helm/software/matita/library/formal_topology/formal_topologies.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/basic_topologies.ma".
  16
  17 definition btop_carr: BTop → Type ≝ λo:BTop. carr (carrbt o).
  18
  19 coercion btop_carr.
  20
  21 definition btop_carr': BTop → setoid ≝ λo:BTop. carrbt o.
  22
  23 coercion btop_carr'.
  24
  25 definition downarrow: ∀S:BTop. unary_morphism (Ω \sup S) (Ω \sup S).
  26  intros; constructor 1;
  27   [ apply (λU:Ω \sup S.{a | ∃b:carrbt S. b ∈ U ∧ a ∈ A ? (singleton ? b)});
  28     intros; simplify; split; intro; cases H1; cases x; exists [1,3: apply w]
  29     split; try assumption; [ apply (. H‡#) | apply (. H \sup -1‡#) ] assumption
  30   | intros; split; intros 2; cases f; exists; [1,3: apply w] cases x; split;
  31     try assumption; [ apply (. #‡H) | apply (. #‡H \sup -1)] assumption]
  32 qed.
  33
  34 interpretation "downarrow" 'downarrow a = (fun_1 __ (downarrow _) a).
  35
  36 definition ffintersects: ∀S:BTop. binary_morphism1 (Ω \sup S) (Ω \sup S) (Ω \sup S).
  37  intros; constructor 1;
  38   [ apply (λU,V. ↓U ∩ ↓V);
  39   | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
  40 qed.
  41
  42 interpretation "ffintersects" 'fintersects U V = (fun1 ___ (ffintersects _) U V).
  43
  44 record formal_topology: Type ≝
  45  { bt:> BTop;
  46    converges: ∀U,V: Ω \sup bt. A ? (U ↓ V) = A ? U ∩ A ? V
  47  }.
  48
  49 definition bt': formal_topology → basic_topology ≝ λo:formal_topology.bt o.
  50
  51 coercion bt'.
  52
  53 definition ffintersects': ∀S:BTop. binary_morphism1 S S (Ω \sup S).
  54  intros; constructor 1;
  55   [ apply (λb,c:S. (singleton S b) ↓ (singleton S c));
  56   | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
  57 qed.
  58
  59 interpretation "ffintersects'" 'fintersects U V = (fun1 ___ (ffintersects' _) U V).
  60
  61 record formal_map (S,T: formal_topology) : Type ≝
  62  { cr:> continuous_relation_setoid S T;
  63    C1: ∀b,c. extS ?? cr (b ↓ c) = ext ?? cr b ↓ ext ?? cr c;
  64    C2: extS ?? cr T = S
  65  }.
  66
  67 definition cr': ∀FT1,FT2.formal_map FT1 FT2 → continuous_relation FT1 FT2 ≝
  68  λFT1,FT2,c. cr FT1 FT2 c.
  69
  70 coercion cr'.
  71
  72 definition formal_map_setoid: formal_topology → formal_topology → setoid1.
  73  intros (S T); constructor 1;
  74   [ apply (formal_map S T);
  75   | constructor 1;
  76      [ apply (λf,f1: formal_map S T.f=f1);
  77      | simplify; intros 1; apply refl1
  78      | simplify; intros 2; apply sym1
  79      | simplify; intros 3; apply trans1]]
  80 qed.
  81
  82 definition cr'': ∀FT1,FT2.formal_map_setoid FT1 FT2 → arrows1 BTop FT1 FT2 ≝
  83  λFT1,FT2,c.cr ?? c.
  84
  85 coercion cr''.
  86
  87 definition cr''': ∀FT1,FT2.formal_map_setoid FT1 FT2 → arrows1 REL FT1 FT2 ≝
  88  λFT1,FT2:formal_topology.λc:formal_map_setoid FT1 FT2.cont_rel FT1 FT2 (cr' ?? c).
  89
  90 coercion cr'''.
  91
  92 axiom C1':
  93  ∀S,T: formal_topology.∀f:formal_map_setoid S T.∀U,V: Ω \sup T.
  94   extS ?? f (U ↓ V) = extS ?? f U ↓ extS ?? f V.
  95
  96 definition formal_map_composition:
  97  ∀o1,o2,o3: formal_topology.
  98   binary_morphism1
  99    (formal_map_setoid o1 o2)
 100    (formal_map_setoid o2 o3)
 101    (formal_map_setoid o1 o3).
 102  intros; constructor 1;
 103   [ intros; whd in c c1; constructor 1;
 104      [ apply (comp1 BTop ??? c c1);
 105      | intros;
 106        apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
 107        apply (.= †(C1 ?????));
 108        apply (.= (C1' ?????));
 109        apply (.= ((†((extS_singleton ????) \sup -1))‡(†((extS_singleton ????) \sup -1))));
 110        apply (.= (extS_com ??????)\sup -1 ‡ (extS_com ??????) \sup -1);
 111        apply (.= (extS_singleton ????)‡(extS_singleton ????));
 112        apply refl1;
 113      | apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
 114        apply (.= (†(C2 ???)));
 115        apply (.= (C2 ???));
 116        apply refl1;]
 117   | intros; simplify;
 118     change with (comp1 BTop ??? a b = comp1 BTop ??? a' b');
 119     apply prop1; assumption]
 120 qed.
 121