helm/software/matita/library/higher_order_defs/functions.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/equality.ma".
  16
  17 definition compose \def
  18   \lambda A,B,C:Type.\lambda f:(B\to C).\lambda g:(A\to B).\lambda x:A.
  19   f (g x).
  20
  21 interpretation "function composition" 'compose f g =
  22   (cic:/matita/higher_order_defs/functions/compose.con _ _ _ f g).
  23
  24 definition injective: \forall A,B:Type.\forall f:A \to B.Prop
  25 \def \lambda A,B.\lambda f.
  26   \forall x,y:A.f x = f y \to x=y.
  27
  28 definition surjective: \forall A,B:Type.\forall f:A \to B.Prop
  29 \def \lambda A,B.\lambda f.
  30   \forall z:B. \exists x:A.z=f x.
  31
  32 definition symmetric: \forall A:Type.\forall f:A \to A\to A.Prop
  33 \def \lambda A.\lambda f.\forall x,y.f x y = f y x.
  34
  35 definition symmetric2: \forall A,B:Type.\forall f:A \to A\to B.Prop
  36 \def \lambda A,B.\lambda f.\forall x,y.f x y = f y x.
  37
  38 definition associative: \forall A:Type.\forall f:A \to A\to A.Prop
  39 \def \lambda A.\lambda f.\forall x,y,z.f (f x y) z = f x (f y z).
  40
  41 theorem eq_f_g_h:
  42   \forall A,B,C,D:Type.
  43   \forall f:C \to D.\forall g:B \to C.\forall h:A \to B.
  44   f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h.
  45   intros.
  46   reflexivity.
  47 qed.
  48
  49 (* functions and relations *)
  50 definition monotonic : \forall A:Type.\forall R:A \to A \to Prop.
  51 \forall f:A \to A.Prop \def
  52 \lambda A. \lambda R. \lambda f. \forall x,y:A.R x y \to R (f x) (f y).
  53
  54 (* functions and functions *)
  55 definition distributive: \forall A:Type.\forall f,g:A \to A \to A.Prop
  56 \def \lambda A.\lambda f,g.\forall x,y,z:A. f x (g y z) = g (f x y) (f x z).
  57
  58 definition distributive2: \forall A,B:Type.\forall f:A \to B \to B.
  59 \forall g: B\to B\to B. Prop
  60 \def \lambda A,B.\lambda f,g.\forall x:A.\forall y,z:B. f x (g y z) = g (f x y) (f x z).
  61