]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/software/matita/library/higher_order_defs/functions.ma
new apply almost there
[helm.git] / helm / software / matita / library / higher_order_defs / functions.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                                *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "logic/equality.ma".
16
17 definition compose \def
18   \lambda A,B,C:Type.\lambda f:(B\to C).\lambda g:(A\to B).\lambda x:A.
19   f (g x).
20
21 interpretation "function composition" 'compose f g =
22   (cic:/matita/higher_order_defs/functions/compose.con _ _ _ f g).
23
24 definition injective: \forall A,B:Type.\forall f:A \to B.Prop
25 \def \lambda A,B.\lambda f.
26   \forall x,y:A.f x = f y \to x=y.
27
28 definition surjective: \forall A,B:Type.\forall f:A \to B.Prop
29 \def \lambda A,B.\lambda f.
30   \forall z:B. \exists x:A.z=f x.
31
32 definition symmetric: \forall A:Type.\forall f:A \to A\to A.Prop
33 \def \lambda A.\lambda f.\forall x,y.f x y = f y x.
34
35 definition symmetric2: \forall A,B:Type.\forall f:A \to A\to B.Prop
36 \def \lambda A,B.\lambda f.\forall x,y.f x y = f y x.
37
38 definition associative: \forall A:Type.\forall f:A \to A\to A.Prop
39 \def \lambda A.\lambda f.\forall x,y,z.f (f x y) z = f x (f y z).
40
41 theorem eq_f_g_h:
42   \forall A,B,C,D:Type.
43   \forall f:C \to D.\forall g:B \to C.\forall h:A \to B.
44   f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h.
45   intros.
46   reflexivity.
47 qed.
48
49 (* functions and relations *)
50 definition monotonic : \forall A:Type.\forall R:A \to A \to Prop.
51 \forall f:A \to A.Prop \def
52 \lambda A. \lambda R. \lambda f. \forall x,y:A.R x y \to R (f x) (f y).
53
54 (* functions and functions *)
55 definition distributive: \forall A:Type.\forall f,g:A \to A \to A.Prop
56 \def \lambda A.\lambda f,g.\forall x,y,z:A. f x (g y z) = g (f x y) (f x z).
57
58 definition distributive2: \forall A,B:Type.\forall f:A \to B \to B.
59 \forall g: B\to B\to B. Prop
60 \def \lambda A,B.\lambda f,g.\forall x:A.\forall y,z:B. f x (g y z) = g (f x y) (f x z).
61