helm/software/matita/library/logic/cprop_connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/connectives.ma".
  16
  17 inductive Or (A,B:CProp) : CProp ≝
  18  | Left : A → Or A B
  19  | Right : B → Or A B.
  20
  21 interpretation "constructive or" 'or x y = (Or x y).
  22
  23 inductive Or3 (A,B,C:CProp) : CProp ≝
  24  | Left3 : A → Or3 A B C
  25  | Middle3 : B → Or3 A B C
  26  | Right3 : C → Or3 A B C.
  27
  28 interpretation "constructive ternary or" 'or3 x y z= (Or3 x y z).
  29
  30 notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c)" with precedence 35 for @{'or3 $a $b $c}.
  31
  32 inductive Or4 (A,B,C,D:CProp) : CProp ≝
  33  | Left3 : A → Or4 A B C D
  34  | Middle3 : B → Or4 A B C D
  35  | Right3 : C → Or4 A B C D
  36  | Extra3: D → Or4 A B C D.
  37
  38 interpretation "constructive ternary or" 'or4 x y z t = (Or4 x y z t).
  39
  40 notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c break ∨ d)" with precedence 35 for @{'or4 $a $b $c $d}.
  41
  42 inductive And (A,B:CProp) : CProp ≝
  43  | Conj : A → B → And A B.
  44
  45 interpretation "constructive and" 'and x y = (And x y).
  46
  47 inductive And3 (A,B,C:CProp) : CProp ≝
  48  | Conj3 : A → B → C → And3 A B C.
  49
  50 notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c)" with precedence 35 for @{'and3 $a $b $c}.
  51
  52 interpretation "constructive ternary and" 'and3 x y z = (And3 x y z).
  53
  54 inductive And4 (A,B,C,D:CProp) : CProp ≝
  55  | Conj4 : A → B → C → D → And4 A B C D.
  56
  57 notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c break ∧ d)" with precedence 35 for @{'and4 $a $b $c $d}.
  58
  59 interpretation "constructive quaternary and" 'and4 x y z t = (And4 x y z t).
  60
  61 record Iff (A,B:CProp) : CProp ≝
  62  { if: A → B;
  63    fi: B → A
  64  }.
  65
  66 record Iff1 (A,B:CProp) : CProp ≝
  67  { if1: A → B;
  68    fi1: B → A
  69  }.
  70
  71 interpretation "logical iff" 'iff x y = (Iff x y).
  72
  73 notation "hvbox(a break ⇔ b)" right associative with precedence 25 for @{'iff1 $a $b}.
  74 interpretation "logical iff type1" 'iff1 x y = (Iff1 x y).
  75
  76 inductive exT (A:Type) (P:A→CProp) : CProp ≝
  77   ex_introT: ∀w:A. P w → exT A P.
  78
  79 notation "\ll term 19 a, break term 19 b \gg"
  80 with precedence 90 for @{'dependent_pair $a $b}.
  81 interpretation "dependent pair" 'dependent_pair a b =
  82   (ex_introT _ _ a b).
  83
  84 interpretation "CProp exists" 'exists \eta.x = (exT _ x).
  85
  86 notation "\ll term 19 a, break term 19 b \gg"
  87 with precedence 90 for @{'dependent_pair $a $b}.
  88 interpretation "dependent pair" 'dependent_pair a b =
  89   (ex_introT _ _ a b).
  90
  91
  92 definition pi1exT ≝ λA,P.λx:exT A P.match x with [ex_introT x _ ⇒ x].
  93 definition pi2exT ≝
  94   λA,P.λx:exT A P.match x return λx.P (pi1exT ?? x) with [ex_introT _ p ⇒ p].
  95
  96 interpretation "exT \fst" 'pi1 = (pi1exT _ _).
  97 interpretation "exT \fst" 'pi1a x = (pi1exT _ _ x).
  98 interpretation "exT \fst" 'pi1b x y = (pi1exT _ _ x y).
  99 interpretation "exT \snd" 'pi2 = (pi2exT _ _).
 100 interpretation "exT \snd" 'pi2a x = (pi2exT _ _ x).
 101 interpretation "exT \snd" 'pi2b x y = (pi2exT _ _ x y).
 102
 103 inductive exP (A:Type) (P:A→Prop) : CProp ≝
 104   ex_introP: ∀w:A. P w → exP A P.
 105
 106 interpretation "dependent pair for Prop" 'dependent_pair a b =
 107   (ex_introP _ _ a b).
 108
 109 interpretation "CProp exists for Prop" 'exists \eta.x = (exP _ x).
 110
 111 definition pi1exP ≝ λA,P.λx:exP A P.match x with [ex_introP x _ ⇒ x].
 112 definition pi2exP ≝
 113   λA,P.λx:exP A P.match x return λx.P (pi1exP ?? x) with [ex_introP _ p ⇒ p].
 114
 115 interpretation "exP \fst" 'pi1 = (pi1exP _ _).
 116 interpretation "exP \fst" 'pi1a x = (pi1exP _ _ x).
 117 interpretation "exP \fst" 'pi1b x y = (pi1exP _ _ x y).
 118 interpretation "exP \snd" 'pi2 = (pi2exP _ _).
 119 interpretation "exP \snd" 'pi2a x = (pi2exP _ _ x).
 120 interpretation "exP \snd" 'pi2b x y = (pi2exP _ _ x y).
 121
 122
 123 inductive exT23 (A:Type) (P:A→CProp) (Q:A→CProp) (R:A→A→CProp) : CProp ≝
 124   ex_introT23: ∀w,p:A. P w → Q p → R w p → exT23 A P Q R.
 125
 126 definition pi1exT23 ≝
 127   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 x _ _ _ _ ⇒ x].
 128 definition pi2exT23 ≝
 129   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 _ x _ _ _ ⇒ x].
 130
 131 interpretation "exT2 \fst" 'pi1 = (pi1exT23 _ _ _ _).
 132 interpretation "exT2 \snd" 'pi2 = (pi2exT23 _ _ _ _).
 133 interpretation "exT2 \fst" 'pi1a x = (pi1exT23 _ _ _ _ x).
 134 interpretation "exT2 \snd" 'pi2a x = (pi2exT23 _ _ _ _ x).
 135 interpretation "exT2 \fst" 'pi1b x y = (pi1exT23 _ _ _ _ x y).
 136 interpretation "exT2 \snd" 'pi2b x y = (pi2exT23 _ _ _ _ x y).
 137
 138 inductive exT2 (A:Type) (P,Q:A→CProp) : CProp ≝
 139   ex_introT2: ∀w:A. P w → Q w → exT2 A P Q.
 140
 141 definition Not : CProp → Prop ≝ λx:CProp.x → False.
 142
 143 interpretation "constructive not" 'not x = (Not x).
 144
 145 definition cotransitive ≝
 146  λC:Type.λlt:C→C→CProp.∀x,y,z:C. lt x y → lt x z ∨ lt z y.
 147
 148 definition coreflexive ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x:C. ¬ (lt x x).
 149
 150 definition symmetric ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 151
 152 definition antisymmetric ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.λeq:A→A→Prop.∀x:A.∀y:A.R x y→R y x→eq x y.
 153
 154 definition reflexive ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x:A.R x x.
 155
 156 definition transitive ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
 157