helm/software/matita/library/list/list.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/equality.ma".
  16 include "datatypes/bool.ma".
  17 include "higher_order_defs/functions.ma".
  18 include "nat/plus.ma".
  19 include "nat/orders.ma".
  20
  21 inductive list (A:Type) : Type :=
  22   | nil: list A
  23   | cons: A -> list A -> list A.
  24
  25 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  26   right associative with precedence 46
  27   for @{'cons $hd $tl}.
  28
  29 notation "[ list0 x sep ; ]"
  30   non associative with precedence 90
  31   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  32
  33 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  34   right associative with precedence 47
  35   for @{'append $l1 $l2 }.
  36
  37 interpretation "nil" 'nil = (cic:/matita/list/list/list.ind#xpointer(1/1/1) _).
  38 interpretation "cons" 'cons hd tl =
  39   (cic:/matita/list/list/list.ind#xpointer(1/1/2) _ hd tl).
  40
  41 (* theorem test_notation: [O; S O; S (S O)] = O :: S O :: S (S O) :: []. *)
  42
  43 theorem nil_cons:
  44   \forall A:Type.\forall l:list A.\forall a:A.
  45     a::l <> [].
  46   intros;
  47   unfold Not;
  48   intros;
  49   destruct H.
  50 qed.
  51
  52 let rec id_list A (l: list A) on l :=
  53   match l with
  54   [ nil => []
  55   | (cons hd tl) => hd :: id_list A tl ].
  56
  57 let rec append A (l1: list A) l2 on l1 :=
  58   match l1 with
  59   [ nil => l2
  60   | (cons hd tl) => hd :: append A tl l2 ].
  61
  62 definition tail := \lambda A:Type. \lambda l: list A.
  63   match l with
  64   [ nil => []
  65   | (cons hd tl) => tl].
  66
  67 interpretation "append" 'append l1 l2 = (cic:/matita/list/list/append.con _ l1 l2).
  68
  69 theorem append_nil: \forall A:Type.\forall l:list A.l @ [] = l.
  70   intros;
  71   elim l;
  72   [ reflexivity;
  73   | simplify;
  74     rewrite > H;
  75     reflexivity;
  76   ]
  77 qed.
  78
  79 theorem associative_append: \forall A:Type.associative (list A) (append A).
  80   intros; unfold; intros;
  81   elim x;
  82   [ simplify;
  83     reflexivity;
  84   | simplify;
  85     rewrite > H;
  86     reflexivity;
  87   ]
  88 qed.
  89
  90 theorem cons_append_commute:
  91   \forall A:Type.\forall l1,l2:list A.\forall a:A.
  92     a :: (l1 @ l2) = (a :: l1) @ l2.
  93   intros;
  94   reflexivity;
  95 qed.
  96
  97 lemma append_cons:\forall A.\forall a:A.\forall l,l1.
  98 l@(a::l1)=(l@[a])@l1.
  99 intros.
 100 rewrite > associative_append.
 101 reflexivity.
 102 qed.
 103
 104 inductive permutation (A:Type) : list A -> list A -> Prop \def
 105   | refl : \forall l:list A. permutation ? l l
 106   | swap : \forall l:list A. \forall x,y:A.
 107               permutation ? (x :: y :: l) (y :: x :: l)
 108   | trans : \forall l1,l2,l3:list A.
 109               permutation ? l1 l2 -> permut1 ? l2 l3 -> permutation ? l1 l3
 110 with permut1 : list A -> list A -> Prop \def
 111   | step : \forall l1,l2:list A. \forall x,y:A.
 112       permut1 ? (l1 @ (x :: y :: l2)) (l1 @ (y :: x :: l2)).
 113
 114 include "nat/nat.ma".
 115
 116 definition x1 \def S O.
 117 definition x2 \def S x1.
 118 definition x3 \def S x2.
 119
 120 theorem tmp : permutation nat (x1 :: x2 :: x3 :: []) (x1 :: x3 :: x2 :: []).
 121   apply (trans ? (x1 :: x2 :: x3 :: []) (x1 :: x2 :: x3 :: []) ?).
 122   apply refl.
 123   apply (step ? (x1::[]) [] x2 x3).
 124   qed.
 125
 126
 127 (*
 128 theorem nil_append_nil_both:
 129   \forall A:Type.\forall l1,l2:list A.
 130     l1 @ l2 = [] \to l1 = [] \land l2 = [].
 131 *)
 132
 133 (*
 134 include "nat/nat.ma".
 135
 136 theorem test_notation: [O; S O; S (S O)] = O :: S O :: S (S O) :: [].
 137 reflexivity.
 138 qed.
 139
 140 theorem test_append: [O;O;O;O;O;O] = [O;O;O] @ [O;O] @ [O].
 141 simplify.
 142 reflexivity.
 143 qed.
 144 *)
 145
 146 let rec nth (A:Type) l d n on n ≝
 147  match n with
 148   [ O ⇒
 149      match l with
 150       [ nil ⇒ d
 151       | cons (x : A) _ ⇒ x
 152       ]
 153   | S n' ⇒ nth A (tail ? l) d n'
 154   ].
 155
 156 let rec map (A,B:Type) (f: A → B) (l : list A) on l : list B ≝
 157   match l with [ nil ⇒ nil ? | cons x tl ⇒ f x :: (map A B f tl)].
 158
 159 let rec foldr (A,B:Type) (f : A → B → B) (b : B) (l : list A) on l : B :=
 160   match l with [ nil ⇒ b | (cons a l) ⇒ f a (foldr ? ? f b l)].
 161
 162 definition length ≝ λT:Type.λl:list T.foldr T nat (λx,c.S c) O l.
 163
 164 definition filter \def
 165   \lambda T:Type.\lambda l:list T.\lambda p:T \to bool.
 166   foldr T (list T)
 167     (\lambda x,l0.match (p x) with [ true => x::l0 | false => l0]) [] l.
 168
 169 definition iota : nat → nat → list nat ≝
 170   λn,m. nat_rect (λ_.list ?) (nil ?) (λx,acc.cons ? (n+x) acc) m.
 171
 172 (* ### induction principle for functions visiting 2 lists in parallel *)
 173 lemma list_ind2 :
 174   ∀T1,T2:Type.∀l1:list T1.∀l2:list T2.∀P:list T1 → list T2 → Prop.
 175   length ? l1 = length ? l2 →
 176   (P (nil ?) (nil ?)) →
 177   (∀tl1,tl2,hd1,hd2. P tl1 tl2 → P (hd1::tl1) (hd2::tl2)) →
 178   P l1 l2.
 179 intros (T1 T2 l1 l2 P Hl Pnil Pcons);
 180 elim l1 in Hl l2 ⊢ % 1 (l2 x1); [ cases l2; intros (Hl); [assumption| simplify in Hl; destruct Hl]]
 181 intros 3 (tl1 IH l2); cases l2; [1: simplify; intros 1 (Hl); destruct Hl]
 182 intros 1 (Hl); apply Pcons; apply IH; simplify in Hl; destruct Hl; assumption;
 183 qed.
 184
 185 lemma eq_map : ∀A,B,f,g,l. (∀x.f x = g x) → map A B f l = map A B g l.
 186 intros (A B f g l Efg); elim l; simplify; [1: reflexivity ];
 187 rewrite > (Efg a); rewrite > H; reflexivity;
 188 qed.
 189
 190 lemma le_length_filter : \forall A,l,p.length A (filter A l p) \leq length A l.
 191 intros;elim l
 192   [simplify;apply le_n
 193   |simplify;apply (bool_elim ? (p a));intro
 194      [simplify;apply le_S_S;assumption
 195      |simplify;apply le_S;assumption]]
 196 qed.