helm/software/matita/nlibrary/arithmetics/nat.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* include "higher_order_defs/functions.ma". *)
  16 include "hints_declaration.ma".
  17 include "basics/functions.ma".
  18 include "basics/eq.ma".
  19
  20 ninductive nat : Type[0] ≝
  21   | O : nat
  22   | S : nat → nat.
  23
  24 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  25
  26 alias num (instance 0) = "nnatural number".
  27
  28 (*
  29 nrecord pos : Type ≝
  30  {n:>nat; is_pos: n ≠ 0}.
  31
  32 ncoercion nat_to_pos: ∀n:nat. n ≠0 →pos ≝ mk_pos on
  33 *)
  34
  35 (* default "natural numbers" cic:/matita/ng/arithmetics/nat/nat.ind.
  36 *)
  37
  38 ndefinition pred ≝
  39  λn. match n with [ O ⇒  O | (S p) ⇒ p].
  40
  41 ntheorem pred_Sn : ∀n. n = pred (S n).
  42 //; nqed.
  43
  44 ntheorem injective_S : injective nat nat S.
  45 //; nqed.
  46
  47 (*
  48 ntheorem inj_S : \forall n,m:nat.(S n)=(S m) \to n=m.
  49 //. nqed. *)
  50
  51 ntheorem not_eq_S: ∀n,m:nat. n ≠ m → S n ≠ S m.
  52 /2/; nqed.
  53
  54 ndefinition not_zero: nat → Prop ≝
  55  λn: nat. match n with
  56   [ O ⇒ False | (S p) ⇒ True ].
  57
  58 ntheorem not_eq_O_S : ∀n:nat. O ≠ S n.
  59 #n; #eqOS; nchange with (not_zero O); nrewrite > eqOS; //.
  60 nqed.
  61
  62 ntheorem not_eq_n_Sn : ∀n:nat. n ≠ S n.
  63 #n; nelim n; /2/; nqed.
  64
  65 ntheorem nat_case:
  66  ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
  67   (n=O → P O) → (∀m:nat. (n=(S m) → P (S m))) → P n.
  68 #n; #P; nelim n; /2/; nqed.
  69
  70 ntheorem nat_elim2 :
  71  ∀R:nat → nat → Prop.
  72   (∀n:nat. R O n)
  73   → (∀n:nat. R (S n) O)
  74   → (∀n,m:nat. R n m → R (S n) (S m))
  75   → ∀n,m:nat. R n m.
  76 #R; #ROn; #RSO; #RSS; #n; nelim n;//;
  77 #n0; #Rn0m; #m; ncases m;/2/; nqed.
  78
  79 ntheorem decidable_eq_nat : ∀n,m:nat.decidable (n=m).
  80 napply nat_elim2; #n;
  81  ##[ ncases n; /3/;
  82  ##| /3/;
  83  ##| #m; #Hind; ncases Hind; /3/;
  84  ##]
  85 nqed.
  86
  87 (*************************** plus ******************************)
  88
  89 nlet rec plus n m ≝
  90  match n with
  91  [ O ⇒ m
  92  | S p ⇒ S (plus p m) ].
  93
  94 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  95
  96 ntheorem plus_O_n: ∀n:nat. n = 0+n.
  97 //; nqed.
  98
  99 (*
 100 ntheorem plus_Sn_m: ∀n,m:nat. S (n + m) = S n + m.
 101 //; nqed.
 102 *)
 103
 104 ntheorem plus_n_O: ∀n:nat. n = n+0.
 105 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 106
 107 ntheorem plus_n_Sm : ∀n,m:nat. S (n+m) = n + S m.
 108 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 109
 110 (*
 111 ntheorem plus_Sn_m1: ∀n,m:nat. S m + n = n + S m.
 112 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 113 *)
 114
 115 (*
 116 ntheorem plus_n_SO : ∀n:nat. S n = n+S O.
 117 //; nqed. *)
 118
 119 ntheorem symmetric_plus: symmetric ? plus.
 120 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 121
 122 ntheorem associative_plus : associative nat plus.
 123 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 124
 125 ntheorem assoc_plus1: ∀a,b,c. c + (b + a) = b + c + a.
 126 //; nqed.
 127
 128 ntheorem injective_plus_r: ∀n:nat.injective nat nat (λm.n+m).
 129 #n; nelim n; nnormalize; /3/; nqed.
 130
 131 (* ntheorem inj_plus_r: \forall p,n,m:nat. p+n = p+m \to n=m
 132 \def injective_plus_r.
 133
 134 ntheorem injective_plus_l: ∀m:nat.injective nat nat (λn.n+m).
 135 /2/; nqed. *)
 136
 137 (* ntheorem inj_plus_l: \forall p,n,m:nat. n+p = m+p \to n=m
 138 \def injective_plus_l. *)
 139
 140 (*************************** times *****************************)
 141
 142 nlet rec times n m ≝
 143  match n with
 144  [ O ⇒ O
 145  | S p ⇒ m+(times p m) ].
 146
 147 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
 148
 149 ntheorem times_Sn_m: ∀n,m:nat. m+n*m = S n*m.
 150 //; nqed.
 151
 152 ntheorem times_O_n: ∀n:nat. O = O*n.
 153 //; nqed.
 154
 155 ntheorem times_n_O: ∀n:nat. O = n*O.
 156 #n; nelim n; //; nqed.
 157
 158 ntheorem times_n_Sm : ∀n,m:nat. n+(n*m) = n*(S m).
 159 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 160
 161 ntheorem symmetric_times : symmetric nat times.
 162 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 163
 164 (* variant sym_times : \forall n,m:nat. n*m = m*n \def
 165 symmetric_times. *)
 166
 167 ntheorem distributive_times_plus : distributive nat times plus.
 168 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 169
 170 ntheorem distributive_times_plus_r:
 171 \forall a,b,c:nat. (b+c)*a = b*a + c*a.
 172 //; nqed.
 173
 174 ntheorem associative_times: associative nat times.
 175 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 176
 177 nlemma times_times: ∀x,y,z. x*(y*z) = y*(x*z).
 178 //; nqed.
 179
 180 (* ci servono questi risultati?
 181 ntheorem times_O_to_O: ∀n,m:nat.n*m=O → n=O ∨ m=O.
 182 napply nat_elim2; /2/;
 183 #n; #m; #H; nnormalize; #H1; napply False_ind;napply not_eq_O_S;
 184 //; nqed.
 185
 186 ntheorem times_n_SO : ∀n:nat. n = n * S O.
 187 #n; //; nqed.
 188
 189 ntheorem times_SSO_n : ∀n:nat. n + n = (S(S O)) * n.
 190 nnormalize; //; nqed.
 191
 192 nlemma times_SSO: \forall n.(S(S O))*(S n) = S(S((S(S O))*n)).
 193 //; nqed.
 194
 195 ntheorem or_eq_eq_S: \forall n.\exists m.
 196 n = (S(S O))*m \lor n = S ((S(S O))*m).
 197 #n; nelim n;
 198   ##[@; /2/;
 199   ##|#a; #H; nelim H; #b;#or;nelim or;#aeq;
 200     ##[@ b; @ 2; //;
 201     ##|@ (S b); @ 1; /2/;
 202     ##]
 203 nqed.
 204 *)
 205
 206 (******************** ordering relations ************************)
 207
 208 ninductive le (n:nat) : nat → Prop ≝
 209   | le_n : le n n
 210   | le_S : ∀ m:nat. le n m → le n (S m).
 211
 212 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (le x y).
 213
 214 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y = (Not (le x y)).
 215
 216 ndefinition lt: nat → nat → Prop ≝
 217 λn,m:nat. S n ≤ m.
 218
 219 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (lt x y).
 220
 221 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y = (Not (lt x y)).
 222
 223 ndefinition ge: nat \to nat \to Prop \def
 224 \lambda n,m:nat.m \leq n.
 225
 226 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (ge x y).
 227
 228 ndefinition gt: nat \to nat \to Prop \def
 229 \lambda n,m:nat.m<n.
 230
 231 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (gt x y).
 232
 233 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y = (Not (gt x y)).
 234
 235 ntheorem transitive_le : transitive nat le.
 236 #a; #b; #c; #leab; #lebc;nelim lebc;/2/;
 237 nqed.
 238
 239 (*
 240 ntheorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
 241 \def transitive_le. *)
 242
 243 ntheorem transitive_lt: transitive nat lt.
 244 #a; #b; #c; #ltab; #ltbc;nelim ltbc;/2/;nqed.
 245
 246 (*
 247 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
 248 \def transitive_lt. *)
 249
 250 ntheorem le_S_S: ∀n,m:nat. n ≤ m → S n ≤ S m.
 251 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/; nqed.
 252
 253 ntheorem le_O_n : ∀n:nat. O ≤ n.
 254 #n; nelim n; /2/; nqed.
 255
 256 ntheorem le_n_Sn : ∀n:nat. n ≤ S n.
 257 /2/; nqed.
 258
 259 ntheorem le_pred_n : ∀n:nat. pred n ≤ n.
 260 #n; nelim n; //; nqed.
 261
 262 (* XXX global problem *)
 263 nlemma my_trans_le : ∀x,y,z:nat.x ≤ y → y ≤ z → x ≤ z.
 264 napply transitive_le.
 265 nqed.
 266
 267 ntheorem monotonic_pred: monotonic ? le pred.
 268 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/; nqed.
 269
 270 ntheorem le_S_S_to_le: ∀n,m:nat. S n ≤ S m → n ≤ m.
 271 (* XXX *) nletin hint ≝ monotonic. /2/; nqed.
 272
 273 ntheorem lt_S_S_to_lt: ∀n,m. S n < S m → n < m.
 274 /2/; nqed.
 275
 276 ntheorem lt_to_lt_S_S: ∀n,m. n < m → S n < S m.
 277 /2/; nqed.
 278
 279 ntheorem lt_to_not_zero : ∀n,m:nat. n < m → not_zero m.
 280 #n; #m; #Hlt; nelim Hlt;//; nqed.
 281
 282 (* lt vs. le *)
 283 ntheorem not_le_Sn_O: ∀ n:nat. S n ≰ O.
 284 #n; #Hlen0; napply (lt_to_not_zero ?? Hlen0); nqed.
 285
 286 ntheorem not_le_to_not_le_S_S: ∀ n,m:nat. n ≰ m → S n ≰ S m.
 287 /3/; nqed.
 288
 289 ntheorem not_le_S_S_to_not_le: ∀ n,m:nat. S n ≰ S m → n ≰ m.
 290 /3/; nqed.
 291
 292 ntheorem decidable_le: ∀n,m. decidable (n≤m).
 293 napply nat_elim2; #n; /3/;
 294 #m; #dec; ncases dec;/4/; nqed.
 295
 296 ntheorem decidable_lt: ∀n,m. decidable (n < m).
 297 #n; #m; napply decidable_le ; nqed.
 298
 299 ntheorem not_le_Sn_n: ∀n:nat. S n ≰ n.
 300 #n; nelim n; /3/; nqed.
 301
 302 ntheorem lt_S_to_le: ∀n,m:nat. n < S m → n ≤ m.
 303 /2/; nqed.
 304
 305 ntheorem not_le_to_lt: ∀n,m. n ≰ m → m < n.
 306 napply nat_elim2; #n;
 307  ##[#abs; napply False_ind;/2/;
 308  ##|/2/;
 309  ##|#m;#Hind;#HnotleSS; napply lt_to_lt_S_S;/4/;
 310  ##]
 311 nqed.
 312
 313 ntheorem lt_to_not_le: ∀n,m. n < m → m ≰ n.
 314 #n; #m; #Hltnm; nelim Hltnm;/3/; nqed.
 315
 316 ntheorem not_lt_to_le: ∀n,m:nat. n ≮ m → m ≤ n.
 317 #n; #m; #Hnlt; napply lt_S_to_le;
 318 (* something strange here: /2/ fails:
 319    we need an extra depths for unfolding not *)
 320 napply not_le_to_lt; napply Hnlt; nqed.
 321
 322 ntheorem le_to_not_lt: ∀n,m:nat. n ≤ m → m ≮ n.
 323 /2/; nqed.
 324
 325 (* lt and le trans *)
 326
 327 ntheorem lt_to_le_to_lt: ∀n,m,p:nat. n < m → m ≤ p → n < p.
 328 #n; #m; #p; #H; #H1; nelim H1; /2/; nqed.
 329
 330 ntheorem le_to_lt_to_lt: ∀n,m,p:nat. n ≤ m → m < p → n < p.
 331 #n; #m; #p; #H; nelim H; /3/; nqed.
 332
 333 ntheorem lt_S_to_lt: ∀n,m. S n < m → n < m.
 334 /2/; nqed.
 335
 336 ntheorem ltn_to_ltO: ∀n,m:nat. n < m → O < m.
 337 /2/; nqed.
 338
 339 (*
 340 theorem lt_SO_n_to_lt_O_pred_n: \forall n:nat.
 341 (S O) \lt n \to O \lt (pred n).
 342 intros.
 343 apply (ltn_to_ltO (pred (S O)) (pred n) ?).
 344  apply (lt_pred (S O) n);
 345  [ apply (lt_O_S O)
 346  | assumption
 347  ]
 348 qed. *)
 349
 350 ntheorem lt_O_n_elim: ∀n:nat. O < n →
 351   ∀P:nat → Prop.(∀m:nat.P (S m)) → P n.
 352 #n; nelim n; //; #abs; napply False_ind; /2/; nqed.
 353
 354 (*
 355 theorem lt_pred: \forall n,m.
 356   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 357 apply nat_elim2
 358   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 359   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 360   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 361   ]
 362 qed.
 363
 364 theorem S_pred: \forall n:nat.lt O n \to eq nat n (S (pred n)).
 365 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 366 apply eq_f.apply pred_Sn.
 367 qed.
 368
 369 theorem le_pred_to_le:
 370  ∀n,m. O < m → pred n ≤ pred m → n ≤ m.
 371 intros 2;
 372 elim n;
 373 [ apply le_O_n
 374 | simplify in H2;
 375   rewrite > (S_pred m);
 376   [ apply le_S_S;
 377     assumption
 378   | assumption
 379   ]
 380 ].
 381 qed.
 382
 383 *)
 384
 385 (* le to lt or eq *)
 386 ntheorem le_to_or_lt_eq: ∀n,m:nat. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
 387 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /3/; nqed.
 388
 389 (* not eq *)
 390 ntheorem lt_to_not_eq : ∀n,m:nat. n < m → n ≠ m.
 391 /2/; nqed.
 392
 393 (*not lt
 394 ntheorem eq_to_not_lt: ∀a,b:nat. a = b → a ≮ b.
 395 intros.
 396 unfold Not.
 397 intros.
 398 rewrite > H in H1.
 399 apply (lt_to_not_eq b b)
 400 [ assumption
 401 | reflexivity
 402 ]
 403 qed.
 404
 405 theorem lt_n_m_to_not_lt_m_Sn: ∀n,m. n < m → m ≮ S n.
 406 intros;
 407 unfold Not;
 408 intro;
 409 unfold lt in H;
 410 unfold lt in H1;
 411 generalize in match (le_S_S ? ? H);
 412 intro;
 413 generalize in match (transitive_le ? ? ? H2 H1);
 414 intro;
 415 apply (not_le_Sn_n ? H3).
 416 qed. *)
 417
 418 ntheorem not_eq_to_le_to_lt: ∀n,m. n≠m → n≤m → n<m.
 419 #n; #m; #Hneq; #Hle; ncases (le_to_or_lt_eq ?? Hle); //;
 420 #Heq; nelim (Hneq Heq); nqed.
 421
 422 (* le elimination *)
 423 ntheorem le_n_O_to_eq : ∀n:nat. n ≤ O → O=n.
 424 #n; ncases n; //; #a ; #abs; nelim (not_le_Sn_O ? abs); nqed.
 425
 426 ntheorem le_n_O_elim: ∀n:nat. n ≤ O → ∀P: nat →Prop. P O → P n.
 427 #n; ncases n; //; #a; #abs; nelim (not_le_Sn_O ? abs); nqed.
 428
 429 ntheorem le_n_Sm_elim : ∀n,m:nat.n ≤ S m →
 430 ∀P:Prop. (S n ≤ S m → P) → (n=S m → P) → P.
 431 #n; #m; #Hle; #P; nelim Hle; /3/; nqed.
 432
 433 (* le and eq *)
 434
 435 ntheorem le_to_le_to_eq: ∀n,m. n ≤ m → m ≤ n → n = m.
 436 napply nat_elim2; /4/; nqed.
 437
 438 ntheorem lt_O_S : ∀n:nat. O < S n.
 439 /2/; nqed.
 440
 441 (*
 442 (* other abstract properties *)
 443 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 444 unfold antisymmetric.intros 2.
 445 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 446 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 447 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 448 intros.apply eq_f.apply H.
 449 apply le_S_S_to_le.assumption.
 450 apply le_S_S_to_le.assumption.
 451 qed.
 452
 453 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 454 \def antisymmetric_le.
 455
 456 theorem le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m: ∀n,m. n ≤ m → m < S n → n=m.
 457 intros;
 458 unfold lt in H1;
 459 generalize in match (le_S_S_to_le ? ? H1);
 460 intro;
 461 apply antisym_le;
 462 assumption.
 463 qed.
 464 *)
 465
 466 (* well founded induction principles *)
 467
 468 ntheorem nat_elim1 : ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
 469 (∀m.(∀p. p < m → P p) → P m) → P n.
 470 #n; #P; #H;
 471 ncut (∀q:nat. q ≤ n → P q);/2/;
 472 nelim n;
 473  ##[#q; #HleO; (* applica male *)
 474     napply (le_n_O_elim ? HleO);
 475     napply H; #p; #ltpO;
 476     napply False_ind; /2/;
 477  ##|#p; #Hind; #q; #HleS;
 478     napply H; #a; #lta; napply Hind;
 479     napply le_S_S_to_le;/2/;
 480  ##]
 481 nqed.
 482
 483 (* some properties of functions *)
 484 (*
 485 definition increasing \def \lambda f:nat \to nat.
 486 \forall n:nat. f n < f (S n).
 487
 488 theorem increasing_to_monotonic: \forall f:nat \to nat.
 489 increasing f \to monotonic nat lt f.
 490 unfold monotonic.unfold lt.unfold increasing.unfold lt.intros.elim H1.apply H.
 491 apply (trans_le ? (f n1)).
 492 assumption.apply (trans_le ? (S (f n1))).
 493 apply le_n_Sn.
 494 apply H.
 495 qed.
 496
 497 theorem le_n_fn: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 498 \to \forall n:nat. n \le (f n).
 499 intros.elim n.
 500 apply le_O_n.
 501 apply (trans_le ? (S (f n1))).
 502 apply le_S_S.apply H1.
 503 simplify in H. unfold increasing in H.unfold lt in H.apply H.
 504 qed.
 505
 506 theorem increasing_to_le: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 507 \to \forall m:nat. \exists i. m \le (f i).
 508 intros.elim m.
 509 apply (ex_intro ? ? O).apply le_O_n.
 510 elim H1.
 511 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 512 apply (trans_le ? (S (f a))).
 513 apply le_S_S.assumption.
 514 simplify in H.unfold increasing in H.unfold lt in H.
 515 apply H.
 516 qed.
 517
 518 theorem increasing_to_le2: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 519 \to \forall m:nat. (f O) \le m \to
 520 \exists i. (f i) \le m \land m <(f (S i)).
 521 intros.elim H1.
 522 apply (ex_intro ? ? O).
 523 split.apply le_n.apply H.
 524 elim H3.elim H4.
 525 cut ((S n1) < (f (S a)) \lor (S n1) = (f (S a))).
 526 elim Hcut.
 527 apply (ex_intro ? ? a).
 528 split.apply le_S. assumption.assumption.
 529 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 530 split.rewrite < H7.apply le_n.
 531 rewrite > H7.
 532 apply H.
 533 apply le_to_or_lt_eq.apply H6.
 534 qed.
 535 *)
 536
 537 (*********************** monotonicity ***************************)
 538 ntheorem monotonic_le_plus_r:
 539 ∀n:nat.monotonic nat le (λm.n + m).
 540 #n; #a; #b; nelim n; nnormalize; //;
 541 #m; #H; #leab;napply le_S_S; /2/; nqed.
 542
 543 (*
 544 ntheorem le_plus_r: ∀p,n,m:nat. n ≤ m → p + n ≤ p + m
 545 ≝ monotonic_le_plus_r. *)
 546
 547 ntheorem monotonic_le_plus_l:
 548 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n + m).
 549 /2/; nqed.
 550
 551 (*
 552 ntheorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
 553 \def monotonic_le_plus_l. *)
 554
 555 ntheorem le_plus: ∀n1,n2,m1,m2:nat. n1 ≤ n2  \to m1 ≤ m2
 556 → n1 + m1 ≤ n2 + m2.
 557 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem; napply transitive_le;
 558 /2/; nqed.
 559
 560 ntheorem le_plus_n :∀n,m:nat. m ≤ n + m.
 561 /2/; nqed.
 562
 563 ntheorem le_plus_n_r :∀n,m:nat. m ≤ m + n.
 564 /2/; nqed.
 565
 566 ntheorem eq_plus_to_le: ∀n,m,p:nat.n=m+p → m ≤ n.
 567 //; nqed.
 568
 569 ntheorem le_plus_to_le: ∀a,n,m. a + n ≤ a + m → n ≤ m.
 570 #a; nelim a; /3/; nqed.
 571
 572 ntheorem le_plus_to_le_r: ∀a,n,m. n + a ≤ m +a → n ≤ m.
 573 /2/; nqed.
 574
 575 (* plus & lt *)
 576
 577 ntheorem monotonic_lt_plus_r:
 578 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.n+m).
 579 /2/; nqed.
 580
 581 (*
 582 variant lt_plus_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to n + p < n + q \def
 583 monotonic_lt_plus_r. *)
 584
 585 ntheorem monotonic_lt_plus_l:
 586 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.m+n).
 587 /2/;nqed.
 588
 589 (*
 590 variant lt_plus_l: \forall n,p,q:nat. p < q \to p + n < q + n \def
 591 monotonic_lt_plus_l. *)
 592
 593 ntheorem lt_plus: ∀n,m,p,q:nat. n < m → p < q → n + p < m + q.
 594 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #ltpq;
 595 napply (transitive_lt ? (n+q));/2/; nqed.
 596
 597 ntheorem lt_plus_to_lt_l :∀n,p,q:nat. p+n < q+n → p<q.
 598 /2/; nqed.
 599
 600 ntheorem lt_plus_to_lt_r :∀n,p,q:nat. n+p < n+q → p<q.
 601 /2/; nqed.
 602
 603 ntheorem le_to_lt_to_plus_lt: ∀a,b,c,d:nat.
 604 a ≤ c → b < d → a + b < c+d.
 605 (* bello /2/ un po' lento *)
 606 #a; #b; #c; #d; #leac; #lebd;
 607 nnormalize; napplyS le_plus; //; nqed.
 608
 609 (* times *)
 610 ntheorem monotonic_le_times_r:
 611 ∀n:nat.monotonic nat le (λm. n * m).
 612 #n; #x; #y; #lexy; nelim n; nnormalize;//;(* lento /2/;*)
 613 #a; #lea; napply le_plus; //;
 614 nqed.
 615
 616 (*
 617 ntheorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
 618 \def monotonic_le_times_r. *)
 619
 620 ntheorem monotonic_le_times_l:
 621 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n*m).
 622 /2/; nqed.
 623
 624 (*
 625 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
 626 \def monotonic_le_times_l. *)
 627
 628 ntheorem le_times: ∀n1,n2,m1,m2:nat.
 629 n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2 → n1*m1 ≤ n2*m2.
 630 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem;
 631 napply transitive_le; (* /2/ slow *)
 632  ##[ ##| napply monotonic_le_times_l;//;
 633      ##| napply monotonic_le_times_r;//;
 634  ##]
 635 nqed.
 636
 637 ntheorem lt_times_n: ∀n,m:nat. O < n → m ≤ n*m.
 638 (* bello *)
 639 /2/; nqed.
 640
 641 ntheorem le_times_to_le:
 642 ∀a,n,m. O < a → a * n ≤ a * m → n ≤ m.
 643 #a; napply nat_elim2; nnormalize;
 644   ##[//;
 645   ##|#n; #H1; #H2; napply False_ind;
 646      ngeneralize in match H2;
 647      napply lt_to_not_le;
 648      napply (transitive_le ? (S n));/2/;
 649   ##|#n; #m; #H; #lta; #le;
 650      napply le_S_S; napply H; /2/;
 651   ##]
 652 nqed.
 653
 654 ntheorem le_S_times_2: ∀n,m.O < m → n ≤ m → n < 2*m.
 655 #n; #m; #posm; #lenm; (* interessante *)
 656 nnormalize; napplyS (le_plus n); //; nqed.
 657
 658 (* times & lt *)
 659 (*
 660 ntheorem lt_O_times_S_S: ∀n,m:nat.O < (S n)*(S m).
 661 intros.simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 662 qed. *)
 663
 664 (*
 665 ntheorem lt_times_eq_O: \forall a,b:nat.
 666 O < a → a * b = O → b = O.
 667 intros.
 668 apply (nat_case1 b)
 669 [ intros.
 670   reflexivity
 671 | intros.
 672   rewrite > H2 in H1.
 673   rewrite > (S_pred a) in H1
 674   [ apply False_ind.
 675     apply (eq_to_not_lt O ((S (pred a))*(S m)))
 676     [ apply sym_eq.
 677       assumption
 678     | apply lt_O_times_S_S
 679     ]
 680   | assumption
 681   ]
 682 ]
 683 qed.
 684
 685 theorem O_lt_times_to_O_lt: \forall a,c:nat.
 686 O \lt (a * c) \to O \lt a.
 687 intros.
 688 apply (nat_case1 a)
 689 [ intros.
 690   rewrite > H1 in H.
 691   simplify in H.
 692   assumption
 693 | intros.
 694   apply lt_O_S
 695 ]
 696 qed.
 697
 698 lemma lt_times_to_lt_O: \forall i,n,m:nat. i < n*m \to O < m.
 699 intros.
 700 elim (le_to_or_lt_eq O ? (le_O_n m))
 701   [assumption
 702   |apply False_ind.
 703    rewrite < H1 in H.
 704    rewrite < times_n_O in H.
 705    apply (not_le_Sn_O ? H)
 706   ]
 707 qed. *)
 708
 709 (*
 710 ntheorem monotonic_lt_times_r:
 711 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.(S n)*m).
 712 /2/;
 713 simplify.
 714 intros.elim n.
 715 simplify.rewrite < plus_n_O.rewrite < plus_n_O.assumption.
 716 apply lt_plus.assumption.assumption.
 717 qed. *)
 718
 719 ntheorem monotonic_lt_times_l:
 720   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(t*c)).
 721 #c; #posc; #n; #m; #ltnm;
 722 nelim ltnm; nnormalize;
 723   ##[napplyS monotonic_lt_plus_l;//;
 724   ##|#a; #_; #lt1; napply (transitive_le ??? lt1);//;
 725   ##]
 726 nqed.
 727
 728 ntheorem monotonic_lt_times_r:
 729   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(c*t)).
 730 (* /2/ lentissimo *)
 731 #c; #posc; #n; #m; #ltnm;
 732 (* why?? napplyS (monotonic_lt_times_l c posc n m ltnm); *)
 733 nrewrite > (symmetric_times c n);
 734 nrewrite > (symmetric_times c m);
 735 napply monotonic_lt_times_l;//;
 736 nqed.
 737
 738 ntheorem lt_to_le_to_lt_times:
 739 ∀n,m,p,q:nat. n < m → p ≤ q → O < q → n*p < m*q.
 740 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #lepq; #posq;
 741 napply (le_to_lt_to_lt ? (n*q));
 742   ##[napply monotonic_le_times_r;//;
 743   ##|napply monotonic_lt_times_l;//;
 744   ##]
 745 nqed.
 746
 747 ntheorem lt_times:∀n,m,p,q:nat. n<m → p<q → n*p < m*q.
 748 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #ltpq;
 749 napply lt_to_le_to_lt_times;/2/;
 750 nqed.
 751
 752 ntheorem lt_times_n_to_lt_l:
 753 ∀n,p,q:nat. O < n → p*n < q*n → p < q.
 754 #n; #p; #q; #posn; #Hlt;
 755 nelim (decidable_lt p q);//;
 756 #nltpq;napply False_ind;
 757 napply (lt_to_not_le ? ? Hlt);
 758 napply monotonic_le_times_l;/3/;
 759 nqed.
 760
 761 ntheorem lt_times_n_to_lt_r:
 762 ∀n,p,q:nat. O < n → n*p < n*q → p < q.
 763 #n; #p; #q; #posn; #Hlt;
 764 napply (lt_times_n_to_lt_l ??? posn);//;
 765 nqed.
 766
 767 (*
 768 theorem nat_compare_times_l : \forall n,p,q:nat.
 769 nat_compare p q = nat_compare ((S n) * p) ((S n) * q).
 770 intros.apply nat_compare_elim.intro.
 771 apply nat_compare_elim.
 772 intro.reflexivity.
 773 intro.absurd (p=q).
 774 apply (inj_times_r n).assumption.
 775 apply lt_to_not_eq. assumption.
 776 intro.absurd (q<p).
 777 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 778 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 779 intro.rewrite < H.rewrite > nat_compare_n_n.reflexivity.
 780 intro.apply nat_compare_elim.intro.
 781 absurd (p<q).
 782 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 783 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 784 intro.absurd (q=p).
 785 symmetry.
 786 apply (inj_times_r n).assumption.
 787 apply lt_to_not_eq.assumption.
 788 intro.reflexivity.
 789 qed. *)
 790
 791 (* times and plus
 792 theorem lt_times_plus_times: \forall a,b,n,m:nat.
 793 a < n \to b < m \to a*m + b < n*m.
 794 intros 3.
 795 apply (nat_case n)
 796   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 797   |intros.simplify.
 798    rewrite < sym_plus.
 799    unfold.
 800    change with (S b+a*m1 \leq m1+m*m1).
 801    apply le_plus
 802     [assumption
 803     |apply le_times
 804       [apply le_S_S_to_le.assumption
 805       |apply le_n
 806       ]
 807     ]
 808   ]
 809 qed. *)
 810
 811 (************************** minus ******************************)
 812
 813 nlet rec minus n m ≝
 814  match n with
 815  [ O ⇒ O
 816  | S p ⇒
 817         match m with
 818           [ O ⇒ S p
 819     | S q ⇒ minus p q ]].
 820
 821 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
 822
 823 ntheorem minus_S_S: ∀n,m:nat.S n - S m = n -m.
 824 //; nqed.
 825
 826 ntheorem minus_O_n: ∀n:nat.O=O-n.
 827 #n; ncases n; //; nqed.
 828
 829 ntheorem minus_n_O: ∀n:nat.n=n-O.
 830 #n; ncases n; //; nqed.
 831
 832 ntheorem minus_n_n: ∀n:nat.O=n-n.
 833 #n; nelim n; //; nqed.
 834
 835 ntheorem minus_Sn_n: ∀n:nat. S O = (S n)-n.
 836 #n; nelim n; //; nqed.
 837
 838 ntheorem minus_Sn_m: ∀m,n:nat. m ≤ n → S n -m = S (n-m).
 839 (* qualcosa da capire qui
 840 #n; #m; #lenm; nelim lenm; napplyS refl_eq. *)
 841 napply nat_elim2;
 842   ##[//
 843   ##|#n; #abs; napply False_ind; (* XXX *) napply not_le_Sn_O; /2/.
 844   ##|#n; #m; #Hind; #c; napplyS Hind; /2/;
 845   ##]
 846 nqed.
 847
 848 ntheorem not_eq_to_le_to_le_minus:
 849   ∀n,m.n ≠ m → n ≤ m → n ≤ m - 1.
 850 #n; #m; ncases m;//; #m; nnormalize;
 851 #H; #H1; napply le_S_S_to_le;
 852 napplyS (not_eq_to_le_to_lt n (S m) H H1);
 853 nqed.
 854
 855 ntheorem eq_minus_S_pred: ∀n,m. n - (S m) = pred(n -m).
 856 napply nat_elim2; //; nqed.
 857
 858 ntheorem plus_minus:
 859 ∀m,n,p:nat. m ≤ n → (n-m)+p = (n+p)-m.
 860 napply nat_elim2;
 861   ##[//
 862   ##|#n; #p; #abs; napply False_ind; (* XXX *) napply not_le_Sn_O; /2/;
 863   ##|nnormalize;/3/;
 864   ##]
 865 nqed.
 866
 867 ntheorem minus_plus_m_m: ∀n,m:nat.n = (n+m)-m.
 868 #n; #m; napplyS (plus_minus m m n); //; nqed.
 869
 870 ntheorem plus_minus_m_m: ∀n,m:nat.
 871 m \leq n \to n = (n-m)+m.
 872 #n; #m; #lemn; napplyS symmetric_eq;
 873 napplyS (plus_minus m n m); //; nqed.
 874
 875 ntheorem le_plus_minus_m_m: ∀n,m:nat. n ≤ (n-m)+m.
 876 #n; nelim n;
 877   ##[//
 878   ##|#a; #Hind; #m; ncases m;//;
 879      nnormalize; #n;napplyS le_S_S;//
 880   ##]
 881 nqed.
 882
 883 ntheorem minus_to_plus :∀n,m,p:nat.
 884   m ≤ n → n-m = p → n = m+p.
 885 #n; #m; #p; #lemn; #eqp; napplyS plus_minus_m_m; //;
 886 nqed.
 887
 888 ntheorem plus_to_minus :∀n,m,p:nat.n = m+p → n-m = p.
 889 (* /4/ done in 43.5 *)
 890 #n; #m; #p; #eqp;
 891 napply symmetric_eq;
 892 napplyS (minus_plus_m_m p m);
 893 nqed.
 894
 895 ntheorem minus_pred_pred : ∀n,m:nat. O < n → O < m →
 896 pred n - pred m = n - m.
 897 #n; #m; #posn; #posm;
 898 napply (lt_O_n_elim n posn);
 899 napply (lt_O_n_elim m posm);//.
 900 nqed.
 901
 902 (*
 903 theorem eq_minus_n_m_O: \forall n,m:nat.
 904 n \leq m \to n-m = O.
 905 intros 2.
 906 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.n \leq m \to n-m = O)).
 907 intros.simplify.reflexivity.
 908 intros.apply False_ind.
 909 apply not_le_Sn_O;
 910 [2: apply H | skip].
 911 intros.
 912 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le. apply H1.
 913 qed.
 914
 915 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 916 intros.elim H.elim (minus_Sn_n n).apply le_n.
 917 rewrite > minus_Sn_m.
 918 apply le_S.assumption.
 919 apply lt_to_le.assumption.
 920 qed.
 921
 922 theorem minus_le_S_minus_S: \forall n,m:nat. m-n \leq S (m-(S n)).
 923 intros.
 924 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m-n \leq S (m-(S n)))).
 925 intro.elim n1.simplify.apply le_n_Sn.
 926 simplify.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 927 intros.simplify.apply le_n_Sn.
 928 intros.simplify.apply H.
 929 qed.
 930
 931 theorem lt_minus_S_n_to_le_minus_n : \forall n,m,p:nat. m-(S n) < p \to m-n \leq p.
 932 intros 3.intro.
 933 (* autobatch *)
 934 (* end auto($Revision: 9739 $) proof: TIME=1.33 SIZE=100 DEPTH=100 *)
 935 apply (trans_le (m-n) (S (m-(S n))) p).
 936 apply minus_le_S_minus_S.
 937 assumption.
 938 qed.
 939
 940 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 941 intros.apply (nat_elim2 (\lambda m,n. n-m \leq n)).
 942 intros.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 943 intros.simplify.apply le_n.
 944 intros.simplify.apply le_S.assumption.
 945 qed.
 946
 947 theorem lt_minus_m: \forall n,m:nat. O < n \to O < m \to n-m \lt n.
 948 intros.apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 949 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 950 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_minus_m.
 951 qed.
 952
 953 theorem minus_le_O_to_le: \forall n,m:nat. n-m \leq O \to n \leq m.
 954 intros 2.
 955 apply (nat_elim2 (\lambda n,m:nat.n-m \leq O \to n \leq m)).
 956 intros.apply le_O_n.
 957 simplify.intros. assumption.
 958 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.assumption.
 959 qed.
 960 *)
 961
 962 (* monotonicity and galois *)
 963
 964 ntheorem monotonic_le_minus_l:
 965 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → q-n ≤ p-n.
 966 napply nat_elim2; #p; #q;
 967   ##[#lePO; napply (le_n_O_elim ? lePO);//;
 968   ##|//;
 969   ##|#Hind; #n; ncases n;
 970     ##[//;
 971     ##|#a; #leSS; napply Hind; /2/;
 972     ##]
 973   ##]
 974 nqed.
 975
 976 ntheorem le_minus_to_plus: ∀n,m,p. n-m ≤ p → n≤ p+m.
 977 #n; #m; #p; #lep;
 978 napply transitive_le;
 979   ##[##|napply le_plus_minus_m_m
 980   ##|napply monotonic_le_plus_l;//;
 981   ##]
 982 nqed.
 983
 984 ntheorem le_plus_to_minus: ∀n,m,p. n ≤ p+m → n-m ≤ p.
 985 #n; #m; #p; #lep;
 986 (* bello *)
 987 napplyS monotonic_le_minus_l;//;
 988 nqed.
 989
 990 ntheorem monotonic_le_minus_r:
 991 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → n-p ≤ n-q.
 992 #p; #q; #n; #lepq;
 993 napply le_plus_to_minus;
 994 napply (transitive_le ??? (le_plus_minus_m_m ? q));/2/;
 995 nqed.
 996
 997 (*********************** boolean arithmetics ********************)
 998 include "basics/bool.ma".
 999
1000 nlet rec eqb n m ≝
1001 match n with
1002   [ O ⇒ match m with [ O ⇒ true | S q ⇒ false]
1003   | S p ⇒ match m with [ O ⇒ false | S q ⇒ eqb p q]
1004   ].
1005
1006 (*
1007 ntheorem eqb_to_Prop: ∀n,m:nat.
1008 match (eqb n m) with
1009 [ true  \Rightarrow n = m
1010 | false \Rightarrow n \neq m].
1011 intros.
1012 apply (nat_elim2
1013 (\lambda n,m:nat.match (eqb n m) with
1014 [ true  \Rightarrow n = m
1015 | false \Rightarrow n \neq m])).
1016 intro.elim n1.
1017 simplify.reflexivity.
1018 simplify.apply not_eq_O_S.
1019 intro.
1020 simplify.unfold Not.
1021 intro. apply (not_eq_O_S n1).apply sym_eq.assumption.
1022 intros.simplify.
1023 generalize in match H.
1024 elim ((eqb n1 m1)).
1025 simplify.apply eq_f.apply H1.
1026 simplify.unfold Not.intro.apply H1.apply inj_S.assumption.
1027 qed.
1028 *)
1029
1030 ntheorem eqb_elim : ∀ n,m:nat.∀ P:bool → Prop.
1031 (n=m → (P true)) → (n ≠ m → (P false)) → (P (eqb n m)).
1032 napply nat_elim2;
1033   ##[#n; ncases n; nnormalize; /3/;
1034   ##|nnormalize; (* XXX *) nletin hint ≝ not_eq_O_S; /3/;
1035   ##|nnormalize; /4/;
1036   ##] (* XXX rimane aperto *) #m; #P; #_; #H; napply H; napply not_eq_O_S.
1037 nqed.
1038
1039 ntheorem eqb_n_n: ∀n. eqb n n = true.
1040 #n; nelim n; nnormalize; //.
1041 nqed.
1042
1043 ntheorem eqb_true_to_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = true → n = m.
1044 #n; #m; napply (eqb_elim n m);//;
1045 #_; #abs; napply False_ind; (* XXX *) nletin hint ≝ not_eq_true_false; /2/;
1046 nqed.
1047
1048 ntheorem eqb_false_to_not_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = false → n ≠ m.
1049 #n; #m; napply (eqb_elim n m);/2/;
1050 nqed.
1051
1052 ntheorem eq_to_eqb_true: ∀n,m:nat.
1053   n = m → eqb n m = true.
1054 //; nqed.
1055
1056 ntheorem not_eq_to_eqb_false: ∀n,m:nat.
1057   n ≠  m → eqb n m = false.
1058 #n; #m; #noteq;
1059 nelim (true_or_false (eqb n m)); //;
1060 #Heq; napply False_ind; napply noteq;/2/;
1061 nqed.
1062
1063 nlet rec leb n m ≝
1064 match n with
1065     [ O ⇒ true
1066     | (S p) ⇒
1067         match m with
1068         [ O ⇒ false
1069               | (S q) ⇒ leb p q]].
1070
1071 ntheorem leb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1072 (n ≤ m → P true) → (n ≰ m → P false) → P (leb n m).
1073 napply nat_elim2; nnormalize;
1074   ##[/2/
1075   ##| (* XXX *) nletin hint ≝ not_le_Sn_O; /3/;
1076   ##|#n; #m; #Hind; #P; #Pt; #Pf; napply Hind;
1077     ##[#lenm; napply Pt; napply le_S_S;//;
1078     ##|#nlenm; napply Pf; #leSS; /3/;
1079     ##]
1080   ##]
1081 nqed.
1082
1083 ntheorem leb_true_to_le:∀n,m.leb n m = true → n ≤ m.
1084 #n; #m; napply leb_elim;
1085   ##[//;
1086   ##|#_; #abs; napply False_ind; (* XXX *) nletin hint ≝ not_eq_true_false; /2/;
1087   ##]
1088 nqed.
1089
1090 ntheorem leb_false_to_not_le:∀n,m.
1091   leb n m = false → n ≰ m.
1092 #n; #m; napply leb_elim;
1093   ##[#_; #abs; napply False_ind; (* XXX *) nletin hint ≝ not_eq_true_false; /2/;
1094   ##|/2/;
1095   ##]
1096 nqed.
1097
1098 ntheorem le_to_leb_true: ∀n,m. n ≤ m → leb n m = true.
1099 #n; #m; napply leb_elim; //;
1100 #H; #H1; napply False_ind; /2/;
1101 nqed.
1102
1103 ntheorem lt_to_leb_false: ∀n,m. m < n → leb n m = false.
1104 #n; #m; napply leb_elim; //;
1105 #H; #H1; napply False_ind; /2/;
1106 nqed.
1107
1108 (* serve anche ltb?
1109 ndefinition ltb ≝λn,m. leb (S n) m.
1110
1111 ntheorem ltb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1112 (n < m → P true) → (n ≮ m → P false) → P (ltb n m).
1113 #n; #m; #P; #Hlt; #Hnlt;
1114 napply leb_elim; /3/; nqed.
1115
1116 ntheorem ltb_true_to_lt:∀n,m.ltb n m = true → n < m.
1117 #n; #m; #Hltb; napply leb_true_to_le; nassumption;
1118 nqed.
1119
1120 ntheorem ltb_false_to_not_lt:∀n,m.
1121   ltb n m = false → n ≮ m.
1122 #n; #m; #Hltb; napply leb_false_to_not_le; nassumption;
1123 nqed.
1124
1125 ntheorem lt_to_ltb_true: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
1126 #n; #m; #Hltb; napply le_to_leb_true; nassumption;
1127 nqed.
1128
1129 ntheorem le_to_ltb_false: ∀n,m. m \le n → ltb n m = false.
1130 #n; #m; #Hltb; napply lt_to_leb_false; /2/;
1131 nqed. *)