]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/software/matita/library/nat/sigma_and_pi.ma
...
[helm.git] / helm / software / matita / library / nat / sigma_and_pi.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                                *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "nat/factorial.ma".
16 include "nat/exp.ma".
17 include "nat/lt_arith.ma".
18
19 let rec sigma n f m \def
20   match n with 
21   [ O \Rightarrow (f m)
22   | (S p) \Rightarrow (f (S p+m))+(sigma p f m)].
23
24 let rec pi n f m \def
25   match n with 
26   [ O \Rightarrow f m
27   | (S p) \Rightarrow (f (S p+m))*(pi p f m)].
28   
29 theorem eq_sigma: \forall f,g:nat \to nat.
30 \forall n,m:nat.
31 (\forall i:nat. m \le i \to i \le m+n \to f i = g i) \to
32 (sigma n f m) = (sigma n g m).
33 intros 3.elim n.
34 simplify.apply H.apply le_n.rewrite < plus_n_O.apply le_n.
35 simplify.
36 apply eq_f2.apply H1.
37 change with (m \le (S n1)+m).apply le_plus_n.
38 rewrite > (sym_plus m).apply le_n.
39 apply H.intros.apply H1.assumption.
40 rewrite < plus_n_Sm.
41 apply le_S.assumption.
42 qed.
43
44 theorem eq_pi: \forall f,g:nat \to nat.
45 \forall n,m:nat.
46 (\forall i:nat. m \le i \to i \le m+n \to f i = g i) \to
47 (pi n f m) = (pi n g m).
48 intros 3.elim n.
49 simplify.apply H.apply le_n.rewrite < plus_n_O.apply le_n.
50 simplify.
51 apply eq_f2.apply H1.
52 change with (m \le (S n1)+m).apply le_plus_n.
53 rewrite > (sym_plus m).apply le_n.
54 apply H.intros.apply H1.assumption.
55 rewrite < plus_n_Sm.
56 apply le_S.assumption.
57 qed.
58
59 theorem eq_fact_pi: \forall n. (S n)! = pi n (\lambda m.m) (S O).
60 intro.elim n.
61 simplify.reflexivity.
62 change with ((S(S n1))*(S n1)! = ((S n1)+(S O))*(pi n1 (\lambda m.m) (S O))).
63 rewrite < plus_n_Sm.rewrite < plus_n_O.
64 apply eq_f.assumption.
65 qed.
66
67 theorem exp_pi_l: \forall f:nat\to nat.\forall n,m,a:nat.
68 (exp a (S n))*pi n f m= pi n (\lambda p.a*(f p)) m.
69 intros.elim n.simplify.rewrite < times_n_SO.reflexivity.
70 simplify.
71 rewrite < H.
72 rewrite > assoc_times. 
73 rewrite > assoc_times in\vdash (? ?  ? %).
74 apply eq_f.rewrite < assoc_times. 
75 rewrite < assoc_times. 
76 apply eq_f2.apply sym_times.reflexivity.
77 qed.