helm/software/matita/nlibrary/PTS/gpts.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "PTS/subst.ma".
  16
  17 (*************************** substl *****************************)
  18
  19 nlet rec substl (G:list T) (N:T) : list T ≝
  20   match G with
  21     [ nil ⇒ nil T
  22     | cons A D ⇒ ((subst_aux A (length T D) N)::(substl D N))
  23     ].
  24
  25 (*
  26 nlemma substl_cons: ∀A,N.∀G.
  27 substl (A::G) N = (subst_aux A (length T G) N)::(substl G N).
  28 //; nqed.
  29
  30 nlemma length_cons: ∀A.∀G. length T (A::G) = length T G + 1.
  31 /2/; nqed.
  32 *)
  33
  34 (****************************************************************)
  35
  36 naxiom A: nat → nat → Prop.
  37 naxiom R: nat → nat → nat → Prop.
  38 naxiom conv: T → T → Prop.
  39
  40 nlemma mah: ∀A,i. lift A i = lift_aux A 0 i.
  41 //; nqed.
  42
  43 ncheck subst.
  44
  45 ninductive TJ: list T → T → T → Prop ≝
  46   | ax : ∀i,j. A i j → TJ (nil T) (Sort i) (Sort j)
  47   | start: ∀G.∀A.∀i.TJ G A (Sort i) → TJ (A::G) (Rel 0) (lift A 1)
  48   | weak: ∀G.∀A,B,C.∀i.
  49      TJ G A B → TJ G C (Sort i) → TJ (C::G) (lift A 1) (lift B 1)
  50   | prod: ∀G.∀A,B.∀i,j,k. R i j k →
  51      TJ G A (Sort i) → TJ (A::G) B (Sort j) → TJ G (Prod A B) (Sort k)
  52   | app: ∀G.∀F,A,B,a.
  53      TJ G F (Prod A B) → TJ G a A → TJ G (App F a) (subst a B)
  54   | abs: ∀G.∀A,B,b.∀i.
  55      TJ (A::G) b B → TJ G (Prod A B) (Sort i) → TJ G (Lambda A b) (Prod A B)
  56   | conv: ∀G.∀A,B,C.∀i. conv B C →
  57      TJ G A B → TJ G B (Sort i) → TJ G A C.
  58
  59 notation "hvbox(G break  ⊢ A : B)" non associative with precedence 50 for @{'TJ $G $A $B}.
  60 interpretation "type judgement" 'TJ G A B = (TJ G A B).
  61
  62 (* ninverter TJ_inv2 for TJ (%?%) : Prop. *)
  63
  64 (**** definitions ****)
  65
  66 ninductive Glegal (G: list T) : Prop ≝
  67 glegalk : ∀A,B. G ⊢ A : B → Glegal G.
  68
  69 ninductive Gterm (G: list T) (A:T) : Prop ≝
  70   | is_term: ∀B.G ⊢ A:B → Gterm G A
  71   | is_type: ∀B.G ⊢ B:A → Gterm G A.
  72
  73 ninductive Gtype (G: list T) (A:T) : Prop ≝
  74 gtypek: ∀i.G ⊢ A : Sort i → Gtype G A.
  75
  76 ninductive Gelement (G:list T) (A:T) : Prop ≝
  77 gelementk: ∀B.G ⊢ A:B → Gtype G B → Gelement G A.
  78
  79 ninductive Tlegal (A:T) : Prop ≝
  80 tlegalk: ∀G. Gterm G A → Tlegal A.
  81
  82 (*
  83 ndefinition Glegal ≝ λG: list T.∃A,B:T.TJ G A B .
  84
  85 ndefinition Gterm ≝ λG: list T.λA.∃B.TJ G A B ∨ TJ G B A.
  86
  87 ndefinition Gtype ≝ λG: list T.λA.∃i.TJ G A (Sort i).
  88
  89 ndefinition Gelement ≝ λG: list T.λA.∃B.TJ G A B ∨ Gtype G B.
  90
  91 ndefinition Tlegal ≝ λA:T.∃G: list T.Gterm G A.
  92 *)
  93
  94 (*
  95 ntheorem free_var1: ∀G.∀A,B,C. TJ G A B →
  96 subst C A
  97 #G; #i; #j; #axij; #Gleg; ncases Gleg;
  98 #A; #B; #tjAB; nelim tjAB; /2/; (* bello *) nqed.
  99 *)
 100
 101 ntheorem start_lemma1: ∀G.∀i,j.
 102 A i j → Glegal G → G ⊢ Sort i: Sort j.
 103 #G; #i; #j; #axij; #Gleg; ncases Gleg;
 104 #A; #B; #tjAB; nelim tjAB; /2/;
 105 (* bello *) nqed.
 106
 107 ntheorem start_rel: ∀G.∀A.∀C.∀n,i,q.
 108 G ⊢ C: Sort q → G ⊢ Rel n: lift A i → (C::G) ⊢ Rel (S n): lift A (S i).
 109 #G; #A; #C; #n; #i; #p; #tjC; #tjn;
 110  napplyS (weak G (Rel n));//. (* bello *)
 111  (*
 112  nrewrite > (plus_n_O i);
 113  nrewrite > (plus_n_Sm i O);
 114  nrewrite < (lift_lift A 1 i);
 115  nrewrite > (plus_n_O n);  nrewrite > (plus_n_Sm n O);
 116  applyS (weak G (Rel n) (lift A i) C p tjn tjC). *)
 117 nqed.
 118
 119 ntheorem start_lemma2: ∀G.
 120 Glegal G → ∀n. n < |G| → G ⊢ Rel n: lift (nth n T G (Rel O)) (S n).
 121 #G; #Gleg; ncases Gleg; #A; #B; #tjAB; nelim tjAB; /2/;
 122   ##[#i; #j; #axij; #p; nnormalize; #abs; napply False_ind;
 123      napply (absurd … abs); //;
 124   ##|#G; #A; #i; #tjA; #Hind; #m; ncases m; /2/;
 125      #p; #Hle; napply start_rel; //; napply Hind;
 126      napply le_S_S_to_le; napply Hle;
 127   ##|#G; #A; #B; #C; #i; #tjAB; #tjC; #Hind1; #_; #m; ncases m;
 128      /2/; #p; #Hle; napply start_rel; //;
 129      napply Hind1; napply le_S_S_to_le; napply Hle;
 130   ##]
 131 nqed.
 132
 133 (*
 134 nlet rec TJm G D on D : Prop ≝
 135   match D with
 136     [ nil ⇒ True
 137     | cons A D1 ⇒ TJ G (Rel 0) A ∧ TJm G D1
 138     ].
 139
 140 nlemma tjm1: ∀G,D.∀A. TJm G (A::D) → TJ G (Rel 0) A.
 141 #G; #D; #A; *; //; nqed.
 142
 143 ntheorem transitivity_tj: ∀D.∀A,B. TJ D A B →
 144   ∀G. Glegal G → TJm G D → TJ G A B.
 145 #D; #A; #B; #tjAB; nelim tjAB;
 146   ##[/2/;
 147   ##|/2/;
 148   ##|#E; #T; #T0; #T1; #n; #tjT; #tjT1; #H; #H1; #G; #HlegG;
 149      #tjGcons;
 150      napply weak;
 151 *)
 152 (*
 153 ntheorem substitution_tj:
 154 ∀G.∀A,B,N,M.TJ (A::G) M B → TJ G N A →
 155   TJ G (subst N M) (subst N B).
 156 #G;#A;#B;#N;#M;#tjM;
 157   napply (TJ_inv2 (A::G) M B);
 158   ##[nnormalize; /3/;
 159   ##|#G; #A; #N; #tjA; #Hind; #Heq;
 160      ndestruct;//;
 161   ##|#G; #A; #B; #C; #n; #tjA; #tjC; #Hind1; #Hind2; #Heq;
 162      ndestruct;//;
 163   ##|nnormalize; #E; #A; #B; #i; #j; #k;
 164      #Ax; #tjA; #tjB; #Hind1; #_;
 165      #Heq; #HeqB; #tjN; napply (prod ?????? Ax);
 166       ##[/2/;
 167       ##|nnormalize; napplyS weak;
 168
 169 *)
 170
 171 ntheorem substitution_tj:
 172 ∀E.∀A,B,M. E ⊢M:B → ∀G,D.∀N. E = D@A::G → G ⊢ N:A →
 173   ((substl D N)@G) ⊢ M[|D| ← N]: B[|D| ← N].
 174 #E; #A; #B; #M; #tjMB; nelim tjMB;
 175   ##[nnormalize; #i; #j; #k; #G; #D; #N; ncases D;
 176       ##[nnormalize; #isnil; ndestruct;
 177       ##|#P; #L; nnormalize; #isnil; ndestruct;
 178       ##]
 179   ##|#G; #A1; #i; #tjA; #Hind; #G1; #D; ncases D;
 180     ##[#N; #Heq; #tjN;
 181        nrewrite > (delift (lift N O) A1 O O O ??); //;
 182        nnormalize in Heq; ndestruct;/2/;
 183     ##|#H; #L; #N1; #Heq; nnormalize in Heq;
 184        #tjN1; nnormalize; ndestruct;
 185        (* napplyS start non va *)
 186        ncut (S (length T L) = ((length T L)+0+1)); ##[//##] #Heq;
 187        napplyS start;/2/;
 188     ##]
 189   ##|#G; #P; #Q; #R; #i; #tjP; #tjR; #Hind1; #Hind2;
 190      #G1; #D; #N; ncases D; nnormalize;
 191     ##[#Heq; ndestruct; #tjN; //;
 192     ##|#H; #L; #Heq;
 193        #tjN1; ndestruct;
 194        (* napplyS weak non va *)
 195        ncut (S (length T L) = (length T L)+0+1); ##[//##] #Heq;
 196        napplyS weak; /2/;
 197     ##]
 198   ##|#G; #P; #Q; #i; #j; #k; #Ax; #tjP; #tjQ; #Hind1; #Hind2;
 199      #G1; #D; #N; #Heq; #tjN; nnormalize;
 200      napply (prod … Ax);
 201     ##[/2/;
 202     ##|ncheck (Hind2 G1 (P::D) N ? tjN).
 203        ncut (S (length T D) = (length T D)+1); ##[//##] #Heq1;
 204        nrewrite < Heq1;
 205        napply (Hind2 ? (P::D));//;
 206     ##]
 207   ##|#G; #P; #Q; #R; #S; #tjP; #tjS; #Hind1; #Hind2;
 208      #G1; #D; #N; #Heq; #tjN; nnormalize;
 209      nlapply (subst_lemma R S N (length ? D) 0); #sl;
 210      nrewrite < (plus_n_O ?) in sl; #sl;
 211      nrewrite > sl;
 212      napply app; nnormalize in Hind1;/2/;
 213   ##|
 214
 215
 216
 217
 218 ntheorem substitution_tj:
 219 ∀E.∀A,B,M.TJ E M B → ∀G,D.∀N. E = D@A::G → TJ G N A →
 220 ∀k.length ? D = k →
 221   TJ ((substl D N)@G) (subst_aux M k N) (subst_aux B k N).
 222 #E; #A; #B; #M; #tjMB; nelim tjMB;
 223   ##[nnormalize; (* /3/; *)
 224   ##|#G; #A1; #i; #tjA; #Hind;
 225      #G1; #D; ncases D;
 226     ##[#N; #Heq; #tjN; #k; nnormalize in ⊢ (% → ?); #kO;
 227        nrewrite < kO;
 228        nrewrite > (delift (lift N O) A1 O O O ??); //;
 229        nnormalize in Heq; ndestruct;/2/;
 230     ##|#H; #L; #N1; #Heq; nnormalize in Heq;
 231        #tjN1; #k; #len; nnormalize in len;
 232        nrewrite < len;
 233        nnormalize; ndestruct;
 234        (* porcherie *)
 235        ncut (S (length T L) = S ((length T L)+0)); ##[//##] #Heq;
 236        nrewrite > Heq;
 237        nrewrite < (lift_subst_aux_k N1 H (length T L) O);
 238        nrewrite < (plus_n_O (length T L));
 239        napply (start (substl L N1@G1) (subst_aux H (length T L) N1) i ?).
 240        napply Hind;//;
 241     ##]
 242
 243
 244
 245
 246
 247
 248
 249