helm/software/matita/library/nat/binomial.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       __                                                               *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/binomial".
  16
  17 include "nat/iteration2.ma".
  18 include "nat/factorial2.ma".
  19
  20 definition bc \def \lambda n,k. n!/(k!*(n-k)!).
  21
  22 theorem bc_n_n: \forall n. bc n n = S O.
  23 intro.unfold bc.
  24 rewrite < minus_n_n.
  25 simplify in ⊢ (? ? (? ? (? ? %)) ?).
  26 rewrite < times_n_SO.
  27 apply div_n_n.
  28 apply lt_O_fact.
  29 qed.
  30
  31 theorem bc_n_O: \forall n. bc n O = S O.
  32 intro.unfold bc.
  33 rewrite < minus_n_O.
  34 simplify in ⊢ (? ? (? ? %) ?).
  35 rewrite < plus_n_O.
  36 apply div_n_n.
  37 apply lt_O_fact.
  38 qed.
  39
  40 theorem fact_minus: \forall n,k. k < n \to
  41 (n-k)*(n - S k)! = (n - k)!.
  42 intros 2.cases n
  43   [intro.apply False_ind.
  44    apply (lt_to_not_le ? ? H).
  45    apply le_O_n
  46   |intros.
  47    rewrite > minus_Sn_m.
  48    reflexivity.
  49    apply le_S_S_to_le.
  50    assumption
  51   ]
  52 qed.
  53
  54 theorem bc2 : \forall n.
  55 \forall k. k \leq n \to divides (k!*(n-k)!) n!.
  56 intro;elim n
  57   [rewrite < (le_n_O_to_eq ? H);apply reflexive_divides
  58   |generalize in match H1;cases k
  59      [intro;simplify in ⊢ (? (? ? (? %)) ?);simplify in ⊢ (? (? % ?) ?);
  60       rewrite > sym_times;rewrite < times_n_SO;apply reflexive_divides
  61      |intro;elim (decidable_eq_nat n2 n1)
  62         [rewrite > H3;rewrite < minus_n_n;
  63          rewrite > times_n_SO in ⊢ (? ? %);apply reflexive_divides
  64         |lapply (H n2)
  65            [lapply (H (n1 - (S n2)))
  66               [change in ⊢ (? ? %) with ((S n1)*n1!);
  67                rewrite > (plus_minus_m_m n1 n2) in ⊢ (? ? (? (? %) ?))
  68                  [rewrite > sym_plus;
  69                   change in ⊢ (? ? (? % ?)) with ((S n2) + (n1 - n2));
  70                   rewrite > sym_times in \vdash (? ? %);
  71                   rewrite > distr_times_plus in ⊢ (? ? %);
  72                   simplify in ⊢ (? (? ? (? %)) ?);
  73                   apply divides_plus
  74                     [rewrite > sym_times;
  75                      change in ⊢ (? (? ? %) ?) with ((S n2)*n2!);
  76                      rewrite > sym_times in ⊢ (? (? ? %) ?);
  77                      rewrite < assoc_times;
  78                      apply divides_times
  79                        [rewrite > sym_times;assumption
  80                        |apply reflexive_divides]
  81                     |rewrite < fact_minus in ⊢ (? (? ? %) ?)
  82                        [rewrite > sym_times in ⊢ (? (? ? %) ?);
  83                         rewrite < assoc_times;
  84                         apply divides_times
  85                           [rewrite < eq_plus_minus_minus_minus in Hletin1;
  86                              [rewrite > sym_times;rewrite < minus_n_n in Hletin1;
  87                               rewrite < plus_n_O in Hletin1;assumption
  88                              |lapply (le_S_S_to_le ? ? H2);
  89                               elim (le_to_or_lt_eq ? ? Hletin2);
  90                                 [assumption
  91                                 |elim (H3 H4)]
  92                              |constructor 1]
  93                           |apply reflexive_divides]
  94                        |lapply (le_S_S_to_le ? ? H2);
  95                         elim (le_to_or_lt_eq ? ? Hletin2);
  96                           [assumption
  97                           |elim (H3 H4)]]]
  98                  |apply le_S_S_to_le;assumption]
  99               |apply le_minus_m;apply le_S_S_to_le;assumption]
 100            |apply le_S_S_to_le;assumption]]]]
 101 qed.
 102
 103 theorem bc1: \forall n.\forall k. k < n \to bc (S n) (S k) = (bc n k) + (bc n (S k)).
 104 intros.unfold bc.
 105 rewrite > (lt_to_lt_to_eq_div_div_times_times ? ? (S k)) in ⊢ (? ? ? (? % ?))
 106   [rewrite > sym_times in ⊢ (? ? ? (? (? ? %) ?)).
 107    rewrite < assoc_times in ⊢ (? ? ? (? (? ? %) ?)).
 108    rewrite > (lt_to_lt_to_eq_div_div_times_times ? ? (n - k)) in ⊢ (? ? ? (? ? %))
 109     [rewrite > assoc_times in ⊢ (? ? ? (? ? (? ? %))).
 110      rewrite > sym_times in ⊢ (? ? ? (? ? (? ? (? ? %)))).
 111      rewrite > fact_minus
 112       [rewrite < eq_div_plus
 113         [rewrite < distr_times_plus.
 114          simplify in ⊢ (? ? ? (? (? ? %) ?)).
 115          rewrite > sym_plus in ⊢ (? ? ? (? (? ? (? %)) ?)).
 116          rewrite < plus_minus_m_m
 117           [rewrite > sym_times in ⊢ (? ? ? (? % ?)).
 118            reflexivity
 119           |apply lt_to_le.
 120            assumption
 121           ]
 122         |rewrite > (times_n_O O).
 123          apply lt_times;apply lt_O_fact
 124         |change in ⊢ (? (? % ?) ?) with ((S k)*k!);
 125          rewrite < sym_times in ⊢ (? ? %);
 126          rewrite > assoc_times;apply divides_times
 127            [apply reflexive_divides
 128            |apply bc2;apply le_S_S_to_le;constructor 2;assumption]
 129         |rewrite < fact_minus
 130            [rewrite > sym_times in ⊢ (? (? ? %) ?);rewrite < assoc_times;
 131             apply divides_times
 132               [apply bc2;assumption
 133               |apply reflexive_divides]
 134            |assumption]]
 135      |assumption]
 136   |apply lt_to_lt_O_minus;assumption
 137   |rewrite > (times_n_O O).
 138    apply lt_times;apply lt_O_fact]
 139 |apply lt_O_S
 140 |rewrite > (times_n_O O).
 141  apply lt_times;apply lt_O_fact]
 142 qed.
 143
 144 theorem lt_O_bc: \forall n,m. m \le n \to O < bc n m.
 145 intro.elim n
 146   [apply (le_n_O_elim ? H).
 147    simplify.apply le_n
 148   |elim (le_to_or_lt_eq ? ? H1)
 149     [generalize in match H2.cases m;intro
 150       [rewrite > bc_n_O.apply le_n
 151       |rewrite > bc1
 152         [apply (trans_le ? (bc n1 n2))
 153           [apply H.apply le_S_S_to_le.apply lt_to_le.assumption
 154           |apply le_plus_n_r
 155           ]
 156         |apply le_S_S_to_le.assumption
 157         ]
 158       ]
 159     |rewrite > H2.
 160      rewrite > bc_n_n.
 161      apply le_n
 162     ]
 163   ]
 164 qed.
 165
 166 theorem exp_plus_sigma_p:\forall a,b,n.
 167 exp (a+b) n = sigma_p (S n) (\lambda k.true)
 168   (\lambda k.(bc n k)*(exp a (n-k))*(exp b k)).
 169 intros.elim n
 170   [simplify.reflexivity
 171   |simplify in ⊢ (? ? % ?).
 172    rewrite > true_to_sigma_p_Sn
 173     [rewrite > H;rewrite > sym_times in ⊢ (? ? % ?);
 174      rewrite > distr_times_plus in ⊢ (? ? % ?);
 175      rewrite < minus_n_n in ⊢ (? ? ? (? (? (? ? (? ? %)) ?) ?));
 176      rewrite > sym_times in ⊢ (? ? (? % ?) ?);
 177      rewrite > sym_times in ⊢ (? ? (? ? %) ?);
 178      rewrite > distributive_times_plus_sigma_p in ⊢ (? ? (? % ?) ?);
 179      rewrite > distributive_times_plus_sigma_p in ⊢ (? ? (? ? %) ?);
 180      rewrite > true_to_sigma_p_Sn in ⊢ (? ? (? ? %) ?)
 181        [rewrite < assoc_plus;rewrite < sym_plus in ⊢ (? ? (? % ?) ?);
 182         rewrite > assoc_plus;
 183         apply eq_f2
 184           [rewrite > sym_times;rewrite > assoc_times;autobatch paramodulation
 185           |rewrite > (sigma_p_gi ? ? O);
 186             [rewrite < (eq_sigma_p_gh ? S pred n1 (S n1) (λx:nat.true)) in ⊢ (? ? (? (? ? %) ?) ?)
 187                [rewrite > (sigma_p_gi ? ? O) in ⊢ (? ? ? %);
 188                   [rewrite > assoc_plus;apply eq_f2
 189                      [autobatch paramodulation;
 190                      |rewrite < sigma_p_plus_1;
 191                       rewrite < (eq_sigma_p_gh ? S pred n1 (S n1) (λx:nat.true)) in \vdash (? ? ? %);
 192                         [apply eq_sigma_p
 193                            [intros;reflexivity
 194                            |intros;rewrite > sym_times;rewrite > assoc_times;
 195                             rewrite > sym_times in ⊢ (? ? (? (? ? %) ?) ?);
 196                             rewrite > assoc_times;rewrite < assoc_times in ⊢ (? ? (? (? ? %) ?) ?);
 197                             rewrite > sym_times in ⊢ (? ? (? (? ? (? % ?)) ?) ?);
 198                             change in ⊢ (? ? (? (? ? (? % ?)) ?) ?) with (exp a (S (n1 - S x)));
 199                             rewrite < (minus_Sn_m ? ? H1);rewrite > minus_S_S;
 200                             rewrite > sym_times in \vdash (? ? (? ? %) ?);
 201                             rewrite > assoc_times;
 202                             rewrite > sym_times in ⊢ (? ? (? ? (? ? %)) ?);
 203                             change in \vdash (? ? (? ? (? ? %)) ?) with (exp b (S x));
 204                             rewrite > assoc_times in \vdash (? ? (? ? %) ?);
 205                             rewrite > sym_times in \vdash (? ? (? % ?) ?);
 206                             rewrite > sym_times in \vdash (? ? (? ? %) ?);
 207                             rewrite > assoc_times in \vdash (? ? ? %);
 208                             rewrite > sym_times in \vdash (? ? ? %);
 209                             rewrite < distr_times_plus;
 210                             rewrite > sym_plus;rewrite < bc1;
 211                               [reflexivity|assumption]]
 212                         |intros;simplify;reflexivity
 213                         |intros;simplify;reflexivity
 214                         |intros;apply le_S_S;assumption
 215                         |intros;reflexivity
 216                         |intros 2;elim j
 217                             [simplify in H2;destruct H2
 218                             |simplify;reflexivity]
 219                         |intro;elim j
 220                             [simplify in H2;destruct H2
 221                             |simplify;apply le_S_S_to_le;assumption]]]
 222                   |apply le_S_S;apply le_O_n
 223                   |reflexivity]
 224                |intros;simplify;reflexivity
 225                |intros;simplify;reflexivity
 226                |intros;apply le_S_S;assumption
 227                |intros;reflexivity
 228                |intros 2;elim j
 229                   [simplify in H2;destruct H2
 230                   |simplify;reflexivity]
 231                |intro;elim j
 232                   [simplify in H2;destruct H2
 233                   |simplify;apply le_S_S_to_le;assumption]]
 234             |apply le_S_S;apply le_O_n
 235             |reflexivity]]
 236       |reflexivity]
 237    |reflexivity]]
 238 qed.
 239
 240 theorem exp_S_sigma_p:\forall a,n.
 241 exp (S a) n = sigma_p (S n) (\lambda k.true) (\lambda k.(bc n k)*(exp a (n-k))).
 242 intros.
 243 rewrite > plus_n_SO.
 244 rewrite > exp_plus_sigma_p.
 245 apply eq_sigma_p;intros
 246   [reflexivity
 247   |rewrite < exp_SO_n.
 248    rewrite < times_n_SO.
 249    reflexivity
 250   ]
 251 qed.