helm/software/matita/library/nat/minus.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16 include "nat/le_arith.ma".
  17 include "nat/compare.ma".
  18
  19 let rec minus n m \def
  20  match n with
  21  [ O \Rightarrow O
  22  | (S p) \Rightarrow
  23         match m with
  24         [O \Rightarrow (S p)
  25         | (S q) \Rightarrow minus p q ]].
  26
  27 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  28 interpretation "natural minus" 'minus x y = (cic:/matita/nat/minus/minus.con x y).
  29
  30 theorem minus_n_O: \forall n:nat.n=n-O.
  31 intros.elim n.simplify.reflexivity.
  32 simplify.reflexivity.
  33 qed.
  34
  35 theorem minus_n_n: \forall n:nat.O=n-n.
  36 intros.elim n.simplify.
  37 reflexivity.
  38 simplify.apply H.
  39 qed.
  40
  41 theorem minus_Sn_n: \forall n:nat. S O = (S n)-n.
  42 intro.elim n.
  43 simplify.reflexivity.
  44 elim H.reflexivity.
  45 qed.
  46
  47 theorem minus_Sn_m: \forall n,m:nat. m \leq n \to (S n)-m = S (n-m).
  48 intros 2.
  49 apply (nat_elim2
  50 (\lambda n,m.m \leq n \to (S n)-m = S (n-m))).
  51 intros.apply (le_n_O_elim n1 H).
  52 simplify.reflexivity.
  53 intros.simplify.reflexivity.
  54 intros.rewrite < H.reflexivity.
  55 apply le_S_S_to_le. assumption.
  56 qed.
  57
  58 theorem eq_minus_S_pred: \forall n,m. n - (S m) = pred(n -m).
  59 apply nat_elim2
  60   [intro.reflexivity
  61   |intro.simplify.autobatch
  62   |intros.simplify.assumption
  63   ]
  64 qed.
  65
  66 theorem plus_minus:
  67 \forall n,m,p:nat. m \leq n \to (n-m)+p = (n+p)-m.
  68 intros 2.
  69 apply (nat_elim2
  70 (\lambda n,m.\forall p:nat.m \leq n \to (n-m)+p = (n+p)-m)).
  71 intros.apply (le_n_O_elim ? H).
  72 simplify.rewrite < minus_n_O.reflexivity.
  73 intros.simplify.reflexivity.
  74 intros.simplify.apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.
  75 qed.
  76
  77 theorem minus_plus_m_m: \forall n,m:nat.n = (n+m)-m.
  78 intros 2.
  79 elim m in n ⊢ %.
  80 rewrite < minus_n_O.apply plus_n_O.
  81 elim n1.simplify.
  82 apply minus_n_n.
  83 rewrite < plus_n_Sm.
  84 change with (S n2 = (S n2 + n)-n).
  85 apply H.
  86 qed.
  87
  88 theorem plus_minus_m_m: \forall n,m:nat.
  89 m \leq n \to n = (n-m)+m.
  90 intros 2.
  91 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m \leq n \to n = (n-m)+m)).
  92 intros.apply (le_n_O_elim n1 H).
  93 reflexivity.
  94 intros.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.
  95 intros.simplify.rewrite < sym_plus.simplify.
  96 apply eq_f.rewrite < sym_plus.apply H.
  97 apply le_S_S_to_le.assumption.
  98 qed.
  99
 100 theorem minus_to_plus :\forall n,m,p:nat.m \leq n \to n-m = p \to
 101 n = m+p.
 102 intros.apply (trans_eq ? ? ((n-m)+m)).
 103 apply plus_minus_m_m.
 104 apply H.elim H1.
 105 apply sym_plus.
 106 qed.
 107
 108 theorem plus_to_minus :\forall n,m,p:nat.
 109 n = m+p \to n-m = p.
 110 intros.
 111 apply (inj_plus_r m).
 112 rewrite < H.
 113 rewrite < sym_plus.
 114 symmetry.
 115 apply plus_minus_m_m.rewrite > H.
 116 rewrite > sym_plus.
 117 apply le_plus_n.
 118 qed.
 119
 120 theorem minus_S_S : \forall n,m:nat.
 121 eq nat (minus (S n) (S m)) (minus n m).
 122 intros.
 123 reflexivity.
 124 qed.
 125
 126 theorem minus_pred_pred : \forall n,m:nat. lt O n \to lt O m \to
 127 eq nat (minus (pred n) (pred m)) (minus n m).
 128 intros.
 129 apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 130 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 131 simplify.reflexivity.
 132 qed.
 133
 134 theorem eq_minus_n_m_O: \forall n,m:nat.
 135 n \leq m \to n-m = O.
 136 intros 2.
 137 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.n \leq m \to n-m = O)).
 138 intros.simplify.reflexivity.
 139 intros.apply False_ind.
 140 apply not_le_Sn_O;
 141 [2: apply H | skip].
 142 intros.
 143 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le. apply H1.
 144 qed.
 145
 146 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 147 intros.elim H.elim (minus_Sn_n n).apply le_n.
 148 rewrite > minus_Sn_m.
 149 apply le_S.assumption.
 150 apply lt_to_le.assumption.
 151 qed.
 152
 153 theorem minus_le_S_minus_S: \forall n,m:nat. m-n \leq S (m-(S n)).
 154 intros.apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m-n \leq S (m-(S n)))).
 155 intro.elim n1.simplify.apply le_n_Sn.
 156 simplify.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 157 intros.simplify.apply le_n_Sn.
 158 intros.simplify.apply H.
 159 qed.
 160
 161 theorem lt_minus_S_n_to_le_minus_n : \forall n,m,p:nat. m-(S n) < p \to m-n \leq p.
 162 intros 3.simplify.intro.
 163 apply (trans_le (m-n) (S (m-(S n))) p).
 164 apply minus_le_S_minus_S.
 165 assumption.
 166 qed.
 167
 168 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 169 intros.apply (nat_elim2 (\lambda m,n. n-m \leq n)).
 170 intros.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 171 intros.simplify.apply le_n.
 172 intros.simplify.apply le_S.assumption.
 173 qed.
 174
 175 theorem lt_minus_m: \forall n,m:nat. O < n \to O < m \to n-m \lt n.
 176 intros.apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 177 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 178 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_minus_m.
 179 qed.
 180
 181 theorem minus_le_O_to_le: \forall n,m:nat. n-m \leq O \to n \leq m.
 182 intros 2.
 183 apply (nat_elim2 (\lambda n,m:nat.n-m \leq O \to n \leq m)).
 184 intros.apply le_O_n.
 185 simplify.intros. assumption.
 186 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.assumption.
 187 qed.
 188
 189 (* galois *)
 190 theorem monotonic_le_minus_r:
 191 \forall p,q,n:nat. q \leq p \to n-p \le n-q.
 192 simplify.intros 2.apply (nat_elim2
 193 (\lambda p,q.\forall a.q \leq p \to a-p \leq a-q)).
 194 intros.apply (le_n_O_elim n H).apply le_n.
 195 intros.rewrite < minus_n_O.
 196 apply le_minus_m.
 197 intros.elim a.simplify.apply le_n.
 198 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.
 199 qed.
 200
 201 theorem le_minus_to_plus: \forall n,m,p. (le (n-m) p) \to (le n (p+m)).
 202 intros 2.apply (nat_elim2 (\lambda n,m.\forall p.(le (n-m) p) \to (le n (p+m)))).
 203 intros.apply le_O_n.
 204 simplify.intros.rewrite < plus_n_O.assumption.
 205 intros.
 206 rewrite < plus_n_Sm.
 207 apply le_S_S.apply H.
 208 exact H1.
 209 qed.
 210
 211 theorem le_plus_to_minus: \forall n,m,p. (le n (p+m)) \to (le (n-m) p).
 212 intros 2.apply (nat_elim2 (\lambda n,m.\forall p.(le n (p+m)) \to (le (n-m) p))).
 213 intros.simplify.apply le_O_n.
 214 intros 2.rewrite < plus_n_O.intro.simplify.assumption.
 215 intros.simplify.apply H.
 216 apply le_S_S_to_le.rewrite > plus_n_Sm.assumption.
 217 qed.
 218
 219 (* the converse of le_plus_to_minus does not hold *)
 220 theorem le_plus_to_minus_r: \forall n,m,p. (le (n+m) p) \to (le n (p-m)).
 221 intros 3.apply (nat_elim2 (\lambda m,p.(le (n+m) p) \to (le n (p-m)))).
 222 intro.rewrite < plus_n_O.rewrite < minus_n_O.intro.assumption.
 223 intro.intro.cut (n=O).rewrite > Hcut.apply le_O_n.
 224 apply sym_eq. apply le_n_O_to_eq.
 225 apply (trans_le ? (n+(S n1))).
 226 rewrite < sym_plus.
 227 apply le_plus_n.assumption.
 228 intros.simplify.
 229 apply H.apply le_S_S_to_le.
 230 rewrite > plus_n_Sm.assumption.
 231 qed.
 232
 233 (* minus and lt - to be completed *)
 234 theorem lt_minus_l: \forall m,l,n:nat.
 235   l < m \to m \le n \to n - m < n - l.
 236 apply nat_elim2
 237   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 238   |intros.rewrite < minus_n_O.
 239    autobatch
 240   |intros.
 241    generalize in match H2.
 242    apply (nat_case n1)
 243     [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H3)
 244     |intros.simplify.
 245      apply H
 246       [
 247        apply lt_S_S_to_lt.
 248        assumption
 249       |apply le_S_S_to_le.assumption
 250       ]
 251     ]
 252   ]
 253 qed.
 254
 255 theorem lt_minus_r: \forall n,m,l:nat.
 256   n \le l \to l < m \to l -n < m -n.
 257 intro.elim n
 258   [applyS H1
 259   |rewrite > eq_minus_S_pred.
 260    rewrite > eq_minus_S_pred.
 261    apply lt_pred
 262     [unfold lt.apply le_plus_to_minus_r.applyS H1
 263     |apply H[autobatch|assumption]
 264     ]
 265   ]
 266 qed.
 267
 268 lemma lt_to_lt_O_minus : \forall m,n.
 269   n < m \to O < m - n.
 270 intros.
 271 unfold. apply le_plus_to_minus_r. unfold in H. rewrite > sym_plus.
 272 rewrite < plus_n_Sm.
 273 rewrite < plus_n_O.
 274 assumption.
 275 qed.
 276
 277 theorem lt_minus_to_plus: \forall n,m,p. (lt n (p-m)) \to (lt (n+m) p).
 278 intros 3.apply (nat_elim2 (\lambda m,p.(lt n (p-m)) \to (lt (n+m) p))).
 279 intro.rewrite < plus_n_O.rewrite < minus_n_O.intro.assumption.
 280 simplify.intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O n H).
 281 simplify.intros.unfold lt.
 282 apply le_S_S.
 283 rewrite < plus_n_Sm.
 284 apply H.apply H1.
 285 qed.
 286
 287 theorem lt_O_minus_to_lt: \forall a,b:nat.
 288 O \lt b-a \to a \lt b.
 289 intros.
 290 rewrite > (plus_n_O a).
 291 rewrite > (sym_plus a O).
 292 apply (lt_minus_to_plus O  a b).
 293 assumption.
 294 qed.
 295
 296 theorem lt_minus_to_lt_plus:
 297 \forall n,m,p. n - m < p \to n < m + p.
 298 intros 2.
 299 apply (nat_elim2 ? ? ? ? n m)
 300   [simplify.intros.autobatch.
 301   |intros 2.rewrite < minus_n_O.
 302    intro.assumption
 303   |intros.
 304    simplify.
 305    cut (n1 < m1+p)
 306     [autobatch
 307     |apply H.
 308      apply H1
 309     ]
 310   ]
 311 qed.
 312
 313 theorem lt_plus_to_lt_minus:
 314 \forall n,m,p. m \le n \to n < m + p \to n - m < p.
 315 intros 2.
 316 apply (nat_elim2 ? ? ? ? n m)
 317   [simplify.intros 3.
 318    apply (le_n_O_elim ? H).
 319    simplify.intros.assumption
 320   |simplify.intros.assumption.
 321   |intros.
 322    simplify.
 323    apply H
 324     [apply le_S_S_to_le.assumption
 325     |apply le_S_S_to_le.apply H2
 326     ]
 327   ]
 328 qed.
 329
 330 theorem minus_m_minus_mn: \forall n,m. n\le m \to n=m-(m-n).
 331 intros.
 332 apply sym_eq.
 333 apply plus_to_minus.
 334 autobatch.
 335 qed.
 336
 337 theorem distributive_times_minus: distributive nat times minus.
 338 unfold distributive.
 339 intros.
 340 apply ((leb_elim z y)).
 341   intro.cut (x*(y-z)+x*z = (x*y-x*z)+x*z).
 342     apply (inj_plus_l (x*z)).assumption.
 343     apply (trans_eq nat ? (x*y)).
 344       rewrite < distr_times_plus.rewrite < (plus_minus_m_m ? ? H).reflexivity.
 345       rewrite < plus_minus_m_m.
 346         reflexivity.
 347         apply le_times_r.assumption.
 348   intro.rewrite > eq_minus_n_m_O.
 349     rewrite > (eq_minus_n_m_O (x*y)).
 350       rewrite < sym_times.simplify.reflexivity.
 351         apply le_times_r.apply lt_to_le.apply not_le_to_lt.assumption.
 352         apply lt_to_le.apply not_le_to_lt.assumption.
 353 qed.
 354
 355 theorem distr_times_minus: \forall n,m,p:nat. n*(m-p) = n*m-n*p
 356 \def distributive_times_minus.
 357
 358 theorem eq_minus_plus_plus_minus: \forall n,m,p:nat. p \le m \to (n+m)-p = n+(m-p).
 359 intros.
 360 apply plus_to_minus.
 361 rewrite > sym_plus in \vdash (? ? ? %).
 362 rewrite > assoc_plus.
 363 rewrite < plus_minus_m_m.
 364 reflexivity.assumption.
 365 qed.
 366
 367 theorem eq_minus_minus_minus_plus: \forall n,m,p:nat. (n-m)-p = n-(m+p).
 368 intros.
 369 cut (m+p \le n \or m+p \nleq n).
 370   elim Hcut.
 371     symmetry.apply plus_to_minus.
 372     rewrite > assoc_plus.rewrite > (sym_plus p).rewrite < plus_minus_m_m.
 373       rewrite > sym_plus.rewrite < plus_minus_m_m.
 374         reflexivity.
 375         apply (trans_le ? (m+p)).
 376           rewrite < sym_plus.apply le_plus_n.
 377           assumption.
 378       apply le_plus_to_minus_r.rewrite > sym_plus.assumption.
 379     rewrite > (eq_minus_n_m_O n (m+p)).
 380       rewrite > (eq_minus_n_m_O (n-m) p).
 381         reflexivity.
 382       apply le_plus_to_minus.apply lt_to_le. rewrite < sym_plus.
 383        apply not_le_to_lt. assumption.
 384     apply lt_to_le.apply not_le_to_lt.assumption.
 385   apply (decidable_le (m+p) n).
 386 qed.
 387
 388 theorem eq_plus_minus_minus_minus: \forall n,m,p:nat. p \le m \to m \le n \to
 389 p+(n-m) = n-(m-p).
 390 intros.
 391 apply sym_eq.
 392 apply plus_to_minus.
 393 rewrite < assoc_plus.
 394 rewrite < plus_minus_m_m.
 395 rewrite < sym_plus.
 396 rewrite < plus_minus_m_m.reflexivity.
 397 assumption.assumption.
 398 qed.