helm/software/matita/library/list/list.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/equality.ma".
  16 include "datatypes/bool.ma".
  17 include "higher_order_defs/functions.ma".
  18 include "nat/plus.ma".
  19 include "nat/orders.ma".
  20
  21 inductive list (A:Type) : Type :=
  22   | nil: list A
  23   | cons: A -> list A -> list A.
  24
  25 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  26   right associative with precedence 47
  27   for @{'cons $hd $tl}.
  28
  29 notation "[ list0 x sep ; ]"
  30   non associative with precedence 90
  31   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  32
  33 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  34   right associative with precedence 47
  35   for @{'append $l1 $l2 }.
  36
  37 interpretation "nil" 'nil = (cic:/matita/list/list/list.ind#xpointer(1/1/1) _).
  38 interpretation "cons" 'cons hd tl =
  39   (cic:/matita/list/list/list.ind#xpointer(1/1/2) _ hd tl).
  40
  41 (* theorem test_notation: [O; S O; S (S O)] = O :: S O :: S (S O) :: []. *)
  42
  43 theorem nil_cons:
  44   \forall A:Type.\forall l:list A.\forall a:A. a::l ≠ [].
  45   intros;
  46   unfold Not;
  47   intros;
  48   destruct H.
  49 qed.
  50
  51 let rec id_list A (l: list A) on l :=
  52   match l with
  53   [ nil => []
  54   | (cons hd tl) => hd :: id_list A tl ].
  55
  56 let rec append A (l1: list A) l2 on l1 :=
  57   match l1 with
  58   [ nil => l2
  59   | (cons hd tl) => hd :: append A tl l2 ].
  60
  61 definition tail := \lambda A:Type. \lambda l: list A.
  62   match l with
  63   [ nil => []
  64   | (cons hd tl) => tl].
  65
  66 interpretation "append" 'append l1 l2 = (cic:/matita/list/list/append.con _ l1 l2).
  67
  68 theorem append_nil: \forall A:Type.\forall l:list A.l @ [] = l.
  69   intros;
  70   elim l;
  71   [ reflexivity;
  72   | simplify;
  73     rewrite > H;
  74     reflexivity;
  75   ]
  76 qed.
  77
  78 theorem associative_append: \forall A:Type.associative (list A) (append A).
  79   intros; unfold; intros;
  80   elim x;
  81   [ simplify;
  82     reflexivity;
  83   | simplify;
  84     rewrite > H;
  85     reflexivity;
  86   ]
  87 qed.
  88
  89 theorem cons_append_commute:
  90   \forall A:Type.\forall l1,l2:list A.\forall a:A.
  91     a :: (l1 @ l2) = (a :: l1) @ l2.
  92   intros;
  93   reflexivity;
  94 qed.
  95
  96 lemma append_cons:\forall A.\forall a:A.\forall l,l1.
  97 l@(a::l1)=(l@[a])@l1.
  98 intros.
  99 rewrite > associative_append.
 100 reflexivity.
 101 qed.
 102
 103 inductive permutation (A:Type) : list A -> list A -> Prop \def
 104   | refl : \forall l:list A. permutation ? l l
 105   | swap : \forall l:list A. \forall x,y:A.
 106               permutation ? (x :: y :: l) (y :: x :: l)
 107   | trans : \forall l1,l2,l3:list A.
 108               permutation ? l1 l2 -> permut1 ? l2 l3 -> permutation ? l1 l3
 109 with permut1 : list A -> list A -> Prop \def
 110   | step : \forall l1,l2:list A. \forall x,y:A.
 111       permut1 ? (l1 @ (x :: y :: l2)) (l1 @ (y :: x :: l2)).
 112
 113 include "nat/nat.ma".
 114
 115 definition x1 \def S O.
 116 definition x2 \def S x1.
 117 definition x3 \def S x2.
 118
 119 theorem tmp : permutation nat (x1 :: x2 :: x3 :: []) (x1 :: x3 :: x2 :: []).
 120   apply (trans ? (x1 :: x2 :: x3 :: []) (x1 :: x2 :: x3 :: []) ?).
 121   apply refl.
 122   apply (step ? (x1::[]) [] x2 x3).
 123   qed.
 124
 125
 126 (*
 127 theorem nil_append_nil_both:
 128   \forall A:Type.\forall l1,l2:list A.
 129     l1 @ l2 = [] \to l1 = [] \land l2 = [].
 130 *)
 131
 132 (*
 133 include "nat/nat.ma".
 134
 135 theorem test_notation: [O; S O; S (S O)] = O :: S O :: S (S O) :: [].
 136 reflexivity.
 137 qed.
 138
 139 theorem test_append: [O;O;O;O;O;O] = [O;O;O] @ [O;O] @ [O].
 140 simplify.
 141 reflexivity.
 142 qed.
 143 *)
 144
 145 definition nth ≝
 146   λA:Type.
 147     let rec nth l d n on n ≝
 148       match n with
 149       [ O ⇒
 150          match l with
 151          [ nil ⇒ d
 152          | cons (x : A) _ ⇒ x
 153          ]
 154       | S n' ⇒ nth (tail ? l) d n']
 155     in nth.
 156
 157 definition map ≝
 158   λA,B:Type.λf:A→B.
 159   let rec map (l : list A) on l : list B ≝
 160     match l with [ nil ⇒ nil ? | cons x tl ⇒ f x :: (map tl)]
 161   in map.
 162
 163 definition foldr ≝
 164   λA,B:Type.λf:A→B→B.λb:B.
 165   let rec foldr (l : list A) on l : B :=
 166     match l with [ nil ⇒ b | (cons a l) ⇒ f a (foldr l)]
 167   in foldr.
 168
 169 definition length ≝ λT:Type.λl:list T.foldr T nat (λx,c.S c) O l.
 170
 171 definition filter \def
 172   \lambda T:Type.\lambda l:list T.\lambda p:T \to bool.
 173   foldr T (list T)
 174     (\lambda x,l0.match (p x) with [ true => x::l0 | false => l0]) [] l.
 175
 176 definition iota : nat → nat → list nat ≝
 177   λn,m. nat_rect (λ_.list ?) (nil ?) (λx,acc.cons ? (n+x) acc) m.
 178
 179 (* ### induction principle for functions visiting 2 lists in parallel *)
 180 lemma list_ind2 :
 181   ∀T1,T2:Type.∀l1:list T1.∀l2:list T2.∀P:list T1 → list T2 → Prop.
 182   length ? l1 = length ? l2 →
 183   (P (nil ?) (nil ?)) →
 184   (∀tl1,tl2,hd1,hd2. P tl1 tl2 → P (hd1::tl1) (hd2::tl2)) →
 185   P l1 l2.
 186 intros (T1 T2 l1 l2 P Hl Pnil Pcons);
 187 elim l1 in Hl l2 ⊢ % 1 (l2 x1); [ cases l2; intros (Hl); [assumption| simplify in Hl; destruct Hl]]
 188 intros 3 (tl1 IH l2); cases l2; [1: simplify; intros 1 (Hl); destruct Hl]
 189 intros 1 (Hl); apply Pcons; apply IH; simplify in Hl; destruct Hl; assumption;
 190 qed.
 191
 192 lemma eq_map : ∀A,B,f,g,l. (∀x.f x = g x) → map A B f l = map A B g l.
 193 intros (A B f g l Efg); elim l; simplify; [1: reflexivity ];
 194 rewrite > (Efg a); rewrite > H; reflexivity;
 195 qed.
 196
 197 lemma le_length_filter : \forall A,l,p.length A (filter A l p) \leq length A l.
 198 intros;elim l
 199   [simplify;apply le_n
 200   |simplify;apply (bool_elim ? (p a));intro
 201      [simplify;apply le_S_S;assumption
 202      |simplify;apply le_S;assumption]]
 203 qed.