helm/software/matita/nlibrary/arithmetics/R.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "arithmetics/nat.ma".
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  17 naxiom Q: Type[0].
  18 naxiom nat_to_Q: nat → Q.
  19 ncoercion nat_to_Q : ∀x:nat.Q ≝ nat_to_Q on _x:nat to Q.
  20 naxiom Qplus: Q → Q → Q.
  21 naxiom Qtimes: Q → Q → Q.
  22 naxiom Qdivides: Q → Q → Q.
  23 interpretation "Q plus" 'plus x y = (Qplus x y).
  24 interpretation "Q times" 'times x y = (Qtimes x y).
  25 interpretation "Q divides" 'divide x y = (Qdivides x y).
  26 naxiom Qtimes_plus: ∀n,m:nat.∀q:Q. (n * q + m * q) = (plus n m) * q.
  27 naxiom Qmult_one: ∀q:Q. 1 * q = q.
  28 naxiom Qdivides_mult: ∀q1,q2. (q1 * q2) / q1 = q2.
  29 naxiom Qtimes_distr: ∀q1,q2,q3:Q.(q3 * q1 + q3 * q2) = q3 * (q1 + q2).
  30 naxiom Qdivides_distr: ∀q1,q2,q3:Q.(q1 / q3 + q2 / q3) = (q1 + q2) / q3.
  31 naxiom Qplus_comm: ∀q1,q2. q1 + q2 = q2 + q1.
  32 naxiom Qplus_assoc: ∀q1,q2,q3. q1 + q2 + q3 = q1 + (q2 + q3).
  33 ntheorem Qplus_assoc1: ∀q1,q2,q3. q1 + q2 + q3 = q3 + q2 + q1.
  34 #a; #b; #c; //; nqed.
  35
  36 (* naxiom Ndivides_mult: ∀n:nat.∀q. (n * q) / n = q. *)
  37
  38 ntheorem lem1: ∀n:nat.∀q:Q. (n * q + q) = (S n) * q.
  39 #n; #q; ncut (plus n 1 = S n);##[//##]
  40 //; nqed.
  41
  42 (*ndefinition aaa ≝ Qtimes_distr.
  43 ndefinition bbb ≝ Qmult_one.
  44 ndefinition ccc ≝ Qdivides_mult.*)
  45
  46 naxiom disjoint: Q → Q → Q → Q → bool.
  47
  48 ncoinductive locate : Q → Q → Prop ≝
  49    L: ∀l,u. locate l ((2 * l + u) / 3) → locate l u
  50  | H: ∀l,u. locate ((l + 2 * u) / 3) u → locate l u.
  51
  52 ndefinition R ≝ ∃l,u:Q. locate l u.
  53
  54 nlet corec Q_to_locate q : locate q q ≝ L q q ?.
  55  ncut (q = (2*q+q)/3)
  56   [##2: #H; ncases H; (*NOT WORKING: nrewrite > H;*) napply Q_to_locate
  57   |nrewrite < (Qdivides_mult 3 q) in ⊢ (? ? % ?);//
  58   ]
  59 nqed.
  60
  61 ndefinition Q_to_R : Q → R.
  62  #q; @ q; @q; //.
  63 nqed.
  64
  65 nlet corec locate_add (l1,u1:?) (r1: locate l1 u1) (l2,u2:?) (r2: locate l2 u2) :
  66  locate (l1 + l2) (u1 + u2) ≝ ?.
  67  ncases r1; ncases r2; #l2; #u2; #r2; #l1; #u1; #r1
  68   [ ##1: @1; napplyS (locate_add … r1 …r2);
  69   ##|##4: @2; napplyS (locate_add … r1 …r2);
  70   ##| ncases r2; #l2'; #u2'; #r2';
  71     .
  72
  73 nlet corec apart (l1,u1) (r1: locate l1 u1) (l2,u2) (r2: locate l2 u2) : CProp[0] ≝
  74  match disjoint l1 u1 l2 u2 with
  75   [ true ⇒ True
  76   | false ⇒
  77 *)