helm/software/matita/nlibrary/arithmetics/R.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "arithmetics/nat.ma".
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  17 naxiom Q: Type[0].
  18 naxiom nat_to_Q: nat → Q.
  19 ncoercion nat_to_Q : ∀x:nat.Q ≝ nat_to_Q on _x:nat to Q.
  20 naxiom Qplus: Q → Q → Q.
  21 naxiom Qtimes: Q → Q → Q.
  22 naxiom Qdivides: Q → Q → Q.
  23 naxiom Qle : Q → Q → Prop.
  24 interpretation "Q plus" 'plus x y = (Qplus x y).
  25 interpretation "Q times" 'times x y = (Qtimes x y).
  26 interpretation "Q divides" 'divide x y = (Qdivides x y).
  27 interpretation "Q le" 'leq x y = (Qle x y).
  28 naxiom Qtimes_plus: ∀n,m:nat.∀q:Q. (n * q + m * q) = (plus n m) * q.
  29 naxiom Qmult_one: ∀q:Q. 1 * q = q.
  30 naxiom Qdivides_mult: ∀q1,q2. (q1 * q2) / q1 = q2.
  31 naxiom Qtimes_distr: ∀q1,q2,q3:Q.(q3 * q1 + q3 * q2) = q3 * (q1 + q2).
  32 naxiom Qdivides_distr: ∀q1,q2,q3:Q.(q1 / q3 + q2 / q3) = (q1 + q2) / q3.
  33 naxiom Qplus_comm: ∀q1,q2. q1 + q2 = q2 + q1.
  34 naxiom Qplus_assoc: ∀q1,q2,q3. q1 + q2 + q3 = q1 + (q2 + q3).
  35 ntheorem Qplus_assoc1: ∀q1,q2,q3. q1 + q2 + q3 = q3 + q2 + q1.
  36 #a; #b; #c; //; nqed.
  37 naxiom Qle_refl: ∀q1. q1≤q1.
  38 naxiom Qle_trans: transitive ? le.
  39
  40 (* naxiom Ndivides_mult: ∀n:nat.∀q. (n * q) / n = q. *)
  41
  42 ntheorem lem1: ∀n:nat.∀q:Q. (n * q + q) = (S n) * q.
  43 #n; #q; ncut (plus n 1 = S n);##[//##]
  44 //; nqed.
  45
  46 (*ndefinition aaa ≝ Qtimes_distr.
  47 ndefinition bbb ≝ Qmult_one.
  48 ndefinition ccc ≝ Qdivides_mult.*)
  49
  50 naxiom disjoint: Q → Q → Q → Q → bool.
  51
  52 ncoinductive locate : Q → Q → Prop ≝
  53    L: ∀l,l',u',u. l≤l' → u'≤((2 * l + u) / 3) → locate l' u' → locate l u
  54  | H: ∀l,l',u',u. ((l + 2 * u) / 3)≤l' → u'≤ u → locate l' u' → locate l u.
  55
  56 ndefinition locate_inv_ind ≝
  57 λx1,x2:Q.λP:Q → Q → Prop.
  58  λH1: ∀l,l',u',u.l≤l' → u'≤((2 * l + u) / 3) → locate l' u' → P l u.
  59  λH2: ∀l,l',u',u. ((l + 2 * u) / 3)≤l' → u'≤ u → locate l' u' → P l u.
  60  λHterm:locate x1 x2.
  61   (λHcut:x1=x1 → x2=x2 → P x1 x2. Hcut (refl Q x1) (refl Q x2))
  62    match Hterm return λy1,y2.λp:locate y1 y2.
  63     x1=y1 → x2=y2 → P y1 y2
  64    with
  65     [ L l l' u' u Hle1 Hle2 r ⇒ ?(*H1 l l' u' u ?*)
  66     | H l l' u' u Hle1 Hle2 r ⇒ ?(*H2 l l' u' u ?*)].
  67       ##[ #a; #b; /2/; napply H2; //; (* Qui non va auto! *)
  68
  69       napply (H2 … r …); //;
  70      /2/;
  71     #h1; #h2; /2/; napply (H2 l l' u' u);
  72
  73 ndefinition R ≝ ∃l,u:Q. locate l u.
  74
  75 nlet corec Q_to_locate q : locate q q ≝ L q q ?.
  76  ncut (q = (2*q+q)/3)
  77   [##2: #H; ncases H; (*NOT WORKING: nrewrite > H;*) napply Q_to_locate
  78   | nrewrite < (Qdivides_mult 3 q) in ⊢ (? ? % ?);//
  79   ]
  80 nqed.
  81
  82 ndefinition Q_to_R : Q → R.
  83  #q; @ q; @q; //.
  84 nqed.
  85
  86 nlet corec locate_add (l1,u1:?) (r1: locate l1 u1) (l2,u2:?) (r2: locate l2 u2) :
  87  locate (l1 + l2) (u1 + u2) ≝ ?.
  88  ncases r1; ncases r2; #l2; #u2; #r2; #l1; #u1; #r1
  89   [ ##1: @1; napplyS (locate_add … r1 …r2);
  90   ##|##4: @2; napplyS (locate_add … r1 …r2);
  91   ##| ninversion r2; #q; #q0; #H; #K;
  92       ndestruct; #U; nrewrite < U in H ⊢ %; #r2';
  93       ninversion r1;#q;  #q0; #H; #K;
  94       nrewrite < K in H ⊢ %; #H; #J; nrewrite < J in H;
  95       #r1';
  96       ##[ @; nlapply (locate_add …r1'…r2'); #H;
  97
  98     .
  99
 100 nlet corec apart (l1,u1) (r1: locate l1 u1) (l2,u2) (r2: locate l2 u2) : CProp[0] ≝
 101  match disjoint l1 u1 l2 u2 with
 102   [ true ⇒ True
 103   | false ⇒
 104 *)