helm/software/matita/nlibrary/algebra/magmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16
  17 nrecord magma_type : Type[1] ≝
  18  { mtcarr:> setoid;
  19    op: binary_morphism mtcarr mtcarr mtcarr
  20  }.
  21
  22 nrecord magma (A: magma_type) : Type[1] ≝
  23  { mcarr:> powerset_setoid1 A;
  24    op_closed: ∀x,y. x ∈ mcarr → y ∈ mcarr → op A x y ∈ mcarr
  25  }.
  26 (* le coercion non vanno; sospetto setoid1_of_setoid *)
  27 nrecord magma_morphism_type (A,B: magma_type) : Type[0] ≝
  28  { mmcarr:> unary_morphism A B;
  29    mmprop: ∀x,y:carr A. mmcarr (op ? x y) = op … (mmcarr x) (mmcarr y)
  30  }.
  31 (* le coercion non vanno *)
  32 nrecord magma_morphism (A) (B) (Ma: magma A) (Mb: magma B) : Type[0] ≝
  33  { mmmcarr:> magma_morphism_type A B;
  34    mmclosed: ∀x:carr A. x ∈ mcarr ? Ma → mmmcarr x ∈ mcarr ? Mb
  35  }.
  36 (*
  37 (* qui non funziona una cippa *)
  38 ndefinition image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω \sup A → Ω \sup B ≝
  39  λA,B:setoid.λf:carr A → carr B.λSa:Ω \sup A.
  40   {y | ∃x. x ∈ Sa ∧ eq_rel (carr B) (eq B) ? ?(*(f x) y*)}.
  41   ##[##2: napply (f x); ##|##3: napply y]
  42  #a; #a'; #H; nwhd; nnormalize; (* per togliere setoid1_of_setoid *) napply (mk_iff ????);
  43  *; #x; #Hx; napply (ex_intro … x)
  44   [ napply (. (#‡(#‡#)));
  45
  46 ndefinition mm_image:
  47  ∀A,B. ∀Ma: magma A. ∀Mb: magma B. magma_morphism … Ma Mb → magma B.
  48  #A; #B; #Ma; #Mb; #f;
  49  napply mk_magma
  50   [ napply (image … f Ma)
  51   | #x; #y; nwhd in ⊢ (% → % → ?); *; #x0; *; #Hx0; #Hx1; *; #y0; *; #Hy0; #Hy1; nwhd;
  52     napply ex_intro
  53      [ napply (op … x0 y0)
  54      | napply conj
  55         [ napply op_closed; nassumption
  56         | nrewrite < Hx1;
  57           nrewrite < Hy1;
  58           napply (mmprop … f)]##]
  59 nqed.
  60
  61 ndefinition counter_image: ∀A,B. (A → B) → Ω \sup B → Ω \sup A ≝
  62  λA,B,f,Sb. {x | ∃y. y ∈ Sb ∧ f x = y}.
  63
  64 ndefinition mm_counter_image:
  65  ∀A,B. ∀Ma: magma A. ∀Mb: magma B. magma_morphism … Ma Mb → magma A.
  66   #A; #B; #Ma; #Mb; #f;
  67   napply mk_magma
  68    [ napply (counter_image … f Mb)
  69    | #x; #y; nwhd in ⊢ (% → % → ?); *; #x0; *; #Hx0; #Hx1; *; #y0; *; #Hy0; #Hy1; nwhd;
  70      napply ex_intro
  71       [ napply (op … x0 y0)
  72       | napply conj
  73          [ napply op_closed; nassumption
  74          | nrewrite < Hx1;
  75            nrewrite < Hy1;
  76            napply (mmprop … f)]##]
  77 nqed.
  78
  79 ndefinition m_intersect: ∀A. magma A → magma A → magma A.
  80  #A; #M1; #M2;
  81  napply (mk_magma …)
  82   [ napply (M1 ∩ M2)
  83   | #x; #y; nwhd in ⊢ (% → % → %); *; #Hx1; #Hx2; *; #Hy1; #Hy2;
  84     napply conj; napply op_closed; nassumption ]
  85 nqed.
  86 *)