helm/software/matita/nlibrary/algebra/magmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16
  17 nrecord pre_magma : Type[1] ≝
  18  { carr:> Type;
  19    op: carr → carr → carr
  20  }.
  21
  22 nrecord magma (A: pre_magma) : Type[1] ≝
  23  { mcarr:> Ω \sup A;
  24    op_closed: ∀x,y. x ∈ mcarr → y ∈ mcarr → op A x y ∈ mcarr
  25  }.
  26
  27 nrecord pre_magma_morphism (A,B: pre_magma) : Type ≝
  28  { mmcarr:1> A → B;
  29    mmprop: ∀x,y. mmcarr (op ? x y) = op ? (mmcarr x) (mmcarr y)
  30  }.
  31
  32 nrecord magma_morphism (A) (B) (Ma: magma A) (Mb: magma B) : Type ≝
  33  { mmmcarr:> pre_magma_morphism A B;
  34    mmclosed: ∀x. x ∈ Ma → mmmcarr x ∈ Mb
  35  }.
  36
  37 ndefinition sub_magma ≝
  38  λA.λM1,M2: magma A. M1 ⊆ M2.
  39
  40 ndefinition image: ∀A,B. (A → B) → Ω \sup A → Ω \sup B ≝
  41  λA,B,f,Sa. {y | ∃x. x ∈ Sa ∧ f x = y}.
  42
  43 ndefinition mm_image:
  44  ∀A,B. ∀Ma: magma A. ∀Mb: magma B. magma_morphism ?? Ma Mb → magma B.
  45  #A; #B; #Ma; #Mb; #f;
  46  napply (mk_magma ???)
  47   [ napply (image ?? f Ma)
  48   | #x; #y; nwhd in ⊢ (% → % → ?); *; #x0; *; #Hx0; #Hx1; *; #y0; *; #Hy0; #Hy1; nwhd;
  49     napply (ex_intro ????)
  50      [ napply (op ? x0 y0)
  51      | napply (conj ????)
  52         [ napply (op_closed ??????); nassumption
  53         | nrewrite < Hx1;
  54           nrewrite < Hy1;
  55           napply (mmprop ?? f ??)]##]
  56 nqed.
  57
  58 ndefinition counter_image: ∀A,B. (A → B) → Ω \sup B → Ω \sup A ≝
  59  λA,B,f,Sb. {x | ∃y. y ∈ Sb ∧ f x = y}.
  60
  61 ndefinition mm_counter_image:
  62  ∀A,B. ∀Ma: magma A. ∀Mb: magma B. magma_morphism ?? Ma Mb → magma A.
  63   #A; #B; #Ma; #Mb; #f;
  64   napply (mk_magma ???)
  65    [ napply (counter_image ?? f Mb)
  66    | #x; #y; nwhd in ⊢ (% → % → ?); *; #x0; *; #Hx0; #Hx1; *; #y0; *; #Hy0; #Hy1; nwhd;
  67      napply (ex_intro ????)
  68       [ napply (op ? x0 y0)
  69       | napply (conj ????)
  70          [ napply (op_closed ??????); nassumption
  71          | nrewrite < Hx1;
  72            nrewrite < Hy1;
  73            napply (mmprop ?? f ??)]##]
  74 nqed.