helm/software/matita/nlibrary/arithmetics/nat.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* include "higher_order_defs/functions.ma". *)
  16 include "hints_declaration.ma".
  17 include "basics/functions.ma".
  18 include "basics/eq.ma".
  19
  20 ninductive nat : Type[0] ≝
  21   | O : nat
  22   | S : nat → nat.
  23
  24 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  25
  26 alias num (instance 0) = "nnatural number".
  27
  28 (*
  29 nrecord pos : Type ≝
  30  {n:>nat; is_pos: n ≠ 0}.
  31
  32 ncoercion nat_to_pos: ∀n:nat. n ≠0 →pos ≝ mk_pos on
  33 *)
  34
  35 (* default "natural numbers" cic:/matita/ng/arithmetics/nat/nat.ind.
  36 *)
  37
  38 ndefinition pred ≝
  39  λn. match n with [ O ⇒  O | (S p) ⇒ p].
  40
  41 ntheorem pred_Sn : ∀n. n = pred (S n).
  42 //; nqed.
  43
  44 ntheorem injective_S : injective nat nat S.
  45 //; nqed.
  46
  47 (*
  48 ntheorem inj_S : \forall n,m:nat.(S n)=(S m) \to n=m.
  49 //. nqed. *)
  50
  51 ntheorem not_eq_S: ∀n,m:nat. n ≠ m → S n ≠ S m.
  52 /2/; nqed.
  53
  54 ndefinition not_zero: nat → Prop ≝
  55  λn: nat. match n with
  56   [ O ⇒ False | (S p) ⇒ True ].
  57
  58 ntheorem not_eq_O_S : ∀n:nat. O ≠ S n.
  59 #n; #eqOS; nchange with (not_zero O); nrewrite > eqOS; //.
  60 nqed.
  61
  62 ntheorem not_eq_n_Sn : ∀n:nat. n ≠ S n.
  63 #n; nelim n; /2/; nqed.
  64
  65 ntheorem nat_case:
  66  ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
  67   (n=O → P O) → (∀m:nat. (n=(S m) → P (S m))) → P n.
  68 #n; #P; nelim n; /2/; nqed.
  69
  70 ntheorem nat_elim2 :
  71  ∀R:nat → nat → Prop.
  72   (∀n:nat. R O n)
  73   → (∀n:nat. R (S n) O)
  74   → (∀n,m:nat. R n m → R (S n) (S m))
  75   → ∀n,m:nat. R n m.
  76 #R; #ROn; #RSO; #RSS; #n; nelim n;//;
  77 #n0; #Rn0m; #m; ncases m;/2/; nqed.
  78
  79 ntheorem decidable_eq_nat : \forall n,m:nat.decidable (n=m).
  80 napply nat_elim2; #n;
  81  ##[ ncases n; /2/;
  82  ##| /3/;
  83  ##| #m; #Hind; ncases Hind; /3/;
  84  ##]
  85 nqed.
  86
  87 (*************************** plus ******************************)
  88
  89 nlet rec plus n m ≝
  90  match n with
  91  [ O ⇒ m
  92  | S p ⇒ S (plus p m) ].
  93
  94 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  95
  96 ntheorem plus_O_n: ∀n:nat. n = 0+n.
  97 //; nqed.
  98
  99 (*
 100 ntheorem plus_Sn_m: ∀n,m:nat. S (n + m) = S n + m.
 101 //; nqed.
 102 *)
 103
 104 ntheorem plus_n_O: ∀n:nat. n = n+0.
 105 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 106
 107 ntheorem plus_n_Sm : ∀n,m:nat. S (n+m) = n + S m.
 108 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 109
 110 (*
 111 ntheorem plus_Sn_m1: ∀n,m:nat. S m + n = n + S m.
 112 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 113 *)
 114
 115 (*
 116 ntheorem plus_n_SO : ∀n:nat. S n = n+S O.
 117 //; nqed. *)
 118
 119 ntheorem symmetric_plus: symmetric ? plus.
 120 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 121
 122 ntheorem associative_plus : associative nat plus.
 123 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 124
 125 ntheorem assoc_plus1: ∀a,b,c. c + (b + a) = b + c + a.
 126 //; nqed.
 127
 128 ntheorem injective_plus_r: ∀n:nat.injective nat nat (λm.n+m).
 129 #n; nelim n; nnormalize; /3/; nqed.
 130
 131 (* ntheorem inj_plus_r: \forall p,n,m:nat. p+n = p+m \to n=m
 132 \def injective_plus_r.
 133
 134 ntheorem injective_plus_l: ∀m:nat.injective nat nat (λn.n+m).
 135 /2/; nqed. *)
 136
 137 (* ntheorem inj_plus_l: \forall p,n,m:nat. n+p = m+p \to n=m
 138 \def injective_plus_l. *)
 139
 140 (*************************** times *****************************)
 141
 142 nlet rec times n m ≝
 143  match n with
 144  [ O ⇒ O
 145  | S p ⇒ m+(times p m) ].
 146
 147 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
 148
 149 ntheorem times_Sn_m: ∀n,m:nat. m+n*m = S n*m.
 150 //; nqed.
 151
 152 ntheorem times_O_n: ∀n:nat. O = O*n.
 153 //; nqed.
 154
 155 ntheorem times_n_O: ∀n:nat. O = n*O.
 156 #n; nelim n; //; nqed.
 157
 158 ntheorem times_n_Sm : ∀n,m:nat. n+(n*m) = n*(S m).
 159 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 160
 161 ntheorem symmetric_times : symmetric nat times.
 162 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 163
 164 (* variant sym_times : \forall n,m:nat. n*m = m*n \def
 165 symmetric_times. *)
 166
 167 ntheorem distributive_times_plus : distributive nat times plus.
 168 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 169
 170 ntheorem distributive_times_plus_r:
 171 \forall a,b,c:nat. (b+c)*a = b*a + c*a.
 172 //; nqed.
 173
 174 ntheorem associative_times: associative nat times.
 175 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 176
 177 nlemma times_times: ∀x,y,z. x*(y*z) = y*(x*z).
 178 //; nqed.
 179
 180 (* ci servono questi risultati?
 181 ntheorem times_O_to_O: ∀n,m:nat.n*m=O → n=O ∨ m=O.
 182 napply nat_elim2; /2/;
 183 #n; #m; #H; nnormalize; #H1; napply False_ind;napply not_eq_O_S;
 184 //; nqed.
 185
 186 ntheorem times_n_SO : ∀n:nat. n = n * S O.
 187 #n; //; nqed.
 188
 189 ntheorem times_SSO_n : ∀n:nat. n + n = (S(S O)) * n.
 190 nnormalize; //; nqed.
 191
 192 nlemma times_SSO: \forall n.(S(S O))*(S n) = S(S((S(S O))*n)).
 193 //; nqed.
 194
 195 ntheorem or_eq_eq_S: \forall n.\exists m.
 196 n = (S(S O))*m \lor n = S ((S(S O))*m).
 197 #n; nelim n;
 198   ##[@; /2/;
 199   ##|#a; #H; nelim H; #b;#or;nelim or;#aeq;
 200     ##[@ b; @ 2; //;
 201     ##|@ (S b); @ 1; /2/;
 202     ##]
 203 nqed.
 204 *)
 205
 206 (******************** ordering relations ************************)
 207
 208 ninductive le (n:nat) : nat → Prop ≝
 209   | le_n : le n n
 210   | le_S : ∀ m:nat. le n m → le n (S m).
 211
 212 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (le x y).
 213
 214 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y = (Not (le x y)).
 215
 216 ndefinition lt: nat → nat → Prop ≝
 217 λn,m:nat. S n ≤ m.
 218
 219 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (lt x y).
 220
 221 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y = (Not (lt x y)).
 222
 223 ndefinition ge: nat \to nat \to Prop \def
 224 \lambda n,m:nat.m \leq n.
 225
 226 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (ge x y).
 227
 228 ndefinition gt: nat \to nat \to Prop \def
 229 \lambda n,m:nat.m<n.
 230
 231 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (gt x y).
 232
 233 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y = (Not (gt x y)).
 234
 235 ntheorem transitive_le : transitive nat le.
 236 #a; #b; #c; #leab; #lebc;nelim lebc;/2/;
 237 nqed.
 238
 239 (*
 240 ntheorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
 241 \def transitive_le. *)
 242
 243 ntheorem transitive_lt: transitive nat lt.
 244 #a; #b; #c; #ltab; #ltbc;nelim ltbc;/2/;nqed.
 245
 246 (*
 247 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
 248 \def transitive_lt. *)
 249
 250 ntheorem le_S_S: ∀n,m:nat. n ≤ m → S n ≤ S m.
 251 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/; nqed.
 252
 253 ntheorem le_O_n : ∀n:nat. O ≤ n.
 254 #n; nelim n; /2/; nqed.
 255
 256 ntheorem le_n_Sn : ∀n:nat. n ≤ S n.
 257 /2/; nqed.
 258
 259 ntheorem le_pred_n : ∀n:nat. pred n ≤ n.
 260 #n; nelim n; //; nqed.
 261
 262 ntheorem monotonic_pred: monotonic ? le pred.
 263 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/; nqed.
 264
 265 ntheorem le_S_S_to_le: ∀n,m:nat. S n ≤ S m → n ≤ m.
 266 /2/; nqed.
 267
 268 ntheorem lt_S_S_to_lt: ∀n,m. S n < S m \to n < m.
 269 /2/; nqed.
 270
 271 ntheorem lt_to_lt_S_S: ∀n,m. n < m → S n < S m.
 272 /2/; nqed.
 273
 274 ntheorem lt_to_not_zero : ∀n,m:nat. n < m → not_zero m.
 275 #n; #m; #Hlt; nelim Hlt;//; nqed.
 276
 277 (* lt vs. le *)
 278 ntheorem not_le_Sn_O: ∀ n:nat. S n ≰ O.
 279 #n; #Hlen0; napply (lt_to_not_zero ?? Hlen0); nqed.
 280
 281 ntheorem not_le_to_not_le_S_S: ∀ n,m:nat. n ≰ m → S n ≰ S m.
 282 /3/; nqed.
 283
 284 ntheorem not_le_S_S_to_not_le: ∀ n,m:nat. S n ≰ S m → n ≰ m.
 285 /3/; nqed.
 286
 287 ntheorem decidable_le: ∀n,m. decidable (n≤m).
 288 napply nat_elim2; #n; /2/;
 289 #m; #dec; ncases dec;/3/; nqed.
 290
 291 ntheorem decidable_lt: ∀n,m. decidable (n < m).
 292 #n; #m; napply decidable_le ; nqed.
 293
 294 ntheorem not_le_Sn_n: ∀n:nat. S n ≰ n.
 295 #n; nelim n; /2/; nqed.
 296
 297 ntheorem lt_S_to_le: ∀n,m:nat. n < S m → n ≤ m.
 298 /2/; nqed.
 299
 300 ntheorem not_le_to_lt: ∀n,m. n ≰ m → m < n.
 301 napply nat_elim2; #n;
 302  ##[#abs; napply False_ind;/2/;
 303  ##|/2/;
 304  ##|#m;#Hind;#HnotleSS; napply lt_to_lt_S_S;/3/;
 305  ##]
 306 nqed.
 307
 308 ntheorem lt_to_not_le: ∀n,m. n < m → m ≰ n.
 309 #n; #m; #Hltnm; nelim Hltnm;/3/; nqed.
 310
 311 ntheorem not_lt_to_le: ∀n,m:nat. n ≮ m → m ≤ n.
 312 #n; #m; #Hnlt; napply lt_S_to_le;
 313 (* something strange here: /2/ fails *)
 314 napply not_le_to_lt; napply Hnlt; nqed.
 315
 316 ntheorem le_to_not_lt: ∀n,m:nat. n ≤ m → m ≮ n.
 317 /2/; nqed.
 318
 319 (* lt and le trans *)
 320
 321 ntheorem lt_to_le_to_lt: ∀n,m,p:nat. n < m → m ≤ p → n < p.
 322 #n; #m; #p; #H; #H1; nelim H1; /2/; nqed.
 323
 324 ntheorem le_to_lt_to_lt: ∀n,m,p:nat. n ≤ m → m < p → n < p.
 325 #n; #m; #p; #H; nelim H; /3/; nqed.
 326
 327 ntheorem lt_S_to_lt: ∀n,m. S n < m → n < m.
 328 /2/; nqed.
 329
 330 ntheorem ltn_to_ltO: ∀n,m:nat. n < m → O < m.
 331 /2/; nqed.
 332
 333 (*
 334 theorem lt_SO_n_to_lt_O_pred_n: \forall n:nat.
 335 (S O) \lt n \to O \lt (pred n).
 336 intros.
 337 apply (ltn_to_ltO (pred (S O)) (pred n) ?).
 338  apply (lt_pred (S O) n);
 339  [ apply (lt_O_S O)
 340  | assumption
 341  ]
 342 qed. *)
 343
 344 ntheorem lt_O_n_elim: ∀n:nat. O < n →
 345   ∀P:nat → Prop.(∀m:nat.P (S m)) → P n.
 346 #n; nelim n; //; #abs; napply False_ind; /2/; nqed.
 347
 348 (*
 349 theorem lt_pred: \forall n,m.
 350   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 351 apply nat_elim2
 352   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 353   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 354   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 355   ]
 356 qed.
 357
 358 theorem S_pred: \forall n:nat.lt O n \to eq nat n (S (pred n)).
 359 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 360 apply eq_f.apply pred_Sn.
 361 qed.
 362
 363 theorem le_pred_to_le:
 364  ∀n,m. O < m → pred n ≤ pred m → n ≤ m.
 365 intros 2;
 366 elim n;
 367 [ apply le_O_n
 368 | simplify in H2;
 369   rewrite > (S_pred m);
 370   [ apply le_S_S;
 371     assumption
 372   | assumption
 373   ]
 374 ].
 375 qed.
 376
 377 *)
 378
 379 (* le to lt or eq *)
 380 ntheorem le_to_or_lt_eq: ∀n,m:nat. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
 381 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /3/; nqed.
 382
 383 (* not eq *)
 384 ntheorem lt_to_not_eq : ∀n,m:nat. n < m → n ≠ m.
 385 /2/; nqed.
 386
 387 (*not lt
 388 ntheorem eq_to_not_lt: ∀a,b:nat. a = b → a ≮ b.
 389 intros.
 390 unfold Not.
 391 intros.
 392 rewrite > H in H1.
 393 apply (lt_to_not_eq b b)
 394 [ assumption
 395 | reflexivity
 396 ]
 397 qed.
 398
 399 theorem lt_n_m_to_not_lt_m_Sn: ∀n,m. n < m → m ≮ S n.
 400 intros;
 401 unfold Not;
 402 intro;
 403 unfold lt in H;
 404 unfold lt in H1;
 405 generalize in match (le_S_S ? ? H);
 406 intro;
 407 generalize in match (transitive_le ? ? ? H2 H1);
 408 intro;
 409 apply (not_le_Sn_n ? H3).
 410 qed. *)
 411
 412 ntheorem not_eq_to_le_to_lt: ∀n,m. n≠m → n≤m → n<m.
 413 #n; #m; #Hneq; #Hle; ncases (le_to_or_lt_eq ?? Hle); //;
 414 #Heq; nelim (Hneq Heq); nqed.
 415
 416 (* le elimination *)
 417 ntheorem le_n_O_to_eq : ∀n:nat. n ≤ O → O=n.
 418 #n; ncases n; //; #a ; #abs; nelim (not_le_Sn_O ? abs); nqed.
 419
 420 ntheorem le_n_O_elim: ∀n:nat. n ≤ O → ∀P: nat →Prop. P O → P n.
 421 #n; ncases n; //; #a; #abs; nelim (not_le_Sn_O ? abs); nqed.
 422
 423 ntheorem le_n_Sm_elim : ∀n,m:nat.n ≤ S m →
 424 ∀P:Prop. (S n ≤ S m → P) → (n=S m → P) → P.
 425 #n; #m; #Hle; #P; nelim Hle; /3/; nqed.
 426
 427 (* le and eq *)
 428
 429 ntheorem le_to_le_to_eq: ∀n,m. n ≤ m → m ≤ n → n = m.
 430 napply nat_elim2; /3/; nqed.
 431
 432 ntheorem lt_O_S : \forall n:nat. O < S n.
 433 /2/; nqed.
 434
 435 (*
 436 (* other abstract properties *)
 437 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 438 unfold antisymmetric.intros 2.
 439 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 440 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 441 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 442 intros.apply eq_f.apply H.
 443 apply le_S_S_to_le.assumption.
 444 apply le_S_S_to_le.assumption.
 445 qed.
 446
 447 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 448 \def antisymmetric_le.
 449
 450 theorem le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m: ∀n,m. n ≤ m → m < S n → n=m.
 451 intros;
 452 unfold lt in H1;
 453 generalize in match (le_S_S_to_le ? ? H1);
 454 intro;
 455 apply antisym_le;
 456 assumption.
 457 qed.
 458 *)
 459
 460 (* well founded induction principles *)
 461
 462 ntheorem nat_elim1 : ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
 463 (∀m.(∀p. p < m → P p) → P m) → P n.
 464 #n; #P; #H;
 465 ncut (∀q:nat. q ≤ n → P q);/2/;
 466 nelim n;
 467  ##[#q; #HleO; (* applica male *)
 468     napply (le_n_O_elim ? HleO);
 469     napply H; #p; #ltpO;
 470     napply False_ind; /2/;
 471  ##|#p; #Hind; #q; #HleS;
 472     napply H; #a; #lta; napply Hind;
 473     napply le_S_S_to_le;/2/;
 474  ##]
 475 nqed.
 476
 477 (* some properties of functions *)
 478 (*
 479 definition increasing \def \lambda f:nat \to nat.
 480 \forall n:nat. f n < f (S n).
 481
 482 theorem increasing_to_monotonic: \forall f:nat \to nat.
 483 increasing f \to monotonic nat lt f.
 484 unfold monotonic.unfold lt.unfold increasing.unfold lt.intros.elim H1.apply H.
 485 apply (trans_le ? (f n1)).
 486 assumption.apply (trans_le ? (S (f n1))).
 487 apply le_n_Sn.
 488 apply H.
 489 qed.
 490
 491 theorem le_n_fn: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 492 \to \forall n:nat. n \le (f n).
 493 intros.elim n.
 494 apply le_O_n.
 495 apply (trans_le ? (S (f n1))).
 496 apply le_S_S.apply H1.
 497 simplify in H. unfold increasing in H.unfold lt in H.apply H.
 498 qed.
 499
 500 theorem increasing_to_le: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 501 \to \forall m:nat. \exists i. m \le (f i).
 502 intros.elim m.
 503 apply (ex_intro ? ? O).apply le_O_n.
 504 elim H1.
 505 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 506 apply (trans_le ? (S (f a))).
 507 apply le_S_S.assumption.
 508 simplify in H.unfold increasing in H.unfold lt in H.
 509 apply H.
 510 qed.
 511
 512 theorem increasing_to_le2: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 513 \to \forall m:nat. (f O) \le m \to
 514 \exists i. (f i) \le m \land m <(f (S i)).
 515 intros.elim H1.
 516 apply (ex_intro ? ? O).
 517 split.apply le_n.apply H.
 518 elim H3.elim H4.
 519 cut ((S n1) < (f (S a)) \lor (S n1) = (f (S a))).
 520 elim Hcut.
 521 apply (ex_intro ? ? a).
 522 split.apply le_S. assumption.assumption.
 523 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 524 split.rewrite < H7.apply le_n.
 525 rewrite > H7.
 526 apply H.
 527 apply le_to_or_lt_eq.apply H6.
 528 qed.
 529 *)
 530
 531 (******************* monotonicity ******************************)
 532 ntheorem monotonic_le_plus_r:
 533 ∀n:nat.monotonic nat le (λm.n + m).
 534 #n; #a; #b; nelim n; nnormalize; //;
 535 #m; #H; #leab;napply le_S_S; /2/; nqed.
 536
 537 ntheorem le_plus_r: ∀p,n,m:nat. n ≤ m → p + n ≤ p + m
 538 ≝ monotonic_le_plus_r.
 539
 540 ntheorem monotonic_le_plus_l:
 541 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n + m).
 542 /2/; nqed.
 543
 544 ntheorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
 545 \def monotonic_le_plus_l.
 546
 547 ntheorem le_plus: ∀n1,n2,m1,m2:nat. n1 ≤ n2  \to m1 ≤ m2
 548 → n1 + m1 ≤ n2 + m2.
 549 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem; napply transitive_le;
 550 /2/; nqed.
 551
 552 ntheorem le_plus_n :∀n,m:nat. m ≤ n + m.
 553 /2/; nqed.
 554
 555 ntheorem le_plus_n_r :∀n,m:nat. m ≤ m + n.
 556 /2/; nqed.
 557
 558 ntheorem eq_plus_to_le: ∀n,m,p:nat.n=m+p → m ≤ n.
 559 //; nqed.
 560
 561 ntheorem le_plus_to_le: ∀a,n,m. a + n ≤ a + m → n ≤ m.
 562 #a; nelim a; /3/; nqed.
 563
 564 (* times *)
 565 ntheorem monotonic_le_times_r:
 566 ∀n:nat.monotonic nat le (λm. n * m).
 567 #n; #x; #y; #lexy; nelim n; nnormalize;//;
 568 #a; #lea; napply le_plus;//; (* lentissimo /2/ *)
 569 nqed.
 570
 571 (*
 572 ntheorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
 573 \def monotonic_le_times_r. *)
 574
 575 ntheorem monotonic_le_times_l:
 576 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n*m).
 577 /2/; nqed.
 578
 579 (*
 580 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
 581 \def monotonic_le_times_l. *)
 582
 583 ntheorem le_times: ∀n1,n2,m1,m2:nat.
 584 n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2 → n1*m1 ≤ n2*m2.
 585 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem;
 586 napply transitive_le; (* too slow *)
 587  ##[ ##| napply monotonic_le_times_l;//;
 588      ##| napply monotonic_le_times_r;//;
 589  ##]
 590 nqed.
 591
 592 ntheorem lt_times_n: ∀n,m:nat. O < n → m ≤ n*m.
 593 (* bello *)
 594 /2/; nqed.
 595
 596 ntheorem le_times_to_le:
 597 ∀a,n,m. O < a → a * n ≤ a * m → n ≤ m.
 598 #a; napply nat_elim2; nnormalize;
 599   ##[//;
 600   ##|#n; #H1; #H2; napply False_ind;
 601      ngeneralize in match H2;
 602      napply lt_to_not_le;
 603      napply (transitive_le ? (S n));/2/;
 604   ##|#n; #m; #H; #lta; #le;
 605      napply le_S_S; napply H; /2/;
 606   ##]
 607 nqed.
 608
 609 ntheorem le_S_times_2: ∀n,m.O < m → n ≤ m → n < 2*m.
 610 #n; #m; #posm; #lenm; (* interessante *)
 611 nnormalize; napplyS (le_plus n); //; nqed.