helm/software/matita/library/nat/minimization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat/minus.ma".
  16
  17 let rec max i f \def
  18   match (f i) with
  19   [ true \Rightarrow i
  20   | false \Rightarrow
  21       match i with
  22       [ O \Rightarrow O
  23       | (S j) \Rightarrow max j f ]].
  24
  25 theorem max_O_f : \forall f: nat \to bool. max O f = O.
  26 intro. simplify.
  27 elim (f O).
  28 simplify.reflexivity.
  29 simplify.reflexivity.
  30 qed.
  31
  32 theorem max_S_max : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  33 (f (S n) = true \land max (S n) f = (S n)) \lor
  34 (f (S n) = false \land max (S n) f = max n f).
  35 intros.simplify.elim (f (S n)).
  36 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
  37 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
  38 qed.
  39
  40 theorem le_max_n : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  41 max n f \le n.
  42 intros.elim n.rewrite > max_O_f.apply le_n.
  43 simplify.elim (f (S n1)).simplify.apply le_n.
  44 simplify.apply le_S.assumption.
  45 qed.
  46
  47 theorem le_to_le_max : \forall f: nat \to bool. \forall n,m:nat.
  48 n\le m  \to max n f \le max m f.
  49 intros.elim H.
  50 apply le_n.
  51 apply (trans_le ? (max n1 f)).apply H2.
  52 cut ((f (S n1) = true \land max (S n1) f = (S n1)) \lor
  53 (f (S n1) = false \land max (S n1) f = max n1 f)).
  54 elim Hcut.elim H3.
  55 rewrite > H5.
  56 apply le_S.apply le_max_n.
  57 elim H3.rewrite > H5.apply le_n.
  58 apply max_S_max.
  59 qed.
  60
  61 theorem f_m_to_le_max: \forall f: nat \to bool. \forall n,m:nat.
  62 m\le n \to f m = true \to m \le max n f.
  63 intros 3.elim n.apply (le_n_O_elim m H).
  64 apply le_O_n.
  65 apply (le_n_Sm_elim m n1 H1).
  66 intro.apply (trans_le ? (max n1 f)).
  67 apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
  68 apply le_to_le_max.apply le_n_Sn.
  69 intro.simplify.rewrite < H3.
  70 rewrite > H2.simplify.apply le_n.
  71 qed.
  72
  73 theorem max_f_g: \forall f,g,n. (\forall i. i \le n \to f i = g i) \to
  74 max n f = max n g.
  75 intros 3.
  76 elim n
  77   [simplify.
  78    rewrite > (H O)
  79     [reflexivity
  80     |apply le_n
  81     ]
  82   |simplify.
  83    rewrite > H
  84     [rewrite > H1
  85       [reflexivity
  86       |apply le_n
  87       ]
  88     |intros.
  89      apply H1.
  90      apply le_S.
  91      assumption
  92     ]
  93   ]
  94 qed.
  95
  96 theorem le_max_f_max_g: \forall f,g,n. (\forall i. i \le n \to f i = true \to g i =true) \to
  97 max n f \le max n g.
  98 intros 3.
  99 elim n
 100   [simplify.
 101    elim (f O);apply le_O_n
 102   |simplify.
 103    apply (bool_elim ? (f (S n1)));intro
 104     [rewrite > (H1 (S n1) ? H2)
 105       [apply le_n
 106       |apply le_n
 107       ]
 108     |cases (g(S n1))
 109       [simplify.
 110        apply le_S.
 111        apply le_max_n
 112       |simplify.
 113        apply H.
 114        intros.
 115        apply H1
 116         [apply le_S.assumption
 117         |assumption
 118         ]
 119       ]
 120     ]
 121   ]
 122 qed.
 123
 124
 125 theorem max_O : \forall f:nat \to bool. \forall n:nat.
 126 (\forall i:nat. le i n \to f i = false) \to max n f = O.
 127 intros 2.elim n
 128   [simplify.rewrite > H
 129     [reflexivity
 130     |apply le_O_n
 131     ]
 132   |simplify.rewrite > H1
 133     [simplify.apply H.
 134      intros.
 135      apply H1.
 136      apply le_S.
 137      assumption
 138     |apply le_n
 139     ]
 140   ]
 141 qed.
 142
 143 theorem f_max_true : \forall f:nat \to bool. \forall n:nat.
 144 (\exists i:nat. le i n \land f i = true) \to f (max n f) = true.
 145 intros 2.
 146 elim n.elim H.elim H1.generalize in match H3.
 147 apply (le_n_O_elim a H2).intro.simplify.rewrite > H4.
 148 simplify.assumption.
 149 simplify.
 150 apply (bool_ind (\lambda b:bool.
 151 (f (S n1) = b) \to (f (match b in bool with
 152 [ true \Rightarrow (S n1)
 153 | false  \Rightarrow (max n1 f)])) = true)).
 154 simplify.intro.assumption.
 155 simplify.intro.apply H.
 156 elim H1.elim H3.generalize in match H5.
 157 apply (le_n_Sm_elim a n1 H4).
 158 intros.
 159 apply (ex_intro nat ? a).
 160 split.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
 161 intros.apply False_ind.apply not_eq_true_false.
 162 rewrite < H2.rewrite < H7.rewrite > H6. reflexivity.
 163 reflexivity.
 164 qed.
 165
 166 theorem exists_forall_le:\forall f,n.
 167 (\exists i. i \le n \land f i = true) \lor
 168 (\forall i. i \le n \to f i = false).
 169 intros.
 170 elim n
 171   [apply (bool_elim ? (f O));intro
 172     [left.apply (ex_intro ? ? O).
 173      split[apply le_n|assumption]
 174     |right.intros.
 175      apply (le_n_O_elim ? H1).
 176      assumption
 177     ]
 178   |elim H
 179     [elim H1.elim H2.
 180      left.apply (ex_intro ? ? a).
 181      split[apply le_S.assumption|assumption]
 182     |apply (bool_elim ? (f (S n1)));intro
 183       [left.apply (ex_intro ? ? (S n1)).
 184        split[apply le_n|assumption]
 185       |right.intros.
 186        elim (le_to_or_lt_eq ? ? H3)
 187         [apply H1.
 188          apply le_S_S_to_le.
 189          apply H4
 190         |rewrite > H4.
 191          assumption
 192         ]
 193       ]
 194     ]
 195   ]
 196 qed.
 197
 198 theorem exists_max_forall_false:\forall f,n.
 199 ((\exists i. i \le n \land f i = true) \land (f (max n f) = true))\lor
 200 ((\forall i. i \le n \to f i = false) \land (max n f) = O).
 201 intros.
 202 elim (exists_forall_le f n)
 203   [left.split
 204     [assumption
 205     |apply f_max_true.assumption
 206     ]
 207   |right.split
 208     [assumption
 209     |apply max_O.assumption
 210     ]
 211   ]
 212 qed.
 213
 214 theorem false_to_lt_max: \forall f,n,m.O < n \to
 215 f n = false \to max m f \le n \to max m f < n.
 216 intros.
 217 elim (le_to_or_lt_eq ? ? H2)
 218   [assumption
 219   |elim (exists_max_forall_false f m)
 220     [elim H4.
 221      apply False_ind.
 222      apply not_eq_true_false.
 223      rewrite < H6.
 224      rewrite > H3.
 225      assumption
 226     |elim H4.
 227      rewrite > H6.
 228      assumption
 229     ]
 230   ]
 231 qed.
 232
 233 theorem lt_max_to_false : \forall f:nat \to bool.
 234 \forall n,m:nat. (max n f) < m \to m \leq n \to f m = false.
 235 intros 2.
 236 elim n.absurd (le m O).assumption.
 237 cut (O < m).apply (lt_O_n_elim m Hcut).exact not_le_Sn_O.
 238 rewrite < (max_O_f f).assumption.
 239 elim (max_S_max f n1) in H1 ⊢ %.
 240 elim H1.
 241 absurd (m \le S n1).assumption.
 242 apply lt_to_not_le.rewrite < H5.assumption.
 243 elim H1.
 244 apply (le_n_Sm_elim m n1 H2).
 245 intro.
 246 apply H.rewrite < H5.assumption.
 247 apply le_S_S_to_le.assumption.
 248 intro.rewrite > H6.assumption.
 249 qed.
 250
 251 theorem f_false_to_le_max: \forall f,n,p. (∃i:nat.i≤n∧f i=true) \to
 252 (\forall m. p < m \to f m = false)
 253 \to max n f \le p.
 254 intros.
 255 apply not_lt_to_le.intro.
 256 apply not_eq_true_false.
 257 rewrite < (H1 ? H2).
 258 apply sym_eq.
 259 apply f_max_true.
 260 assumption.
 261 qed.
 262
 263 definition max_spec \def \lambda f:nat \to bool.\lambda n,m: nat.
 264 m \le n \land (f m)=true \land (\forall i. m < i \to i \le n \to (f i = false)).
 265
 266 theorem max_spec_to_max: \forall f:nat \to bool.\forall n,m:nat.
 267 max_spec f n m \to max n f = m.
 268 intros 2.
 269 elim n
 270   [elim H.elim H1.apply (le_n_O_elim ? H3).
 271    apply max_O_f
 272   |elim H1.
 273    elim (max_S_max f n1)
 274     [elim H4.
 275      rewrite > H6.
 276      apply le_to_le_to_eq
 277       [apply not_lt_to_le.
 278        unfold Not.intro.
 279        apply not_eq_true_false.
 280        rewrite < H5.
 281        apply H3
 282         [assumption|apply le_n]
 283       |elim H2.assumption
 284       ]
 285     |elim H4.
 286      rewrite > H6.
 287      apply H.
 288      elim H2.
 289      split
 290       [split
 291         [elim (le_to_or_lt_eq ? ? H7)
 292           [apply le_S_S_to_le.assumption
 293           |apply False_ind.
 294            apply not_eq_true_false.
 295            rewrite < H8.
 296            rewrite > H9.
 297            assumption
 298           ]
 299         |assumption
 300         ]
 301       |intros.
 302        apply H3
 303         [assumption|apply le_S.assumption]
 304       ]
 305     ]
 306   ]
 307 qed.
 308
 309 let rec min_aux off n f \def
 310   match f n with
 311   [ true \Rightarrow n
 312   | false \Rightarrow
 313       match off with
 314       [ O \Rightarrow n
 315       | (S p) \Rightarrow min_aux p (S n) f]].
 316
 317 definition min : nat \to (nat \to bool) \to nat \def
 318 \lambda n.\lambda f. min_aux n O f.
 319
 320 theorem min_aux_O_f: \forall f:nat \to bool. \forall i :nat.
 321 min_aux O i f = i.
 322 intros.simplify.
 323 elim (f i).reflexivity.
 324 simplify.reflexivity.
 325 qed.
 326
 327 theorem min_O_f : \forall f:nat \to bool.
 328 min O f = O.
 329 intro.apply (min_aux_O_f f O).
 330 qed.
 331
 332 theorem min_aux_S : \forall f: nat \to bool. \forall i,n:nat.
 333 ((f n) = true \land min_aux (S i) n f = n) \lor
 334 ((f n) = false \land min_aux (S i) n f = min_aux i (S n) f).
 335 intros.simplify.elim (f n).
 336 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
 337 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
 338 qed.
 339
 340 theorem f_min_aux_true: \forall f:nat \to bool. \forall off,m:nat.
 341 (\exists i. le m i \land le i (off + m) \land f i = true) \to
 342 f (min_aux off m f) = true.
 343 intros 2.
 344 elim off.elim H.elim H1.elim H2.
 345 cut (a = m).
 346 rewrite > (min_aux_O_f f).rewrite < Hcut.assumption.
 347 apply (antisym_le a m).assumption.assumption.
 348 simplify.
 349 apply (bool_ind (\lambda b:bool.
 350 (f m = b) \to (f (match b in bool with
 351 [ true \Rightarrow m
 352 | false  \Rightarrow (min_aux n (S m) f)])) = true)).
 353 intro; assumption.
 354 intro. apply H.
 355 elim H1.elim H3.elim H4.
 356 elim (le_to_or_lt_eq ? a H6).
 357 apply (ex_intro nat ? a).
 358 split.split.
 359 assumption.
 360 rewrite < plus_n_Sm; assumption.
 361 assumption.
 362 absurd (f a = false).rewrite < H8.assumption.
 363 rewrite > H5.
 364 apply not_eq_true_false.
 365 reflexivity.
 366 qed.
 367
 368 theorem f_min_true: \forall f:nat \to bool. \forall m:nat.
 369 (\exists i. le i m \land f i = true) \to
 370 f (min m f) = true.
 371 intros.unfold min.
 372 apply f_min_aux_true.
 373 elim H.clear H.elim H1.clear H1.
 374 apply (ex_intro ? ? a).
 375 split
 376   [split
 377     [apply le_O_n
 378     |rewrite < plus_n_O.assumption
 379     ]
 380   |assumption
 381   ]
 382 qed.
 383
 384 theorem lt_min_aux_to_false : \forall f:nat \to bool.
 385 \forall n,off,m:nat. n \leq m \to m < (min_aux off n f) \to f m = false.
 386 intros 3.
 387 generalize in match n; clear n;
 388 elim off.absurd (le n1 m).assumption.
 389 apply lt_to_not_le.rewrite < (min_aux_O_f f n1).assumption.
 390 elim (le_to_or_lt_eq ? ? H1);
 391  [ unfold lt in H3;
 392    apply (H (S n1));
 393    [ assumption
 394    | elim (min_aux_S f n n1);
 395      [ elim H4;
 396        elim (not_le_Sn_n n1);
 397        rewrite > H6 in H2;
 398        apply (lt_to_le (S n1) n1 ?).
 399        apply (le_to_lt_to_lt (S n1) m n1 ? ?);
 400         [apply (H3).
 401         |apply (H2).
 402         ]
 403      | elim H4;
 404        rewrite < H6;
 405        assumption
 406      ]
 407    ]
 408  | rewrite < H3 in H2 ⊢ %.
 409    elim (min_aux_S f n n1);
 410     [ elim H4;
 411       rewrite > H6 in H2;
 412       unfold lt in H2;
 413       elim (not_le_Sn_n ? H2)
 414     | elim H4;
 415       assumption
 416     ]
 417  ]
 418 qed.
 419
 420
 421 lemma le_min_aux : \forall f:nat \to bool.
 422 \forall n,off:nat. n \leq (min_aux off n f).
 423 intros 3.
 424 elim off in n ⊢ %.
 425 rewrite > (min_aux_O_f f n1).apply le_n.
 426 elim (min_aux_S f n n1).
 427 elim H1.rewrite > H3.apply le_n.
 428 elim H1.rewrite > H3.
 429 apply (transitive_le ? (S n1));
 430  [ apply le_n_Sn
 431  | apply (H (S n1))
 432  ]
 433 qed.
 434
 435 theorem le_min_aux_r : \forall f:nat \to bool.
 436 \forall n,off:nat. (min_aux off n f) \le n+off.
 437 intros.
 438 elim off in n ⊢ %.simplify.
 439 elim (f n1).simplify.rewrite < plus_n_O.apply le_n.
 440 simplify.rewrite < plus_n_O.apply le_n.
 441 simplify.elim (f n1).
 442 simplify.
 443 apply (le_plus_n_r (S n) n1).
 444 simplify.rewrite < plus_n_Sm.
 445 apply (H (S n1)).
 446 qed.