helm/software/matita/library/nat/bertrand.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat/sqrt.ma".
  16 include "nat/chebyshev_teta.ma".
  17 include "nat/chebyshev.ma".
  18 include "list/list.ma".
  19 include "nat/o.ma".
  20
  21 let rec list_divides l n \def
  22   match l with
  23   [ nil ⇒ false
  24   | cons (m:nat) (tl:list nat) ⇒ orb (divides_b m n) (list_divides tl n) ].
  25
  26 definition lprim : nat \to list nat \def
  27   \lambda n.let rec aux m acc \def
  28      match m with
  29      [ O => acc
  30      | S m1 => match (list_divides acc (n-m1)) with
  31        [ true => aux m1 acc
  32        | false => aux m1 (n-m1::acc)]]
  33   in aux (pred n) [].
  34
  35 let rec filter A l p on l \def
  36     match l with
  37     [ nil => nil A
  38     | cons (a:A) (tl:list A) => match (p a) with
  39       [ true => a::(filter A tl p)
  40       | false => filter A tl p ]].
  41
  42 let rec length A (l:list A) on l \def
  43   match l with
  44   [ nil => O
  45   | cons (a:A) (tl:list A) => S (length A tl) ].
  46
  47 let rec list_n_aux n k \def
  48     match n with
  49     [ O => nil nat
  50     | S n1 => k::list_n_aux n1 (S k) ].
  51
  52 definition list_n : nat \to list nat \def
  53   \lambda n.list_n_aux (pred n) 2.
  54
  55 let rec sieve_aux l1 l2 t on t \def
  56   match t with
  57   [ O => l1
  58   | S t1 => match l2 with
  59     [ nil => l1
  60     | cons n tl => sieve_aux (n::l1) (filter nat tl (\lambda x.notb (divides_b n x))) t1]].
  61
  62 definition sieve : nat \to list nat \def
  63   \lambda m.sieve_aux [] (list_n m) m.
  64
  65 definition ord_list \def
  66    \lambda l.
  67    \forall a,b,l1,l2.l = l1@(a::b::l2) \to b \leq a.
  68
  69 definition in_list \def
  70    \lambda A.\lambda a:A.\lambda l:list A.
  71    \exists l1,l2.l = l1@(a::l2).
  72
  73 lemma in_list_filter_to_p_true : \forall l,x,p.
  74 in_list nat x (filter nat l p) \to p x = true.
  75 intros;elim H;elim H1;clear H H1;generalize in match H2;generalize in match a;elim l 0
  76   [simplify;intro;elim l1
  77      [simplify in H;destruct H
  78      |simplify in H1;destruct H1]
  79   |intros;simplify in H1;apply (bool_elim ? (p t));intro;
  80    rewrite > H3 in H1;simplify in H1
  81      [generalize in match H1;elim l2
  82         [simplify in H4;destruct H4;assumption
  83         |simplify in H5;destruct H5;apply (H l3);assumption]
  84      |apply (H l2);assumption]]
  85 qed.
  86
  87 lemma in_list_cons : \forall l,x,y.in_list nat x l \to in_list nat x (y::l).
  88 intros;unfold in H;unfold;elim H;elim H1;apply (ex_intro ? ? (y::a));
  89 apply (ex_intro ? ? a1);simplify;rewrite < H2;reflexivity.
  90 qed.
  91
  92 lemma in_list_tail : \forall l,x,y.in_list nat x (y::l) \to x \neq y \to in_list nat x l.
  93 intros;elim H;elim H2;generalize in match H3;elim a
  94   [simplify in H4;destruct H4;elim H1;reflexivity
  95   |simplify in H5;destruct H5;apply (ex_intro ? ? l1);apply (ex_intro ? ? a1);
  96    reflexivity]
  97 qed.
  98
  99 lemma in_list_filter : \forall l,p,x.in_list nat x (filter nat l p) \to in_list nat x l.
 100 intros;elim H;elim H1;generalize in match H2;generalize in match a;elim l 0
 101   [simplify;intro;elim l1
 102      [simplify in H3;destruct H3
 103      |simplify in H4;destruct H4]
 104   |intros;simplify in H4;apply (bool_elim ? (p t));intro
 105      [rewrite > H5 in H4;simplify in H4;generalize in match H4;elim l2
 106         [simplify in H6;destruct H6;apply (ex_intro ? ? []);apply (ex_intro ? ? l1);
 107          simplify;reflexivity
 108         |simplify in H7;destruct H7;apply in_list_cons;apply (H3 ? Hcut1);]
 109      |rewrite > H5 in H4;simplify in H4;apply in_list_cons;apply (H3 ? H4);]]
 110 qed.
 111
 112 lemma in_list_filter_r : \forall l,p,x.in_list nat x l \to p x = true \to in_list nat x (filter nat l p).
 113 intros;elim H;elim H2;rewrite > H3;elim a
 114   [simplify;rewrite > H1;simplify;apply (ex_intro ? ? []);apply (ex_intro ? ? (filter nat a1 p));
 115    reflexivity
 116   |simplify;elim (p t);simplify
 117      [apply in_list_cons;assumption
 118      |assumption]]
 119 qed.
 120
 121 lemma in_list_head : \forall x,l.in_list nat x (x::l).
 122 intros;apply (ex_intro ? ? []);apply (ex_intro ? ? l);reflexivity;
 123 qed.
 124
 125 lemma in_list_cons_case : \forall A,x,a,l.in_list A x (a::l) \to
 126                           x = a \lor in_list A x l.
 127 intros;elim H;elim H1;clear H H1;generalize in match H2;elim a1
 128   [simplify in H;destruct H;left;reflexivity
 129   |simplify in H1;destruct H1;right;
 130    apply (ex_intro ? ? l1);
 131    apply (ex_intro ? ? a2);
 132    reflexivity]
 133 qed.
 134
 135 lemma divides_to_prime_divides : \forall n,m.1 < m \to m < n \to m \divides n \to
 136  \exists p.p \leq m \land prime p \land p \divides n.
 137 intros;apply (ex_intro ? ? (nth_prime (max_prime_factor m)));split
 138   [split
 139      [apply divides_to_le
 140         [apply lt_to_le;assumption
 141         |apply divides_max_prime_factor_n;assumption]
 142      |apply prime_nth_prime;]
 143   |apply (transitive_divides ? ? ? ? H2);apply divides_max_prime_factor_n;
 144    assumption]
 145 qed.
 146
 147
 148 lemma le_length_filter : \forall A,l,p.length A (filter A l p) \leq length A l.
 149 intros;elim l
 150   [simplify;apply le_n
 151   |simplify;apply (bool_elim ? (p t));intro
 152      [simplify;apply le_S_S;assumption
 153      |simplify;apply le_S;assumption]]
 154 qed.
 155
 156 inductive sorted (P:nat \to nat \to Prop): list nat \to Prop \def
 157 | sort_nil : sorted P []
 158 | sort_cons : \forall x,l.sorted P l \to (\forall y.in_list ? y l \to P x y)
 159               \to sorted P (x::l).
 160
 161 definition sorted_lt : list nat \to Prop \def \lambda l.sorted lt l.
 162
 163 definition sorted_gt : list nat \to Prop \def \lambda l.sorted gt l.
 164
 165 lemma sorted_cons_to_sorted : \forall P,x,l.sorted P (x::l) \to sorted P l.
 166 intros;inversion H;intros
 167   [destruct H1
 168   |destruct H4;assumption]
 169 qed.
 170
 171 lemma sorted_to_minimum : \forall P,x,l.sorted P (x::l) \to
 172                           \forall y.in_list ? y l \to P x y.
 173 intros;inversion H;intros;
 174   [destruct H2
 175   |destruct H5;apply H4;assumption]
 176 qed.
 177
 178 lemma not_in_list_nil : \forall A,a.\lnot in_list A a [].
 179 intros;intro;elim H;elim H1;generalize in match H2;elim a1
 180   [simplify in H3;destruct H3
 181   |simplify in H4;destruct H4]
 182 qed.
 183
 184 lemma sieve_prime : \forall t,k,l2,l1.
 185   (\forall p.(in_list ? p l1 \to prime p \land p \leq k \land \forall x.in_list ? x l2 \to p < x) \land
 186              (prime p \to p \leq k \to (\forall x.in_list ? x l2 \to p < x) \to in_list ? p l1)) \to
 187   (\forall x.(in_list ? x l2 \to 2 \leq x \land x \leq k \land \forall p.in_list ? p l1 \to \lnot p \divides x) \land
 188              (2 \leq x \to x \leq k \to (\forall p.in_list ? p l1 \to \lnot p \divides x) \to
 189               in_list ? x l2)) \to
 190   length ? l2 \leq t \to
 191   sorted_gt l1 \to
 192   sorted_lt l2 \to
 193   sorted_gt (sieve_aux l1 l2 t) \land
 194   \forall p.(in_list ? p (sieve_aux l1 l2 t) \to prime p \land p \leq k) \land
 195             (prime p \to p \leq k \to in_list ? p (sieve_aux l1 l2 t)).
 196 intro.elim t 0
 197   [intros;cut (l2 = [])
 198      [|generalize in match H2;elim l2
 199         [reflexivity
 200         |simplify in H6;elim (not_le_Sn_O ? H6)]]
 201    simplify;split
 202      [assumption
 203      |intro;elim (H p);split;intros
 204         [elim (H5 H7);assumption
 205         |apply (H6 H7 H8);rewrite > Hcut;intros;elim (not_in_list_nil ? ? H9)]]
 206   |intros 4;elim l2
 207      [simplify;split;
 208         [assumption
 209         |intro;elim (H1 p);split;intros
 210            [elim (H6 H8);assumption
 211            |apply (H7 H8 H9);intros;elim (not_in_list_nil ? ? H10)]]
 212      |simplify;elim (H k (filter ? l (\lambda x.notb (divides_b t1 x))) (t1::l1))
 213         [split;
 214            [assumption
 215            |intro;apply H8;]
 216         |split;intros
 217            [elim (in_list_cons_case ? ? ? ? H7);
 218               [rewrite > H8;split
 219                  [split
 220                     [unfold;intros;split
 221                        [elim (H3 t1);elim H9
 222                           [elim H11;assumption
 223                           |apply in_list_head]
 224                        |intros;elim (le_to_or_lt_eq ? ? (divides_to_le ? ? ? H9))
 225                           [elim (divides_to_prime_divides ? ? H10 H11 H9);elim H12;
 226                            elim H13;clear H13 H12;elim (H3 t1);elim H12
 227                              [clear H13 H12;elim (H18 ? ? H14);elim (H2 a);
 228                               apply H13
 229                                 [assumption
 230                                 |elim H17;apply (trans_le ? ? ? ? H20);
 231                                  apply (trans_le ? ? ? H15);
 232                                  apply lt_to_le;assumption
 233                                 |intros;apply (trans_le ? (S m))
 234                                    [apply le_S_S;assumption
 235                                    |apply (trans_le ? ? ? H11);
 236                                     elim (in_list_cons_case ? ? ? ? H19)
 237                                       [rewrite > H20;apply le_n
 238                                       |apply lt_to_le;apply (sorted_to_minimum ? ? ? H6);assumption]]]
 239                              |unfold;apply (ex_intro ? ? []);
 240                               apply (ex_intro ? ? l);
 241                               reflexivity]
 242                           |elim (H3 t1);elim H11
 243                              [elim H13;apply lt_to_le;assumption
 244                              |apply in_list_head]
 245                           |assumption]]
 246                     |elim (H3 t1);elim H9
 247                        [elim H11;assumption
 248                        |apply (ex_intro ? ? []);apply (ex_intro ? ? l);reflexivity]]
 249                  |intros;elim (le_to_or_lt_eq t1 x)
 250                     [assumption
 251                     |rewrite > H10 in H9;lapply (in_list_filter_to_p_true ? ? ? H9);
 252                      lapply (divides_n_n x);
 253                      rewrite > (divides_to_divides_b_true ? ? ? Hletin1) in Hletin
 254                        [simplify in Hletin;destruct Hletin
 255                        |rewrite < H10;elim (H3 t1);elim H11
 256                           [elim H13;apply lt_to_le;assumption
 257                           |apply in_list_head]]
 258                     |apply lt_to_le;apply (sorted_to_minimum ? ? ? H6);apply (in_list_filter ? ? ? H9)]]
 259                  |elim (H2 p);elim (H9 H8);split
 260                     [assumption
 261                     |intros;apply H12;apply in_list_cons;apply (in_list_filter ? ? ? H13)]]
 262            |elim (decidable_eq_nat p t1)
 263               [rewrite > H10;apply (ex_intro ? ? []);apply (ex_intro ? ? l1);
 264                reflexivity
 265               |apply in_list_cons;elim (H2 p);apply (H12 H7 H8);intros;
 266                apply (trans_le ? t1)
 267                  [elim (decidable_lt p t1)
 268                     [assumption
 269                     |lapply (not_lt_to_le ? ? H14);
 270                      lapply (decidable_divides t1 p)
 271                        [elim Hletin1
 272                           [elim H7;lapply (H17 ? H15)
 273                              [elim H10;symmetry;assumption
 274                              |elim (H3 t1);elim H18
 275                                 [elim H20;assumption
 276                                 |apply in_list_head]]
 277                           |elim (Not_lt_n_n p);apply H9;apply in_list_filter_r
 278                              [elim (H3 p);apply (in_list_tail ? ? t1)
 279                                 [apply H17
 280                                    [apply prime_to_lt_SO;assumption
 281                                    |assumption
 282                                    |intros;elim H7;intro;lapply (H20 ? H21)
 283                                       [rewrite > Hletin2 in H18;elim (H11 H18);
 284                                        lapply (H23 t1)
 285                                          [elim (lt_to_not_le ? ? Hletin3 Hletin)
 286                                          |apply (ex_intro ? ? []);apply (ex_intro ? ? l);
 287                                           reflexivity]
 288                                       |apply prime_to_lt_SO;elim (H2 p1);elim (H22 H18);
 289                                        elim H24;assumption]]
 290                                 |unfold;intro;apply H15;rewrite > H18;apply divides_n_n]
 291                              |rewrite > (not_divides_to_divides_b_false ? ? ? H15);
 292                                 [reflexivity
 293                                 |elim (H3 t1);elim H16
 294                                    [elim H18;apply lt_to_le;assumption
 295                                    |apply in_list_head]]]]
 296                        |elim (H3 t1);elim H15
 297                           [elim H17;apply lt_to_le;assumption
 298                           |apply in_list_head]]]
 299                  |elim (in_list_cons_case ? ? ? ? H13)
 300                     [rewrite > H14;apply le_n
 301                     |apply lt_to_le;apply (sorted_to_minimum ? ? ? H6);assumption]]]]
 302          |elim (H3 x);split;intros;
 303             [split
 304                [elim H7
 305                   [assumption
 306                   |apply in_list_cons;apply (in_list_filter ? ? ? H9)]
 307                |intros;elim (in_list_cons_case ? ? ? ? H10)
 308                   [rewrite > H11;intro;lapply (in_list_filter_to_p_true ? ? ? H9);
 309                    rewrite > (divides_to_divides_b_true ? ? ? H12) in Hletin
 310                      [simplify in Hletin;destruct Hletin
 311                      |elim (H3 t1);elim H13
 312                         [elim H15;apply lt_to_le;assumption
 313                         |apply in_list_head]]
 314                   |elim H7
 315                      [apply H13;assumption
 316                      |apply in_list_cons;apply (in_list_filter ? ? ? H9)]]]
 317             |elim (in_list_cons_case ? ? ? ? (H8 ? ? ?))
 318                [elim (H11 x)
 319                   [rewrite > H12;apply in_list_head
 320                   |apply divides_n_n]
 321                |assumption
 322                |assumption
 323                |intros;apply H11;apply in_list_cons;assumption
 324                |apply in_list_filter_r;
 325                   [assumption
 326                   |lapply (H11 t1)
 327                      [rewrite > (not_divides_to_divides_b_false ? ? ? Hletin);
 328                         [reflexivity
 329                         |elim (H3 t1);elim H13
 330                            [elim H15;apply lt_to_le;assumption
 331                            |apply in_list_head]]
 332                      |apply in_list_head]]]]
 333          |apply (trans_le ? ? ? (le_length_filter ? ? ?));apply le_S_S_to_le;
 334           apply H4
 335          |apply sort_cons
 336             [assumption
 337             |intros;unfold;elim (H2 y);elim (H8 H7);
 338              apply H11;apply in_list_head]
 339          |generalize in match (sorted_cons_to_sorted ? ? ? H6);elim l
 340             [simplify;assumption
 341             |simplify;elim (notb (divides_b t1 t2));simplify
 342                [lapply (sorted_cons_to_sorted ? ? ? H8);lapply (H7 Hletin);
 343                 apply (sort_cons ? ? ? Hletin1);intros;
 344                 apply (sorted_to_minimum ? ? ? H8);apply (in_list_filter ? ? ? H9);
 345                |apply H7;apply (sorted_cons_to_sorted ? ? ? H8)]]]]]
 346 qed.
 347
 348 lemma in_list_singleton_to_eq : \forall A,x,y.in_list A x [y] \to x = y.
 349 intros;elim H;elim H1;generalize in match H2;elim a
 350   [simplify in H3;destruct H3;reflexivity
 351   |simplify in H4;destruct H4;generalize in match Hcut1;elim l
 352      [simplify in H4;destruct H4
 353      |simplify in H5;destruct H5]]
 354 qed.
 355
 356 lemma le_list_n_aux_k_k : \forall n,m,k.in_list ? n (list_n_aux m k) \to
 357                           k \leq n.
 358 intros 2;elim m
 359   [simplify in H;elim (not_in_list_nil ? ? H)
 360   |simplify in H1;elim H1;elim H2;generalize in match H3;elim a
 361      [simplify in H4;destruct H4;apply le_n
 362      |simplify in H5;destruct H5;apply lt_to_le;apply (H (S k));
 363       apply (ex_intro ? ? l);apply (ex_intro ? ? a1);assumption]]
 364 qed.
 365
 366 lemma in_list_SSO_list_n : \forall n.2 \leq n \to in_list ? 2 (list_n n).
 367 intros;elim H
 368   [simplify;apply (ex_intro ? ? []);apply (ex_intro ? ? []);
 369    simplify;reflexivity
 370   |generalize in match H2;elim H1
 371      [simplify;apply (ex_intro ? ? []);apply (ex_intro ? ? [3]);simplify;reflexivity
 372      |simplify;apply (ex_intro ? ? []);apply (ex_intro ? ? (list_n_aux n2 3));
 373       simplify;reflexivity]]
 374 qed.
 375
 376 lemma le_SSO_list_n : \forall m,n.in_list nat n (list_n m) \to 2 \leq n.
 377 intros;unfold list_n in H;apply (le_list_n_aux_k_k ? ? ? H);
 378 qed.
 379
 380 lemma le_list_n_aux : \forall n,m,k.in_list ? n (list_n_aux m k) \to n \leq k+m-1.
 381 intros 2;elim m
 382   [simplify in H;elim (not_in_list_nil ? ? H)
 383   |simplify in H1;elim H1;elim H2;generalize in match H3;elim a
 384      [simplify in H4;destruct H4;rewrite < plus_n_Sm;simplify;rewrite < minus_n_O;
 385       rewrite > plus_n_O in \vdash (? % ?);apply le_plus_r;apply le_O_n
 386      |simplify in H5;destruct H5;rewrite < plus_n_Sm;apply (H (S k));
 387       apply (ex_intro ? ? l);apply (ex_intro ? ? a1);assumption]]
 388 qed.
 389
 390 lemma le_list_n : \forall n,m.in_list ? n (list_n m) \to n \leq m.
 391 intros;unfold list_n in H;lapply (le_list_n_aux ? ? ? H);
 392 simplify in Hletin;generalize in match H;generalize in match Hletin;elim m
 393    [simplify in H2;elim (not_in_list_nil ? ? H2)
 394    |simplify in H2;assumption]
 395 qed.
 396
 397
 398 lemma le_list_n_aux_r : \forall n,m.O < m \to \forall k.k \leq n \to n \leq k+m-1 \to in_list ? n (list_n_aux m k).
 399 intros 3;elim H 0
 400   [intros;simplify;rewrite < plus_n_Sm in H2;simplify in H2;
 401    rewrite < plus_n_O in H2;rewrite < minus_n_O in H2;
 402    rewrite > (antisymmetric_le k n H1 H2);apply in_list_head
 403   |intros 5;simplify;generalize in match H2;elim H3
 404      [apply in_list_head
 405      |apply in_list_cons;apply H6
 406         [apply le_S_S;assumption
 407         |rewrite < plus_n_Sm in H7;apply H7]]]
 408 qed.
 409
 410 lemma le_list_n_r : \forall n,m.S O < m \to 2 \leq n \to n \leq m \to in_list ? n (list_n m).
 411 intros;unfold list_n;apply le_list_n_aux_r
 412   [elim H;simplify
 413      [apply lt_O_S
 414      |generalize in match H4;elim H3;
 415         [apply lt_O_S
 416         |simplify in H7;apply le_S;assumption]]
 417   |assumption
 418   |simplify;generalize in match H2;elim H;simplify;assumption]
 419 qed.
 420
 421 lemma le_length_list_n : \forall n. length ? (list_n n) \leq n.
 422 intro;cut (\forall n,k.length ? (list_n_aux n k) \leq (S n))
 423   [elim n;simplify
 424      [apply le_n
 425      |apply Hcut]
 426   |intro;elim n1;simplify
 427      [apply le_O_n
 428      |apply le_S_S;apply H]]
 429 qed.
 430
 431 lemma sorted_list_n_aux : \forall n,k.sorted_lt (list_n_aux n k).
 432 intro.elim n 0
 433   [simplify;intro;apply sort_nil
 434   |intro;simplify;intros 2;apply sort_cons
 435      [apply H
 436      |intros;lapply (le_list_n_aux_k_k ? ? ? H1);assumption]]
 437 qed.
 438
 439 definition list_of_primes \def \lambda n.\lambda l.
 440 \forall p.in_list nat p l  \to prime p \land p \leq n.
 441
 442 lemma sieve_sound1 : \forall n.2 \leq n \to
 443 sorted_gt (sieve n) \land list_of_primes n (sieve n).
 444 intros;elim (sieve_prime n n (list_n n) [])
 445   [split
 446      [assumption
 447      |intro;unfold sieve in H3;elim (H2 p);elim (H3 H5);split;assumption]
 448   |split;intros
 449      [elim (not_in_list_nil ? ? H1)
 450      |lapply (lt_to_not_le ? ? (H3 2 ?))
 451         [apply in_list_SSO_list_n;assumption
 452         |elim Hletin;apply prime_to_lt_SO;assumption]]
 453   |split;intros
 454      [split
 455         [split
 456            [apply (le_SSO_list_n ? ? H1)
 457            |apply (le_list_n ? ? H1)]
 458         |intros;elim (not_in_list_nil ? ? H2)]
 459      |apply le_list_n_r;assumption]
 460   |apply le_length_list_n
 461   |apply sort_nil
 462   |elim n;simplify
 463      [apply sort_nil
 464      |elim n1;simplify
 465         [apply sort_nil
 466         |simplify;apply sort_cons
 467            [apply sorted_list_n_aux
 468            |intros;lapply (le_list_n_aux_k_k ? ? ? H3);
 469             assumption]]]]
 470 qed.
 471
 472 lemma sieve_sorted : \forall n.sorted_gt (sieve n).
 473 intros;elim (decidable_le 2 n)
 474   [elim (sieve_sound1 ? H);assumption
 475   |generalize in match (le_S_S_to_le ? ? (not_le_to_lt ? ? H));cases n
 476      [intro;apply sort_nil
 477      |intros;lapply (le_S_S_to_le ? ? H1);rewrite < (le_n_O_to_eq ? Hletin);
 478       apply sort_nil]]
 479 qed.
 480
 481 lemma in_list_sieve_to_prime : \forall n,p.2 \leq n \to in_list ? p (sieve n) \to
 482                                prime p.
 483 intros;elim (sieve_sound1 ? H);elim (H3 ? H1);assumption;
 484 qed.
 485
 486 lemma in_list_sieve_to_leq : \forall n,p.2 \leq n \to in_list ? p (sieve n) \to
 487                              p \leq n.
 488 intros;elim (sieve_sound1 ? H);elim (H3 ? H1);assumption;
 489 qed.
 490
 491 lemma sieve_sound2 : \forall n,p.p \leq n \to prime p \to in_list ? p (sieve n).
 492 intros;elim (sieve_prime n n (list_n n) [])
 493   [elim (H3 p);apply H5;assumption
 494   |split
 495      [intro;elim (not_in_list_nil ? ? H2)
 496      |intros;lapply (lt_to_not_le ? ? (H4 2 ?))
 497         [apply in_list_SSO_list_n;apply (trans_le ? ? ? ? H);
 498          apply prime_to_lt_SO;assumption
 499         |elim Hletin;apply prime_to_lt_SO;assumption]]
 500   |split;intros
 501      [split;intros
 502         [split
 503            [apply (le_SSO_list_n ? ? H2)
 504            |apply (le_list_n ? ? H2)]
 505         |elim (not_in_list_nil ? ? H3)]
 506      |apply le_list_n_r
 507         [apply (trans_le ? ? ? H2 H3)
 508         |assumption
 509         |assumption]]
 510   |apply le_length_list_n
 511   |apply sort_nil
 512   |elim n;simplify
 513      [apply sort_nil
 514      |elim n1;simplify
 515         [apply sort_nil
 516         |simplify;apply sort_cons
 517            [apply sorted_list_n_aux
 518            |intros;lapply (le_list_n_aux_k_k ? ? ? H4);
 519             assumption]]]]
 520 qed.
 521
 522 let rec checker l \def
 523     match l with
 524       [ nil => true
 525       | cons h1 t1 => match t1 with
 526          [ nil => true
 527          | cons h2 t2 => (andb (checker t1) (leb h1 (2*h2))) ]].
 528
 529 lemma checker_cons : \forall t,l.checker (t::l) = true \to checker l = true.
 530 intros 2;simplify;intro;generalize in match H;elim l
 531   [reflexivity
 532   |change in H2 with (andb (checker (t1::l1)) (leb t (t1+(t1+O))) = true);
 533    apply (andb_true_true ? ? H2)]
 534 qed.
 535
 536 theorem checker_sound : \forall l1,l2,l,x,y.l = l1@(x::y::l2) \to
 537                         checker l = true \to x \leq 2*y.
 538 intro;elim l1 0
 539   [simplify;intros 5;rewrite > H;simplify;intro;
 540    apply leb_true_to_le;apply (andb_true_true_r ? ? H1);
 541   |simplify;intros;rewrite > H1 in H2;lapply (checker_cons ? ? H2);
 542    apply (H l2 ? ? ? ? Hletin);reflexivity]
 543 qed.
 544
 545 definition bertrand \def \lambda n.
 546 \exists p.n < p \land p \le 2*n \land (prime p).
 547
 548 definition not_bertrand \def \lambda n.
 549 \forall p.n < p \to p \le 2*n \to \not (prime p).
 550
 551 (*
 552 lemma list_of_primes_SO: \forall l.list_of_primes 1 l \to
 553 l = [].
 554 intro.cases l;intros
 555   [reflexivity
 556   |apply False_ind.unfold in H.
 557    absurd ((prime n) \land n \le 1)
 558     [apply H.
 559      apply in_list_head
 560     |intro.elim H1.
 561      elim H2.
 562      apply (lt_to_not_le ? ? H4 H3)
 563     ]
 564   ]
 565 qed.
 566 *)
 567
 568 lemma min_prim : \forall n.\exists p. n < p \land prime p \land
 569                  \forall q.prime q \to q < p \to q \leq n.
 570 intro;elim (le_to_or_lt_eq ? ? (le_O_n n))
 571    [apply (ex_intro ? ? (min_aux (S (n!)) (S n) primeb));
 572     split
 573       [split
 574          [apply le_min_aux;
 575          |apply primeb_true_to_prime;apply f_min_aux_true;elim (ex_prime n);
 576             [apply (ex_intro ? ? a);elim H1;elim H2;split
 577                [split
 578                   [assumption
 579                   |rewrite > plus_n_O;apply le_plus
 580                      [assumption
 581                      |apply le_O_n]]
 582                |apply prime_to_primeb_true;assumption]
 583             |assumption]]
 584       |intros;apply not_lt_to_le;intro;lapply (lt_min_aux_to_false ? ? ? ? H3 H2);
 585        rewrite > (prime_to_primeb_true ? H1) in Hletin;destruct Hletin]
 586    |apply (ex_intro ? ? 2);split
 587       [split
 588          [rewrite < H;apply lt_O_S
 589          |apply primeb_true_to_prime;reflexivity]
 590       |intros;elim (lt_to_not_le ? ? H2);apply prime_to_lt_SO;assumption]]
 591 qed.
 592
 593 theorem list_of_primes_to_bertrand: \forall n,pn,l.0 < n \to prime pn \to n <pn \to
 594 list_of_primes pn l  \to
 595 (\forall p. prime p \to p \le pn \to in_list nat p l) \to
 596 (\forall p. in_list nat p l \to 2 < p \to
 597 \exists pp. in_list nat pp l \land pp < p \land p \le 2*pp) \to bertrand n.
 598 intros.
 599 elim (min_prim n).
 600 apply (ex_intro ? ? a).
 601 elim H6.clear H6.elim H7.clear H7.
 602 split
 603   [split
 604     [assumption
 605     |elim (le_to_or_lt_eq ? ? (prime_to_lt_SO ? H9))
 606       [elim (H5 a)
 607         [elim H10.clear H10.elim H11.clear H11.
 608          apply (trans_le ? ? ? H12).
 609          apply le_times_r.
 610          apply H8
 611           [unfold in H3.
 612            elim (H3 a1 H10).
 613            assumption
 614           |assumption
 615           ]
 616         |apply H4
 617           [assumption
 618           |apply not_lt_to_le.intro.
 619            apply (lt_to_not_le ? ? H2).
 620            apply H8;assumption
 621           ]
 622         |assumption
 623         ]
 624       |rewrite < H7.
 625        apply O_lt_const_to_le_times_const.
 626        assumption
 627       ]
 628     ]
 629   |assumption
 630   ]
 631 qed.
 632
 633 let rec check_list l \def
 634   match l with
 635   [ nil \Rightarrow true
 636   | cons (hd:nat) tl \Rightarrow
 637     match tl with
 638      [ nil \Rightarrow eqb hd 2
 639      | cons hd1 tl1 \Rightarrow
 640       (leb (S hd1) hd \land leb hd (2*hd1) \land check_list tl)
 641     ]
 642   ]
 643 .
 644
 645 lemma check_list1: \forall n,m,l.(check_list (n::m::l)) = true \to
 646 m < n \land n \le 2*m \land (check_list (m::l)) = true \land ((check_list l) = true).
 647 intros 3.
 648 change in ⊢ (? ? % ?→?) with (leb (S m) n \land leb n (2*m) \land check_list (m::l)).
 649 intro.
 650 lapply (andb_true_true ? ? H) as H1.
 651 lapply (andb_true_true_r ? ? H) as H2.clear H.
 652 lapply (andb_true_true ? ? H1) as H3.
 653 lapply (andb_true_true_r ? ? H1) as H4.clear H1.
 654 split
 655   [split
 656     [split
 657       [apply leb_true_to_le.assumption
 658       |apply leb_true_to_le.assumption
 659       ]
 660     |assumption
 661     ]
 662   |generalize in match H2.
 663    cases l
 664     [intro.reflexivity
 665     |change in ⊢ (? ? % ?→?) with (leb (S n1) m \land leb m (2*n1) \land check_list (n1::l1)).
 666      intro.
 667      lapply (andb_true_true_r ? ? H) as H2.
 668      assumption
 669     ]
 670   ]
 671 qed.
 672
 673 theorem check_list2: \forall l. check_list l = true \to
 674 \forall p. in_list nat p l \to 2 < p \to
 675 \exists pp. in_list nat pp l \land pp < p \land p \le 2*pp.
 676 intro.elim l 2
 677   [intros.apply False_ind.apply (not_in_list_nil ? ? H1)
 678   |cases l1;intros
 679     [lapply (in_list_singleton_to_eq ? ? ? H2) as H4.
 680      apply False_ind.
 681      apply (lt_to_not_eq ? ? H3).
 682      apply sym_eq.apply eqb_true_to_eq.
 683      rewrite > H4.apply H1
 684     |elim (check_list1 ? ? ? H1).clear H1.
 685      elim H4.clear H4.
 686      elim H1.clear H1.
 687      elim (in_list_cons_case ? ? ? ? H2)
 688       [apply (ex_intro ? ? n).
 689        split
 690         [split
 691           [apply in_list_cons.apply in_list_head
 692           |rewrite > H1.assumption
 693           ]
 694         |rewrite > H1.assumption
 695         ]
 696       |elim (H H6 p H1 H3).clear H.
 697        apply (ex_intro ? ? a).
 698        elim H8.clear H8.
 699        elim H.clear H.
 700        split
 701         [split
 702           [apply in_list_cons.assumption
 703           |assumption
 704           ]
 705         |assumption
 706         ]
 707       ]
 708     ]
 709   ]
 710 qed.
 711
 712 (* qualcosa che non va con gli S *)
 713 lemma le_to_bertrand : \forall n.O < n \to n \leq exp 2 8 \to bertrand n.
 714 intros.
 715 apply (list_of_primes_to_bertrand ? (S(exp 2 8)) (sieve (S(exp 2 8))))
 716   [assumption
 717   |apply primeb_true_to_prime.reflexivity
 718   |apply (le_to_lt_to_lt ? ? ? H1).
 719    apply le_n
 720   |lapply (sieve_sound1 (S(exp 2 8))) as H
 721     [elim H.assumption
 722     |apply leb_true_to_le.reflexivity
 723     ]
 724   |intros.apply (sieve_sound2 ? ? H3 H2)
 725   |apply check_list2.
 726    reflexivity
 727   ]
 728 qed.
 729
 730 (*lemma pippo : \forall k,n.in_list ? (nth_prime (S k)) (sieve n) \to
 731               \exists l.sieve n = l@((nth_prime (S k))::(sieve (nth_prime k))).
 732 intros;elim H;elim H1;clear H H1;apply (ex_intro ? ? a);
 733 cut (a1 = sieve (nth_prime k))
 734   [rewrite < Hcut;assumption
 735   |lapply (sieve_sorted n);generalize in match H2*)
 736
 737 (* old proof by Wilmer
 738 lemma le_to_bertrand : \forall n.O < n \to n \leq exp 2 8 \to bertrand n.
 739 intros;
 740 elim (min_prim n);apply (ex_intro ? ? a);elim H2;elim H3;clear H2 H3;
 741 cut (a \leq 257)
 742   [|apply not_lt_to_le;intro;apply (le_to_not_lt ? ? H1);apply (H4 ? ? H2);
 743     apply primeb_true_to_prime;reflexivity]
 744 split
 745    [split
 746       [assumption
 747       |elim (prime_to_nth_prime a H6);generalize in match H2;cases a1
 748          [simplify;intro;rewrite < H3;rewrite < plus_n_O;
 749           change in \vdash (? % ?) with (1+1);apply le_plus;assumption
 750          |intro;lapply (H4 (nth_prime n1))
 751             [apply (trans_le ? (2*(nth_prime n1)))
 752                [rewrite < H3;
 753                 cut (\exists l1,l2.sieve 257 = l1@((nth_prime (S n1))::((nth_prime n1)::l2)))
 754                   [elim Hcut1;elim H7;clear Hcut1 H7;
 755                    apply (checker_sound a2 a3 (sieve 257))
 756                      [apply H8
 757                      |reflexivity]
 758                   |elim (sieve_sound2 257 (nth_prime (S n1)) ? ?)
 759                      [elim (sieve_sound2 257 (nth_prime n1) ? ?)
 760                         [elim H8;
 761                          cut (\forall p.in_list ? p (a3@(nth_prime n1::a4)) \to prime p)
 762                            [|rewrite < H9;intros;apply (in_list_sieve_to_prime 257 p ? H10);
 763                             apply leb_true_to_le;reflexivity]
 764                          apply (ex_intro ? ? a2);apply (ex_intro ? ? a4);
 765                          elim H7;clear H7 H8;
 766                          cut ((nth_prime n1)::a4 = a5)
 767                            [|generalize in match H10;
 768                              lapply (sieve_sorted 257);
 769                              generalize in match Hletin1;
 770                              rewrite > H9 in ⊢ (? %→? ? % ?→?);
 771                              generalize in match Hcut1;
 772                              generalize in match a2;
 773                              elim a3 0
 774                                [intro;elim l
 775                                   [change in H11 with (nth_prime n1::a4 = nth_prime (S n1)::a5);
 776                                    destruct H11;elim (eq_to_not_lt ? ? Hcut2);
 777                                    apply increasing_nth_prime
 778                                   |change in H12 with (nth_prime n1::a4 = t::(l1@(nth_prime (S n1)::a5)));
 779                                    destruct H12;
 780                                    change in H11 with (sorted_gt (nth_prime n1::l1@(nth_prime (S n1)::a5)));
 781                                    lapply (sorted_to_minimum ? ? ? H11 (nth_prime (S n1)))
 782                                      [unfold in Hletin2;elim (le_to_not_lt ? ? (lt_to_le ? ? Hletin2));
 783                                       apply increasing_nth_prime
 784                                      |apply (ex_intro ? ? l1);apply (ex_intro ? ? a5);reflexivity]]
 785                                |intros 5;elim l1
 786                                   [change in H12 with (t::(l@(nth_prime n1::a4)) = nth_prime (S n1)::a5);
 787                                    destruct H12;cut (l = [])
 788                                      [rewrite > Hcut2;reflexivity
 789                                      |change in H11 with (sorted_gt (nth_prime (S n1)::(l@(nth_prime n1::a4))));
 790                                       generalize in match H11;generalize in match H8;cases l;intros
 791                                         [reflexivity
 792                                         |lapply (sorted_cons_to_sorted ? ? ? H13);
 793                                          lapply (sorted_to_minimum ? ? ? H13 n2)
 794                                            [simplify in Hletin2;lapply (sorted_to_minimum ? ? ? Hletin2 (nth_prime n1))
 795                                               [unfold in Hletin3;unfold in Hletin4;
 796                                                elim (lt_nth_prime_to_not_prime ? ? Hletin4 Hletin3);
 797                                                apply H12;
 798                                                apply (ex_intro ? ? [nth_prime (S n1)]);
 799                                                apply (ex_intro ? ? (l2@(nth_prime n1::a4)));
 800                                                reflexivity
 801                                               |apply (ex_intro ? ? l2);apply (ex_intro ? ? a4);reflexivity]
 802                                            |simplify;apply in_list_head]]]
 803                                   |change in H13 with (t::(l@(nth_prime n1::a4)) = t1::(l2@(nth_prime (S n1)::a5)));
 804                                    destruct H13;apply (H7 l2 ? ? Hcut3)
 805                                      [intros;apply H8;simplify;apply in_list_cons;
 806                                       assumption
 807                                      |simplify in H12;
 808                                       apply (sorted_cons_to_sorted ? ? ? H12)]]]]
 809                          rewrite > Hcut2 in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %)));
 810                          apply H10
 811                         |apply (trans_le ? ? ? Hletin);apply lt_to_le;
 812                          apply (trans_le ? ? ? H5 Hcut)
 813                         |apply prime_nth_prime]
 814                      |rewrite > H3;assumption
 815                      |apply prime_nth_prime]]
 816                |apply le_times_r;assumption]
 817             |apply prime_nth_prime
 818             |rewrite < H3;apply increasing_nth_prime]]]
 819    |assumption]
 820 qed. *)
 821
 822 lemma not_not_bertrand_to_bertrand1: \forall n.
 823 \lnot (not_bertrand n) \to \forall x. n \le x \to x \le 2*n \to
 824 (\forall p.x < p \to p \le 2*n \to \not (prime p))
 825 \to \exists p.n < p \land p \le  x \land (prime p).
 826 intros 4.elim H1
 827   [apply False_ind.apply H.assumption
 828   |apply (bool_elim ? (primeb (S n1)));intro
 829     [apply (ex_intro ? ? (S n1)).
 830      split
 831       [split
 832         [apply le_S_S.assumption
 833         |apply le_n
 834         ]
 835       |apply primeb_true_to_prime.assumption
 836       ]
 837     |elim H3
 838       [elim H7.clear H7.
 839        elim H8.clear H8.
 840        apply (ex_intro ? ? a).
 841        split
 842         [split
 843           [assumption
 844           |apply le_S.assumption
 845           ]
 846         |assumption
 847         ]
 848       |apply lt_to_le.assumption
 849       |elim (le_to_or_lt_eq ? ? H7)
 850         [apply H5;assumption
 851         |rewrite < H9.
 852          apply primeb_false_to_not_prime.
 853          assumption
 854         ]
 855       ]
 856     ]
 857   ]
 858 qed.
 859
 860 theorem not_not_bertrand_to_bertrand: \forall n.
 861 \lnot (not_bertrand n) \to bertrand n.
 862 unfold bertrand.intros.
 863 apply (not_not_bertrand_to_bertrand1 ? ? (2*n))
 864   [assumption
 865   |apply le_times_n.apply le_n_Sn
 866   |apply le_n
 867   |intros.apply False_ind.
 868    apply (lt_to_not_le ? ? H1 H2)
 869   ]
 870 qed.
 871
 872 (* not used
 873 theorem divides_pi_p_to_divides: \forall p,n,b,g.prime p \to
 874 divides p (pi_p n b g) \to \exists i. (i < n \and (b i = true \and
 875 divides p (g i))).
 876 intros 2.elim n
 877   [simplify in H1.
 878    apply False_ind.
 879    apply (le_to_not_lt p 1)
 880     [apply divides_to_le
 881       [apply le_n
 882       |assumption
 883       ]
 884     |elim H.assumption
 885     ]
 886   |apply (bool_elim ? (b n1));intro
 887     [rewrite > (true_to_pi_p_Sn ? ? ? H3) in H2.
 888      elim (divides_times_to_divides ? ? ? H1 H2)
 889       [apply (ex_intro ? ? n1).
 890        split
 891         [apply le_n
 892         |split;assumption
 893         ]
 894       |elim (H ? ? H1 H4).
 895        elim H5.
 896        apply (ex_intro ? ? a).
 897        split
 898         [apply lt_to_le.apply le_S_S.assumption
 899         |assumption
 900         ]
 901       ]
 902     |rewrite > (false_to_pi_p_Sn ? ? ? H3) in H2.
 903      elim (H ? ? H1 H2).
 904      elim H4.
 905      apply (ex_intro ? ? a).
 906      split
 907       [apply lt_to_le.apply le_S_S.assumption
 908       |assumption
 909       ]
 910     ]
 911   ]
 912 qed.
 913
 914 theorem divides_B: \forall n,p.prime p \to p \divides (B n) \to
 915 p \le n \land \exists i.mod (n /(exp p (S i))) 2 \neq O.
 916 intros.
 917 unfold B in H1.
 918 elim (divides_pi_p_to_divides ? ? ? ? H H1).
 919 elim H2.clear H2.
 920 elim H4.clear H4.
 921 elim (divides_pi_p_to_divides ? ? ? ? H H5).clear H5.
 922 elim H4.clear H4.
 923 elim H6.clear H6.
 924 cut (p = a)
 925   [split
 926     [rewrite > Hcut.apply le_S_S_to_le.assumption
 927     |apply (ex_intro ? ? a1).
 928      rewrite > Hcut.
 929      intro.
 930      change in H7:(? ? %) with (exp a ((n/(exp a (S a1))) \mod 2)).
 931      rewrite > H6 in H7.
 932      simplify in H7.
 933      absurd (p \le 1)
 934       [apply divides_to_le[apply lt_O_S|assumption]
 935       |apply lt_to_not_le.elim H.assumption
 936       ]
 937     ]
 938   |apply (divides_exp_to_eq ? ? ? H ? H7).
 939    apply primeb_true_to_prime.
 940    assumption
 941   ]
 942 qed.
 943 *)
 944
 945 definition k \def \lambda n,p.
 946 sigma_p (log p n) (λi:nat.true) (λi:nat.((n/(exp p (S i))\mod 2))).
 947
 948 theorem le_k: \forall n,p. k n p \le log p n.
 949 intros.unfold k.elim (log p n)
 950   [apply le_n
 951   |rewrite > true_to_sigma_p_Sn
 952     [rewrite > plus_n_SO.
 953      rewrite > sym_plus in ⊢ (? ? %).
 954      apply le_plus
 955       [apply le_S_S_to_le.
 956        apply lt_mod_m_m.
 957        apply lt_O_S
 958       |assumption
 959       ]
 960     |reflexivity
 961     ]
 962   ]
 963 qed.
 964
 965 definition B1 \def
 966 \lambda n. pi_p (S n) primeb (\lambda p.(exp p (k n p))).
 967
 968 theorem eq_B_B1: \forall n. B n = B1 n.
 969 intros.unfold B.unfold B1.
 970 apply eq_pi_p
 971   [intros.reflexivity
 972   |intros.unfold k.
 973    apply exp_sigma_p1
 974   ]
 975 qed.
 976
 977 definition B_split1 \def \lambda n.
 978 pi_p (S n) primeb (\lambda p.(exp p (bool_to_nat (leb (k n p) 1)* (k n p)))).
 979
 980 definition B_split2 \def \lambda n.
 981 pi_p (S n) primeb (\lambda p.(exp p (bool_to_nat (leb 2 (k n p))* (k n p)))).
 982
 983 theorem eq_B1_times_B_split1_B_split2: \forall n.
 984 B1 n = B_split1 n * B_split2 n.
 985 intro.unfold B1.unfold B_split1.unfold B_split2.
 986 rewrite < times_pi_p.
 987 apply eq_pi_p
 988   [intros.reflexivity
 989   |intros.apply (bool_elim ? (leb (k n x) 1));intro
 990     [rewrite > (lt_to_leb_false 2 (k n x))
 991       [simplify.rewrite < plus_n_O.
 992        rewrite < times_n_SO.reflexivity
 993       |apply le_S_S.apply leb_true_to_le.assumption
 994       ]
 995     |rewrite > (le_to_leb_true 2 (k n x))
 996       [simplify.rewrite < plus_n_O.
 997        rewrite < plus_n_O.reflexivity
 998       |apply not_le_to_lt.apply leb_false_to_not_le.assumption
 999       ]
1000     ]
1001   ]
1002 qed.
1003
1004 lemma lt_div_to_times: \forall n,m,q. O < q \to n/q < m \to n < q*m.
1005 intros.
1006 cut (O < m) as H2
1007   [apply not_le_to_lt.
1008    intro.apply (lt_to_not_le ? ? H1).
1009    apply le_times_to_le_div;assumption
1010   |apply (ltn_to_ltO ? ? H1)
1011   ]
1012 qed.
1013
1014 lemma lt_to_div_O:\forall n,m. n < m \to n / m = O.
1015 intros.
1016 apply (div_mod_spec_to_eq n m (n/m) (n \mod m) O n)
1017   [apply div_mod_spec_div_mod.
1018    apply (ltn_to_ltO ? ? H)
1019   |apply div_mod_spec_intro
1020     [assumption
1021     |reflexivity
1022     ]
1023   ]
1024 qed.
1025
1026 (* the value of n could be smaller *)
1027 lemma k1: \forall n,p. 18 \le n \to p \le n \to 2*n/ 3 < p\to k (2*n) p = O.
1028 intros.unfold k.
1029 elim (log p (2*n))
1030   [reflexivity
1031   |rewrite > true_to_sigma_p_Sn
1032     [rewrite > H3.
1033      rewrite < plus_n_O.
1034      cases n1
1035       [rewrite < exp_n_SO.
1036        cut (2*n/p = 2) as H4
1037         [rewrite > H4.reflexivity
1038         |apply lt_to_le_times_to_lt_S_to_div
1039           [apply (ltn_to_ltO ? ? H2)
1040           |rewrite < sym_times.
1041            apply le_times_r.
1042            assumption
1043           |rewrite > sym_times in ⊢ (? ? %).
1044            apply lt_div_to_times
1045             [apply lt_O_S
1046             |assumption
1047             ]
1048           ]
1049         ]
1050       |cut (2*n/(p)\sup(S (S n2)) = O) as H4
1051         [rewrite > H4.reflexivity
1052         |apply lt_to_div_O.
1053          apply (le_to_lt_to_lt ? (exp ((2*n)/3) 2))
1054           [apply (le_times_to_le (exp 3 2))
1055             [apply leb_true_to_le.reflexivity
1056             |rewrite > sym_times in ⊢ (? ? %).
1057              rewrite > times_exp.
1058              apply (trans_le ? (exp n 2))
1059               [rewrite < assoc_times.
1060                rewrite > exp_SSO in ⊢ (? ? %).
1061                apply le_times_l.
1062                assumption
1063               |apply monotonic_exp1.
1064                apply (le_plus_to_le 3).
1065                change in ⊢ (? ? %) with ((S(2*n/3))*3).
1066                apply (trans_le ? (2*n))
1067                 [simplify in ⊢ (? ? %).
1068                  rewrite < plus_n_O.
1069                  apply le_plus_l.
1070                  apply (trans_le ? 18 ? ? H).
1071                  apply leb_true_to_le.reflexivity
1072                 |apply lt_to_le.
1073                  apply lt_div_S.
1074                  apply lt_O_S
1075                 ]
1076               ]
1077             ]
1078           |apply (lt_to_le_to_lt ? (exp p 2))
1079             [apply lt_exp1
1080               [apply lt_O_S
1081               |assumption
1082               ]
1083             |apply le_exp
1084               [apply (ltn_to_ltO ? ? H2)
1085               |apply le_S_S.apply le_S_S.apply le_O_n
1086               ]
1087             ]
1088           ]
1089         ]
1090       ]
1091     |reflexivity
1092     ]
1093   ]
1094 qed.
1095
1096 theorem le_B_split1_teta:\forall n.18 \le n \to not_bertrand n \to
1097 B_split1 (2*n) \le teta (2 * n / 3).
1098 intros.unfold B_split1.unfold teta.
1099 apply (trans_le ? (pi_p (S (2*n)) primeb (λp:nat.(p)\sup(bool_to_nat (eqb (k (2*n) p) 1)))))
1100   [apply le_pi_p.intros.
1101    apply le_exp
1102     [apply prime_to_lt_O.apply primeb_true_to_prime.assumption
1103     |apply (bool_elim ? (leb (k (2*n) i) 1));intro
1104       [elim (le_to_or_lt_eq ? ? (leb_true_to_le ? ? H4))
1105         [lapply (le_S_S_to_le ? ? H5) as H6.
1106          apply (le_n_O_elim ? H6).
1107          rewrite < times_n_O.
1108          apply le_n
1109         |rewrite > (eq_to_eqb_true ? ? H5).
1110          rewrite > H5.apply le_n
1111         ]
1112       |apply le_O_n
1113       ]
1114     ]
1115   |apply (trans_le ? (pi_p (S (2*n/3)) primeb (λp:nat.(p)\sup(bool_to_nat (eqb (k (2*n) p) 1)))))
1116     [apply (eq_ind ? ? ? (le_n ?)).
1117      apply or_false_eq_SO_to_eq_pi_p
1118       [apply le_S_S.
1119        apply le_times_to_le_div2
1120         [apply lt_O_S
1121         |rewrite > sym_times in ⊢ (? ? %).
1122          apply le_times_n.
1123          apply leb_true_to_le.reflexivity
1124         ]
1125       |intros.
1126        unfold not_bertrand in H1.
1127        elim (decidable_le (S n) i)
1128         [left.
1129          apply not_prime_to_primeb_false.
1130          apply H1
1131           [assumption
1132           |apply le_S_S_to_le.assumption
1133           ]
1134         |right.
1135          rewrite > k1
1136           [reflexivity
1137           |assumption
1138           |apply le_S_S_to_le.
1139            apply not_le_to_lt.assumption
1140           |assumption
1141           ]
1142         ]
1143       ]
1144     |apply le_pi_p.intros.
1145      elim (eqb (k (2*n) i) 1)
1146       [rewrite < exp_n_SO.apply le_n
1147       |simplify.apply prime_to_lt_O.
1148        apply primeb_true_to_prime.
1149        assumption
1150       ]
1151     ]
1152   ]
1153 qed.
1154
1155 theorem le_B_split2_exp: \forall n. exp 2 7 \le n \to
1156 B_split2 (2*n) \le exp (2*n) (pred(sqrt(2*n)/2)).
1157 intros.unfold B_split2.
1158 cut (O < n)
1159   [apply (trans_le ? (pi_p (S (sqrt (2*n))) primeb
1160         (λp:nat.(p)\sup(bool_to_nat (leb 2 (k (2*n) p))*k (2*n) p))))
1161     [apply (eq_ind ? ? ? (le_n ?)).
1162      apply or_false_eq_SO_to_eq_pi_p
1163       [apply le_S_S.
1164        apply le_sqrt_n_n
1165       |intros.
1166        apply (bool_elim ? (leb 2 (k (2*n) i)));intro
1167         [apply False_ind.
1168          apply (lt_to_not_le ? ? H1).unfold sqrt.
1169          apply f_m_to_le_max
1170           [apply le_S_S_to_le.assumption
1171           |apply le_to_leb_true.
1172            rewrite < exp_SSO.
1173            apply not_lt_to_le.intro.
1174            apply (le_to_not_lt 2 (log i (2*n)))
1175             [apply (trans_le ? (k (2*n) i))
1176               [apply leb_true_to_le.assumption
1177               |apply le_k
1178               ]
1179             |apply le_S_S.unfold log.apply f_false_to_le_max
1180               [apply (ex_intro ? ? O).split
1181                 [apply le_O_n
1182                 |apply le_to_leb_true.simplify.
1183                  apply (trans_le ? n)
1184                   [assumption.
1185                   |apply le_plus_n_r
1186                   ]
1187                 ]
1188               |intros.apply lt_to_leb_false.
1189                apply (lt_to_le_to_lt ? (exp i 2))
1190                 [assumption
1191                 |apply le_exp
1192                   [apply (ltn_to_ltO ? ? H1)
1193                   |assumption
1194                   ]
1195                 ]
1196               ]
1197             ]
1198           ]
1199         |right.reflexivity
1200         ]
1201       ]
1202     |apply (trans_le ? (pi_p (S (sqrt (2*n))) primeb (λp:nat.2*n)))
1203       [apply le_pi_p.intros.
1204        apply (trans_le ? (exp i (log i (2*n))))
1205         [apply le_exp
1206           [apply prime_to_lt_O.
1207            apply primeb_true_to_prime.
1208            assumption
1209           |apply (bool_elim ? (leb 2 (k (2*n) i)));intro
1210             [simplify in ⊢ (? (? % ?) ?).
1211              rewrite > sym_times.
1212              rewrite < times_n_SO.
1213              apply le_k
1214             |apply le_O_n
1215             ]
1216           ]
1217         |apply le_exp_log.
1218          rewrite > (times_n_O O) in ⊢ (? % ?).
1219          apply lt_times
1220           [apply lt_O_S
1221           |assumption
1222           ]
1223         ]
1224       |apply (trans_le ? (exp (2*n) (prim(sqrt (2*n)))))
1225         [unfold prim.
1226          apply (eq_ind ? ? ? (le_n ?)).
1227          apply exp_sigma_p
1228         |apply le_exp
1229           [rewrite > (times_n_O O) in ⊢ (? % ?).
1230            apply lt_times
1231             [apply lt_O_S
1232             |assumption
1233             ]
1234           |apply le_prim_n3.
1235            unfold sqrt.
1236            apply f_m_to_le_max
1237             [apply (trans_le ? (2*(exp 2 7)))
1238               [apply leb_true_to_le.reflexivity
1239               |apply le_times_r.assumption
1240               ]
1241             |apply le_to_leb_true.
1242              apply (trans_le ? (2*(exp 2 7)))
1243               [apply leb_true_to_le.reflexivity
1244               |apply le_times_r.assumption
1245               ]
1246             ]
1247           ]
1248         ]
1249       ]
1250     ]
1251   |apply (lt_to_le_to_lt ? ? ? ? H).
1252    apply leb_true_to_le.reflexivity
1253   ]
1254 qed.
1255
1256 theorem not_bertrand_to_le_B:
1257 \forall n.exp 2 7 \le n \to not_bertrand n \to
1258 B (2*n) \le (exp 2 (2*(2 * n / 3)))*(exp (2*n) (pred(sqrt(2*n)/2))).
1259 intros.
1260 rewrite > eq_B_B1.
1261 rewrite > eq_B1_times_B_split1_B_split2.
1262 apply le_times
1263   [apply (trans_le ? (teta ((2*n)/3)))
1264     [apply le_B_split1_teta
1265       [apply (trans_le ? ? ? ? H).
1266        apply leb_true_to_le.reflexivity
1267       |assumption
1268       ]
1269     |apply le_teta
1270     ]
1271   |apply le_B_split2_exp.
1272    assumption
1273   ]
1274 qed.
1275
1276 (*
1277 theorem not_bertrand_to_le1:
1278 \forall n.18 \le n \to not_bertrand n \to
1279 exp 2 (2*n) \le (exp 2 (2*(2 * n / 3)))*(exp (2*n) (S(sqrt(2*n)))).
1280 *)
1281
1282 theorem le_times_div_m_m: \forall n,m. O < m \to n/m*m \le n.
1283 intros.
1284 rewrite > (div_mod n m) in ⊢ (? ? %)
1285   [apply le_plus_n_r
1286   |assumption
1287   ]
1288 qed.
1289
1290 theorem not_bertrand_to_le1:
1291 \forall n.exp 2 7 \le n \to not_bertrand n \to
1292 (exp 2 (2*n / 3)) \le (exp (2*n) (sqrt(2*n)/2)).
1293 intros.
1294 apply (le_times_to_le (exp 2 (2*(2 * n / 3))))
1295   [apply lt_O_exp.apply lt_O_S
1296   |rewrite < exp_plus_times.
1297    apply (trans_le ? (exp 2 (2*n)))
1298     [apply le_exp
1299       [apply lt_O_S
1300       |rewrite < sym_plus.
1301        change in ⊢ (? % ?) with (3*(2*n/3)).
1302        rewrite > sym_times.
1303        apply le_times_div_m_m.
1304        apply lt_O_S
1305       ]
1306 (* weaker form
1307        rewrite < distr_times_plus.
1308        apply le_times_r.
1309        apply (trans_le ? ((2*n + n)/3))
1310         [apply le_plus_div.apply lt_O_S
1311         |rewrite < sym_plus.
1312          change in ⊢ (? (? % ?) ?) with (3*n).
1313          rewrite < sym_times.
1314          rewrite > lt_O_to_div_times
1315           [apply le_n
1316           |apply lt_O_S
1317           ]
1318         ]
1319       ] *)
1320     |apply (trans_le ? (2*n*B(2*n)))
1321       [apply le_exp_B.
1322        apply (trans_le ? ? ? ? H).
1323        apply leb_true_to_le.reflexivity
1324       |rewrite > S_pred in ⊢ (? ? (? ? (? ? %)))
1325         [rewrite > exp_S.
1326          rewrite < assoc_times.
1327          rewrite < sym_times in ⊢ (? ? (? % ?)).
1328          rewrite > assoc_times in ⊢ (? ? %).
1329          apply le_times_r.
1330          apply not_bertrand_to_le_B;assumption
1331         |apply le_times_to_le_div
1332           [apply lt_O_S
1333           |apply (trans_le ? (sqrt (exp 2 8)))
1334             [apply leb_true_to_le.reflexivity
1335             |apply monotonic_sqrt.
1336              change in ⊢ (? % ?) with (2*(exp 2 7)).
1337              apply le_times_r.
1338              assumption
1339             ]
1340           ]
1341         ]
1342       ]
1343     ]
1344   ]
1345 qed.
1346
1347 theorem not_bertrand_to_le2:
1348 \forall n.exp 2 7 \le n \to not_bertrand n \to
1349 2*n / 3 \le (sqrt(2*n)/2)*S(log 2 (2*n)).
1350 intros.
1351 rewrite < (eq_log_exp 2)
1352   [apply (trans_le ? (log 2 ((exp (2*n) (sqrt(2*n)/2)))))
1353     [apply le_log
1354       [apply le_n
1355       |apply not_bertrand_to_le1;assumption
1356       ]
1357     |apply log_exp1.
1358      apply le_n
1359     ]
1360   |apply le_n
1361   ]
1362 qed.
1363
1364 theorem tech1: \forall a,b,c,d.O < b \to O < d \to
1365 (a/b)*(c/d) \le (a*c)/(b*d).
1366 intros.
1367 apply le_times_to_le_div
1368   [rewrite > (times_n_O O).
1369    apply lt_times;assumption
1370   |rewrite > assoc_times.
1371    rewrite < assoc_times in ⊢ (? (? ? %) ?).
1372    rewrite < sym_times in ⊢ (? (? ? (? % ?)) ?).
1373    rewrite > assoc_times.
1374    rewrite < assoc_times.
1375    apply le_times;
1376    rewrite > sym_times;apply le_times_div_m_m;assumption
1377   ]
1378 qed.
1379
1380 theorem tech: \forall n. 2*(S(log 2 (2*n))) \le sqrt (2*n) \to
1381 (sqrt(2*n)/2)*S(log 2 (2*n)) \le 2*n / 4.
1382 intros.
1383 cut (4*(S(log 2 (2*n))) \le 2* sqrt(2*n))
1384   [rewrite > sym_times.
1385    apply le_times_to_le_div
1386     [apply lt_O_S
1387     |rewrite < assoc_times.
1388      apply (trans_le ? (2*sqrt(2*n)*(sqrt (2*n)/2)))
1389       [apply le_times_l.assumption
1390       |apply (trans_le ? ((2*sqrt(2*n)*(sqrt(2*n))/2)))
1391         [apply le_times_div_div_times.
1392          apply lt_O_S
1393         |rewrite > assoc_times.
1394          rewrite > sym_times.
1395          rewrite > lt_O_to_div_times.
1396          apply leq_sqrt_n.
1397          apply lt_O_S
1398         ]
1399       ]
1400     ]
1401   |change in ⊢ (? (? % ?) ?) with (2*2).
1402    rewrite > assoc_times.
1403    apply le_times_r.
1404    assumption
1405   ]
1406 qed.
1407
1408 theorem lt_div_S_div: \forall n,m. O < m \to exp m 2 \le n \to
1409 n/(S m) < n/m.
1410 intros.
1411 apply lt_times_to_lt_div.
1412 apply (lt_to_le_to_lt ? (S(n/m)*m))
1413   [apply lt_div_S.assumption
1414   |rewrite > sym_times in ⊢ (? ? %). simplify.
1415    rewrite > sym_times in ⊢ (? ? (? ? %)).
1416    apply le_plus_l.
1417    apply le_times_to_le_div
1418     [assumption
1419     |rewrite < exp_SSO.
1420      assumption
1421     ]
1422   ]
1423 qed.
1424
1425 theorem exp_plus_SSO: \forall a,b. exp (a+b) 2 = (exp a 2) + 2*a*b + (exp b 2).
1426 intros.
1427 rewrite > exp_SSO.
1428 rewrite > distr_times_plus.
1429 rewrite > times_plus_l.
1430 rewrite < exp_SSO.
1431 rewrite > assoc_plus.
1432 rewrite > assoc_plus.
1433 apply eq_f.
1434 rewrite > times_plus_l.
1435 rewrite < exp_SSO.
1436 rewrite < assoc_plus.
1437 rewrite < sym_times.
1438 rewrite > plus_n_O in ⊢ (? ? (? (? ? %) ?) ?).
1439 rewrite > assoc_times.
1440 apply eq_f2;reflexivity.
1441 qed.
1442
1443 theorem tech3: \forall n. (exp 2 8) \le n \to 2*(S(log 2 (2*n))) \le sqrt (2*n).
1444 intros.
1445 lapply (le_log 2 ? ? (le_n ?) H) as H1.
1446 rewrite > exp_n_SO in ⊢ (? (? ? (? (? ? (? % ?)))) ?).
1447 rewrite > log_exp
1448   [rewrite > sym_plus.
1449    rewrite > plus_n_Sm.
1450    unfold sqrt.
1451    apply f_m_to_le_max
1452     [apply le_times_r.
1453      apply (trans_le ? (2*log 2 n))
1454       [rewrite < times_SSO_n.
1455        apply le_plus_r.
1456        apply (trans_le ? 8)
1457         [apply leb_true_to_le.reflexivity
1458         |rewrite < (eq_log_exp 2)
1459           [assumption
1460           |apply le_n
1461           ]
1462         ]
1463       |apply (trans_le ? ? ? ? (le_exp_log 2 ? ? )).
1464        apply le_times_SSO_n_exp_SSO_n.
1465        apply (lt_to_le_to_lt ? ? ? ? H).
1466        apply leb_true_to_le.reflexivity
1467       ]
1468     |apply le_to_leb_true.
1469      rewrite > assoc_times.
1470      apply le_times_r.
1471      rewrite > sym_times.
1472      rewrite > assoc_times.
1473      rewrite < exp_SSO.
1474      rewrite > exp_plus_SSO.
1475      rewrite > distr_times_plus.
1476      rewrite > distr_times_plus.
1477      rewrite > assoc_plus.
1478      apply (trans_le ? (4*exp (log 2 n) 2))
1479       [change in ⊢ (? ? (? % ?)) with (2*2).
1480        rewrite > assoc_times in ⊢ (? ? %).
1481        rewrite < times_SSO_n in ⊢ (? ? %).
1482        apply le_plus_r.
1483        rewrite < times_SSO_n in ⊢ (? ? %).
1484        apply le_plus
1485         [rewrite > sym_times in ⊢ (? (? ? %) ?).
1486          rewrite < assoc_times.
1487          rewrite < assoc_times.
1488          change in ⊢ (? (? % ?) ?) with 8.
1489          rewrite > exp_SSO.
1490          apply le_times_l.
1491          (* strange things here *)
1492          rewrite < (eq_log_exp 2)
1493           [assumption
1494           |apply le_n
1495           ]
1496         |apply (trans_le ? (log 2 n))
1497           [change in ⊢ (? % ?) with 8.
1498            rewrite < (eq_log_exp 2)
1499             [assumption
1500             |apply le_n
1501             ]
1502           |rewrite > exp_n_SO in ⊢ (? % ?).
1503            apply le_exp
1504             [apply lt_O_log
1505               [apply (lt_to_le_to_lt ? ? ? ? H).
1506                apply leb_true_to_le.reflexivity
1507               |apply (lt_to_le_to_lt ? ? ? ? H).
1508                apply leb_true_to_le.reflexivity
1509               ]
1510             |apply le_n_Sn
1511             ]
1512           ]
1513         ]
1514       |change in ⊢ (? (? % ?) ?) with (exp 2 2).
1515        apply (trans_le ? ? ? ? (le_exp_log 2 ? ?))
1516         [apply le_times_exp_n_SSO_exp_SSO_n
1517           [apply le_n
1518           |change in ⊢ (? % ?) with 8.
1519            rewrite < (eq_log_exp 2)
1520             [assumption
1521             |apply le_n
1522             ]
1523           ]
1524         |apply (lt_to_le_to_lt ? ? ? ? H).
1525          apply leb_true_to_le.reflexivity
1526         ]
1527       ]
1528     ]
1529   |apply le_n
1530   |apply (lt_to_le_to_lt ? ? ? ? H).
1531    apply leb_true_to_le.reflexivity
1532   ]
1533 qed.
1534
1535 theorem le_to_bertrand2:
1536 \forall n. (exp 2 8) \le n \to bertrand n.
1537 intros.
1538 apply not_not_bertrand_to_bertrand.unfold.intro.
1539 absurd (2*n / 3 \le (sqrt(2*n)/2)*S(log 2 (2*n)))
1540   [apply not_bertrand_to_le2
1541     [apply (trans_le ? ? ? ? H).
1542      apply le_exp
1543       [apply lt_O_S
1544       |apply le_n_Sn
1545       ]
1546     |assumption
1547     ]
1548   |apply lt_to_not_le.
1549    apply (le_to_lt_to_lt ? ? ? ? (lt_div_S_div ? ? ? ?))
1550     [apply tech.apply tech3.assumption
1551     |apply lt_O_S
1552     |apply (trans_le ? (2*exp 2 8))
1553       [apply leb_true_to_le.reflexivity
1554       |apply le_times_r.assumption
1555       ]
1556     ]
1557   ]
1558 qed.
1559
1560 theorem bertrand_n :
1561 \forall n. O < n \to bertrand n.
1562 intros;elim (decidable_le n 256)
1563   [apply le_to_bertrand;assumption
1564   |apply le_to_bertrand2;apply lt_to_le;apply not_le_to_lt;apply H1]
1565 qed.
1566
1567 (* test
1568 theorem mod_exp: eqb (mod (exp 2 8) 13) O = false.
1569 reflexivity.
1570 *)