helm/software/matita/library/nat/nat.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                  *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "higher_order_defs/functions.ma".
  16
  17 inductive nat : Set \def
  18   | O : nat
  19   | S : nat \to nat.
  20
  21 definition pred: nat \to nat \def
  22  \lambda n:nat. match n with
  23  [ O \Rightarrow  O
  24  | (S p) \Rightarrow p ].
  25
  26 theorem pred_Sn : \forall n:nat.n=(pred (S n)).
  27  intros. simplify. reflexivity.
  28 qed.
  29
  30 theorem injective_S : injective nat nat S.
  31  unfold injective.
  32  intros.
  33  rewrite > pred_Sn.
  34  rewrite > (pred_Sn y).
  35  apply eq_f. assumption.
  36 qed.
  37
  38 theorem inj_S : \forall n,m:nat.(S n)=(S m) \to n=m \def
  39  injective_S.
  40
  41 theorem not_eq_S  : \forall n,m:nat.
  42  \lnot n=m \to S n \neq S m.
  43  intros. unfold Not. intros.
  44  apply H. apply injective_S. assumption.
  45 qed.
  46
  47 definition not_zero : nat \to Prop \def
  48  \lambda n: nat.
  49   match n with
  50   [ O \Rightarrow False
  51   | (S p) \Rightarrow True ].
  52
  53 theorem not_eq_O_S : \forall n:nat. O \neq S n.
  54  intros. unfold Not. intros.
  55  cut (not_zero O).
  56  exact Hcut.
  57  rewrite > H.exact I.
  58 qed.
  59
  60 theorem not_eq_n_Sn : \forall n:nat. n \neq S n.
  61  intros.elim n.
  62  apply not_eq_O_S.
  63  apply not_eq_S.assumption.
  64 qed.
  65
  66 theorem nat_case:
  67  \forall n:nat.\forall P:nat \to Prop.
  68   P O \to  (\forall m:nat. P (S m)) \to P n.
  69 intros.elim n
  70   [ assumption
  71   | apply H1 ]
  72 qed.
  73
  74 theorem nat_case1:
  75  \forall n:nat.\forall P:nat \to Prop.
  76   (n=O \to P O) \to  (\forall m:nat. (n=(S m) \to P (S m))) \to P n.
  77 intros 2; elim n
  78   [ apply H;reflexivity
  79   | apply H2;reflexivity ]
  80 qed.
  81
  82 theorem nat_elim2 :
  83  \forall R:nat \to nat \to Prop.
  84   (\forall n:nat. R O n)
  85   \to (\forall n:nat. R (S n) O)
  86   \to (\forall n,m:nat. R n m \to R (S n) (S m))
  87   \to \forall n,m:nat. R n m.
  88 intros 5;elim n
  89   [ apply H
  90   | apply (nat_case m)
  91     [ apply H1
  92     | intro; apply H2; apply H3 ] ]
  93 qed.
  94
  95 theorem decidable_eq_nat : \forall n,m:nat.decidable (n=m).
  96  intros.unfold decidable.
  97  apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(Or (n=m) ((n=m) \to False))))
  98  [ intro; elim n1
  99    [ left; reflexivity
 100    | right; apply not_eq_O_S ]
 101  | intro; right; intro; apply (not_eq_O_S n1); apply sym_eq; assumption
 102  | intros; elim H
 103    [ left; apply eq_f; assumption
 104    | right; intro; apply H1; apply inj_S; assumption ] ]
 105 qed.