]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/software/matita/library/nat/pi_p.ma
- transcript: we have now two styles of mma's from grafite:
[helm.git] / helm / software / matita / library / nat / pi_p.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "nat/primes.ma".
16 (* include "nat/ord.ma". *)
17 include "nat/generic_iter_p.ma".
18 (* include "nat/count.ma". necessary just to use bool_to_nat and bool_to_nat_andb*)
19 include "nat/iteration2.ma".
20
21 (* pi_p on nautral numbers is a specialization of iter_p_gen *)
22 definition pi_p: nat \to (nat \to bool) \to (nat \to nat) \to nat \def
23 \lambda n, p, g. (iter_p_gen n p nat g (S O) times).
24
25 (*
26 notation < "(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7(Π) ­
27              ) 
28             \below 
29             (p
30             \atop 
31             (ident i < n)) f" 
32 non associative with precedence 60 for 
33 @{ 'product $n (λ${ident i}:$xx1.$p) (λ${ident i}:$xx2.$f) }.
34
35 notation < "(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7(Π) ­
36              ) 
37             \below 
38             ((ident i < n)) f" 
39 non associative with precedence 60 for 
40 @{ 'product $n (λ_:$xx1.$xx3) (λ${ident i}:$xx2.$f) }.
41
42 interpretation "big product" 'product n p f = (pi_p n p f).
43
44 notation > "'Pi' (ident x) < n | p . term 46 f"
45 non associative with precedence 60
46 for @{ 'product $n (λ${ident x}.$p) (λ${ident x}.$f) }. 
47
48 notation > "'Pi' (ident x) ≤ n | p . term 46 f"
49 non associative with precedence 60
50 for @{ 'product (S $n) (λ${ident x}.$p) (λ${ident x}.$f) }. 
51
52 notation > "'Pi' (ident x) < n . term 46 f"
53 non associative with precedence 60
54 for @{ 'product $n (λ_.true) (λ${ident x}.$f) }. 
55 *)
56
57 theorem true_to_pi_p_Sn: ∀n,p,g.
58   p n = true \to pi_p (S n) p g = (g n)*(pi_p n p g).
59 intros.
60 unfold pi_p.
61 apply true_to_iter_p_gen_Sn.
62 assumption.
63 qed.
64    
65 theorem false_to_pi_p_Sn: 
66 \forall n:nat. \forall p:nat \to bool. \forall g:nat \to nat.
67 p n = false \to pi_p (S n) p g = pi_p n p g.
68 intros.
69 unfold pi_p.
70 apply false_to_iter_p_gen_Sn.
71 assumption.
72 qed.  
73
74 theorem eq_pi_p: \forall p1,p2:nat \to bool.
75 \forall g1,g2: nat \to nat.\forall n.
76 (\forall x.  x < n \to p1 x = p2 x) \to
77 (\forall x.  x < n \to g1 x = g2 x) \to
78 pi_p n p1 g1 = pi_p n p2 g2.
79 intros.
80 unfold pi_p.
81 apply eq_iter_p_gen;
82 assumption.
83 qed.
84
85 theorem eq_pi_p1: \forall p1,p2:nat \to bool.
86 \forall g1,g2: nat \to nat.\forall n.
87 (\forall x.  x < n \to p1 x = p2 x) \to
88 (\forall x.  x < n \to p1 x = true \to g1 x = g2 x) \to
89 pi_p n p1 g1 = pi_p n p2 g2.
90 intros.
91 unfold pi_p.
92 apply eq_iter_p_gen1;
93 assumption.
94 qed.
95
96 theorem pi_p_false: 
97 \forall g: nat \to nat.\forall n.pi_p n (\lambda x.false) g = S O.
98 intros.
99 unfold pi_p.
100 apply iter_p_gen_false.
101 qed.
102
103 theorem pi_p_times: \forall n,k:nat.\forall p:nat \to bool.
104 \forall g: nat \to nat.
105 pi_p (k+n) p g 
106 = pi_p k (\lambda x.p (x+n)) (\lambda x.g (x+n)) * pi_p n p g.
107 intros.
108 unfold pi_p.
109 apply (iter_p_gen_plusA nat n k p g (S O) times)
110 [ apply sym_times.
111 | intros.
112   apply sym_eq.
113   apply times_n_SO
114 | apply associative_times
115 ]
116 qed.
117
118 theorem false_to_eq_pi_p: \forall n,m:nat.n \le m \to
119 \forall p:nat \to bool.
120 \forall g: nat \to nat. (\forall i:nat. n \le i \to i < m \to
121 p i = false) \to pi_p m p g = pi_p n p g.
122 intros.
123 unfold pi_p.
124 apply (false_to_eq_iter_p_gen);
125 assumption.
126 qed.
127
128 theorem or_false_eq_SO_to_eq_pi_p: 
129 \forall n,m:nat.\forall p:nat \to bool.
130 \forall g: nat \to nat.
131 n \le m \to (\forall i:nat. n \le i \to i < m \to p i = false \lor g i = S O)
132 \to pi_p m p g = pi_p n p g.
133 intros.
134 unfold pi_p.
135 apply or_false_eq_baseA_to_eq_iter_p_gen
136   [intros.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity
137   |assumption
138   |assumption
139   ]
140 qed.
141
142 theorem pi_p2 : 
143 \forall n,m:nat.
144 \forall p1,p2:nat \to bool.
145 \forall g: nat \to nat \to nat.
146 pi_p (n*m) 
147   (\lambda x.andb (p1 (div x m)) (p2 (mod x m))) 
148   (\lambda x.g (div x m) (mod x m)) =
149 pi_p n p1 
150   (\lambda x.pi_p m p2 (g x)).
151 intros.
152 unfold pi_p.
153 apply (iter_p_gen2 n m p1 p2 nat g (S O) times)
154 [ apply sym_times
155 | apply associative_times
156 | intros.
157   apply sym_eq.
158   apply times_n_SO
159 ]
160 qed.
161
162 theorem pi_p2' : 
163 \forall n,m:nat.
164 \forall p1:nat \to bool.
165 \forall p2:nat \to nat \to bool.
166 \forall g: nat \to nat \to nat.
167 pi_p (n*m) 
168   (\lambda x.andb (p1 (div x m)) (p2 (div x m) (mod x  m))) 
169   (\lambda x.g (div x m) (mod x m)) =
170 pi_p n p1 
171   (\lambda x.pi_p m (p2 x) (g x)).
172 intros.
173 unfold pi_p.
174 apply (iter_p_gen2' n m p1 p2 nat g (S O) times)
175 [ apply sym_times
176 | apply associative_times
177 | intros.
178   apply sym_eq.
179   apply times_n_SO
180 ]
181 qed.
182
183 lemma pi_p_gi: \forall g: nat \to nat.
184 \forall n,i.\forall p:nat \to bool.i < n \to p i = true \to 
185 pi_p n p g = g i * pi_p n (\lambda x. andb (p x) (notb (eqb x i))) g.
186 intros.
187 unfold pi_p.
188 apply (iter_p_gen_gi)
189 [ apply sym_times
190 | apply associative_times
191 | intros.
192   apply sym_eq.
193   apply times_n_SO
194 | assumption
195 | assumption
196 ]
197 qed.
198
199 theorem eq_pi_p_gh: 
200 \forall g,h,h1: nat \to nat.\forall n,n1.
201 \forall p1,p2:nat \to bool.
202 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to p2 (h i) = true) \to
203 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to h1 (h i) = i) \to 
204 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to h i < n1) \to 
205 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to p1 (h1 j) = true) \to
206 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to h (h1 j) = j) \to 
207 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to h1 j < n) \to 
208 pi_p n p1 (\lambda x.g(h x)) = pi_p n1 p2 g.
209 intros.
210 unfold pi_p.
211 apply (eq_iter_p_gen_gh nat (S O) times ? ? ? g h h1 n n1 p1 p2)
212 [ apply sym_times
213 | apply associative_times
214 | intros.
215   apply sym_eq.
216   apply times_n_SO
217 | assumption
218 | assumption
219 | assumption
220 | assumption
221 | assumption
222 | assumption
223 ]
224 qed.
225
226 (* monotonicity *)
227 theorem le_pi_p: 
228 \forall n:nat. \forall p:nat \to bool. \forall g1,g2:nat \to nat.
229 (\forall i. i < n \to p i = true \to g1 i \le g2 i ) \to 
230 pi_p n p g1 \le pi_p n p g2.
231 intros.
232 elim n in H ⊢ %
233   [apply le_n.
234   |apply (bool_elim ? (p n1));intros
235     [rewrite > true_to_pi_p_Sn
236       [rewrite > true_to_pi_p_Sn in ⊢ (? ? %)
237         [apply le_times
238           [apply H1[apply le_n|assumption]
239           |apply H.
240            intros.
241            apply H1[apply le_S.assumption|assumption]
242           ]
243         |assumption
244         ]
245       |assumption
246       ]
247     |rewrite > false_to_pi_p_Sn
248       [rewrite > false_to_pi_p_Sn in ⊢ (? ? %)
249         [apply H.
250          intros.
251          apply H1[apply le_S.assumption|assumption]
252         |assumption
253         ]
254       |assumption
255       ]
256     ]
257   ]
258 qed.
259      
260 theorem exp_sigma_p: \forall n,a,p. 
261 pi_p n p (\lambda x.a) = (exp a (sigma_p n p (\lambda x.S O))).
262 intros.
263 elim n
264   [reflexivity
265   |apply (bool_elim ? (p n1))
266     [intro.
267      rewrite > true_to_pi_p_Sn
268       [rewrite > true_to_sigma_p_Sn
269         [simplify.
270          rewrite > H.
271          reflexivity.
272         |assumption
273         ]
274       |assumption
275       ]
276     |intro.
277      rewrite > false_to_pi_p_Sn
278       [rewrite > false_to_sigma_p_Sn
279         [simplify.assumption
280         |assumption
281         ]
282       |assumption
283       ]
284     ]
285   ]
286 qed.
287
288 theorem exp_sigma_p1: \forall n,a,p,f. 
289 pi_p n p (\lambda x.(exp a (f x))) = (exp a (sigma_p n p f)).
290 intros.
291 elim n
292   [reflexivity
293   |apply (bool_elim ? (p n1))
294     [intro.
295      rewrite > true_to_pi_p_Sn
296       [rewrite > true_to_sigma_p_Sn
297         [simplify.
298          rewrite > H.
299          rewrite > exp_plus_times.
300          reflexivity.
301         |assumption
302         ]
303       |assumption
304       ]
305     |intro.
306      rewrite > false_to_pi_p_Sn
307       [rewrite > false_to_sigma_p_Sn
308         [simplify.assumption
309         |assumption
310         ]
311       |assumption
312       ]
313     ]
314   ]
315 qed.
316
317 theorem times_pi_p: \forall n,p,f,g. 
318 pi_p n p (\lambda x.f x*g x) = pi_p n p f * pi_p n p  g. 
319 intros.
320 elim n
321   [simplify.reflexivity
322   |apply (bool_elim ? (p n1))
323     [intro.
324      rewrite > true_to_pi_p_Sn
325       [rewrite > true_to_pi_p_Sn
326         [rewrite > true_to_pi_p_Sn
327           [rewrite > H.autobatch
328           |assumption
329           ]
330         |assumption
331         ]
332       |assumption
333       ]
334     |intro.
335      rewrite > false_to_pi_p_Sn
336       [rewrite > false_to_pi_p_Sn
337         [rewrite > false_to_pi_p_Sn;assumption
338         |assumption
339         ]
340       |assumption
341       ]
342     ]
343   ]
344 qed.
345
346 theorem pi_p_SO: \forall n,p. 
347 pi_p n p (\lambda i.S O) = S O.
348 intros.elim n
349   [reflexivity
350   |simplify.elim (p n1)
351     [simplify.rewrite < plus_n_O.assumption
352     |simplify.assumption
353     ]
354   ]
355 qed.
356
357 theorem exp_pi_p: \forall n,m,p,f. 
358 pi_p n p (\lambda x.exp (f x) m) = exp (pi_p n p f) m.
359 intros.
360 elim m
361   [simplify.apply pi_p_SO
362   |simplify.
363    rewrite > times_pi_p.
364    rewrite < H.
365    reflexivity
366   ]
367 qed.
368
369 theorem exp_times_pi_p: \forall n,m,k,p,f. 
370 pi_p n p (\lambda x.exp k (m*(f x))) = 
371 exp (pi_p n p (\lambda x.exp k (f x))) m.
372 intros.
373 apply (trans_eq ? ? (pi_p n p (\lambda x.(exp (exp k (f x)) m))))
374   [apply eq_pi_p;intros
375     [reflexivity
376     |apply sym_eq.rewrite > sym_times.
377      apply exp_exp_times
378     ]
379   |apply exp_pi_p
380   ]
381 qed.
382
383
384 theorem pi_p_knm:
385 \forall g: nat \to nat.
386 \forall h2:nat \to nat \to nat.
387 \forall h11,h12:nat \to nat. 
388 \forall k,n,m.
389 \forall p1,p21:nat \to bool.
390 \forall p22:nat \to nat \to bool.
391 (\forall x. x < k \to p1 x = true \to 
392 p21 (h11 x) = true ∧ p22 (h11 x) (h12 x) = true
393 \land h2 (h11 x) (h12 x) = x 
394 \land (h11 x) < n \land (h12 x) < m) \to
395 (\forall i,j. i < n \to j < m \to p21 i = true \to p22 i j = true \to 
396 p1 (h2 i j) = true \land 
397 h11 (h2 i j) = i \land h12 (h2 i j) = j
398 \land h2 i j < k) →
399 (*
400 Pi z < k | p1 z. g z = 
401 Pi x < n | p21 x. Pi y < m | p22 x y.g (h2 x y).
402 *)
403 pi_p k p1 g =
404 pi_p n p21 (\lambda x:nat.pi_p m (p22 x) (\lambda y. g (h2 x y))).
405 intros.
406 unfold pi_p.unfold pi_p.
407 apply (iter_p_gen_knm nat (S O) times sym_times assoc_times ? ? ? h11 h12)
408   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
409   |assumption
410   |assumption
411   ]
412 qed.
413
414 theorem pi_p_pi_p: 
415 \forall g: nat \to nat \to nat.
416 \forall h11,h12,h21,h22: nat \to nat \to nat. 
417 \forall n1,m1,n2,m2.
418 \forall p11,p21:nat \to bool.
419 \forall p12,p22:nat \to nat \to bool.
420 (\forall i,j. i < n2 \to j < m2 \to p21 i = true \to p22 i j = true \to 
421 p11 (h11 i j) = true \land p12 (h11 i j) (h12 i j) = true
422 \land h21 (h11 i j) (h12 i j) = i \land h22 (h11 i j) (h12 i j) = j
423 \land h11 i j < n1 \land h12 i j < m1) \to
424 (\forall i,j. i < n1 \to j < m1 \to p11 i = true \to p12 i j = true \to 
425 p21 (h21 i j) = true \land p22 (h21 i j) (h22 i j) = true
426 \land h11 (h21 i j) (h22 i j) = i \land h12 (h21 i j) (h22 i j) = j
427 \land (h21 i j) < n2 \land (h22 i j) < m2) \to
428 pi_p n1 p11 
429      (\lambda x:nat .pi_p m1 (p12 x) (\lambda y. g x y)) =
430 pi_p n2 p21 
431     (\lambda x:nat .pi_p m2 (p22 x)  (\lambda y. g (h11 x y) (h12 x y))).
432 intros.
433 unfold pi_p.unfold pi_p.
434 apply (iter_p_gen_2_eq ? ? ? sym_times assoc_times ? ? ? ? h21 h22)
435   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
436   |assumption
437   |assumption
438   ]
439 qed.
440
441 theorem pi_p_pi_p1: 
442 \forall g: nat \to nat \to nat.
443 \forall n,m.
444 \forall p11,p21:nat \to bool.
445 \forall p12,p22:nat \to nat \to bool.
446 (\forall x,y. x < n \to y < m \to 
447  (p11 x \land p12 x y) = (p21 y \land p22 y x)) \to
448 pi_p n p11 (\lambda x:nat.pi_p m (p12 x) (\lambda y. g x y)) =
449 pi_p m p21 (\lambda y:nat.pi_p n (p22 y) (\lambda x. g x y)).
450 intros.
451 unfold pi_p.unfold pi_p.
452 apply (iter_p_gen_iter_p_gen ? ? ? sym_times assoc_times)
453   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
454   |assumption
455   ]
456 qed.