helm/software/matita/library/formal_topology/relations.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/subsets.ma".
  16
  17 record binary_relation (A,B: setoid) : Type ≝
  18  { satisfy:> binary_morphism1 A B CPROP }.
  19
  20 notation < "hvbox (x \nbsp \natur term 90 r \nbsp y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
  21 notation > "hvbox (x \natur term 90 r y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
  22 interpretation "relation applied" 'satisfy r x y = (fun1 ___ (satisfy __ r) x y).
  23
  24 definition binary_relation_setoid: setoid → setoid → setoid1.
  25  intros (A B);
  26  constructor 1;
  27   [ apply (binary_relation A B)
  28   | constructor 1;
  29      [ apply (λA,B.λr,r': binary_relation A B. ∀x,y. r x y ↔ r' x y)
  30      | simplify; intros 3; split; intro; assumption
  31      | simplify; intros 5; split; intro;
  32        [ apply (fi ?? (H ??)) | apply (if ?? (H ??))] assumption
  33      | simplify;  intros 7; split; intro;
  34         [ apply (if ?? (H1 ??)) | apply (fi ?? (H ??)) ]
  35         [ apply (if ?? (H ??)) | apply (fi ?? (H1 ??)) ]
  36        assumption]]
  37 qed.
  38
  39 definition composition:
  40  ∀A,B,C.
  41   binary_morphism1 (binary_relation_setoid A B) (binary_relation_setoid B C) (binary_relation_setoid A C).
  42  intros;
  43  constructor 1;
  44   [ intros (R12 R23);
  45     constructor 1;
  46     constructor 1;
  47      [ apply (λs1:A.λs3:C.∃s2:B. s1 ♮R12 s2 ∧ s2 ♮R23 s3);
  48      | intros;
  49        split; intro; cases H2 (w H3); clear H2; exists; [1,3: apply w ]
  50         [ apply (. (H‡#)‡(#‡H1)); assumption
  51         | apply (. ((H \sup -1)‡#)‡(#‡(H1 \sup -1))); assumption]]
  52   | intros 8; split; intro H2; simplify in H2 ⊢ %;
  53     cases H2 (w H3); clear H2; exists [1,3: apply w] cases H3 (H2 H4); clear H3;
  54     [ lapply (if ?? (H x w) H2) | lapply (fi ?? (H x w) H2) ]
  55     [ lapply (if ?? (H1 w y) H4)| lapply (fi ?? (H1 w y) H4) ]
  56     exists; try assumption;
  57     split; assumption]
  58 qed.
  59
  60 definition REL: category1.
  61  constructor 1;
  62   [ apply setoid
  63   | intros (T T1); apply (binary_relation_setoid T T1)
  64   | intros; constructor 1;
  65     constructor 1; unfold setoid1_of_setoid; simplify;
  66      [ intros; apply (c = c1)
  67      | intros; split; intro;
  68         [ apply (trans ????? (H \sup -1));
  69           apply (trans ????? H2);
  70           apply H1
  71         | apply (trans ????? H);
  72           apply (trans ????? H2);
  73           apply (H1 \sup -1)]]
  74   | apply composition
  75   | intros 9;
  76     split; intro;
  77     cases f (w H); clear f; cases H; clear H;
  78     [cases f (w1 H); clear f | cases f1 (w1 H); clear f1]
  79     cases H; clear H;
  80     exists; try assumption;
  81     split; try assumption;
  82     exists; try assumption;
  83     split; assumption
  84   |6,7: intros 5; unfold composition; simplify; split; intro;
  85         unfold setoid1_of_setoid in x y; simplify in x y;
  86         [1,3: cases H (w H1); clear H; cases H1; clear H1; unfold;
  87           [ apply (. (H \sup -1 : eq1 ? w x)‡#); assumption
  88           | apply (. #‡(H : eq1 ? w y)); assumption]
  89         |2,4: exists; try assumption; split; first [apply refl | assumption]]]
  90 qed.
  91
  92 definition full_subset: ∀s:REL. Ω \sup s.
  93  apply (λs.{x | True});
  94  intros; simplify; split; intro; assumption.
  95 qed.
  96
  97 coercion full_subset.
  98
  99 definition setoid1_of_REL: REL → setoid ≝ λS. S.
 100
 101 coercion setoid1_of_REL.