helm/software/matita/nlibrary/algebra/magmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16
  17 nrecord magma_type : Type[1] ≝
  18  { mtcarr:> setoid;
  19    op: binary_morphism mtcarr mtcarr mtcarr
  20  }.
  21
  22 nrecord magma (A: magma_type) : Type[1] ≝
  23  { mcarr:> qpowerclass A;
  24    op_closed: ∀x,y. x ∈ mcarr → y ∈ mcarr → op A x y ∈ mcarr
  25  }.
  26
  27 ncoercion mcarr' : ∀A. ∀M: magma A. carr1 (qpowerclass_setoid (mtcarr A))
  28  ≝ λA.λM: magma A.mcarr ? M
  29  on _M: magma ? to carr1 (qpowerclass_setoid (mtcarr ?)).
  30
  31 nrecord magma_morphism_type (A,B: magma_type) : Type[0] ≝
  32  { mmcarr:> unary_morphism A B;
  33    mmprop: ∀x,y:A. mmcarr (op ? x y) = op … (mmcarr x) (mmcarr y)
  34  }.
  35
  36 nrecord magma_morphism (A) (B) (Ma: magma A) (Mb: magma B) : Type[0] ≝
  37  { mmmcarr:> magma_morphism_type A B;
  38    mmclosed: ∀x:A. x ∈ mcarr ? Ma → mmmcarr x ∈ mcarr ? Mb
  39  }.
  40
  41 (*
  42 ndefinition mm_image:
  43  ∀A,B. ∀Ma: magma A. ∀Mb: magma B. magma_morphism … Ma Mb → magma B.
  44  #A; #B; #Ma; #Mb; #f;
  45  napply mk_magma
  46   [ napply (image … f Ma)
  47   | #x; #y; nwhd in ⊢ (% → % → ?); *; #x0; *; #Hx0; #Hx1; *; #y0; *; #Hy0; #Hy1; nwhd;
  48     napply ex_intro
  49      [ napply (op … x0 y0)
  50      | napply conj
  51         [ napply op_closed; nassumption
  52         | nrewrite < Hx1;
  53           nrewrite < Hy1;
  54           napply (mmprop … f)]##]
  55 nqed.
  56
  57 ndefinition mm_counter_image:
  58  ∀A,B. ∀Ma: magma A. ∀Mb: magma B. magma_morphism … Ma Mb → magma A.
  59   #A; #B; #Ma; #Mb; #f;
  60   napply mk_magma
  61    [ napply (counter_image … f Mb)
  62    | #x; #y; nwhd in ⊢ (% → % → ?); *; #x0; *; #Hx0; #Hx1; *; #y0; *; #Hy0; #Hy1; nwhd;
  63      napply ex_intro
  64       [ napply (op … x0 y0)
  65       | napply conj
  66          [ napply op_closed; nassumption
  67          | nrewrite < Hx1;
  68            nrewrite < Hy1;
  69            napply (mmprop … f)]##]
  70 nqed.
  71 *)
  72
  73 ndefinition m_intersect: ∀A. magma A → magma A → magma A.
  74  #A; #M1; #M2;
  75  napply (mk_magma …)
  76   [ napply (intersect_ok ? M1 M2)
  77   | #x; #y; nwhd in ⊢ (% → % → %); *; #Hx1; #Hx2; *; #Hy1; #Hy2;
  78     napply conj; napply op_closed; nassumption ]
  79 nqed.