helm/software/matita/library/formal_topology/relations.ma.dontcompile

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/subsets.ma".
  16
  17 record binary_relation (A,B: setoid) : Type ≝
  18  { satisfy:> binary_morphism1 A B CPROP }.
  19
  20 notation < "hvbox (x \nbsp \natur term 90 r \nbsp y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
  21 notation > "hvbox (x \natur term 90 r y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
  22 interpretation "relation applied" 'satisfy r x y = (fun1 ___ (satisfy __ r) x y).
  23
  24 definition binary_relation_setoid: setoid → setoid → setoid1.
  25  intros (A B);
  26  constructor 1;
  27   [ apply (binary_relation A B)
  28   | constructor 1;
  29      [ apply (λA,B.λr,r': binary_relation A B. ∀x,y. r x y ↔ r' x y)
  30      | simplify; intros 3; split; intro; assumption
  31      | simplify; intros 5; split; intro;
  32        [ apply (fi ?? (H ??)) | apply (if ?? (H ??))] assumption
  33      | simplify;  intros 7; split; intro;
  34         [ apply (if ?? (H1 ??)) | apply (fi ?? (H ??)) ]
  35         [ apply (if ?? (H ??)) | apply (fi ?? (H1 ??)) ]
  36        assumption]]
  37 qed.
  38
  39 definition composition:
  40  ∀A,B,C.
  41   binary_morphism1 (binary_relation_setoid A B) (binary_relation_setoid B C) (binary_relation_setoid A C).
  42  intros;
  43  constructor 1;
  44   [ intros (R12 R23);
  45     constructor 1;
  46     constructor 1;
  47      [ apply (λs1:A.λs3:C.∃s2:B. s1 ♮R12 s2 ∧ s2 ♮R23 s3);
  48      | intros;
  49        split; intro; cases H2 (w H3); clear H2; exists; [1,3: apply w ]
  50         [ apply (. (H‡#)‡(#‡H1)); assumption
  51         | apply (. ((H \sup -1)‡#)‡(#‡(H1 \sup -1))); assumption]]
  52   | intros 8; split; intro H2; simplify in H2 ⊢ %;
  53     cases H2 (w H3); clear H2; exists [1,3: apply w] cases H3 (H2 H4); clear H3;
  54     [ lapply (if ?? (H x w) H2) | lapply (fi ?? (H x w) H2) ]
  55     [ lapply (if ?? (H1 w y) H4)| lapply (fi ?? (H1 w y) H4) ]
  56     exists; try assumption;
  57     split; assumption]
  58 qed.
  59
  60 definition REL: category1.
  61  constructor 1;
  62   [ apply setoid
  63   | intros (T T1); apply (binary_relation_setoid T T1)
  64   | intros; constructor 1;
  65     constructor 1; unfold setoid1_of_setoid; simplify;
  66      [ intros; apply (c = c1)
  67      | intros; split; intro;
  68         [ apply (trans ????? (H \sup -1));
  69           apply (trans ????? H2);
  70           apply H1
  71         | apply (trans ????? H);
  72           apply (trans ????? H2);
  73           apply (H1 \sup -1)]]
  74   | apply composition
  75   | intros 9;
  76     split; intro;
  77     cases f (w H); clear f; cases H; clear H;
  78     [cases f (w1 H); clear f | cases f1 (w1 H); clear f1]
  79     cases H; clear H;
  80     exists; try assumption;
  81     split; try assumption;
  82     exists; try assumption;
  83     split; assumption
  84   |6,7: intros 5; unfold composition; simplify; split; intro;
  85         unfold setoid1_of_setoid in x y; simplify in x y;
  86         [1,3: cases H (w H1); clear H; cases H1; clear H1; unfold;
  87           [ apply (. (H \sup -1 : eq1 ? w x)‡#); assumption
  88           | apply (. #‡(H : eq1 ? w y)); assumption]
  89         |2,4: exists; try assumption; split; first [apply refl | assumption]]]
  90 qed.
  91
  92 definition full_subset: ∀s:REL. Ω \sup s.
  93  apply (λs.{x | True});
  94  intros; simplify; split; intro; assumption.
  95 qed.
  96
  97 coercion full_subset.
  98
  99 definition setoid1_of_REL: REL → setoid ≝ λS. S.
 100
 101 coercion setoid1_of_REL.
 102
 103 definition comprehension: ∀b:REL. (b ⇒ CPROP) → Ω \sup b.
 104  apply (λb:REL. λP: b ⇒ CPROP. {x | x ∈ b ∧ P x});
 105  intros; simplify; apply (.= (H‡#)‡(†H)); apply refl1.
 106 qed.
 107
 108 interpretation "subset comprehension" 'comprehension s p =
 109  (comprehension s (mk_unary_morphism __ p _)).
 110
 111 definition ext: ∀X,S:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? X S) S (Ω \sup X).
 112  apply (λX,S.mk_binary_morphism1 ??? (λr:arrows1 ? X S.λf:S.{x ∈ X | x ♮r f}) ?);
 113   [ intros; simplify; apply (.= (H‡#)); apply refl1
 114   | intros; simplify; split; intros; simplify; intros; cases f; split; try assumption;
 115      [ apply (. (#‡H1)); whd in H; apply (if ?? (H ??)); assumption
 116      | apply (. (#‡H1\sup -1)); whd in H; apply (fi ?? (H ??));assumption]]
 117 qed.
 118
 119 definition extS: ∀X,S:REL. ∀r: arrows1 ? X S. Ω \sup S ⇒ Ω \sup X.
 120  (* ∃ is not yet a morphism apply (λX,S,r,F.{x ∈ X | ∃a. a ∈ F ∧ x ♮r a});*)
 121  intros (X S r); constructor 1;
 122   [ intro F; constructor 1; constructor 1;
 123     [ apply (λx. x ∈ X ∧ ∃a:S. a ∈ F ∧ x ♮r a);
 124     | intros; split; intro; cases f (H1 H2); clear f; split;
 125        [ apply (. (H‡#)); assumption
 126        |3: apply (. (H\sup -1‡#)); assumption
 127        |2,4: cases H2 (w H3); exists; [1,3: apply w]
 128          [ apply (. (#‡(H‡#))); assumption
 129          | apply (. (#‡(H \sup -1‡#))); assumption]]]
 130   | intros; split; simplify; intros; cases f; cases H1; split;
 131      [1,3: assumption
 132      |2,4: exists; [1,3: apply w]
 133       [ apply (. (#‡H)‡#); assumption
 134       | apply (. (#‡H\sup -1)‡#); assumption]]]
 135 qed.
 136
 137 lemma equalset_extS_id_X_X: ∀o:REL.∀X.extS ?? (id1 ? o) X = X.
 138  intros;
 139  unfold extS; simplify;
 140  split; simplify;
 141   [ intros 2; change with (a ∈ X);
 142     cases f; clear f;
 143     cases H; clear H;
 144     cases x; clear x;
 145     change in f2 with (eq1 ? a w);
 146     apply (. (f2\sup -1‡#));
 147     assumption
 148   | intros 2; change in f with (a ∈ X);
 149     split;
 150      [ whd; exact I
 151      | exists; [ apply a ]
 152        split;
 153         [ assumption
 154         | change with (a = a); apply refl]]]
 155 qed.
 156
 157 lemma extS_com: ∀o1,o2,o3,c1,c2,S. extS o1 o3 (c2 ∘ c1) S = extS o1 o2 c1 (extS o2 o3 c2 S).
 158  intros; unfold extS; simplify; split; intros; simplify; intros;
 159   [ cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
 160     cases H3 (H4 H5); cases H5 (w1 H6); clear H3 H5; cases H6 (H7 H8); clear H6;
 161     exists; [apply w1] split [2: assumption] constructor 1; [assumption]
 162     exists; [apply w] split; assumption
 163   | cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
 164     cases H3 (H4 H5); cases H4 (w1 H6); clear H3 H4; cases H6 (w2 H7); clear H6;
 165     cases H7; clear H7; exists; [apply w2] split; [assumption] exists [apply w] split;
 166     assumption]
 167 qed.
 168
 169 (* the same as ⋄ for a basic pair *)
 170 definition image: ∀U,V:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? U V) (Ω \sup U) (Ω \sup V).
 171  intros; constructor 1;
 172   [ apply (λr: arrows1 ? U V.λS: Ω \sup U. {y | ∃x:U. x ♮r y ∧ x ∈ S});
 173     intros; simplify; split; intro; cases H1; exists [1,3: apply w]
 174      [ apply (. (#‡H)‡#); assumption
 175      | apply (. (#‡H \sup -1)‡#); assumption]
 176   | intros; split; simplify; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
 177      [ apply (. #‡(#‡H1)); cases x; split; try assumption;
 178        apply (if ?? (H ??)); assumption
 179      | apply (. #‡(#‡H1 \sup -1)); cases x; split; try assumption;
 180        apply (if ?? (H \sup -1 ??)); assumption]]
 181 qed.
 182
 183 (* the same as □ for a basic pair *)
 184 definition minus_star_image: ∀U,V:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? U V) (Ω \sup U) (Ω \sup V).
 185  intros; constructor 1;
 186   [ apply (λr: arrows1 ? U V.λS: Ω \sup U. {y | ∀x:U. x ♮r y → x ∈ S});
 187     intros; simplify; split; intros; apply H1;
 188      [ apply (. #‡H \sup -1); assumption
 189      | apply (. #‡H); assumption]
 190   | intros; split; simplify; intros; [ apply (. #‡H1); | apply (. #‡H1 \sup -1)]
 191     apply H2; [ apply (if ?? (H \sup -1 ??)); | apply (if ?? (H ??)) ] assumption]
 192 qed.
 193
 194 (* minus_image is the same as ext *)
 195
 196 theorem image_id: ∀o,U. image o o (id1 REL o) U = U.
 197  intros; unfold image; simplify; split; simplify; intros;
 198   [ change with (a ∈ U);
 199     cases H; cases x; change in f with (eq1 ? w a); apply (. f‡#); assumption
 200   | change in f with (a ∈ U);
 201     exists; [apply a] split; [ change with (a = a); apply refl | assumption]]
 202 qed.
 203
 204 theorem minus_star_image_id: ∀o,U. minus_star_image o o (id1 REL o) U = U.
 205  intros; unfold minus_star_image; simplify; split; simplify; intros;
 206   [ change with (a ∈ U); apply H; change with (a=a); apply refl
 207   | change in f1 with (eq1 ? x a); apply (. f1 \sup -1‡#); apply f]
 208 qed.
 209
 210 theorem image_comp: ∀A,B,C,r,s,X. image A C (r ∘ s) X = image B C r (image A B s X).
 211  intros; unfold image; simplify; split; simplify; intros; cases H; clear H; cases x;
 212  clear x; [ cases f; clear f; | cases f1; clear f1 ]
 213  exists; try assumption; cases x; clear x; split; try assumption;
 214  exists; try assumption; split; assumption.
 215 qed.
 216
 217 theorem minus_star_image_comp:
 218  ∀A,B,C,r,s,X.
 219   minus_star_image A C (r ∘ s) X = minus_star_image B C r (minus_star_image A B s X).
 220  intros; unfold minus_star_image; simplify; split; simplify; intros; whd; intros;
 221   [ apply H; exists; try assumption; split; assumption
 222   | change with (x ∈ X); cases f; cases x1; apply H; assumption]
 223 qed.
 224
 225 (*CSC: unused! *)
 226 theorem ext_comp:
 227  ∀o1,o2,o3: REL.
 228   ∀a: arrows1 ? o1 o2.
 229    ∀b: arrows1 ? o2 o3.
 230     ∀x. ext ?? (b∘a) x = extS ?? a (ext ?? b x).
 231  intros;
 232  unfold ext; unfold extS; simplify; split; intro; simplify; intros;
 233  cases f; clear f; split; try assumption;
 234   [ cases f2; clear f2; cases x1; clear x1; exists; [apply w] split;
 235      [1: split] assumption;
 236   | cases H; clear H; cases x1; clear x1; exists [apply w]; split;
 237      [2: cases f] assumption]
 238 qed.
 239
 240 theorem extS_singleton:
 241  ∀o1,o2.∀a:arrows1 ? o1 o2.∀x.extS o1 o2 a (singleton o2 x) = ext o1 o2 a x.
 242  intros; unfold extS; unfold ext; unfold singleton; simplify;
 243  split; intros 2; simplify; cases f; split; try assumption;
 244   [ cases H; cases x1; change in f2 with (eq1 ? x w); apply (. #‡f2 \sup -1);
 245     assumption
 246   | exists; try assumption; split; try assumption; change with (x = x); apply refl]
 247 qed.