helm/software/matita/library/nat/congruence.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat/relevant_equations.ma".
  16 include "nat/primes.ma".
  17
  18 definition S_mod: nat \to nat \to nat \def
  19 \lambda n,m:nat. (S m) \mod n.
  20
  21 definition congruent: nat \to nat \to nat \to Prop \def
  22 \lambda n,m,p:nat. mod n p = mod m p.
  23
  24 interpretation "congruent" 'congruent n m p = (congruent n m p).
  25
  26 notation < "hvbox(n break \cong\sub p m)"
  27   (*non associative*) with precedence 45
  28 for @{ 'congruent $n $m $p }.
  29
  30 theorem congruent_n_n: \forall n,p:nat.congruent n n p.
  31 intros.unfold congruent.reflexivity.
  32 qed.
  33
  34 theorem transitive_congruent: \forall p:nat. transitive nat
  35 (\lambda n,m. congruent n m p).
  36 intros.unfold transitive.unfold congruent.intros.
  37 whd.apply (trans_eq ? ? (y \mod p)).
  38 apply H.apply H1.
  39 qed.
  40
  41 theorem le_to_mod: \forall n,m:nat. n \lt m \to n = n \mod m.
  42 intros.
  43 apply (div_mod_spec_to_eq2 n m O n (n/m) (n \mod m)).
  44 constructor 1.assumption.simplify.reflexivity.
  45 apply div_mod_spec_div_mod.
  46 apply (le_to_lt_to_lt O n m).apply le_O_n.assumption.
  47 qed.
  48
  49 theorem mod_mod : \forall n,p:nat. O<p \to n \mod p = (n \mod p) \mod p.
  50 intros.
  51 rewrite > (div_mod (n \mod p) p) in \vdash (? ? % ?).
  52 rewrite > (eq_div_O ? p).reflexivity.
  53 (* uffa: hint non lo trova lt vs. le*)
  54 apply lt_mod_m_m.
  55 assumption.
  56 assumption.
  57 qed.
  58
  59 theorem mod_times_mod : \forall n,m,p:nat. O<p \to O<m \to n \mod p = (n \mod (m*p)) \mod p.
  60 intros.
  61 apply (div_mod_spec_to_eq2 n p (n/p) (n \mod p)
  62 (n/(m*p)*m + (n \mod (m*p)/p))).
  63 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
  64 constructor 1.
  65 apply lt_mod_m_m.assumption.
  66 rewrite > times_plus_l.
  67 rewrite > assoc_plus.
  68 rewrite < div_mod.
  69 rewrite > assoc_times.
  70 rewrite < div_mod.
  71 reflexivity.
  72 rewrite > (times_n_O O).
  73 apply lt_times.
  74 assumption.assumption.assumption.
  75 qed.
  76
  77 theorem congruent_n_mod_n :
  78 \forall n,p:nat. O < p \to congruent n (n \mod p) p.
  79 intros.unfold congruent.
  80 apply mod_mod.assumption.
  81 qed.
  82
  83 theorem congruent_n_mod_times :
  84 \forall n,m,p:nat. O < p \to O < m \to congruent n (n \mod (m*p)) p.
  85 intros.unfold congruent.
  86 apply mod_times_mod.assumption.assumption.
  87 qed.
  88
  89 theorem eq_times_plus_to_congruent: \forall n,m,p,r:nat. O< p \to
  90 n = r*p+m \to congruent n m p.
  91 intros.unfold congruent.
  92 apply (div_mod_spec_to_eq2 n p (div n p) (mod n p) (r +(div m p)) (mod m p)).
  93 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
  94 constructor 1.
  95 apply lt_mod_m_m.assumption.
  96 (*cut (n = r * p + (m / p * p + m \mod p)).*)
  97 (*lapply (div_mod m p H).
  98 rewrite > sym_times.
  99 rewrite > distr_times_plus.
 100 (*rewrite > (sym_times p (m/p)).*)
 101 (*rewrite > sym_times.*)
 102 rewrite > assoc_plus.
 103 autobatch paramodulation.
 104 rewrite < div_mod.
 105 assumption.
 106 assumption.
 107 *)
 108 rewrite > sym_times.
 109 rewrite > distr_times_plus.
 110 rewrite > sym_times.
 111 rewrite > (sym_times p).
 112 rewrite > assoc_plus.
 113 rewrite < div_mod.
 114 assumption.assumption.
 115 qed.
 116
 117 theorem divides_to_congruent: \forall n,m,p:nat. O < p \to m \le n \to
 118 divides p (n - m) \to congruent n m p.
 119 intros.elim H2.
 120 apply (eq_times_plus_to_congruent n m p n1).
 121 assumption.
 122 rewrite < sym_plus.
 123 apply minus_to_plus.assumption.
 124 rewrite > sym_times. assumption.
 125 qed.
 126
 127 theorem congruent_to_divides: \forall n,m,p:nat.
 128 O < p \to congruent n m p \to divides p (n - m).
 129 intros.unfold congruent in H1.
 130 apply (witness ? ? ((n / p)-(m / p))).
 131 rewrite > sym_times.
 132 rewrite > (div_mod n p) in \vdash (? ? % ?).
 133 rewrite > (div_mod m p) in \vdash (? ? % ?).
 134 rewrite < (sym_plus (m \mod p)).
 135 rewrite < H1.
 136 rewrite < (eq_minus_minus_minus_plus ? (n \mod p)).
 137 rewrite < minus_plus_m_m.
 138 apply sym_eq.
 139 apply times_minus_l.
 140 assumption.assumption.
 141 qed.
 142
 143 theorem mod_times: \forall n,m,p:nat.
 144 O < p \to mod (n*m) p = mod ((mod n p)*(mod m p)) p.
 145 intros.
 146 change with (congruent (n*m) ((mod n p)*(mod m p)) p).
 147 apply (eq_times_plus_to_congruent ? ? p
 148 ((n / p)*p*(m / p) + (n / p)*(m \mod p) + (n \mod p)*(m / p))).
 149 assumption.
 150 apply (trans_eq ? ? (((n/p)*p+(n \mod p))*((m/p)*p+(m \mod p)))).
 151 apply eq_f2.
 152 apply div_mod.assumption.
 153 apply div_mod.assumption.
 154 apply (trans_eq ? ? (((n/p)*p)*((m/p)*p) + (n/p)*p*(m \mod p) +
 155 (n \mod p)*((m / p)*p) + (n \mod p)*(m \mod p))).
 156 apply times_plus_plus.
 157 apply eq_f2.
 158 rewrite < assoc_times.
 159 rewrite > (assoc_times (n/p) p (m \mod p)).
 160 rewrite > (sym_times p (m \mod p)).
 161 rewrite < (assoc_times (n/p) (m \mod p) p).
 162 rewrite < times_plus_l.
 163 rewrite < (assoc_times (n \mod p)).
 164 rewrite < times_plus_l.
 165 apply eq_f2.
 166 apply eq_f2.reflexivity.
 167 reflexivity.reflexivity.
 168 reflexivity.
 169 qed.
 170
 171 theorem congruent_times: \forall n,m,n1,m1,p. O < p \to congruent n n1 p \to
 172 congruent m m1 p \to congruent (n*m) (n1*m1) p.
 173 unfold congruent.
 174 intros.
 175 rewrite > (mod_times n m p H).
 176 rewrite > H1.
 177 rewrite > H2.
 178 apply sym_eq.
 179 apply mod_times.assumption.
 180 qed.
 181
 182 theorem congruent_pi: \forall f:nat \to nat. \forall n,m,p:nat.O < p \to
 183 congruent (pi n f m) (pi n (\lambda m. mod (f m) p) m) p.
 184 intros.
 185 elim n. simplify.
 186 apply congruent_n_mod_n.assumption.
 187 simplify.
 188 apply congruent_times.
 189 assumption.
 190 apply congruent_n_mod_n.assumption.
 191 assumption.
 192 qed.