]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/software/matita/library/nat/pi_p.ma
...
[helm.git] / helm / software / matita / library / nat / pi_p.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "nat/primes.ma".
16 (* include "nat/ord.ma". *)
17 include "nat/generic_iter_p.ma".
18 (* include "nat/count.ma". necessary just to use bool_to_nat and bool_to_nat_andb*)
19 include "nat/iteration2.ma".
20
21 (* pi_p on nautral numbers is a specialization of iter_p_gen *)
22 definition pi_p: nat \to (nat \to bool) \to (nat \to nat) \to nat \def
23 \lambda n, p, g. (iter_p_gen n p nat g (S O) times).
24
25 theorem true_to_pi_p_Sn: 
26 \forall n:nat. \forall p:nat \to bool. \forall g:nat \to nat.
27 p n = true \to pi_p (S n) p g = (g n)*(pi_p n p g).
28 intros.
29 unfold pi_p.
30 apply true_to_iter_p_gen_Sn.
31 assumption.
32 qed.
33    
34 theorem false_to_pi_p_Sn: 
35 \forall n:nat. \forall p:nat \to bool. \forall g:nat \to nat.
36 p n = false \to pi_p (S n) p g = pi_p n p g.
37 intros.
38 unfold pi_p.
39 apply false_to_iter_p_gen_Sn.
40 assumption.
41 qed.  
42
43 theorem eq_pi_p: \forall p1,p2:nat \to bool.
44 \forall g1,g2: nat \to nat.\forall n.
45 (\forall x.  x < n \to p1 x = p2 x) \to
46 (\forall x.  x < n \to g1 x = g2 x) \to
47 pi_p n p1 g1 = pi_p n p2 g2.
48 intros.
49 unfold pi_p.
50 apply eq_iter_p_gen;
51 assumption.
52 qed.
53
54 theorem eq_pi_p1: \forall p1,p2:nat \to bool.
55 \forall g1,g2: nat \to nat.\forall n.
56 (\forall x.  x < n \to p1 x = p2 x) \to
57 (\forall x.  x < n \to p1 x = true \to g1 x = g2 x) \to
58 pi_p n p1 g1 = pi_p n p2 g2.
59 intros.
60 unfold pi_p.
61 apply eq_iter_p_gen1;
62 assumption.
63 qed.
64
65 theorem pi_p_false: 
66 \forall g: nat \to nat.\forall n.pi_p n (\lambda x.false) g = S O.
67 intros.
68 unfold pi_p.
69 apply iter_p_gen_false.
70 qed.
71
72 theorem pi_p_times: \forall n,k:nat.\forall p:nat \to bool.
73 \forall g: nat \to nat.
74 pi_p (k+n) p g 
75 = pi_p k (\lambda x.p (x+n)) (\lambda x.g (x+n)) * pi_p n p g.
76 intros.
77 unfold pi_p.
78 apply (iter_p_gen_plusA nat n k p g (S O) times)
79 [ apply sym_times.
80 | intros.
81   apply sym_eq.
82   apply times_n_SO
83 | apply associative_times
84 ]
85 qed.
86
87 theorem false_to_eq_pi_p: \forall n,m:nat.n \le m \to
88 \forall p:nat \to bool.
89 \forall g: nat \to nat. (\forall i:nat. n \le i \to i < m \to
90 p i = false) \to pi_p m p g = pi_p n p g.
91 intros.
92 unfold pi_p.
93 apply (false_to_eq_iter_p_gen);
94 assumption.
95 qed.
96
97 theorem or_false_eq_SO_to_eq_pi_p: 
98 \forall n,m:nat.\forall p:nat \to bool.
99 \forall g: nat \to nat.
100 n \le m \to (\forall i:nat. n \le i \to i < m \to p i = false \lor g i = S O)
101 \to pi_p m p g = pi_p n p g.
102 intros.
103 unfold pi_p.
104 apply or_false_eq_baseA_to_eq_iter_p_gen
105   [intros.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity
106   |assumption
107   |assumption
108   ]
109 qed.
110
111 theorem pi_p2 : 
112 \forall n,m:nat.
113 \forall p1,p2:nat \to bool.
114 \forall g: nat \to nat \to nat.
115 pi_p (n*m) 
116   (\lambda x.andb (p1 (div x m)) (p2 (mod x m))) 
117   (\lambda x.g (div x m) (mod x m)) =
118 pi_p n p1 
119   (\lambda x.pi_p m p2 (g x)).
120 intros.
121 unfold pi_p.
122 apply (iter_p_gen2 n m p1 p2 nat g (S O) times)
123 [ apply sym_times
124 | apply associative_times
125 | intros.
126   apply sym_eq.
127   apply times_n_SO
128 ]
129 qed.
130
131 theorem pi_p2' : 
132 \forall n,m:nat.
133 \forall p1:nat \to bool.
134 \forall p2:nat \to nat \to bool.
135 \forall g: nat \to nat \to nat.
136 pi_p (n*m) 
137   (\lambda x.andb (p1 (div x m)) (p2 (div x m) (mod x  m))) 
138   (\lambda x.g (div x m) (mod x m)) =
139 pi_p n p1 
140   (\lambda x.pi_p m (p2 x) (g x)).
141 intros.
142 unfold pi_p.
143 apply (iter_p_gen2' n m p1 p2 nat g (S O) times)
144 [ apply sym_times
145 | apply associative_times
146 | intros.
147   apply sym_eq.
148   apply times_n_SO
149 ]
150 qed.
151
152 lemma pi_p_gi: \forall g: nat \to nat.
153 \forall n,i.\forall p:nat \to bool.i < n \to p i = true \to 
154 pi_p n p g = g i * pi_p n (\lambda x. andb (p x) (notb (eqb x i))) g.
155 intros.
156 unfold pi_p.
157 apply (iter_p_gen_gi)
158 [ apply sym_times
159 | apply associative_times
160 | intros.
161   apply sym_eq.
162   apply times_n_SO
163 | assumption
164 | assumption
165 ]
166 qed.
167
168 theorem eq_pi_p_gh: 
169 \forall g,h,h1: nat \to nat.\forall n,n1.
170 \forall p1,p2:nat \to bool.
171 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to p2 (h i) = true) \to
172 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to h1 (h i) = i) \to 
173 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to h i < n1) \to 
174 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to p1 (h1 j) = true) \to
175 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to h (h1 j) = j) \to 
176 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to h1 j < n) \to 
177 pi_p n p1 (\lambda x.g(h x)) = pi_p n1 p2 g.
178 intros.
179 unfold pi_p.
180 apply (eq_iter_p_gen_gh nat (S O) times ? ? ? g h h1 n n1 p1 p2)
181 [ apply sym_times
182 | apply associative_times
183 | intros.
184   apply sym_eq.
185   apply times_n_SO
186 | assumption
187 | assumption
188 | assumption
189 | assumption
190 | assumption
191 | assumption
192 ]
193 qed.
194
195 (* monotonicity *)
196 theorem le_pi_p: 
197 \forall n:nat. \forall p:nat \to bool. \forall g1,g2:nat \to nat.
198 (\forall i. i < n \to p i = true \to g1 i \le g2 i ) \to 
199 pi_p n p g1 \le pi_p n p g2.
200 intros.
201 elim n in H ⊢ %
202   [apply le_n.
203   |apply (bool_elim ? (p n1));intros
204     [rewrite > true_to_pi_p_Sn
205       [rewrite > true_to_pi_p_Sn in ⊢ (? ? %)
206         [apply le_times
207           [apply H1[apply le_n|assumption]
208           |apply H.
209            intros.
210            apply H1[apply le_S.assumption|assumption]
211           ]
212         |assumption
213         ]
214       |assumption
215       ]
216     |rewrite > false_to_pi_p_Sn
217       [rewrite > false_to_pi_p_Sn in ⊢ (? ? %)
218         [apply H.
219          intros.
220          apply H1[apply le_S.assumption|assumption]
221         |assumption
222         ]
223       |assumption
224       ]
225     ]
226   ]
227 qed.
228      
229 theorem exp_sigma_p: \forall n,a,p. 
230 pi_p n p (\lambda x.a) = (exp a (sigma_p n p (\lambda x.S O))).
231 intros.
232 elim n
233   [reflexivity
234   |apply (bool_elim ? (p n1))
235     [intro.
236      rewrite > true_to_pi_p_Sn
237       [rewrite > true_to_sigma_p_Sn
238         [simplify.
239          rewrite > H.
240          reflexivity.
241         |assumption
242         ]
243       |assumption
244       ]
245     |intro.
246      rewrite > false_to_pi_p_Sn
247       [rewrite > false_to_sigma_p_Sn
248         [simplify.assumption
249         |assumption
250         ]
251       |assumption
252       ]
253     ]
254   ]
255 qed.
256
257 theorem exp_sigma_p1: \forall n,a,p,f. 
258 pi_p n p (\lambda x.(exp a (f x))) = (exp a (sigma_p n p f)).
259 intros.
260 elim n
261   [reflexivity
262   |apply (bool_elim ? (p n1))
263     [intro.
264      rewrite > true_to_pi_p_Sn
265       [rewrite > true_to_sigma_p_Sn
266         [simplify.
267          rewrite > H.
268          rewrite > exp_plus_times.
269          reflexivity.
270         |assumption
271         ]
272       |assumption
273       ]
274     |intro.
275      rewrite > false_to_pi_p_Sn
276       [rewrite > false_to_sigma_p_Sn
277         [simplify.assumption
278         |assumption
279         ]
280       |assumption
281       ]
282     ]
283   ]
284 qed.
285
286 theorem times_pi_p: \forall n,p,f,g. 
287 pi_p n p (\lambda x.f x*g x) = pi_p n p f * pi_p n p  g. 
288 intros.
289 elim n
290   [simplify.reflexivity
291   |apply (bool_elim ? (p n1))
292     [intro.
293      rewrite > true_to_pi_p_Sn
294       [rewrite > true_to_pi_p_Sn
295         [rewrite > true_to_pi_p_Sn
296           [rewrite > H.autobatch
297           |assumption
298           ]
299         |assumption
300         ]
301       |assumption
302       ]
303     |intro.
304      rewrite > false_to_pi_p_Sn
305       [rewrite > false_to_pi_p_Sn
306         [rewrite > false_to_pi_p_Sn;assumption
307         |assumption
308         ]
309       |assumption
310       ]
311     ]
312   ]
313 qed.
314
315 theorem pi_p_SO: \forall n,p. 
316 pi_p n p (\lambda i.S O) = S O.
317 intros.elim n
318   [reflexivity
319   |simplify.elim (p n1)
320     [simplify.rewrite < plus_n_O.assumption
321     |simplify.assumption
322     ]
323   ]
324 qed.
325
326 theorem exp_pi_p: \forall n,m,p,f. 
327 pi_p n p (\lambda x.exp (f x) m) = exp (pi_p n p f) m.
328 intros.
329 elim m
330   [simplify.apply pi_p_SO
331   |simplify.
332    rewrite > times_pi_p.
333    rewrite < H.
334    reflexivity
335   ]
336 qed.
337
338 theorem exp_times_pi_p: \forall n,m,k,p,f. 
339 pi_p n p (\lambda x.exp k (m*(f x))) = 
340 exp (pi_p n p (\lambda x.exp k (f x))) m.
341 intros.
342 apply (trans_eq ? ? (pi_p n p (\lambda x.(exp (exp k (f x)) m))))
343   [apply eq_pi_p;intros
344     [reflexivity
345     |apply sym_eq.rewrite > sym_times.
346      apply exp_exp_times
347     ]
348   |apply exp_pi_p
349   ]
350 qed.
351
352
353 theorem pi_p_knm:
354 \forall g: nat \to nat.
355 \forall h2:nat \to nat \to nat.
356 \forall h11,h12:nat \to nat. 
357 \forall k,n,m.
358 \forall p1,p21:nat \to bool.
359 \forall p22:nat \to nat \to bool.
360 (\forall x. x < k \to p1 x = true \to 
361 p21 (h11 x) = true \land p22 (h11 x) (h12 x) = true
362 \land h2 (h11 x) (h12 x) = x 
363 \land (h11 x) < n \land (h12 x) < m) \to
364 (\forall i,j. i < n \to j < m \to p21 i = true \to p22 i j = true \to 
365 p1 (h2 i j) = true \land 
366 h11 (h2 i j) = i \land h12 (h2 i j) = j
367 \land h2 i j < k) \to
368 pi_p k p1 g =
369 pi_p n p21 (\lambda x:nat.pi_p m (p22 x) (\lambda y. g (h2 x y))).
370 intros.
371 unfold pi_p.unfold pi_p.
372 apply (iter_p_gen_knm nat (S O) times sym_times assoc_times ? ? ? h11 h12)
373   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
374   |assumption
375   |assumption
376   ]
377 qed.
378
379 theorem pi_p_pi_p: 
380 \forall g: nat \to nat \to nat.
381 \forall h11,h12,h21,h22: nat \to nat \to nat. 
382 \forall n1,m1,n2,m2.
383 \forall p11,p21:nat \to bool.
384 \forall p12,p22:nat \to nat \to bool.
385 (\forall i,j. i < n2 \to j < m2 \to p21 i = true \to p22 i j = true \to 
386 p11 (h11 i j) = true \land p12 (h11 i j) (h12 i j) = true
387 \land h21 (h11 i j) (h12 i j) = i \land h22 (h11 i j) (h12 i j) = j
388 \land h11 i j < n1 \land h12 i j < m1) \to
389 (\forall i,j. i < n1 \to j < m1 \to p11 i = true \to p12 i j = true \to 
390 p21 (h21 i j) = true \land p22 (h21 i j) (h22 i j) = true
391 \land h11 (h21 i j) (h22 i j) = i \land h12 (h21 i j) (h22 i j) = j
392 \land (h21 i j) < n2 \land (h22 i j) < m2) \to
393 pi_p n1 p11 
394      (\lambda x:nat .pi_p m1 (p12 x) (\lambda y. g x y)) =
395 pi_p n2 p21 
396     (\lambda x:nat .pi_p m2 (p22 x)  (\lambda y. g (h11 x y) (h12 x y))).
397 intros.
398 unfold pi_p.unfold pi_p.
399 apply (iter_p_gen_2_eq ? ? ? sym_times assoc_times ? ? ? ? h21 h22)
400   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
401   |assumption
402   |assumption
403   ]
404 qed.
405
406 theorem pi_p_pi_p1: 
407 \forall g: nat \to nat \to nat.
408 \forall n,m.
409 \forall p11,p21:nat \to bool.
410 \forall p12,p22:nat \to nat \to bool.
411 (\forall x,y. x < n \to y < m \to 
412  (p11 x \land p12 x y) = (p21 y \land p22 y x)) \to
413 pi_p n p11 (\lambda x:nat.pi_p m (p12 x) (\lambda y. g x y)) =
414 pi_p m p21 (\lambda y:nat.pi_p n (p22 y) (\lambda x. g x y)).
415 intros.
416 unfold pi_p.unfold pi_p.
417 apply (iter_p_gen_iter_p_gen ? ? ? sym_times assoc_times)
418   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
419   |assumption
420   ]
421 qed.