helm/software/matita/library/nat/minus.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16 include "nat/le_arith.ma".
  17 include "nat/compare.ma".
  18
  19 let rec minus n m \def
  20  match n with
  21  [ O \Rightarrow O
  22  | (S p) \Rightarrow
  23         match m with
  24         [O \Rightarrow (S p)
  25         | (S q) \Rightarrow minus p q ]].
  26
  27 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
  28
  29 theorem minus_n_O: \forall n:nat.n=n-O.
  30 intros.elim n.simplify.reflexivity.
  31 simplify.reflexivity.
  32 qed.
  33
  34 theorem minus_n_n: \forall n:nat.O=n-n.
  35 intros.elim n.simplify.
  36 reflexivity.
  37 simplify.apply H.
  38 qed.
  39
  40 theorem minus_Sn_n: \forall n:nat. S O = (S n)-n.
  41 intro.elim n.
  42 simplify.reflexivity.
  43 elim H.reflexivity.
  44 qed.
  45
  46 theorem minus_Sn_m: \forall n,m:nat. m \leq n \to (S n)-m = S (n-m).
  47 intros 2.
  48 apply (nat_elim2
  49 (\lambda n,m.m \leq n \to (S n)-m = S (n-m))).
  50 intros.apply (le_n_O_elim n1 H).
  51 simplify.reflexivity.
  52 intros.simplify.reflexivity.
  53 intros.rewrite < H.reflexivity.
  54 apply le_S_S_to_le. assumption.
  55 qed.
  56
  57 theorem eq_minus_S_pred: \forall n,m. n - (S m) = pred(n -m).
  58 apply nat_elim2
  59   [intro.reflexivity
  60   |intro.simplify.autobatch
  61   |intros.simplify.assumption
  62   ]
  63 qed.
  64
  65 theorem plus_minus:
  66 \forall n,m,p:nat. m \leq n \to (n-m)+p = (n+p)-m.
  67 intros 2.
  68 apply (nat_elim2
  69 (\lambda n,m.\forall p:nat.m \leq n \to (n-m)+p = (n+p)-m)).
  70 intros.apply (le_n_O_elim ? H).
  71 simplify.rewrite < minus_n_O.reflexivity.
  72 intros.simplify.reflexivity.
  73 intros.simplify.apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.
  74 qed.
  75
  76 theorem minus_plus_m_m: \forall n,m:nat.n = (n+m)-m.
  77 intros 2.
  78 elim m in n ⊢ %.
  79 rewrite < minus_n_O.apply plus_n_O.
  80 elim n1.simplify.
  81 apply minus_n_n.
  82 rewrite < plus_n_Sm.
  83 change with (S n2 = (S n2 + n)-n).
  84 apply H.
  85 qed.
  86
  87 theorem plus_minus_m_m: \forall n,m:nat.
  88 m \leq n \to n = (n-m)+m.
  89 intros 2.
  90 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m \leq n \to n = (n-m)+m)).
  91 intros.apply (le_n_O_elim n1 H).
  92 reflexivity.
  93 intros.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.
  94 intros.simplify.rewrite < sym_plus.simplify.
  95 apply eq_f.rewrite < sym_plus.apply H.
  96 apply le_S_S_to_le.assumption.
  97 qed.
  98
  99 theorem minus_to_plus :\forall n,m,p:nat.m \leq n \to n-m = p \to
 100 n = m+p.
 101 intros.apply (trans_eq ? ? ((n-m)+m)).
 102 apply plus_minus_m_m.
 103 apply H.elim H1.
 104 apply sym_plus.
 105 qed.
 106
 107 theorem plus_to_minus :\forall n,m,p:nat.
 108 n = m+p \to n-m = p.
 109 intros.
 110 apply (inj_plus_r m).
 111 rewrite < H.
 112 rewrite < sym_plus.
 113 symmetry.
 114 apply plus_minus_m_m.rewrite > H.
 115 rewrite > sym_plus.
 116 apply le_plus_n.
 117 qed.
 118
 119 theorem minus_S_S : \forall n,m:nat.
 120 eq nat (minus (S n) (S m)) (minus n m).
 121 intros.
 122 reflexivity.
 123 qed.
 124
 125 theorem minus_pred_pred : \forall n,m:nat. lt O n \to lt O m \to
 126 eq nat (minus (pred n) (pred m)) (minus n m).
 127 intros.
 128 apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 129 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 130 simplify.reflexivity.
 131 qed.
 132
 133 theorem eq_minus_n_m_O: \forall n,m:nat.
 134 n \leq m \to n-m = O.
 135 intros 2.
 136 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.n \leq m \to n-m = O)).
 137 intros.simplify.reflexivity.
 138 intros.apply False_ind.
 139 apply not_le_Sn_O;
 140 [2: apply H | skip].
 141 intros.
 142 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le. apply H1.
 143 qed.
 144
 145 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 146 intros.elim H.elim (minus_Sn_n n).apply le_n.
 147 rewrite > minus_Sn_m.
 148 apply le_S.assumption.
 149 apply lt_to_le.assumption.
 150 qed.
 151
 152 theorem minus_le_S_minus_S: \forall n,m:nat. m-n \leq S (m-(S n)).
 153 intros.apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m-n \leq S (m-(S n)))).
 154 intro.elim n1.simplify.apply le_n_Sn.
 155 simplify.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 156 intros.simplify.apply le_n_Sn.
 157 intros.simplify.apply H.
 158 qed.
 159
 160 theorem lt_minus_S_n_to_le_minus_n : \forall n,m,p:nat. m-(S n) < p \to m-n \leq p.
 161 intros 3.simplify.intro.
 162 apply (trans_le (m-n) (S (m-(S n))) p).
 163 apply minus_le_S_minus_S.
 164 assumption.
 165 qed.
 166
 167 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 168 intros.apply (nat_elim2 (\lambda m,n. n-m \leq n)).
 169 intros.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 170 intros.simplify.apply le_n.
 171 intros.simplify.apply le_S.assumption.
 172 qed.
 173
 174 theorem lt_minus_m: \forall n,m:nat. O < n \to O < m \to n-m \lt n.
 175 intros.apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 176 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 177 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_minus_m.
 178 qed.
 179
 180 theorem minus_le_O_to_le: \forall n,m:nat. n-m \leq O \to n \leq m.
 181 intros 2.
 182 apply (nat_elim2 (\lambda n,m:nat.n-m \leq O \to n \leq m)).
 183 intros.apply le_O_n.
 184 simplify.intros. assumption.
 185 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.assumption.
 186 qed.
 187
 188 (* galois *)
 189 theorem monotonic_le_minus_r:
 190 \forall p,q,n:nat. q \leq p \to n-p \le n-q.
 191 simplify.intros 2.apply (nat_elim2
 192 (\lambda p,q.\forall a.q \leq p \to a-p \leq a-q)).
 193 intros.apply (le_n_O_elim n H).apply le_n.
 194 intros.rewrite < minus_n_O.
 195 apply le_minus_m.
 196 intros.elim a.simplify.apply le_n.
 197 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.
 198 qed.
 199
 200 theorem le_minus_to_plus: \forall n,m,p. (le (n-m) p) \to (le n (p+m)).
 201 intros 2.apply (nat_elim2 (\lambda n,m.\forall p.(le (n-m) p) \to (le n (p+m)))).
 202 intros.apply le_O_n.
 203 simplify.intros.rewrite < plus_n_O.assumption.
 204 intros.
 205 rewrite < plus_n_Sm.
 206 apply le_S_S.apply H.
 207 exact H1.
 208 qed.
 209
 210 theorem le_plus_to_minus: \forall n,m,p. (le n (p+m)) \to (le (n-m) p).
 211 intros 2.apply (nat_elim2 (\lambda n,m.\forall p.(le n (p+m)) \to (le (n-m) p))).
 212 intros.simplify.apply le_O_n.
 213 intros 2.rewrite < plus_n_O.intro.simplify.assumption.
 214 intros.simplify.apply H.
 215 apply le_S_S_to_le.rewrite > plus_n_Sm.assumption.
 216 qed.
 217
 218 (* the converse of le_plus_to_minus does not hold *)
 219 theorem le_plus_to_minus_r: \forall n,m,p. (le (n+m) p) \to (le n (p-m)).
 220 intros 3.apply (nat_elim2 (\lambda m,p.(le (n+m) p) \to (le n (p-m)))).
 221 intro.rewrite < plus_n_O.rewrite < minus_n_O.intro.assumption.
 222 intro.intro.cut (n=O).rewrite > Hcut.apply le_O_n.
 223 apply sym_eq. apply le_n_O_to_eq.
 224 apply (trans_le ? (n+(S n1))).
 225 rewrite < sym_plus.
 226 apply le_plus_n.assumption.
 227 intros.simplify.
 228 apply H.apply le_S_S_to_le.
 229 rewrite > plus_n_Sm.assumption.
 230 qed.
 231
 232 (* minus and lt - to be completed *)
 233 theorem lt_minus_l: \forall m,l,n:nat.
 234   l < m \to m \le n \to n - m < n - l.
 235 apply nat_elim2
 236   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 237   |intros.rewrite < minus_n_O.
 238    autobatch
 239   |intros.
 240    generalize in match H2.
 241    apply (nat_case n1)
 242     [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H3)
 243     |intros.simplify.
 244      apply H
 245       [
 246        apply lt_S_S_to_lt.
 247        assumption
 248       |apply le_S_S_to_le.assumption
 249       ]
 250     ]
 251   ]
 252 qed.
 253
 254 theorem lt_minus_r: \forall n,m,l:nat.
 255   n \le l \to l < m \to l -n < m -n.
 256 intro.elim n
 257   [applyS H1
 258   |rewrite > eq_minus_S_pred.
 259    rewrite > eq_minus_S_pred.
 260    apply lt_pred
 261     [unfold lt.apply le_plus_to_minus_r.applyS H1
 262     |apply H[autobatch|assumption]
 263     ]
 264   ]
 265 qed.
 266
 267 lemma lt_to_lt_O_minus : \forall m,n.
 268   n < m \to O < m - n.
 269 intros.
 270 unfold. apply le_plus_to_minus_r. unfold in H. rewrite > sym_plus.
 271 rewrite < plus_n_Sm.
 272 rewrite < plus_n_O.
 273 assumption.
 274 qed.
 275
 276 theorem lt_minus_to_plus: \forall n,m,p. (lt n (p-m)) \to (lt (n+m) p).
 277 intros 3.apply (nat_elim2 (\lambda m,p.(lt n (p-m)) \to (lt (n+m) p))).
 278 intro.rewrite < plus_n_O.rewrite < minus_n_O.intro.assumption.
 279 simplify.intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O n H).
 280 simplify.intros.unfold lt.
 281 apply le_S_S.
 282 rewrite < plus_n_Sm.
 283 apply H.apply H1.
 284 qed.
 285
 286 theorem lt_O_minus_to_lt: \forall a,b:nat.
 287 O \lt b-a \to a \lt b.
 288 intros.
 289 rewrite > (plus_n_O a).
 290 rewrite > (sym_plus a O).
 291 apply (lt_minus_to_plus O  a b).
 292 assumption.
 293 qed.
 294
 295 theorem lt_minus_to_lt_plus:
 296 \forall n,m,p. n - m < p \to n < m + p.
 297 intros 2.
 298 apply (nat_elim2 ? ? ? ? n m)
 299   [simplify.intros.autobatch.
 300   |intros 2.rewrite < minus_n_O.
 301    intro.assumption
 302   |intros.
 303    simplify.
 304    cut (n1 < m1+p)
 305     [autobatch
 306     |apply H.
 307      apply H1
 308     ]
 309   ]
 310 qed.
 311
 312 theorem lt_plus_to_lt_minus:
 313 \forall n,m,p. m \le n \to n < m + p \to n - m < p.
 314 intros 2.
 315 apply (nat_elim2 ? ? ? ? n m)
 316   [simplify.intros 3.
 317    apply (le_n_O_elim ? H).
 318    simplify.intros.assumption
 319   |simplify.intros.assumption.
 320   |intros.
 321    simplify.
 322    apply H
 323     [apply le_S_S_to_le.assumption
 324     |apply le_S_S_to_le.apply H2
 325     ]
 326   ]
 327 qed.
 328
 329 theorem minus_m_minus_mn: \forall n,m. n\le m \to n=m-(m-n).
 330 intros.
 331 apply sym_eq.
 332 apply plus_to_minus.
 333 autobatch.
 334 qed.
 335
 336 theorem distributive_times_minus: distributive nat times minus.
 337 unfold distributive.
 338 intros.
 339 apply ((leb_elim z y)).
 340   intro.cut (x*(y-z)+x*z = (x*y-x*z)+x*z).
 341     apply (inj_plus_l (x*z)).assumption.
 342     apply (trans_eq nat ? (x*y)).
 343       rewrite < distr_times_plus.rewrite < (plus_minus_m_m ? ? H).reflexivity.
 344       rewrite < plus_minus_m_m.
 345         reflexivity.
 346         apply le_times_r.assumption.
 347   intro.rewrite > eq_minus_n_m_O.
 348     rewrite > (eq_minus_n_m_O (x*y)).
 349       rewrite < sym_times.simplify.reflexivity.
 350         apply le_times_r.apply lt_to_le.apply not_le_to_lt.assumption.
 351         apply lt_to_le.apply not_le_to_lt.assumption.
 352 qed.
 353
 354 theorem distr_times_minus: \forall n,m,p:nat. n*(m-p) = n*m-n*p
 355 \def distributive_times_minus.
 356
 357 theorem eq_minus_plus_plus_minus: \forall n,m,p:nat. p \le m \to (n+m)-p = n+(m-p).
 358 intros.
 359 apply plus_to_minus.
 360 rewrite > sym_plus in \vdash (? ? ? %).
 361 rewrite > assoc_plus.
 362 rewrite < plus_minus_m_m.
 363 reflexivity.assumption.
 364 qed.
 365
 366 theorem eq_minus_minus_minus_plus: \forall n,m,p:nat. (n-m)-p = n-(m+p).
 367 intros.
 368 cut (m+p \le n \or m+p \nleq n).
 369   elim Hcut.
 370     symmetry.apply plus_to_minus.
 371     rewrite > assoc_plus.rewrite > (sym_plus p).rewrite < plus_minus_m_m.
 372       rewrite > sym_plus.rewrite < plus_minus_m_m.
 373         reflexivity.
 374         apply (trans_le ? (m+p)).
 375           rewrite < sym_plus.apply le_plus_n.
 376           assumption.
 377       apply le_plus_to_minus_r.rewrite > sym_plus.assumption.
 378     rewrite > (eq_minus_n_m_O n (m+p)).
 379       rewrite > (eq_minus_n_m_O (n-m) p).
 380         reflexivity.
 381       apply le_plus_to_minus.apply lt_to_le. rewrite < sym_plus.
 382        apply not_le_to_lt. assumption.
 383     apply lt_to_le.apply not_le_to_lt.assumption.
 384   apply (decidable_le (m+p) n).
 385 qed.
 386
 387 theorem eq_plus_minus_minus_minus: \forall n,m,p:nat. p \le m \to m \le n \to
 388 p+(n-m) = n-(m-p).
 389 intros.
 390 apply sym_eq.
 391 apply plus_to_minus.
 392 rewrite < assoc_plus.
 393 rewrite < plus_minus_m_m.
 394 rewrite < sym_plus.
 395 rewrite < plus_minus_m_m.reflexivity.
 396 assumption.assumption.
 397 qed.