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[helm.git] / helm / software / matita / library / nat / le_arith.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                                *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "nat/times.ma".
16 include "nat/orders.ma".
17
18 (* plus *)
19 theorem monotonic_le_plus_r: 
20 \forall n:nat.monotonic nat le (\lambda m.n + m).
21 simplify.intros.elim n
22   [simplify.assumption.
23   |simplify.apply le_S_S.assumption
24   ]
25 qed.
26
27 theorem le_plus_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p + n \le p + m
28 \def monotonic_le_plus_r.
29
30 theorem monotonic_le_plus_l: 
31 \forall m:nat.monotonic nat le (\lambda n.n + m).
32 simplify.intros.
33 rewrite < sym_plus.rewrite < (sym_plus m).
34 apply le_plus_r.assumption.
35 qed.
36
37 theorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
38 \def monotonic_le_plus_l.
39
40 theorem le_plus: \forall n1,n2,m1,m2:nat. n1 \le n2  \to m1 \le m2 
41 \to n1 + m1 \le n2 + m2.
42 intros.
43 (**
44 auto.
45 *)
46 apply (transitive_le (plus n1 m1) (plus n1 m2) (plus n2 m2) ? ?);
47   [apply (monotonic_le_plus_r n1 m1 m2 ?).
48    apply (H1).
49   |apply (monotonic_le_plus_l m2 n1 n2 ?).
50    apply (H).
51   ]
52 (* end auto($Revision$) proof: TIME=0.61 SIZE=100 DEPTH=100 *)
53 (*
54 apply (trans_le ? (n2 + m1)).
55 apply le_plus_l.assumption.
56 apply le_plus_r.assumption.
57 *)
58 qed.
59
60 theorem le_plus_n :\forall n,m:nat. m \le n + m.
61 intros.change with (O+m \le n+m).
62 apply le_plus_l.apply le_O_n.
63 qed.
64
65 theorem le_plus_n_r :\forall n,m:nat. m \le m + n.
66 intros.rewrite > sym_plus.
67 apply le_plus_n.
68 qed.
69
70 theorem eq_plus_to_le: \forall n,m,p:nat.n=m+p \to m \le n.
71 intros.rewrite > H.
72 rewrite < sym_plus.
73 apply le_plus_n.
74 qed.
75
76 theorem le_plus_to_le: 
77 \forall a,n,m. a + n \le a + m \to n \le m.
78 intro.
79 elim a
80   [assumption
81   |apply H.
82    apply le_S_S_to_le.assumption
83   ]
84 qed.
85
86 (* times *)
87 theorem monotonic_le_times_r: 
88 \forall n:nat.monotonic nat le (\lambda m. n * m).
89 simplify.intros.elim n.
90 simplify.apply le_O_n.
91 simplify.apply le_plus.
92 assumption.
93 assumption.
94 qed.
95
96 theorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
97 \def monotonic_le_times_r.
98
99 theorem monotonic_le_times_l: 
100 \forall m:nat.monotonic nat le (\lambda n.n*m).
101 simplify.intros.
102 rewrite < sym_times.rewrite < (sym_times m).
103 apply le_times_r.assumption.
104 qed.
105
106 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
107 \def monotonic_le_times_l.
108
109 theorem le_times: \forall n1,n2,m1,m2:nat. n1 \le n2  \to m1 \le m2 
110 \to n1*m1 \le n2*m2.
111 intros.
112 apply (trans_le ? (n2*m1)).
113 apply le_times_l.assumption.
114 apply le_times_r.assumption.
115 qed.
116
117 theorem le_times_n: \forall n,m:nat.(S O) \le n \to m \le n*m.
118 intros.elim H.simplify.
119 elim (plus_n_O ?).apply le_n.
120 simplify.rewrite < sym_plus.apply le_plus_n.
121 qed.
122
123 theorem le_times_to_le: 
124 \forall a,n,m. S O \le a \to a * n \le a * m \to n \le m.
125 intro.
126 apply nat_elim2;intros
127   [apply le_O_n
128   |apply False_ind.
129    rewrite < times_n_O in H1.
130    generalize in match H1.
131    apply (lt_O_n_elim ? H).
132    intros.
133    simplify in H2.
134    apply (le_to_not_lt ? ? H2).
135    apply lt_O_S
136   |apply le_S_S.
137    apply H
138     [assumption
139     |rewrite < times_n_Sm in H2.
140      rewrite < times_n_Sm in H2.
141      apply (le_plus_to_le a).
142      assumption
143     ]
144   ]
145 qed.
146
147 theorem le_S_times_SSO: \forall n,m.O < m \to
148 n \le m \to S n \le (S(S O))*m.
149 intros.
150 simplify.
151 rewrite > plus_n_O.
152 simplify.rewrite > plus_n_Sm.
153 apply le_plus
154   [assumption
155   |rewrite < plus_n_O.
156    assumption
157   ]
158 qed.
159 (*0 and times *)
160 theorem O_lt_const_to_le_times_const:  \forall a,c:nat.
161 O \lt c \to a \le a*c.
162 intros.
163 rewrite > (times_n_SO a) in \vdash (? % ?).
164 apply le_times
165 [ apply le_n
166 | assumption
167 ]
168 qed.