helm/software/matita/library/logic/cprop_connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 inductive Or (A,B:CProp) : CProp ≝
  16  | Left : A → Or A B
  17  | Right : B → Or A B.
  18
  19 interpretation "constructive or" 'or x y = (Or x y).
  20
  21 inductive Or3 (A,B,C:CProp) : CProp ≝
  22  | Left3 : A → Or3 A B C
  23  | Middle3 : B → Or3 A B C
  24  | Right3 : C → Or3 A B C.
  25
  26 interpretation "constructive ternary or" 'or3 x y z= (Or3 x y z).
  27
  28 notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c)" with precedence 35 for @{'or3 $a $b $c}.
  29
  30 inductive Or4 (A,B,C,D:CProp) : CProp ≝
  31  | Left3 : A → Or4 A B C D
  32  | Middle3 : B → Or4 A B C D
  33  | Right3 : C → Or4 A B C D
  34  | Extra3: D → Or4 A B C D.
  35
  36 interpretation "constructive ternary or" 'or4 x y z t = (Or4 x y z t).
  37
  38 notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c break ∨ d)" with precedence 35 for @{'or4 $a $b $c $d}.
  39
  40 inductive And (A,B:CProp) : CProp ≝
  41  | Conj : A → B → And A B.
  42
  43 interpretation "constructive and" 'and x y = (And x y).
  44
  45 inductive And3 (A,B,C:CProp) : CProp ≝
  46  | Conj3 : A → B → C → And3 A B C.
  47
  48 notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c)" with precedence 35 for @{'and3 $a $b $c}.
  49
  50 interpretation "constructive ternary and" 'and3 x y z = (And3 x y z).
  51
  52 inductive And4 (A,B,C,D:CProp) : CProp ≝
  53  | Conj4 : A → B → C → D → And4 A B C D.
  54
  55 notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c break ∧ d)" with precedence 35 for @{'and4 $a $b $c $d}.
  56
  57 interpretation "constructive quaternary and" 'and4 x y z t = (And4 x y z t).
  58
  59 inductive exT (A:Type) (P:A→CProp) : CProp ≝
  60   ex_introT: ∀w:A. P w → exT A P.
  61
  62 notation "\ll term 19 a, break term 19 b \gg"
  63 with precedence 90 for @{'dependent_pair $a $b}.
  64 interpretation "dependent pair" 'dependent_pair a b =
  65   (ex_introT _ _ a b).
  66
  67 interpretation "CProp exists" 'exists \eta.x = (exT _ x).
  68
  69 notation "\ll term 19 a, break term 19 b \gg"
  70 with precedence 90 for @{'dependent_pair $a $b}.
  71 interpretation "dependent pair" 'dependent_pair a b =
  72   (ex_introT _ _ a b).
  73
  74
  75 definition pi1exT ≝ λA,P.λx:exT A P.match x with [ex_introT x _ ⇒ x].
  76 definition pi2exT ≝
  77   λA,P.λx:exT A P.match x return λx.P (pi1exT ?? x) with [ex_introT _ p ⇒ p].
  78
  79 interpretation "exT \fst" 'pi1 = (pi1exT _ _).
  80 interpretation "exT \fst" 'pi1a x = (pi1exT _ _ x).
  81 interpretation "exT \fst" 'pi1b x y = (pi1exT _ _ x y).
  82 interpretation "exT \snd" 'pi2 = (pi2exT _ _).
  83 interpretation "exT \snd" 'pi2a x = (pi2exT _ _ x).
  84 interpretation "exT \snd" 'pi2b x y = (pi2exT _ _ x y).
  85
  86 inductive exT23 (A:Type) (P:A→CProp) (Q:A→CProp) (R:A→A→CProp) : CProp ≝
  87   ex_introT23: ∀w,p:A. P w → Q p → R w p → exT23 A P Q R.
  88
  89 definition pi1exT23 ≝
  90   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 x _ _ _ _ ⇒ x].
  91 definition pi2exT23 ≝
  92   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 _ x _ _ _ ⇒ x].
  93
  94 interpretation "exT2 \fst" 'pi1 = (pi1exT23 _ _ _ _).
  95 interpretation "exT2 \snd" 'pi2 = (pi2exT23 _ _ _ _).
  96 interpretation "exT2 \fst" 'pi1a x = (pi1exT23 _ _ _ _ x).
  97 interpretation "exT2 \snd" 'pi2a x = (pi2exT23 _ _ _ _ x).
  98 interpretation "exT2 \fst" 'pi1b x y = (pi1exT23 _ _ _ _ x y).
  99 interpretation "exT2 \snd" 'pi2b x y = (pi2exT23 _ _ _ _ x y).
 100
 101 inductive exT2 (A:Type) (P,Q:A→CProp) : CProp ≝
 102   ex_introT2: ∀w:A. P w → Q w → exT2 A P Q.
 103
 104 alias id "False" = "cic:/Coq/Init/Logic/False.ind#xpointer(1/1)".
 105 definition Not : CProp → Prop ≝ λx:CProp.x → False.
 106
 107 interpretation "constructive not" 'not x = (Not x).
 108
 109 definition cotransitive ≝
 110  λC:Type.λlt:C→C→CProp.∀x,y,z:C. lt x y → lt x z ∨ lt z y.
 111
 112 definition coreflexive ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x:C. ¬ (lt x x).
 113
 114 definition symmetric ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 115
 116 definition antisymmetric ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.λeq:A→A→Prop.∀x:A.∀y:A.R x y→R y x→eq x y.
 117
 118 definition reflexive ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x:A.R x x.
 119
 120 definition transitive ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
 121