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apply rule (lem EM) works
[helm.git] / helm / software / matita / library / nat / factorial.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                                *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "nat/le_arith.ma".
16
17 let rec fact n \def
18   match n with 
19   [ O \Rightarrow (S O)
20   | (S m) \Rightarrow (S m)*(fact m)].
21
22 interpretation "factorial" 'fact n = (cic:/matita/nat/factorial/fact.con n).
23
24 theorem le_SO_fact : \forall n. (S O) \le n!.
25 intro.elim n.simplify.apply le_n.
26 change with ((S O) \le (S n1)*n1!).
27 apply (trans_le ? ((S n1)*(S O))).simplify.
28 apply le_S_S.apply le_O_n.
29 apply le_times_r.assumption.
30 qed.
31
32 theorem le_SSO_fact : \forall n. (S O) < n \to (S(S O)) \le n!.
33 intro.apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (S O) H).
34 intros.change with ((S (S O)) \le (S m)*m!).
35 apply (trans_le ? ((S(S O))*(S O))).apply le_n.
36 apply le_times.exact H.apply le_SO_fact.
37 qed.
38
39 theorem le_n_fact_n: \forall n. n \le n!.
40 intro. elim n.apply le_O_n.
41 change with (S n1 \le (S n1)*n1!).
42 apply (trans_le ? ((S n1)*(S O))).
43 rewrite < times_n_SO.apply le_n.
44 apply le_times.apply le_n.
45 apply le_SO_fact.
46 qed.
47
48 theorem lt_n_fact_n: \forall n. (S(S O)) < n \to n < n!.
49 intro.apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (S(S O)) H).
50 intros.change with ((S m) < (S m)*m!).
51 apply (lt_to_le_to_lt ? ((S m)*(S (S O)))).
52 rewrite < sym_times.
53 simplify.unfold lt.
54 apply le_S_S.rewrite < plus_n_O.
55 apply le_plus_n.
56 apply le_times_r.apply le_SSO_fact.
57 simplify.unfold lt.apply le_S_S_to_le.exact H.
58 qed.
59