡
 103                     (equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1)));
 104        apply refl1;
 105      | apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
 106        apply refl1]
 107   | apply convergent_relation_space_composition
 108   | intros; simplify;
 109     change with ((a12 ∘ a23) ∘ a34 = a12 ∘ (a23 ∘ a34));
 110     apply (.= ASSOC1);
 111     apply refl1
 112   | intros; simplify;
 113     change with (id1 ? o1 ∘ a = a);
 114     apply (.= id_neutral_left1 ????);
 115     apply refl1
 116   | intros; simplify;
 117     change with (a ∘ id1 ? o2 = a);
 118     apply (.= id_neutral_right1 ????);
 119     apply refl1]
 120 qed.