helm/software/matita/nlibrary/arithmetics/nat.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "hints_declaration.ma".
  16 include "basics/functions.ma".
  17 include "basics/eq.ma".
  18
  19 ninductive nat : Type ≝
  20   | O : nat
  21   | S : nat → nat.
  22
  23 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  24
  25 alias num (instance 0) = "nnatural number".
  26
  27 (*
  28 nrecord pos : Type ≝
  29  {n:>nat; is_pos: n ≠ 0}.
  30
  31 ncoercion nat_to_pos: ∀n:nat. n ≠0 →pos ≝ mk_pos on
  32 *)
  33
  34 (* default "natural numbers" cic:/matita/ng/arithmetics/nat/nat.ind.
  35 *)
  36
  37 ndefinition pred ≝
  38  λn. match n with [ O ⇒ O | S p ⇒ p].
  39
  40 ntheorem pred_Sn : ∀n. n = pred (S n).
  41 //; nqed.
  42
  43 ntheorem injective_S : injective nat nat S.
  44 //; nqed.
  45
  46 (*
  47 ntheorem inj_S : \forall n,m:nat.(S n)=(S m) \to n=m.
  48 //. nqed. *)
  49
  50 ntheorem not_eq_S: ∀n,m:nat. n ≠ m → S n ≠ S m.
  51 /3/; nqed.
  52
  53 ndefinition not_zero: nat → Prop ≝
  54  λn: nat. match n with
  55   [ O ⇒ False | (S p) ⇒ True ].
  56
  57 ntheorem not_eq_O_S : ∀n:nat. O ≠ S n.
  58 #n; napply nmk; #eqOS; nchange with (not_zero O); nrewrite > eqOS; //.
  59 nqed.
  60
  61 ntheorem not_eq_n_Sn: ∀n:nat. n ≠ S n.
  62 #n; nelim n;/2/; nqed.
  63
  64 ntheorem nat_case:
  65  ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
  66   (n=O → P O) → (∀m:nat. (n=(S m) → P (S m))) → P n.
  67 #n; #P; nelim n; /2/; nqed.
  68
  69 ntheorem nat_elim2 :
  70  ∀R:nat → nat → Prop.
  71   (∀n:nat. R O n)
  72   → (∀n:nat. R (S n) O)
  73   → (∀n,m:nat. R n m → R (S n) (S m))
  74   → ∀n,m:nat. R n m.
  75 #R; #ROn; #RSO; #RSS; #n; nelim n;//;
  76 #n0; #Rn0m; #m; ncases m;/2/; nqed.
  77
  78 ntheorem decidable_eq_nat : ∀n,m:nat.decidable (n=m).
  79 napply nat_elim2; #n;
  80  ##[ ncases n; /2/;
  81  ##| /3/;
  82  ##| #m; #Hind; ncases Hind;/3/;
  83  (*
  84  ##[/2/; ##|#H; nwhd;
  85     napply or_introl;
  86     napply eq_f2; /3/; *)
  87  ##]
  88 nqed.
  89
  90 (*************************** plus ******************************)
  91
  92 nlet rec plus n m ≝
  93  match n with
  94  [ O ⇒ m
  95  | S p ⇒ S (plus p m) ].
  96
  97 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  98
  99 ntheorem plus_O_n: ∀n:nat. n = 0+n.
 100 //; nqed.
 101
 102 (*
 103 ntheorem plus_Sn_m: ∀n,m:nat. S (n + m) = S n + m.
 104 //; nqed.
 105 *)
 106
 107 ntheorem plus_n_O: ∀n:nat. n = n+0.
 108 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 109
 110 ntheorem plus_n_Sm : ∀n,m:nat. S (n+m) = n + S m.
 111 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 112
 113 (*
 114 ntheorem plus_Sn_m1: ∀n,m:nat. S m + n = n + S m.
 115 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 116 *)
 117
 118 (* deleterio?
 119 ntheorem plus_n_1 : ∀n:nat. S n = n+1.
 120 //; nqed.
 121 *)
 122
 123 ntheorem symmetric_plus: symmetric ? plus.
 124 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 125
 126 ntheorem associative_plus : associative nat plus.
 127 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 128
 129 ntheorem assoc_plus1: ∀a,b,c. c + (b + a) = b + c + a.
 130 //; nqed.
 131
 132 ntheorem injective_plus_r: ∀n:nat.injective nat nat (λm.n+m).
 133 #n; nelim n; nnormalize; /3/; nqed.
 134
 135 (* ntheorem inj_plus_r: \forall p,n,m:nat. p+n = p+m \to n=m
 136 \def injective_plus_r.
 137
 138 ntheorem injective_plus_l: ∀m:nat.injective nat nat (λn.n+m).
 139 /2/; nqed. *)
 140
 141 (* ntheorem inj_plus_l: \forall p,n,m:nat. n+p = m+p \to n=m
 142 \def injective_plus_l. *)
 143
 144 (*************************** times *****************************)
 145
 146 nlet rec times n m ≝
 147  match n with
 148  [ O ⇒ O
 149  | S p ⇒ m+(times p m) ].
 150
 151 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
 152
 153 ntheorem times_Sn_m: ∀n,m:nat. m+n*m = S n*m.
 154 //; nqed.
 155
 156 ntheorem times_O_n: ∀n:nat. O = O*n.
 157 //; nqed.
 158
 159 ntheorem times_n_O: ∀n:nat. O = n*O.
 160 #n; nelim n; //; nqed.
 161
 162 ntheorem times_n_Sm : ∀n,m:nat. n+(n*m) = n*(S m).
 163 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 164
 165 ntheorem symmetric_times : symmetric nat times.
 166 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 167
 168 (* variant sym_times : \forall n,m:nat. n*m = m*n \def
 169 symmetric_times. *)
 170
 171 ntheorem distributive_times_plus : distributive nat times plus.
 172 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 173
 174 ntheorem distributive_times_plus_r :
 175   ∀a,b,c:nat. (b+c)*a = b*a + c*a.
 176 //; nqed.
 177
 178 ntheorem associative_times: associative nat times.
 179 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 180
 181 nlemma times_times: ∀x,y,z. x*(y*z) = y*(x*z).
 182 //; nqed.
 183
 184 (* ci servono questi risultati?
 185 ntheorem times_O_to_O: ∀n,m:nat.n*m=O → n=O ∨ m=O.
 186 napply nat_elim2; /2/;
 187 #n; #m; #H; nnormalize; #H1; napply False_ind;napply not_eq_O_S;
 188 //; nqed.
 189
 190 ntheorem times_n_SO : ∀n:nat. n = n * S O.
 191 #n; //; nqed.
 192
 193 ntheorem times_SSO_n : ∀n:nat. n + n = (S(S O)) * n.
 194 nnormalize; //; nqed.
 195
 196 nlemma times_SSO: \forall n.(S(S O))*(S n) = S(S((S(S O))*n)).
 197 //; nqed.
 198
 199 ntheorem or_eq_eq_S: \forall n.\exists m.
 200 n = (S(S O))*m \lor n = S ((S(S O))*m).
 201 #n; nelim n;
 202   ##[@; /2/;
 203   ##|#a; #H; nelim H; #b;#or;nelim or;#aeq;
 204     ##[@ b; @ 2; //;
 205     ##|@ (S b); @ 1; /2/;
 206     ##]
 207 nqed.
 208 *)
 209
 210 (******************** ordering relations ************************)
 211
 212 ninductive le (n:nat) : nat → Prop ≝
 213   | le_n : le n n
 214   | le_S : ∀ m:nat. le n m → le n (S m).
 215
 216 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (le x y).
 217
 218 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y = (Not (le x y)).
 219
 220 ndefinition lt: nat → nat → Prop ≝
 221 λn,m:nat. S n ≤ m.
 222
 223 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (lt x y).
 224
 225 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y = (Not (lt x y)).
 226
 227 (* nlemma eq_lt: ∀n,m. (n < m) = (S n ≤ m).
 228 //; nqed. *)
 229
 230 ndefinition ge: nat → nat → Prop ≝
 231 λn,m:nat.m ≤ n.
 232
 233 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (ge x y).
 234
 235 ndefinition gt: nat → nat → Prop ≝
 236 λn,m:nat.m<n.
 237
 238 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (gt x y).
 239
 240 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y = (Not (gt x y)).
 241
 242 ntheorem transitive_le : transitive nat le.
 243 #a; #b; #c; #leab; #lebc;nelim lebc;/2/;
 244 nqed.
 245
 246 (*
 247 ntheorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
 248 \def transitive_le. *)
 249
 250
 251 ntheorem transitive_lt: transitive nat lt.
 252 #a; #b; #c; #ltab; #ltbc;nelim ltbc;/2/;nqed.
 253
 254 (*
 255 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
 256 \def transitive_lt. *)
 257
 258 ntheorem le_S_S: ∀n,m:nat. n ≤ m → S n ≤ S m.
 259 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/; nqed.
 260
 261 ntheorem le_O_n : ∀n:nat. O ≤ n.
 262 #n; nelim n; /2/; nqed.
 263
 264 ntheorem le_n_Sn : ∀n:nat. n ≤ S n.
 265 /2/; nqed.
 266
 267 ntheorem le_pred_n : ∀n:nat. pred n ≤ n.
 268 #n; nelim n; //; nqed.
 269
 270 (* XXX global problem
 271 nlemma my_trans_le : ∀x,y,z:nat.x ≤ y → y ≤ z → x ≤ z.
 272 napply transitive_le.
 273 nqed. *)
 274
 275 ntheorem monotonic_pred: monotonic ? le pred.
 276 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/;nqed.
 277
 278 ntheorem le_S_S_to_le: ∀n,m:nat. S n ≤ S m → n ≤ m.
 279 (* XXX *) nletin hint ≝ monotonic.
 280 #a; #b; #H; napplyS monotonic_pred;
 281 /2/; nqed.
 282
 283 (* this are instances of the le versions
 284 ntheorem lt_S_S_to_lt: ∀n,m. S n < S m → n < m.
 285 /2/; nqed.
 286
 287 ntheorem lt_to_lt_S_S: ∀n,m. n < m → S n < S m.
 288 /2/; nqed. *)
 289
 290 ntheorem lt_to_not_zero : ∀n,m:nat. n < m → not_zero m.
 291 #n; #m; #Hlt; nelim Hlt;//; nqed.
 292
 293 (* lt vs. le *)
 294 ntheorem not_le_Sn_O: ∀ n:nat. S n ≰ O.
 295 #n; napply nmk; #Hlen0; napply (lt_to_not_zero ?? Hlen0); nqed.
 296
 297 ntheorem not_le_to_not_le_S_S: ∀ n,m:nat. n ≰ m → S n ≰ S m.
 298 /3/; nqed.
 299
 300 ntheorem not_le_S_S_to_not_le: ∀ n,m:nat. S n ≰ S m → n ≰ m.
 301 /3/; nqed.
 302
 303 ntheorem decidable_le: ∀n,m. decidable (n≤m).
 304 napply nat_elim2; #n; /2/;
 305 #m; *; /3/; nqed.
 306
 307 ntheorem decidable_lt: ∀n,m. decidable (n < m).
 308 #n; #m; napply decidable_le ; nqed.
 309
 310 ntheorem not_le_Sn_n: ∀n:nat. S n ≰ n.
 311 #n; nelim n; /2/; nqed.
 312
 313 (* this is le_S_S_to_le
 314 ntheorem lt_S_to_le: ∀n,m:nat. n < S m → n ≤ m.
 315 /2/; nqed.
 316 *)
 317
 318 ntheorem not_le_to_lt: ∀n,m. n ≰ m → m < n.
 319 napply nat_elim2; #n;
 320  ##[#abs; napply False_ind;/2/;
 321  ##|/2/;
 322  ##|#m;#Hind;#HnotleSS; napply le_S_S;/3/;
 323  ##]
 324 nqed.
 325
 326 ntheorem lt_to_not_le: ∀n,m. n < m → m ≰ n.
 327 #n; #m; #Hltnm; nelim Hltnm;/3/; nqed.
 328
 329 ntheorem not_lt_to_le: ∀n,m:nat. n ≮ m → m ≤ n.
 330 /4/; nqed.
 331
 332 (*
 333 #n; #m; #Hnlt; napply le_S_S_to_le;/2/;
 334 (* something strange here: /2/ fails *)
 335 napply not_le_to_lt; napply Hnlt; nqed. *)
 336
 337 ntheorem le_to_not_lt: ∀n,m:nat. n ≤ m → m ≮ n.
 338 #n; #m; #H;napply lt_to_not_le; /2/; (* /3/ *) nqed.
 339
 340 (* lt and le trans *)
 341
 342 ntheorem lt_to_le_to_lt: ∀n,m,p:nat. n < m → m ≤ p → n < p.
 343 #n; #m; #p; #H; #H1; nelim H1; /2/; nqed.
 344
 345 ntheorem le_to_lt_to_lt: ∀n,m,p:nat. n ≤ m → m < p → n < p.
 346 #n; #m; #p; #H; nelim H; /3/; nqed.
 347
 348 ntheorem lt_S_to_lt: ∀n,m. S n < m → n < m.
 349 /2/; nqed.
 350
 351 ntheorem ltn_to_ltO: ∀n,m:nat. n < m → O < m.
 352 /2/; nqed.
 353
 354 (*
 355 theorem lt_SO_n_to_lt_O_pred_n: \forall n:nat.
 356 (S O) \lt n \to O \lt (pred n).
 357 intros.
 358 apply (ltn_to_ltO (pred (S O)) (pred n) ?).
 359  apply (lt_pred (S O) n);
 360  [ apply (lt_O_S O)
 361  | assumption
 362  ]
 363 qed. *)
 364
 365 ntheorem lt_O_n_elim: ∀n:nat. O < n →
 366   ∀P:nat → Prop.(∀m:nat.P (S m)) → P n.
 367 #n; nelim n; //; #abs; napply False_ind;/2/;
 368 nqed.
 369
 370 (*
 371 theorem lt_pred: \forall n,m.
 372   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 373 apply nat_elim2
 374   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 375   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 376   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 377   ]
 378 qed.
 379
 380 theorem S_pred: \forall n:nat.lt O n \to eq nat n (S (pred n)).
 381 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 382 apply eq_f.apply pred_Sn.
 383 qed.
 384
 385 theorem le_pred_to_le:
 386  ∀n,m. O < m → pred n ≤ pred m → n ≤ m.
 387 intros 2;
 388 elim n;
 389 [ apply le_O_n
 390 | simplify in H2;
 391   rewrite > (S_pred m);
 392   [ apply le_S_S;
 393     assumption
 394   | assumption
 395   ]
 396 ].
 397 qed.
 398
 399 *)
 400
 401 (* le to lt or eq *)
 402 ntheorem le_to_or_lt_eq: ∀n,m:nat. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
 403 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /3/; nqed.
 404
 405 (* not eq *)
 406 ntheorem lt_to_not_eq : ∀n,m:nat. n < m → n ≠ m.
 407 #n; #m; #H; napply not_to_not;/2/; nqed.
 408
 409 (*not lt
 410 ntheorem eq_to_not_lt: ∀a,b:nat. a = b → a ≮ b.
 411 intros.
 412 unfold Not.
 413 intros.
 414 rewrite > H in H1.
 415 apply (lt_to_not_eq b b)
 416 [ assumption
 417 | reflexivity
 418 ]
 419 qed.
 420
 421 theorem lt_n_m_to_not_lt_m_Sn: ∀n,m. n < m → m ≮ S n.
 422 intros;
 423 unfold Not;
 424 intro;
 425 unfold lt in H;
 426 unfold lt in H1;
 427 generalize in match (le_S_S ? ? H);
 428 intro;
 429 generalize in match (transitive_le ? ? ? H2 H1);
 430 intro;
 431 apply (not_le_Sn_n ? H3).
 432 qed. *)
 433
 434 ntheorem not_eq_to_le_to_lt: ∀n,m. n≠m → n≤m → n<m.
 435 #n; #m; #Hneq; #Hle; ncases (le_to_or_lt_eq ?? Hle); //;
 436 #Heq; /3/; nqed.
 437 (*
 438 nelim (Hneq Heq); nqed. *)
 439
 440 (* le elimination *)
 441 ntheorem le_n_O_to_eq : ∀n:nat. n ≤ O → O=n.
 442 #n; ncases n; //; #a ; #abs;
 443 napply False_ind; /2/;nqed.
 444
 445 ntheorem le_n_O_elim: ∀n:nat. n ≤ O → ∀P: nat →Prop. P O → P n.
 446 #n; ncases n; //; #a; #abs;
 447 napply False_ind; /2/; nqed.
 448
 449 ntheorem le_n_Sm_elim : ∀n,m:nat.n ≤ S m →
 450 ∀P:Prop. (S n ≤ S m → P) → (n=S m → P) → P.
 451 #n; #m; #Hle; #P; nelim Hle; /3/; nqed.
 452
 453 (* le and eq *)
 454
 455 ntheorem le_to_le_to_eq: ∀n,m. n ≤ m → m ≤ n → n = m.
 456 napply nat_elim2;
 457 ##[#n; #H1; #H2; /4/;
 458  nqed.
 459
 460 ntheorem lt_O_S : ∀n:nat. O < S n.
 461 /2/; nqed.
 462
 463 (*
 464 (* other abstract properties *)
 465 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 466 unfold antisymmetric.intros 2.
 467 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 468 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 469 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 470 intros.apply eq_f.apply H.
 471 apply le_S_S_to_le.assumption.
 472 apply le_S_S_to_le.assumption.
 473 qed.
 474
 475 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 476 \def antisymmetric_le.
 477
 478 theorem le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m: ∀n,m. n ≤ m → m < S n → n=m.
 479 intros;
 480 unfold lt in H1;
 481 generalize in match (le_S_S_to_le ? ? H1);
 482 intro;
 483 apply antisym_le;
 484 assumption.
 485 qed.
 486 *)
 487
 488 (* well founded induction principles *)
 489
 490 ntheorem nat_elim1 : ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
 491 (∀m.(∀p. p < m → P p) → P m) → P n.
 492 #n; #P; #H;
 493 ncut (∀q:nat. q ≤ n → P q);/2/;
 494 nelim n;
 495  ##[#q; #HleO; (* applica male *)
 496     napply (le_n_O_elim ? HleO);
 497     napply H; #p; #ltpO;
 498     napply False_ind; /2/; (* 3 *)
 499  ##|#p; #Hind; #q; #HleS;
 500     napply H; #a; #lta; napply Hind;
 501     napply le_S_S_to_le;/2/;
 502  ##]
 503 nqed.
 504
 505 (* some properties of functions *)
 506 (*
 507 definition increasing \def \lambda f:nat \to nat.
 508 \forall n:nat. f n < f (S n).
 509
 510 theorem increasing_to_monotonic: \forall f:nat \to nat.
 511 increasing f \to monotonic nat lt f.
 512 unfold monotonic.unfold lt.unfold increasing.unfold lt.intros.elim H1.apply H.
 513 apply (trans_le ? (f n1)).
 514 assumption.apply (trans_le ? (S (f n1))).
 515 apply le_n_Sn.
 516 apply H.
 517 qed.
 518
 519 theorem le_n_fn: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 520 \to \forall n:nat. n \le (f n).
 521 intros.elim n.
 522 apply le_O_n.
 523 apply (trans_le ? (S (f n1))).
 524 apply le_S_S.apply H1.
 525 simplify in H. unfold increasing in H.unfold lt in H.apply H.
 526 qed.
 527
 528 theorem increasing_to_le: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 529 \to \forall m:nat. \exists i. m \le (f i).
 530 intros.elim m.
 531 apply (ex_intro ? ? O).apply le_O_n.
 532 elim H1.
 533 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 534 apply (trans_le ? (S (f a))).
 535 apply le_S_S.assumption.
 536 simplify in H.unfold increasing in H.unfold lt in H.
 537 apply H.
 538 qed.
 539
 540 theorem increasing_to_le2: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 541 \to \forall m:nat. (f O) \le m \to
 542 \exists i. (f i) \le m \land m <(f (S i)).
 543 intros.elim H1.
 544 apply (ex_intro ? ? O).
 545 split.apply le_n.apply H.
 546 elim H3.elim H4.
 547 cut ((S n1) < (f (S a)) \lor (S n1) = (f (S a))).
 548 elim Hcut.
 549 apply (ex_intro ? ? a).
 550 split.apply le_S. assumption.assumption.
 551 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 552 split.rewrite < H7.apply le_n.
 553 rewrite > H7.
 554 apply H.
 555 apply le_to_or_lt_eq.apply H6.
 556 qed.
 557 *)
 558
 559 (*********************** monotonicity ***************************)
 560 ntheorem monotonic_le_plus_r:
 561 ∀n:nat.monotonic nat le (λm.n + m).
 562 #n; #a; #b; nelim n; nnormalize; //;
 563 #m; #H; #leab;napply le_S_S; /2/; nqed.
 564
 565 (*
 566 ntheorem le_plus_r: ∀p,n,m:nat. n ≤ m → p + n ≤ p + m
 567 ≝ monotonic_le_plus_r. *)
 568
 569 ntheorem monotonic_le_plus_l:
 570 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n + m).
 571 /2/; nqed.
 572
 573 (*
 574 ntheorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
 575 \def monotonic_le_plus_l. *)
 576
 577 ntheorem le_plus: ∀n1,n2,m1,m2:nat. n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2
 578 → n1 + m1 ≤ n2 + m2.
 579 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem; napply (transitive_le ? (n1+m2));
 580 /2/; nqed.
 581
 582 ntheorem le_plus_n :∀n,m:nat. m ≤ n + m.
 583 /2/; nqed.
 584
 585 nlemma le_plus_a: ∀a,n,m. n ≤ m → n ≤ a + m.
 586 /2/; nqed.
 587
 588 nlemma le_plus_b: ∀b,n,m. n + b ≤ m → n ≤ m.
 589 /2/; nqed.
 590
 591 ntheorem le_plus_n_r :∀n,m:nat. m ≤ m + n.
 592 /2/; nqed.
 593
 594 ntheorem eq_plus_to_le: ∀n,m,p:nat.n=m+p → m ≤ n.
 595 //; nqed.
 596
 597 ntheorem le_plus_to_le: ∀a,n,m. a + n ≤ a + m → n ≤ m.
 598 #a; nelim a; nnormalize; /3/; nqed.
 599
 600 ntheorem le_plus_to_le_r: ∀a,n,m. n + a ≤ m +a → n ≤ m.
 601 /2/; nqed.
 602
 603 (* plus & lt *)
 604
 605 ntheorem monotonic_lt_plus_r:
 606 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.n+m).
 607 /2/; nqed.
 608
 609 (*
 610 variant lt_plus_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to n + p < n + q \def
 611 monotonic_lt_plus_r. *)
 612
 613 ntheorem monotonic_lt_plus_l:
 614 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.m+n).
 615 /2/; nqed.
 616
 617 (*
 618 variant lt_plus_l: \forall n,p,q:nat. p < q \to p + n < q + n \def
 619 monotonic_lt_plus_l. *)
 620
 621 ntheorem lt_plus: ∀n,m,p,q:nat. n < m → p < q → n + p < m + q.
 622 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #ltpq;
 623 napply (transitive_lt ? (n+q));/2/; nqed.
 624
 625 ntheorem lt_plus_to_lt_l :∀n,p,q:nat. p+n < q+n → p<q.
 626 /2/; nqed.
 627
 628 ntheorem lt_plus_to_lt_r :∀n,p,q:nat. n+p < n+q → p<q.
 629 /2/; nqed.
 630
 631 (*
 632 ntheorem le_to_lt_to_lt_plus: ∀a,b,c,d:nat.
 633 a ≤ c → b < d → a + b < c+d.
 634 (* bello /2/ un po' lento *)
 635 #a; #b; #c; #d; #leac; #lebd;
 636 nnormalize; napplyS le_plus; //; nqed.
 637 *)
 638
 639 (* times *)
 640 ntheorem monotonic_le_times_r:
 641 ∀n:nat.monotonic nat le (λm. n * m).
 642 #n; #x; #y; #lexy; nelim n; nnormalize;//;(* lento /2/;*)
 643 #a; #lea; napply le_plus; //;
 644 nqed.
 645
 646 (*
 647 ntheorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
 648 \def monotonic_le_times_r. *)
 649
 650 (*
 651 ntheorem monotonic_le_times_l:
 652 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n*m).
 653 /2/; nqed.
 654 *)
 655
 656 (*
 657 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
 658 \def monotonic_le_times_l. *)
 659
 660 ntheorem le_times: ∀n1,n2,m1,m2:nat.
 661 n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2 → n1*m1 ≤ n2*m2.
 662 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem;
 663 napply (transitive_le ? (n1*m2)); (* /2/ slow *)
 664  ##[ napply monotonic_le_times_r;//;
 665  ##| napplyS monotonic_le_times_r;//;
 666  ##]
 667 nqed.
 668
 669 (* interesssante *)
 670 ntheorem lt_times_n: ∀n,m:nat. O < n → m ≤ n*m.
 671 #n; #m; #H; /2/; nqed.
 672
 673 ntheorem le_times_to_le:
 674 ∀a,n,m. O < a → a * n ≤ a * m → n ≤ m.
 675 #a; napply nat_elim2; nnormalize;
 676   ##[//;
 677   ##|#n; #H1; #H2;
 678      napply (transitive_le ? (a*S n));/2/;
 679   ##|#n; #m; #H; #lta; #le;
 680      napply le_S_S; napply H; /2/;
 681   ##]
 682 nqed.
 683
 684 ntheorem le_S_times_2: ∀n,m.O < m → n ≤ m → S n ≤ 2*m.
 685 #n; #m; #posm; #lenm;  (* interessante *)
 686 napplyS (le_plus n m); //; nqed.
 687
 688 (* times & lt *)
 689 (*
 690 ntheorem lt_O_times_S_S: ∀n,m:nat.O < (S n)*(S m).
 691 intros.simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 692 qed. *)
 693
 694 (*
 695 ntheorem lt_times_eq_O: \forall a,b:nat.
 696 O < a → a * b = O → b = O.
 697 intros.
 698 apply (nat_case1 b)
 699 [ intros.
 700   reflexivity
 701 | intros.
 702   rewrite > H2 in H1.
 703   rewrite > (S_pred a) in H1
 704   [ apply False_ind.
 705     apply (eq_to_not_lt O ((S (pred a))*(S m)))
 706     [ apply sym_eq.
 707       assumption
 708     | apply lt_O_times_S_S
 709     ]
 710   | assumption
 711   ]
 712 ]
 713 qed.
 714
 715 theorem O_lt_times_to_O_lt: \forall a,c:nat.
 716 O \lt (a * c) \to O \lt a.
 717 intros.
 718 apply (nat_case1 a)
 719 [ intros.
 720   rewrite > H1 in H.
 721   simplify in H.
 722   assumption
 723 | intros.
 724   apply lt_O_S
 725 ]
 726 qed.
 727
 728 lemma lt_times_to_lt_O: \forall i,n,m:nat. i < n*m \to O < m.
 729 intros.
 730 elim (le_to_or_lt_eq O ? (le_O_n m))
 731   [assumption
 732   |apply False_ind.
 733    rewrite < H1 in H.
 734    rewrite < times_n_O in H.
 735    apply (not_le_Sn_O ? H)
 736   ]
 737 qed. *)
 738
 739 (*
 740 ntheorem monotonic_lt_times_r:
 741 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.(S n)*m).
 742 /2/;
 743 simplify.
 744 intros.elim n.
 745 simplify.rewrite < plus_n_O.rewrite < plus_n_O.assumption.
 746 apply lt_plus.assumption.assumption.
 747 qed. *)
 748
 749 ntheorem monotonic_lt_times_l:
 750   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(t*c)).
 751 #c; #posc; #n; #m; #ltnm;
 752 nelim ltnm; nnormalize;
 753   ##[/2/;
 754   ##|#a; #_; #lt1; napply (transitive_le ??? lt1);//;
 755   ##]
 756 nqed.
 757
 758 ntheorem monotonic_lt_times_r:
 759   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(c*t)).
 760 /2/; nqed.
 761
 762 ntheorem lt_to_le_to_lt_times:
 763 ∀n,m,p,q:nat. n < m → p ≤ q → O < q → n*p < m*q.
 764 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #lepq; #posq;
 765 napply (le_to_lt_to_lt ? (n*q));
 766   ##[napply monotonic_le_times_r;//;
 767   ##|napply monotonic_lt_times_l;//;
 768   ##]
 769 nqed.
 770
 771 ntheorem lt_times:∀n,m,p,q:nat. n<m → p<q → n*p < m*q.
 772 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #ltpq;
 773 napply lt_to_le_to_lt_times;/2/;
 774 nqed.
 775
 776 ntheorem lt_times_n_to_lt_l:
 777 ∀n,p,q:nat. p*n < q*n → p < q.
 778 #n; #p; #q; #Hlt;
 779 nelim (decidable_lt p q);//;
 780 #nltpq; napply False_ind;
 781 napply (absurd ? ? (lt_to_not_le ? ? Hlt));
 782 napplyS monotonic_le_times_r;/2/;
 783 nqed.
 784
 785 ntheorem lt_times_n_to_lt_r:
 786 ∀n,p,q:nat. n*p < n*q → p < q.
 787 /2/; nqed.
 788
 789 (*
 790 theorem nat_compare_times_l : \forall n,p,q:nat.
 791 nat_compare p q = nat_compare ((S n) * p) ((S n) * q).
 792 intros.apply nat_compare_elim.intro.
 793 apply nat_compare_elim.
 794 intro.reflexivity.
 795 intro.absurd (p=q).
 796 apply (inj_times_r n).assumption.
 797 apply lt_to_not_eq. assumption.
 798 intro.absurd (q<p).
 799 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 800 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 801 intro.rewrite < H.rewrite > nat_compare_n_n.reflexivity.
 802 intro.apply nat_compare_elim.intro.
 803 absurd (p<q).
 804 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 805 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 806 intro.absurd (q=p).
 807 symmetry.
 808 apply (inj_times_r n).assumption.
 809 apply lt_to_not_eq.assumption.
 810 intro.reflexivity.
 811 qed. *)
 812
 813 (* times and plus
 814 theorem lt_times_plus_times: \forall a,b,n,m:nat.
 815 a < n \to b < m \to a*m + b < n*m.
 816 intros 3.
 817 apply (nat_case n)
 818   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 819   |intros.simplify.
 820    rewrite < sym_plus.
 821    unfold.
 822    change with (S b+a*m1 \leq m1+m*m1).
 823    apply le_plus
 824     [assumption
 825     |apply le_times
 826       [apply le_S_S_to_le.assumption
 827       |apply le_n
 828       ]
 829     ]
 830   ]
 831 qed. *)
 832
 833 (************************** minus ******************************)
 834
 835 nlet rec minus n m ≝
 836  match n with
 837  [ O ⇒ O
 838  | S p ⇒
 839         match m with
 840           [ O ⇒ S p
 841     | S q ⇒ minus p q ]].
 842
 843 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
 844
 845 ntheorem minus_S_S: ∀n,m:nat.S n - S m = n -m.
 846 //; nqed.
 847
 848 ntheorem minus_O_n: ∀n:nat.O=O-n.
 849 #n; ncases n; //; nqed.
 850
 851 ntheorem minus_n_O: ∀n:nat.n=n-O.
 852 #n; ncases n; //; nqed.
 853
 854 ntheorem minus_n_n: ∀n:nat.O=n-n.
 855 #n; nelim n; //; nqed.
 856
 857 ntheorem minus_Sn_n: ∀n:nat. S O = (S n)-n.
 858 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 859
 860 ntheorem minus_Sn_m: ∀m,n:nat. m ≤ n → S n -m = S (n-m).
 861 (* qualcosa da capire qui
 862 #n; #m; #lenm; nelim lenm; napplyS refl_eq. *)
 863 napply nat_elim2;
 864   ##[//
 865   ##|#n; #abs; napply False_ind; /2/
 866   ##|#n; #m; #Hind; #c; napplyS Hind; /2/;
 867   ##]
 868 nqed.
 869
 870 ntheorem not_eq_to_le_to_le_minus:
 871   ∀n,m.n ≠ m → n ≤ m → n ≤ m - 1.
 872 #n; #m; ncases m;//; #m; nnormalize;
 873 #H; #H1; napply le_S_S_to_le;
 874 napplyS (not_eq_to_le_to_lt n (S m) H H1);
 875 nqed.
 876
 877 ntheorem eq_minus_S_pred: ∀n,m. n - (S m) = pred(n -m).
 878 napply nat_elim2; nnormalize; //; nqed.
 879
 880 ntheorem plus_minus:
 881 ∀m,n,p:nat. m ≤ n → (n-m)+p = (n+p)-m.
 882 napply nat_elim2;
 883   ##[//
 884   ##|#n; #p; #abs; napply False_ind; /2/;
 885   ##|nnormalize;/3/;
 886   ##]
 887 nqed.
 888
 889 ntheorem minus_plus_m_m: ∀n,m:nat.n = (n+m)-m.
 890 #n; #m; napplyS (plus_minus m m n); //; nqed.
 891
 892 ntheorem plus_minus_m_m: ∀n,m:nat.
 893   m ≤ n → n = (n-m)+m.
 894 #n; #m; #lemn; napplyS sym_eq;
 895 napplyS (plus_minus m n m); //; nqed.
 896
 897 ntheorem le_plus_minus_m_m: ∀n,m:nat. n ≤ (n-m)+m.
 898 #n; nelim n;
 899   ##[//
 900   ##|#a; #Hind; #m; ncases m;//;
 901      nnormalize; #n;/2/;
 902   ##]
 903 nqed.
 904
 905 ntheorem minus_to_plus :∀n,m,p:nat.
 906   m ≤ n → n-m = p → n = m+p.
 907 #n; #m; #p; #lemn; #eqp; napplyS plus_minus_m_m; //;
 908 nqed.
 909
 910 ntheorem plus_to_minus :∀n,m,p:nat.n = m+p → n-m = p.
 911 (* /4/ done in 43.5 *)
 912 #n; #m; #p; #eqp;
 913 napply sym_eq;
 914 napplyS (minus_plus_m_m p m);
 915 nqed.
 916
 917 ntheorem minus_pred_pred : ∀n,m:nat. O < n → O < m →
 918 pred n - pred m = n - m.
 919 #n; #m; #posn; #posm;
 920 napply (lt_O_n_elim n posn);
 921 napply (lt_O_n_elim m posm);//.
 922 nqed.
 923
 924 (*
 925 theorem eq_minus_n_m_O: \forall n,m:nat.
 926 n \leq m \to n-m = O.
 927 intros 2.
 928 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.n \leq m \to n-m = O)).
 929 intros.simplify.reflexivity.
 930 intros.apply False_ind.
 931 apply not_le_Sn_O;
 932 [2: apply H | skip].
 933 intros.
 934 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le. apply H1.
 935 qed.
 936
 937 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 938 intros.elim H.elim (minus_Sn_n n).apply le_n.
 939 rewrite > minus_Sn_m.
 940 apply le_S.assumption.
 941 apply lt_to_le.assumption.
 942 qed.
 943
 944 theorem minus_le_S_minus_S: \forall n,m:nat. m-n \leq S (m-(S n)).
 945 intros.
 946 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m-n \leq S (m-(S n)))).
 947 intro.elim n1.simplify.apply le_n_Sn.
 948 simplify.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 949 intros.simplify.apply le_n_Sn.
 950 intros.simplify.apply H.
 951 qed.
 952
 953 theorem lt_minus_S_n_to_le_minus_n : \forall n,m,p:nat. m-(S n) < p \to m-n \leq p.
 954 intros 3.intro.
 955 (* autobatch *)
 956 (* end auto($Revision: 9739 $) proof: TIME=1.33 SIZE=100 DEPTH=100 *)
 957 apply (trans_le (m-n) (S (m-(S n))) p).
 958 apply minus_le_S_minus_S.
 959 assumption.
 960 qed.
 961
 962 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 963 intros.apply (nat_elim2 (\lambda m,n. n-m \leq n)).
 964 intros.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 965 intros.simplify.apply le_n.
 966 intros.simplify.apply le_S.assumption.
 967 qed.
 968
 969 theorem lt_minus_m: \forall n,m:nat. O < n \to O < m \to n-m \lt n.
 970 intros.apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 971 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 972 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_minus_m.
 973 qed.
 974
 975 theorem minus_le_O_to_le: \forall n,m:nat. n-m \leq O \to n \leq m.
 976 intros 2.
 977 apply (nat_elim2 (\lambda n,m:nat.n-m \leq O \to n \leq m)).
 978 intros.apply le_O_n.
 979 simplify.intros. assumption.
 980 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.assumption.
 981 qed.
 982 *)
 983
 984 (* monotonicity and galois *)
 985
 986 ntheorem monotonic_le_minus_l:
 987 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → q-n ≤ p-n.
 988 napply nat_elim2; #p; #q;
 989   ##[#lePO; napply (le_n_O_elim ? lePO);//;
 990   ##|//;
 991   ##|#Hind; #n; ncases n;
 992     ##[//;
 993     ##|#a; #leSS; napply Hind; /2/;
 994     ##]
 995   ##]
 996 nqed.
 997
 998 ntheorem le_minus_to_plus: ∀n,m,p. n-m ≤ p → n≤ p+m.
 999 #n; #m; #p; #lep;
1000 napply transitive_le;
1001   ##[##|napply le_plus_minus_m_m
1002   ##|napply monotonic_le_plus_l;//;
1003   ##]
1004 nqed.
1005
1006 ntheorem le_plus_to_minus: ∀n,m,p. n ≤ p+m → n-m ≤ p.
1007 #n; #m; #p; #lep;
1008 (* bello *)
1009 napplyS monotonic_le_minus_l;//;
1010 (* /2/; *)
1011 nqed.
1012
1013 ntheorem monotonic_le_minus_r:
1014 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → n-p ≤ n-q.
1015 #p; #q; #n; #lepq;
1016 napply le_plus_to_minus;
1017 napply (transitive_le ??? (le_plus_minus_m_m ? q));/2/;
1018 nqed.
1019
1020 (*********************** boolean arithmetics ********************)
1021 include "basics/bool.ma".
1022
1023 nlet rec eqb n m ≝
1024 match n with
1025   [ O ⇒ match m with [ O ⇒ true | S q ⇒ false]
1026   | S p ⇒ match m with [ O ⇒ false | S q ⇒ eqb p q]
1027   ].
1028
1029 (*
1030 ntheorem eqb_to_Prop: ∀n,m:nat.
1031 match (eqb n m) with
1032 [ true  \Rightarrow n = m
1033 | false \Rightarrow n \neq m].
1034 intros.
1035 apply (nat_elim2
1036 (\lambda n,m:nat.match (eqb n m) with
1037 [ true  \Rightarrow n = m
1038 | false \Rightarrow n \neq m])).
1039 intro.elim n1.
1040 simplify.reflexivity.
1041 simplify.apply not_eq_O_S.
1042 intro.
1043 simplify.unfold Not.
1044 intro. apply (not_eq_O_S n1).apply sym_eq.assumption.
1045 intros.simplify.
1046 generalize in match H.
1047 elim ((eqb n1 m1)).
1048 simplify.apply eq_f.apply H1.
1049 simplify.unfold Not.intro.apply H1.apply inj_S.assumption.
1050 qed.
1051 *)
1052
1053 ntheorem eqb_elim : ∀ n,m:nat.∀ P:bool → Prop.
1054 (n=m → (P true)) → (n ≠ m → (P false)) → (P (eqb n m)).
1055 napply nat_elim2;
1056   ##[#n; ncases n; nnormalize; /3/;
1057   ##|nnormalize; /3/;
1058   ##|nnormalize; /4/;
1059   ##]
1060 nqed.
1061
1062 ntheorem eqb_n_n: ∀n. eqb n n = true.
1063 #n; nelim n; nnormalize; //.
1064 nqed.
1065
1066 ntheorem eqb_true_to_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = true → n = m.
1067 #n; #m; napply (eqb_elim n m);//;
1068 #_; #abs; napply False_ind; /2/;
1069 nqed.
1070
1071 ntheorem eqb_false_to_not_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = false → n ≠ m.
1072 #n; #m; napply (eqb_elim n m);/2/;
1073 nqed.
1074
1075 ntheorem eq_to_eqb_true: ∀n,m:nat.
1076   n = m → eqb n m = true.
1077 //; nqed.
1078
1079 ntheorem not_eq_to_eqb_false: ∀n,m:nat.
1080   n ≠  m → eqb n m = false.
1081 #n; #m; #noteq;
1082 napply eqb_elim;//;
1083 #Heq; napply False_ind; /2/;
1084 nqed.
1085
1086 nlet rec leb n m ≝
1087 match n with
1088     [ O ⇒ true
1089     | (S p) ⇒
1090         match m with
1091         [ O ⇒ false
1092               | (S q) ⇒ leb p q]].
1093
1094 ntheorem leb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1095 (n ≤ m → P true) → (n ≰ m → P false) → P (leb n m).
1096 napply nat_elim2; nnormalize;
1097   ##[/2/
1098   ##|/3/;
1099   ##|#n; #m; #Hind; #P; #Pt; #Pf; napply Hind;
1100     ##[#lenm; napply Pt; napply le_S_S;//;
1101     ##|#nlenm; napply Pf; /2/;
1102     ##]
1103   ##]
1104 nqed.
1105
1106 ntheorem leb_true_to_le:∀n,m.leb n m = true → n ≤ m.
1107 #n; #m; napply leb_elim;
1108   ##[//;
1109   ##|#_; #abs; napply False_ind; /2/;
1110   ##]
1111 nqed.
1112
1113 ntheorem leb_false_to_not_le:∀n,m.
1114   leb n m = false → n ≰ m.
1115 #n; #m; napply leb_elim;
1116   ##[#_; #abs; napply False_ind; /2/;
1117   ##|//;
1118   ##]
1119 nqed.
1120
1121 ntheorem le_to_leb_true: ∀n,m. n ≤ m → leb n m = true.
1122 #n; #m; napply leb_elim; //;
1123 #H; #H1; napply False_ind; /2/;
1124 nqed.
1125
1126 ntheorem not_le_to_leb_false: ∀n,m. n ≰ m → leb n m = false.
1127 #n; #m; napply leb_elim; //;
1128 #H; #H1; napply False_ind; /2/;
1129 nqed.
1130
1131 ntheorem lt_to_leb_false: ∀n,m. m < n → leb n m = false.
1132 /3/; nqed.
1133
1134 (* serve anche ltb?
1135 ndefinition ltb ≝λn,m. leb (S n) m.
1136
1137 ntheorem ltb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1138 (n < m → P true) → (n ≮ m → P false) → P (ltb n m).
1139 #n; #m; #P; #Hlt; #Hnlt;
1140 napply leb_elim; /3/; nqed.
1141
1142 ntheorem ltb_true_to_lt:∀n,m.ltb n m = true → n < m.
1143 #n; #m; #Hltb; napply leb_true_to_le; nassumption;
1144 nqed.
1145
1146 ntheorem ltb_false_to_not_lt:∀n,m.
1147   ltb n m = false → n ≮ m.
1148 #n; #m; #Hltb; napply leb_false_to_not_le; nassumption;
1149 nqed.
1150
1151 ntheorem lt_to_ltb_true: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
1152 #n; #m; #Hltb; napply le_to_leb_true; nassumption;
1153 nqed.
1154
1155 ntheorem le_to_ltb_false: ∀n,m. m \le n → ltb n m = false.
1156 #n; #m; #Hltb; napply lt_to_leb_false; /2/;
1157 nqed. *)
1158