helm/software/matita/library/nat/ord.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/constructors.ma".
  16 include "nat/exp.ma".
  17 include "nat/nth_prime.ma".
  18 include "nat/gcd.ma". (* for some properties of divides *)
  19 include "nat/relevant_equations.ma". (* required by autobatch paramod *)
  20
  21 let rec p_ord_aux p n m \def
  22   match n \mod m with
  23   [ O \Rightarrow
  24     match p with
  25       [ O \Rightarrow pair nat nat O n
  26       | (S p) \Rightarrow
  27        match (p_ord_aux p (n / m) m) with
  28        [ (pair q r) \Rightarrow pair nat nat (S q) r] ]
  29   | (S a) \Rightarrow pair nat nat O n].
  30
  31 (* p_ord n m = <q,r> if m divides n q times, with remainder r *)
  32 definition p_ord \def \lambda n,m:nat.p_ord_aux n n m.
  33
  34 theorem p_ord_aux_to_Prop: \forall p,n,m. O < m \to
  35   match p_ord_aux p n m with
  36   [ (pair q r) \Rightarrow n = m \sup q *r ].
  37 intro.
  38 elim p.simplify.
  39 apply (nat_case (n \mod m)).
  40 simplify.apply plus_n_O.
  41 intros.
  42 simplify.apply plus_n_O.
  43 simplify.
  44 apply (nat_case1 (n1 \mod m)).intro.
  45 simplify.
  46 generalize in match (H (n1 / m) m).
  47 elim (p_ord_aux n (n1 / m) m).
  48 simplify.
  49 rewrite > assoc_times.
  50 rewrite < H3.rewrite > (plus_n_O (m*(n1 / m))).
  51 rewrite < H2.
  52 rewrite > sym_times.
  53 rewrite < div_mod.reflexivity.
  54 assumption.assumption.
  55 intros.simplify.apply plus_n_O.
  56 qed.
  57
  58 theorem p_ord_aux_to_exp: \forall p,n,m,q,r. O < m \to
  59   (pair nat nat q r) = p_ord_aux p n m \to n = m \sup q * r.
  60 intros.
  61 change with
  62 match (pair nat nat q r) with
  63   [ (pair q r) \Rightarrow n = m \sup q * r ].
  64 rewrite > H1.
  65 apply p_ord_aux_to_Prop.
  66 assumption.
  67 qed.
  68
  69 (* questo va spostato in primes1.ma *)
  70 theorem p_ord_exp: \forall n,m,i. O < m \to n \mod m \neq O \to
  71 \forall p. i \le p \to p_ord_aux p (m \sup i * n) m = pair nat nat i n.
  72 intros 5.
  73 elim i.
  74 simplify.
  75 rewrite < plus_n_O.
  76 apply (nat_case p).
  77 simplify.
  78 elim (n \mod m).simplify.reflexivity.simplify.reflexivity.
  79 intro.
  80 simplify.
  81 cut (O < n \mod m \lor O = n \mod m).
  82 elim Hcut.apply (lt_O_n_elim (n \mod m) H3).
  83 intros. simplify.reflexivity.
  84 apply False_ind.
  85 apply H1.apply sym_eq.assumption.
  86 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
  87 generalize in match H3.
  88 apply (nat_case p).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O n1 H4).
  89 intros.
  90 simplify. fold simplify (m \sup (S n1)).
  91 cut (((m \sup (S n1)*n) \mod m) = O).
  92 rewrite > Hcut.
  93 simplify.fold simplify (m \sup (S n1)).
  94 cut ((m \sup (S n1) *n) / m = m \sup n1 *n).
  95 rewrite > Hcut1.
  96 rewrite > (H2 m1). simplify.reflexivity.
  97 apply le_S_S_to_le.assumption.
  98 (* div_exp *)
  99 simplify.
 100 rewrite > assoc_times.
 101 apply (lt_O_n_elim m H).
 102 intro.apply div_times.
 103 (* mod_exp = O *)
 104 apply divides_to_mod_O.
 105 assumption.
 106 simplify.rewrite > assoc_times.
 107 apply (witness ? ? (m \sup n1 *n)).reflexivity.
 108 qed.
 109
 110 theorem p_ord_aux_to_Prop1: \forall p,n,m. (S O) < m \to O < n \to n \le p \to
 111   match p_ord_aux p n m with
 112   [ (pair q r) \Rightarrow r \mod m \neq O].
 113 intro.elim p.absurd (O < n).assumption.
 114 apply le_to_not_lt.assumption.
 115 simplify.
 116 apply (nat_case1 (n1 \mod m)).intro.
 117 generalize in match (H (n1 / m) m).
 118 elim (p_ord_aux n (n1 / m) m).
 119 apply H5.assumption.
 120 apply eq_mod_O_to_lt_O_div.
 121 apply (trans_lt ? (S O)).unfold lt.apply le_n.
 122 assumption.assumption.assumption.
 123 apply le_S_S_to_le.
 124 apply (trans_le ? n1).change with (n1 / m < n1).
 125 apply lt_div_n_m_n.assumption.assumption.assumption.
 126 intros.simplify.
 127 rewrite > H4.
 128 unfold Not.intro.
 129 apply (not_eq_O_S m1).
 130 rewrite > H5.reflexivity.
 131 qed.
 132
 133 theorem p_ord_aux_to_not_mod_O: \forall p,n,m,q,r. (S O) < m \to O < n \to n \le p \to
 134  pair nat nat q r = p_ord_aux p n m \to r \mod m \neq O.
 135 intros.
 136 change with
 137   match (pair nat nat q r) with
 138   [ (pair q r) \Rightarrow r \mod m \neq O].
 139 rewrite > H3.
 140 apply p_ord_aux_to_Prop1.
 141 assumption.assumption.assumption.
 142 qed.
 143
 144 theorem p_ord_exp1: \forall p,n,q,r. O < p \to \lnot p \divides r \to
 145 n = p \sup q * r \to p_ord n p = pair nat nat q r.
 146 intros.unfold p_ord.
 147 rewrite > H2.
 148 apply p_ord_exp
 149  [assumption
 150  |unfold.intro.apply H1.
 151   apply mod_O_to_divides[assumption|assumption]
 152  |apply (trans_le ? (p \sup q)).
 153   cut ((S O) \lt p).
 154   elim q.simplify.apply le_n_Sn.
 155   simplify.
 156   generalize in match H3.
 157   apply (nat_case n1).simplify.
 158   rewrite < times_n_SO.intro.assumption.
 159   intros.
 160   apply (trans_le ? (p*(S m))).
 161   apply (trans_le ? ((S (S O))*(S m))).
 162   simplify.rewrite > plus_n_Sm.
 163   rewrite < plus_n_O.
 164   apply le_plus_n.
 165   apply le_times_l.
 166   assumption.
 167   apply le_times_r.assumption.
 168   apply not_eq_to_le_to_lt.
 169   unfold.intro.apply H1.
 170   rewrite < H3.
 171   apply (witness ? r r ?).simplify.apply plus_n_O.
 172   assumption.
 173   rewrite > times_n_SO in \vdash (? % ?).
 174   apply le_times_r.
 175   change with (O \lt r).
 176   apply not_eq_to_le_to_lt.
 177   unfold.intro.
 178   apply H1.rewrite < H3.
 179   apply (witness ? ? O ?).rewrite < times_n_O.reflexivity.
 180   apply le_O_n.
 181   ]
 182 qed.
 183
 184 theorem p_ord_to_exp1: \forall p,n,q,r. (S O) \lt p \to O \lt n \to p_ord n p = pair nat nat q r\to
 185 \lnot p \divides r \land n = p \sup q * r.
 186 intros.
 187 unfold p_ord in H2.
 188 split.unfold.intro.
 189 apply (p_ord_aux_to_not_mod_O n n p q r).assumption.assumption.
 190 apply le_n.symmetry.assumption.
 191 apply divides_to_mod_O.apply (trans_lt ? (S O)).
 192 unfold.apply le_n.assumption.assumption.
 193 apply (p_ord_aux_to_exp n).apply (trans_lt ? (S O)).
 194 unfold.apply le_n.assumption.symmetry.assumption.
 195 qed.
 196
 197 theorem eq_p_ord_q_O: ∀p,n,q. p_ord n p = pair ? ? q O → n=O ∧ q=O.
 198  intros 2;
 199  cases n;
 200   [ cases p; simplify; intros; destruct H; split; reflexivity;
 201   | cases p;
 202      [ intros;
 203        simplify in H;
 204        destruct H
 205      | cases n2;
 206         [ intros;
 207           simplify in H;
 208           rewrite < minus_n_O in H;
 209           simplify in H;
 210           change in H:(? ? match % return ? with [_⇒?|_⇒?] ?) with (mod n1 (S O));
 211           rewrite > mod_SO in H;
 212           simplify in H;
 213           change in H:(? ? match ? ? (? %) ? return ? with [_⇒?] ?) with (div n1 (S O));
 214           rewrite > div_SO in H;
 215           simplify in H;
 216
 217           letin H1 ≝ (p_ord_aux_to_exp n1 (S n1) 1); clearbody H1;
 218           elim (p_ord_aux n1 (S n1) 1) in H H1 (q' r'); simplify in H H1;
 219           destruct H;
 220           lapply (H1 q' O (le_n ?) (refl_eq ? ?));
 221           rewrite < times_n_O in Hletin;
 222           destruct Hletin
 223         | intros;
 224           lapply (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? ? ? H);
 225           [ apply le_S_S;
 226             apply le_S_S;
 227             apply le_O_n
 228           | apply le_S_S;
 229             apply le_O_n
 230           | cases Hletin;
 231             elim H1;
 232             apply (witness ? O O);
 233             rewrite < times_n_O;
 234             reflexivity]]]]
 235 qed.
 236
 237 theorem p_ord_times: \forall p,a,b,qa,ra,qb,rb. prime p
 238 \to O \lt a \to O \lt b
 239 \to p_ord a p = pair nat nat qa ra
 240 \to p_ord b p = pair nat nat qb rb
 241 \to p_ord (a*b) p = pair nat nat (qa + qb) (ra*rb).
 242 intros.
 243 cut ((S O) \lt p).
 244 elim (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? Hcut H1 H3).
 245 elim (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? Hcut H2 H4).
 246 apply p_ord_exp1.
 247 apply (trans_lt ? (S O)).unfold.apply le_n.assumption.
 248 unfold.intro.
 249 elim (divides_times_to_divides ? ? ? H H9).
 250 apply (absurd ? ? H10 H5).
 251 apply (absurd ? ? H10 H7).
 252 (* rewrite > H6.
 253 rewrite > H8. *)
 254 autobatch paramodulation.
 255 unfold prime in H. elim H. assumption.
 256 qed.
 257
 258 theorem fst_p_ord_times: \forall p,a,b. prime p
 259 \to O \lt a \to O \lt b
 260 \to fst ? ? (p_ord (a*b) p) = (fst ? ? (p_ord a p)) + (fst ? ? (p_ord b p)).
 261 intros.
 262 rewrite > (p_ord_times p a b (fst ? ? (p_ord a p)) (snd ? ? (p_ord a p))
 263 (fst ? ? (p_ord b p)) (snd ? ? (p_ord b p)) H H1 H2).
 264 simplify.reflexivity.
 265 apply eq_pair_fst_snd.
 266 apply eq_pair_fst_snd.
 267 qed.
 268
 269 theorem p_ord_p : \forall p:nat. (S O) \lt p \to p_ord p p = pair ? ? (S O) (S O).
 270 intros.
 271 apply p_ord_exp1.
 272 apply (trans_lt ? (S O)). unfold.apply le_n.assumption.
 273 unfold.intro.
 274 apply (absurd ? ? H).
 275 apply le_to_not_lt.
 276 apply divides_to_le.unfold.apply le_n.assumption.
 277 rewrite < times_n_SO.
 278 apply exp_n_SO.
 279 qed.
 280
 281 (* p_ord and divides *)
 282 theorem divides_to_p_ord: \forall p,a,b,c,d,n,m:nat.
 283 O < n \to O < m \to prime p
 284 \to divides n m \to p_ord n p = pair ? ? a b \to
 285 p_ord m p = pair ? ? c d \to divides b d \land a \le c.
 286 intros.
 287 cut (S O < p)
 288   [lapply (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? Hcut H H4).
 289    lapply (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? Hcut H1 H5).
 290    elim Hletin. clear Hletin.
 291    elim Hletin1. clear Hletin1.
 292    rewrite > H9 in H3.
 293    split
 294     [apply (gcd_SO_to_divides_times_to_divides (exp p c))
 295       [elim (le_to_or_lt_eq ? ? (le_O_n b))
 296         [assumption
 297         |apply False_ind.
 298          apply (lt_to_not_eq O ? H).
 299          rewrite > H7.
 300          rewrite < H10.
 301          autobatch
 302         ]
 303       |elim c
 304         [rewrite > sym_gcd.
 305          apply gcd_SO_n
 306         |simplify.
 307          apply eq_gcd_times_SO
 308           [apply lt_to_le.assumption
 309           |apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 310           |rewrite > sym_gcd.
 311            (* hint non trova prime_to_gcd_SO e
 312               autobatch non chiude il goal *)
 313            apply prime_to_gcd_SO
 314             [assumption|assumption]
 315           |assumption
 316           ]
 317         ]
 318       |apply (trans_divides ? n)
 319         [apply (witness ? ? (exp p a)).
 320          rewrite > sym_times.
 321          assumption
 322         |assumption
 323         ]
 324       ]
 325     |apply (le_exp_to_le p)
 326       [assumption
 327       |apply divides_to_le
 328         [apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 329         |apply (gcd_SO_to_divides_times_to_divides d)
 330           [apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 331           |elim a
 332             [apply gcd_SO_n
 333             |simplify.rewrite < sym_gcd.
 334              apply eq_gcd_times_SO
 335               [apply lt_to_le.assumption
 336               |apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 337               |rewrite > sym_gcd.
 338               (* hint non trova prime_to_gcd_SO e
 339                  autobatch non chiude il goal *)
 340                apply prime_to_gcd_SO
 341                 [assumption|assumption]
 342               |rewrite > sym_gcd. assumption
 343               ]
 344             ]
 345           |apply (trans_divides ? n)
 346             [apply (witness ? ? b).assumption
 347             |rewrite > sym_times.assumption
 348             ]
 349           ]
 350         ]
 351       ]
 352     ]
 353   |elim H2.assumption
 354   ]
 355 qed.
 356
 357 (* p_ord and primes *)
 358 theorem not_divides_to_p_ord_O: \forall n,i.
 359 Not (divides (nth_prime i) n) \to p_ord n (nth_prime i) =
 360 pair nat nat O n.
 361 intros.
 362 apply p_ord_exp1
 363   [apply lt_O_nth_prime_n
 364   |assumption
 365   |autobatch
 366   ]
 367 qed.
 368
 369 theorem p_ord_O_to_not_divides: \forall n,i,r.
 370 O < n \to
 371 p_ord n (nth_prime i) = pair nat nat O r
 372 \to Not (divides (nth_prime i) n).
 373 intros.
 374 lapply (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? ? ? H1)
 375   [apply lt_SO_nth_prime_n
 376   |assumption
 377   |elim Hletin.
 378    simplify in H3.
 379    rewrite > H3.
 380    rewrite < plus_n_O.
 381    assumption
 382   ]
 383 qed.
 384
 385 theorem p_ord_to_not_eq_O : \forall n,p,q,r.
 386   (S O) < n \to
 387   p_ord n (nth_prime p) = pair nat nat q r \to
 388   Not (r=O).
 389 intros.
 390 unfold.intro.
 391 cut (O < n)
 392   [lapply (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? ? ? H1)
 393     [apply lt_SO_nth_prime_n.
 394     |assumption
 395     |elim Hletin.
 396      apply (lt_to_not_eq ? ? Hcut).
 397      rewrite > H4.
 398      rewrite > H2.
 399      apply times_n_O
 400     ]
 401   |apply (trans_lt ? (S O))[apply lt_O_S|assumption]
 402   ]
 403 qed.
 404
 405 definition ord :nat \to nat \to nat \def
 406 \lambda n,p. fst ? ? (p_ord n p).
 407
 408 definition ord_rem :nat \to nat \to nat \def
 409 \lambda n,p. snd ? ? (p_ord n p).
 410
 411 theorem divides_to_ord: \forall p,n,m:nat.
 412 O < n \to O < m \to prime p
 413 \to divides n m
 414 \to divides (ord_rem n p) (ord_rem m p) \land (ord n p) \le (ord m p).
 415 intros.
 416 apply (divides_to_p_ord p ? ? ? ? n m H H1 H2 H3)
 417   [unfold ord.unfold ord_rem.apply eq_pair_fst_snd
 418   |unfold ord.unfold ord_rem.apply eq_pair_fst_snd
 419   ]
 420 qed.
 421
 422 theorem divides_to_divides_ord_rem: \forall p,n,m:nat.
 423 O < n \to O < m \to prime p \to divides n m \to
 424 divides (ord_rem n p) (ord_rem m p).
 425 intros.
 426 elim (divides_to_ord p n m H H1 H2 H3).assumption.
 427 qed.
 428
 429 theorem divides_to_le_ord: \forall p,n,m:nat.
 430 O < n \to O < m \to prime p \to divides n m \to
 431 (ord n p) \le (ord m p).
 432 intros.
 433 elim (divides_to_ord p n m H H1 H2 H3).assumption.
 434 qed.
 435
 436 theorem exp_ord: \forall p,n. (S O) \lt p
 437 \to O \lt n \to n = p \sup (ord n p) * (ord_rem n p).
 438 intros.
 439 elim (p_ord_to_exp1 p n (ord n p) (ord_rem n p))
 440   [assumption
 441   |assumption
 442   |assumption
 443   |unfold ord.unfold ord_rem.
 444    apply eq_pair_fst_snd
 445   ]
 446 qed.
 447
 448 theorem divides_ord_rem: \forall p,n. (S O) < p \to O < n
 449 \to divides (ord_rem n p) n.
 450 intros.
 451 apply (witness ? ? (p \sup (ord n p))).
 452 rewrite > sym_times.
 453 apply exp_ord[assumption|assumption]
 454 qed.
 455
 456 theorem lt_O_ord_rem: \forall p,n. (S O) < p \to O < n \to O < ord_rem n p.
 457 intros.
 458 elim (le_to_or_lt_eq O (ord_rem n p))
 459   [assumption
 460   |apply False_ind.
 461    apply (lt_to_not_eq ? ? H1).
 462    lapply (divides_ord_rem ? ? H H1).
 463    rewrite < H2 in Hletin.
 464    elim Hletin.
 465    rewrite > H3.
 466    reflexivity
 467   |apply le_O_n
 468   ]
 469 qed.
 470
 471 (* properties of ord e ord_rem *)
 472
 473 theorem ord_times: \forall p,m,n.O<m \to O<n \to prime p \to
 474 ord (m*n) p = ord m p+ord n p.
 475 intros.unfold ord.
 476 rewrite > (p_ord_times ? ? ? (ord m p) (ord_rem m p) (ord n p) (ord_rem n p))
 477   [reflexivity
 478   |assumption
 479   |assumption
 480   |assumption
 481   |unfold ord.unfold ord_rem.apply eq_pair_fst_snd
 482   |unfold ord.unfold ord_rem.apply eq_pair_fst_snd
 483   ]
 484 qed.
 485
 486 theorem ord_exp: \forall p,m.S O < p \to
 487 ord (exp p m) p = m.
 488 intros.
 489 unfold ord.
 490 rewrite > (p_ord_exp1 p (exp p m) m (S O))
 491   [reflexivity
 492   |apply lt_to_le.assumption
 493   |intro.apply (lt_to_not_le ? ? H).
 494    apply divides_to_le
 495     [apply lt_O_S
 496     |assumption
 497     ]
 498   |apply times_n_SO
 499   ]
 500 qed.
 501
 502 theorem not_divides_to_ord_O:
 503 \forall p,m. prime p \to \lnot (divides p m) \to
 504 ord m p = O.
 505 intros.unfold ord.
 506 rewrite > (p_ord_exp1 p m O m)
 507   [reflexivity
 508   |apply prime_to_lt_O.assumption
 509   |assumption
 510   |simplify.apply plus_n_O
 511   ]
 512 qed.
 513
 514 theorem ord_O_to_not_divides:
 515 \forall p,m. O < m \to prime p \to ord m p = O \to
 516 \lnot (divides p m).
 517 intros.
 518 lapply (p_ord_to_exp1 p m (ord m p) (ord_rem m p))
 519   [elim Hletin.
 520    rewrite > H4.
 521    rewrite > H2.
 522    rewrite > sym_times.
 523    rewrite < times_n_SO.
 524    assumption
 525   |apply prime_to_lt_SO.assumption
 526   |assumption
 527   |unfold ord.unfold ord_rem.apply eq_pair_fst_snd
 528   ]
 529 qed.
 530
 531 theorem divides_to_not_ord_O:
 532 \forall p,m. O < m \to prime p \to divides p m \to
 533 \lnot(ord m p = O).
 534 intros.intro.
 535 apply (ord_O_to_not_divides ? ? H H1 H3).
 536 assumption.
 537 qed.
 538
 539 theorem not_ord_O_to_divides:
 540 \forall p,m. O < m \to prime p \to \lnot (ord m p = O) \to
 541 divides p m.
 542 intros.
 543 rewrite > (exp_ord p) in ⊢ (? ? %)
 544   [apply (trans_divides ? (exp p (ord m p)))
 545     [generalize in match H2.
 546      cases (ord m p);intro
 547       [apply False_ind.apply H3.reflexivity
 548       |simplify.autobatch
 549       ]
 550     |autobatch
 551     ]
 552   |apply prime_to_lt_SO.
 553    assumption
 554   |assumption
 555   ]
 556 qed.
 557
 558 theorem not_divides_ord_rem: \forall m,p.O< m \to S O < p \to
 559 \lnot (divides p (ord_rem m p)).
 560 intros.
 561 elim (p_ord_to_exp1 p m (ord m p) (ord_rem m p))
 562   [assumption
 563   |assumption
 564   |assumption
 565   |unfold ord.unfold ord_rem.apply eq_pair_fst_snd
 566   ]
 567 qed.
 568
 569 theorem ord_ord_rem: \forall p,q,m. O < m \to
 570 prime p \to prime q \to
 571 q < p \to ord (ord_rem m p) q = ord m q.
 572 intros.
 573 rewrite > (exp_ord p) in ⊢ (? ? ? (? % ?))
 574   [rewrite > ord_times
 575     [rewrite > not_divides_to_ord_O in ⊢ (? ? ? (? % ?))
 576       [reflexivity
 577       |assumption
 578       |intro.
 579        apply (lt_to_not_eq ? ? H3).
 580        apply (divides_exp_to_eq ? ? ? H2 H1 H4)
 581       ]
 582     |apply lt_O_exp.
 583      apply (ltn_to_ltO ? ? H3)
 584     |apply lt_O_ord_rem
 585       [elim H1.assumption
 586       |assumption
 587
 588       ]
 589     |assumption
 590     ]
 591   |elim H1.assumption
 592   |assumption
 593   ]
 594 qed.
 595
 596 theorem lt_ord_rem: \forall n,m. prime n \to O < m \to
 597 divides n m \to ord_rem m n < m.
 598 intros.
 599 elim (le_to_or_lt_eq (ord_rem m n) m)
 600   [assumption
 601   |apply False_ind.
 602    apply (ord_O_to_not_divides ? ? H1 H ? H2).
 603    apply (inj_exp_r n)
 604     [apply prime_to_lt_SO.assumption
 605     |apply (inj_times_l1 m)
 606       [assumption
 607       |rewrite > sym_times in ⊢ (? ? ? %).
 608        rewrite < times_n_SO.
 609        rewrite < H3 in ⊢ (? ? (? ? %) ?).
 610        apply sym_eq.
 611        apply exp_ord
 612         [apply prime_to_lt_SO.assumption
 613         |assumption
 614         ]
 615       ]
 616     ]
 617   |apply divides_to_le
 618     [assumption
 619     |apply divides_ord_rem
 620       [apply prime_to_lt_SO.assumption
 621       |assumption
 622       ]
 623     ]
 624   ]
 625 qed.
 626
 627 (* p_ord_inv is used to encode the pair ord and rem into
 628    a single natural number. *)
 629
 630 definition p_ord_inv \def
 631 \lambda p,m,x.
 632   match p_ord x p with
 633   [pair q r \Rightarrow r*m+q].
 634
 635 theorem  eq_p_ord_inv: \forall p,m,x.
 636 p_ord_inv p m x = (ord_rem x p)*m+(ord x p).
 637 intros.unfold p_ord_inv. unfold ord_rem.
 638 unfold ord.
 639 elim (p_ord x p).
 640 reflexivity.
 641 qed.
 642
 643 theorem div_p_ord_inv:
 644 \forall p,m,x. ord x p < m \to p_ord_inv p m x / m = ord_rem x p.
 645 intros.rewrite > eq_p_ord_inv.
 646 apply div_plus_times.
 647 assumption.
 648 qed.
 649
 650 theorem mod_p_ord_inv:
 651 \forall p,m,x. ord x p < m \to p_ord_inv p m x \mod m = ord x p.
 652 intros.rewrite > eq_p_ord_inv.
 653 apply mod_plus_times.
 654 assumption.
 655 qed.