]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/software/matita/library/formal_topology/formal_topologies.ma
more ex and more notation
[helm.git] / helm / software / matita / library / formal_topology / formal_topologies.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "formal_topology/basic_topologies.ma".
16
17 definition btop_carr: BTop → Type ≝ λo:BTop. carr (carrbt o).
18
19 coercion btop_carr.
20
21 definition btop_carr': BTop → setoid ≝ λo:BTop. carrbt o.
22
23 coercion btop_carr'.
24
25 definition downarrow: ∀S:BTop. unary_morphism (Ω \sup S) (Ω \sup S).
26  intros; constructor 1;
27   [ apply (λU:Ω \sup S.{a | ∃b:carrbt S. b ∈ U ∧ a ∈ A ? (singleton ? b)});
28     intros; simplify; split; intro; cases H1; cases x; exists [1,3: apply w]
29     split; try assumption; [ apply (. H‡#) | apply (. H \sup -1‡#) ] assumption
30   | intros; split; intros 2; cases f; exists; [1,3: apply w] cases x; split;
31     try assumption; [ apply (. #‡H) | apply (. #‡H \sup -1)] assumption]
32 qed.
33
34 interpretation "downarrow" 'downarrow a = (fun_1 __ (downarrow _) a).
35
36 definition ffintersects: ∀S:BTop. binary_morphism1 (Ω \sup S) (Ω \sup S) (Ω \sup S).
37  intros; constructor 1;
38   [ apply (λU,V. ↓U ∩ ↓V);
39   | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
40 qed.
41
42 interpretation "ffintersects" 'fintersects U V = (fun1 ___ (ffintersects _) U V).
43
44 record formal_topology: Type ≝
45  { bt:> BTop;
46    converges: ∀U,V: Ω \sup bt. A ? (U ↓ V) = A ? U ∩ A ? V
47  }.
48
49 definition bt': formal_topology → basic_topology ≝ λo:formal_topology.bt o.
50
51 coercion bt'.
52
53 definition ffintersects': ∀S:BTop. binary_morphism1 S S (Ω \sup S).
54  intros; constructor 1;
55   [ apply (λb,c:S. (singleton S b) ↓ (singleton S c));
56   | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
57 qed.
58
59 interpretation "ffintersects'" 'fintersects U V = (fun1 ___ (ffintersects' _) U V).
60
61 record formal_map (S,T: formal_topology) : Type ≝
62  { cr:> continuous_relation_setoid S T;
63    C1: ∀b,c. extS ?? cr (b ↓ c) = ext ?? cr b ↓ ext ?? cr c;
64    C2: extS ?? cr T = S
65  }.
66
67 definition cr': ∀FT1,FT2.formal_map FT1 FT2 → continuous_relation FT1 FT2 ≝
68  λFT1,FT2,c. cr FT1 FT2 c.
69
70 coercion cr'.
71
72 definition formal_map_setoid: formal_topology → formal_topology → setoid1.
73  intros (S T); constructor 1;
74   [ apply (formal_map S T);
75   | constructor 1;
76      [ apply (λf,f1: formal_map S T.f=f1);
77      | simplify; intros 1; apply refl1
78      | simplify; intros 2; apply sym1
79      | simplify; intros 3; apply trans1]]
80 qed.
81
82 definition cr'': ∀FT1,FT2.formal_map_setoid FT1 FT2 → arrows1 BTop FT1 FT2 ≝
83  λFT1,FT2,c.cr ?? c.
84
85 coercion cr''.
86
87 definition cr''': ∀FT1,FT2.formal_map_setoid FT1 FT2 → arrows1 REL FT1 FT2 ≝
88  λFT1,FT2:formal_topology.λc:formal_map_setoid FT1 FT2.cont_rel FT1 FT2 (cr' ?? c).
89
90 coercion cr'''.
91
92 axiom C1':
93  ∀S,T: formal_topology.∀f:formal_map_setoid S T.∀U,V: Ω \sup T.
94   extS ?? f (U ↓ V) = extS ?? f U ↓ extS ?? f V.
95
96 definition formal_map_composition:
97  ∀o1,o2,o3: formal_topology.
98   binary_morphism1
99    (formal_map_setoid o1 o2)
100    (formal_map_setoid o2 o3)
101    (formal_map_setoid o1 o3).
102  intros; constructor 1;
103   [ intros; whd in c c1; constructor 1;
104      [ apply (comp1 BTop ??? c c1);
105      | intros;
106        apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
107        apply (.= †(C1 ?????));
108        apply (.= (C1' ?????));
109        apply (.= ((†((extS_singleton ????) \sup -1))‡(†((extS_singleton ????) \sup -1))));
110        apply (.= (extS_com ??????)\sup -1 ‡ (extS_com ??????) \sup -1);
111        apply (.= (extS_singleton ????)‡(extS_singleton ????));
112        apply refl1;
113      | apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
114        apply (.= (†(C2 ???)));
115        apply (.= (C2 ???));
116        apply refl1;]
117   | intros; simplify;
118     change with (comp1 BTop ??? a b = comp1 BTop ??? a' b');
119     apply prop1; assumption]
120 qed.
121