helm/software/matita/library/nat/log.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/log".
  16
  17 include "datatypes/constructors.ma".
  18 include "nat/minimization.ma".
  19 include "nat/relevant_equations.ma".
  20 include "nat/primes.ma".
  21 include "nat/iteration2.ma".
  22 include "nat/div_and_mod_diseq.ma".
  23
  24 definition log \def \lambda p,n.
  25 max n (\lambda x.leb (exp p x) n).
  26
  27 theorem le_exp_log: \forall p,n. O < n \to
  28 exp p (log p n) \le n.
  29 intros.
  30 apply leb_true_to_le.
  31 unfold log.
  32 apply (f_max_true (\lambda x.leb (exp p x) n)).
  33 apply (ex_intro ? ? O).
  34 split
  35   [apply le_O_n
  36   |apply le_to_leb_true.simplify.assumption
  37   ]
  38 qed.
  39
  40 theorem log_SO: \forall n. S O < n \to log n (S O) = O.
  41 intros.
  42 apply sym_eq.apply le_n_O_to_eq.
  43 apply (le_exp_to_le n)
  44   [assumption
  45   |simplify in ⊢ (? ? %).
  46    apply le_exp_log.
  47    apply le_n
  48   ]
  49 qed.
  50
  51 theorem lt_to_log_O: \forall n,m. O < m \to m < n \to log n m = O.
  52 intros.
  53 apply sym_eq.apply le_n_O_to_eq.
  54 apply le_S_S_to_le.
  55 apply (lt_exp_to_lt n)
  56   [apply (le_to_lt_to_lt ? m);assumption
  57   |simplify in ⊢ (? ? %).
  58    rewrite < times_n_SO.
  59    apply (le_to_lt_to_lt ? m)
  60     [apply le_exp_log.assumption
  61     |assumption
  62     ]
  63   ]
  64 qed.
  65
  66 theorem lt_log_n_n: \forall p, n. S O < p \to O < n \to log p n < n.
  67 intros.
  68 cut (log p n \le n)
  69   [elim (le_to_or_lt_eq ? ? Hcut)
  70     [assumption
  71     |absurd (exp p n \le n)
  72       [rewrite < H2 in ⊢ (? (? ? %) ?).
  73        apply le_exp_log.
  74        assumption
  75       |apply lt_to_not_le.
  76        apply lt_m_exp_nm.
  77        assumption
  78       ]
  79     ]
  80   |unfold log.apply le_max_n
  81   ]
  82 qed.
  83
  84 theorem lt_O_log: \forall p,n. O < n \to p \le n \to O < log p n.
  85 intros.
  86 unfold log.
  87 apply not_lt_to_le.
  88 intro.
  89 apply (leb_false_to_not_le ? ? ? H1).
  90 rewrite > (exp_n_SO p).
  91 apply (lt_max_to_false ? ? ? H2).
  92 assumption.
  93 qed.
  94
  95 theorem le_log_n_n: \forall p,n. S O < p \to log p n \le n.
  96 intros.
  97 cases n
  98   [apply le_n
  99   |apply lt_to_le.
 100    apply lt_log_n_n
 101     [assumption|apply lt_O_S]
 102   ]
 103 qed.
 104
 105 theorem lt_exp_log: \forall p,n. S O < p \to n < exp p (S (log p n)).
 106 intros.cases n
 107   [simplify.rewrite < times_n_SO.apply lt_to_le.assumption
 108   |apply not_le_to_lt.
 109    apply leb_false_to_not_le.
 110    apply (lt_max_to_false ? (S n1) (S (log p (S n1))))
 111     [apply le_S_S.apply le_n
 112     |apply lt_log_n_n
 113       [assumption|apply lt_O_S]
 114     ]
 115   ]
 116 qed.
 117
 118 theorem log_times1: \forall p,n,m. S O < p \to O < n \to O < m \to
 119 log p (n*m) \le S(log p n+log p m).
 120 intros.
 121 unfold in ⊢ (? (% ? ?) ?).
 122 apply f_false_to_le_max
 123   [apply (ex_intro ? ? O).
 124    split
 125     [apply le_O_n
 126     |apply le_to_leb_true.
 127      simplify.
 128      rewrite > times_n_SO.
 129      apply le_times;assumption
 130     ]
 131   |intros.
 132    apply lt_to_leb_false.
 133    apply (lt_to_le_to_lt ? ((exp p (S(log p n)))*(exp p (S(log p m)))))
 134     [apply lt_times;apply lt_exp_log;assumption
 135     |rewrite < exp_plus_times.
 136      apply le_exp
 137       [apply lt_to_le.assumption
 138       |simplify.
 139        rewrite < plus_n_Sm.
 140        assumption
 141       ]
 142     ]
 143   ]
 144 qed.
 145
 146 theorem log_times: \forall p,n,m.S O < p \to log p (n*m) \le S(log p n+log p m).
 147 intros.
 148 cases n
 149   [apply le_O_n
 150   |cases m
 151     [rewrite < times_n_O.
 152      apply le_O_n
 153     |apply log_times1
 154       [assumption
 155       |apply lt_O_S
 156       |apply lt_O_S
 157       ]
 158     ]
 159   ]
 160 qed.
 161
 162 theorem log_exp: \forall p,n,m.S O < p \to O < m \to
 163 log p ((exp p n)*m)=n+log p m.
 164 intros.
 165 unfold log in ⊢ (? ? (% ? ?) ?).
 166 apply max_spec_to_max.
 167 unfold max_spec.
 168 split
 169   [split
 170     [elim n
 171       [simplify.
 172        rewrite < plus_n_O.
 173        apply le_log_n_n.
 174        assumption
 175       |simplify.
 176        rewrite > assoc_times.
 177        apply (trans_le ? ((S(S O))*(p\sup n1*m)))
 178         [apply le_S_times_SSO
 179           [rewrite > (times_n_O O) in ⊢ (? % ?).
 180            apply lt_times
 181             [apply lt_O_exp.
 182              apply lt_to_le.
 183              assumption
 184             |assumption
 185             ]
 186           |assumption
 187           ]
 188         |apply le_times
 189           [assumption
 190           |apply le_n
 191           ]
 192         ]
 193       ]
 194     |simplify.
 195      apply le_to_leb_true.
 196      rewrite > exp_plus_times.
 197      apply le_times_r.
 198      apply le_exp_log.
 199      assumption
 200     ]
 201   |intros.
 202    simplify.
 203    apply lt_to_leb_false.
 204    apply (lt_to_le_to_lt ? ((exp p n)*(exp p (S(log p m)))))
 205     [apply lt_times_r1
 206       [apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 207       |apply lt_exp_log.assumption
 208       ]
 209     |rewrite < exp_plus_times.
 210      apply le_exp
 211       [apply lt_to_le.assumption
 212       |rewrite < plus_n_Sm.
 213        assumption
 214       ]
 215     ]
 216   ]
 217 qed.
 218
 219 theorem eq_log_exp: \forall p,n.S O < p \to
 220 log p (exp p n)=n.
 221 intros.
 222 rewrite > times_n_SO in ⊢ (? ? (? ? %) ?).
 223 rewrite > log_exp
 224   [rewrite > log_SO
 225     [rewrite < plus_n_O.reflexivity
 226     |assumption
 227     ]
 228   |assumption
 229   |apply le_n
 230   ]
 231 qed.
 232
 233 theorem log_exp1: \forall p,n,m.S O < p \to
 234 log p (exp n m) \le m*S(log p n).
 235 intros.elim m
 236   [simplify in ⊢ (? (? ? %) ?).
 237    rewrite > log_SO
 238     [apply le_O_n
 239     |assumption
 240     ]
 241   |simplify.
 242    apply (trans_le ? (S (log p n+log p (n\sup n1))))
 243     [apply log_times.assumption
 244     |apply le_S_S.
 245      apply le_plus_r.
 246      assumption
 247     ]
 248   ]
 249 qed.
 250
 251 theorem log_exp2: \forall p,n,m.S O < p \to O < n \to
 252 m*(log p n) \le log p (exp n m).
 253 intros.
 254 apply le_S_S_to_le.
 255 apply (lt_exp_to_lt p)
 256   [assumption
 257   |rewrite > sym_times.
 258    rewrite < exp_exp_times.
 259    apply (le_to_lt_to_lt ? (exp n m))
 260     [elim m
 261       [simplify.apply le_n
 262       |simplify.apply le_times
 263         [apply le_exp_log.
 264          assumption
 265         |assumption
 266         ]
 267       ]
 268     |apply lt_exp_log.
 269      assumption
 270     ]
 271   ]
 272 qed.
 273
 274 lemma le_log_plus: \forall p,n.S O < p \to log p n \leq log p (S n).
 275 intros;apply (bool_elim ? (leb (p*(exp p n)) (S n)))
 276   [simplify;intro;rewrite > H1;simplify;apply (trans_le ? n)
 277     [apply le_log_n_n;assumption
 278     |apply le_n_Sn]
 279   |intro;unfold log;simplify;rewrite > H1;simplify;apply le_max_f_max_g;
 280    intros;apply le_to_leb_true;constructor 2;apply leb_true_to_le;assumption]
 281 qed.
 282
 283 theorem le_log: \forall p,n,m. S O < p \to n \le m \to
 284 log p n \le log p m.
 285 intros.elim H1
 286   [constructor 1
 287   |apply (trans_le ? ? ? H3);apply le_log_plus;assumption]
 288 qed.
 289
 290 theorem log_n_n: \forall n. S O < n \to log n n = S O.
 291 intros.
 292 rewrite > exp_n_SO in ⊢ (? ? (? ? %) ?).
 293 rewrite > times_n_SO in ⊢ (? ? (? ? %) ?).
 294 rewrite > log_exp
 295   [rewrite > log_SO
 296     [reflexivity
 297     |assumption
 298     ]
 299   |assumption
 300   |apply le_n
 301   ]
 302 qed.
 303
 304 theorem log_i_SSOn: \forall n,i. S O < n \to n < i \to i \le ((S(S O))*n) \to
 305 log i ((S(S O))*n) = S O.
 306 intros.
 307 apply antisymmetric_le
 308   [apply not_lt_to_le.intro.
 309    apply (lt_to_not_le ((S(S O)) * n) (exp i (S(S O))))
 310     [rewrite > exp_SSO.
 311      apply lt_times
 312       [apply (le_to_lt_to_lt ? n);assumption
 313       |assumption
 314       ]
 315     |apply (trans_le ? (exp i (log i ((S(S O))*n))))
 316       [apply le_exp
 317         [apply (ltn_to_ltO ? ? H1)
 318         |assumption
 319         ]
 320       |apply le_exp_log.
 321        rewrite > (times_n_O O) in ⊢ (? % ?).
 322        apply lt_times
 323         [apply lt_O_S
 324         |apply lt_to_le.assumption
 325         ]
 326       ]
 327     ]
 328   |apply (trans_le ? (log i i))
 329     [rewrite < (log_n_n i) in ⊢ (? % ?)
 330       [apply le_log
 331         [apply (trans_lt ? n);assumption
 332         |apply le_n
 333         ]
 334       |apply (trans_lt ? n);assumption
 335       ]
 336     |apply le_log
 337       [apply (trans_lt ? n);assumption
 338       |assumption
 339       ]
 340     ]
 341   ]
 342 qed.
 343
 344 theorem exp_n_O: \forall n. O < n \to exp O n = O.
 345 intros.apply (lt_O_n_elim ? H).intros.
 346 simplify.reflexivity.
 347 qed.
 348
 349 (*
 350 theorem tech1: \forall n,i.O < n \to
 351 (exp (S n) (S(S i)))/(exp n (S i)) \le ((exp n i) + (exp (S n) (S i)))/(exp n i).
 352 intros.
 353 simplify in ⊢ (? (? ? %) ?).
 354 rewrite < eq_div_div_div_times
 355   [apply monotonic_div
 356     [apply lt_O_exp.assumption
 357     |apply le_S_S_to_le.
 358      apply lt_times_to_lt_div.
 359      change in ⊢ (? % ?) with ((exp (S n) (S i)) + n*(exp (S n) (S i))).
 360
 361
 362   |apply (trans_le ? ((n)\sup(i)*(S n)\sup(S i)/(n)\sup(S i)))
 363     [apply le_times_div_div_times.
 364      apply lt_O_exp.assumption
 365     |apply le_times_to_le_div2
 366       [apply lt_O_exp.assumption
 367       |simplify.
 368
 369 theorem tech1: \forall a,b,n,m.O < m \to
 370 n/m \le b \to (a*n)/m \le a*b.
 371 intros.
 372 apply le_times_to_le_div2
 373   [assumption
 374   |
 375
 376 theorem tech2: \forall n,m. O < n \to
 377 (exp (S n) m) / (exp n m) \le (n + m)/n.
 378 intros.
 379 elim m
 380   [rewrite < plus_n_O.simplify.
 381    rewrite > div_n_n.apply le_n
 382   |apply le_times_to_le_div
 383     [assumption
 384     |apply (trans_le ? (n*(S n)\sup(S n1)/(n)\sup(S n1)))
 385       [apply le_times_div_div_times.
 386        apply lt_O_exp
 387       |simplify in ⊢ (? (? ? %) ?).
 388        rewrite > sym_times in ⊢ (? (? ? %) ?).
 389        rewrite < eq_div_div_div_times
 390         [apply le_times_to_le_div2
 391           [assumption
 392           |
 393
 394
 395 theorem le_log_sigma_p:\forall n,m,p. O < m \to S O < p \to
 396 log p (exp n m) \le sigma_p n (\lambda i.true) (\lambda i. (m / i)).
 397 intros.
 398 elim n
 399   [rewrite > exp_n_O
 400     [simplify.apply le_n
 401     |assumption
 402     ]
 403   |rewrite > true_to_sigma_p_Sn
 404     [apply (trans_le ? (m/n1+(log p (exp n1 m))))
 405       [
 406 *)