helm/software/matita/nlibrary/arithmetics/nat.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "hints_declaration.ma".
  16 include "basics/functions.ma".
  17 include "basics/eq.ma".
  18
  19 ninductive nat : Type ≝
  20   | O : nat
  21   | S : nat → nat.
  22
  23 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  24
  25 alias num (instance 0) = "nnatural number".
  26
  27 (*
  28 nrecord pos : Type ≝
  29  {n:>nat; is_pos: n ≠ 0}.
  30
  31 ncoercion nat_to_pos: ∀n:nat. n ≠0 →pos ≝ mk_pos on
  32 *)
  33
  34 (* default "natural numbers" cic:/matita/ng/arithmetics/nat/nat.ind.
  35 *)
  36
  37 ndefinition pred ≝
  38  λn. match n with [ O ⇒ O | S p ⇒ p].
  39
  40 ntheorem pred_Sn : ∀n. n = pred (S n).
  41 //; nqed.
  42
  43 ntheorem injective_S : injective nat nat S.
  44 //; nqed.
  45
  46 (*
  47 ntheorem inj_S : \forall n,m:nat.(S n)=(S m) \to n=m.
  48 //. nqed. *)
  49
  50 ntheorem not_eq_S: ∀n,m:nat. n ≠ m → S n ≠ S m.
  51 /3/; nqed.
  52
  53 ndefinition not_zero: nat → Prop ≝
  54  λn: nat. match n with
  55   [ O ⇒ False | (S p) ⇒ True ].
  56
  57 ntheorem not_eq_O_S : ∀n:nat. O ≠ S n.
  58 #n; napply nmk; #eqOS; nchange with (not_zero O); nrewrite > eqOS; //.
  59 nqed.
  60
  61 ntheorem not_eq_n_Sn: ∀n:nat. n ≠ S n.
  62 #n; nelim n;/2/; nqed.
  63
  64 ntheorem nat_case:
  65  ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
  66   (n=O → P O) → (∀m:nat. (n=(S m) → P (S m))) → P n.
  67 #n; #P; nelim n; /2/; nqed.
  68
  69 ntheorem nat_elim2 :
  70  ∀R:nat → nat → Prop.
  71   (∀n:nat. R O n)
  72   → (∀n:nat. R (S n) O)
  73   → (∀n,m:nat. R n m → R (S n) (S m))
  74   → ∀n,m:nat. R n m.
  75 #R; #ROn; #RSO; #RSS; #n; nelim n;//;
  76 #n0; #Rn0m; #m; ncases m;/2/; nqed.
  77
  78 ntheorem decidable_eq_nat : ∀n,m:nat.decidable (n=m).
  79 napply nat_elim2; #n;
  80  ##[ ncases n; /2/;
  81  ##| /3/;
  82  ##| #m; #Hind; ncases Hind;/3/;
  83  ##]
  84 nqed.
  85
  86 (*************************** plus ******************************)
  87
  88 nlet rec plus n m ≝
  89  match n with
  90  [ O ⇒ m
  91  | S p ⇒ S (plus p m) ].
  92
  93 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  94
  95 ntheorem plus_O_n: ∀n:nat. n = 0+n.
  96 //; nqed.
  97
  98 (*
  99 ntheorem plus_Sn_m: ∀n,m:nat. S (n + m) = S n + m.
 100 //; nqed.
 101 *)
 102
 103 ntheorem plus_n_O: ∀n:nat. n = n+0.
 104 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 105
 106 ntheorem plus_n_Sm : ∀n,m:nat. S (n+m) = n + S m.
 107 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 108
 109 (*
 110 ntheorem plus_Sn_m1: ∀n,m:nat. S m + n = n + S m.
 111 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 112 *)
 113
 114 (* deleterio?
 115 ntheorem plus_n_1 : ∀n:nat. S n = n+1.
 116 //; nqed.
 117 *)
 118
 119 ntheorem symmetric_plus: symmetric ? plus.
 120 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 121
 122 ntheorem associative_plus : associative nat plus.
 123 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 124
 125 ntheorem assoc_plus1: ∀a,b,c. c + (b + a) = b + c + a.
 126 //; nqed.
 127
 128 ntheorem injective_plus_r: ∀n:nat.injective nat nat (λm.n+m).
 129 #n; nelim n; nnormalize; /3/; nqed.
 130
 131 (* ntheorem inj_plus_r: \forall p,n,m:nat. p+n = p+m \to n=m
 132 \def injective_plus_r.
 133
 134 ntheorem injective_plus_l: ∀m:nat.injective nat nat (λn.n+m).
 135 /2/; nqed. *)
 136
 137 (* ntheorem inj_plus_l: \forall p,n,m:nat. n+p = m+p \to n=m
 138 \def injective_plus_l. *)
 139
 140 (*************************** times *****************************)
 141
 142 nlet rec times n m ≝
 143  match n with
 144  [ O ⇒ O
 145  | S p ⇒ m+(times p m) ].
 146
 147 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
 148
 149 ntheorem times_Sn_m: ∀n,m:nat. m+n*m = S n*m.
 150 //; nqed.
 151
 152 ntheorem times_O_n: ∀n:nat. O = O*n.
 153 //; nqed.
 154
 155 ntheorem times_n_O: ∀n:nat. O = n*O.
 156 #n; nelim n; //; nqed.
 157
 158 ntheorem times_n_Sm : ∀n,m:nat. n+(n*m) = n*(S m).
 159 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 160
 161 ntheorem symmetric_times : symmetric nat times.
 162 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 163
 164 (* variant sym_times : \forall n,m:nat. n*m = m*n \def
 165 symmetric_times. *)
 166
 167 ntheorem distributive_times_plus : distributive nat times plus.
 168 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 169
 170 ntheorem distributive_times_plus_r :
 171   ∀a,b,c:nat. (b+c)*a = b*a + c*a.
 172 //; nqed.
 173
 174 ntheorem associative_times: associative nat times.
 175 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 176
 177 nlemma times_times: ∀x,y,z. x*(y*z) = y*(x*z).
 178 //; nqed.
 179
 180 (* ci servono questi risultati?
 181 ntheorem times_O_to_O: ∀n,m:nat.n*m=O → n=O ∨ m=O.
 182 napply nat_elim2; /2/;
 183 #n; #m; #H; nnormalize; #H1; napply False_ind;napply not_eq_O_S;
 184 //; nqed.
 185
 186 ntheorem times_n_SO : ∀n:nat. n = n * S O.
 187 #n; //; nqed.
 188
 189 ntheorem times_SSO_n : ∀n:nat. n + n = (S(S O)) * n.
 190 nnormalize; //; nqed.
 191
 192 nlemma times_SSO: \forall n.(S(S O))*(S n) = S(S((S(S O))*n)).
 193 //; nqed.
 194
 195 ntheorem or_eq_eq_S: \forall n.\exists m.
 196 n = (S(S O))*m \lor n = S ((S(S O))*m).
 197 #n; nelim n;
 198   ##[@; /2/;
 199   ##|#a; #H; nelim H; #b;#or;nelim or;#aeq;
 200     ##[@ b; @ 2; //;
 201     ##|@ (S b); @ 1; /2/;
 202     ##]
 203 nqed.
 204 *)
 205
 206 (******************** ordering relations ************************)
 207
 208 ninductive le (n:nat) : nat → Prop ≝
 209   | le_n : le n n
 210   | le_S : ∀ m:nat. le n m → le n (S m).
 211
 212 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (le x y).
 213
 214 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y = (Not (le x y)).
 215
 216 ndefinition lt: nat → nat → Prop ≝
 217 λn,m:nat. S n ≤ m.
 218
 219 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (lt x y).
 220
 221 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y = (Not (lt x y)).
 222
 223 (* nlemma eq_lt: ∀n,m. (n < m) = (S n ≤ m).
 224 //; nqed. *)
 225
 226 ndefinition ge: nat → nat → Prop ≝
 227 λn,m:nat.m ≤ n.
 228
 229 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (ge x y).
 230
 231 ndefinition gt: nat → nat → Prop ≝
 232 λn,m:nat.m<n.
 233
 234 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (gt x y).
 235
 236 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y = (Not (gt x y)).
 237
 238 ntheorem transitive_le : transitive nat le.
 239 #a; #b; #c; #leab; #lebc;nelim lebc;/2/;
 240 nqed.
 241
 242 (*
 243 ntheorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
 244 \def transitive_le. *)
 245
 246
 247 ntheorem transitive_lt: transitive nat lt.
 248 #a; #b; #c; #ltab; #ltbc;nelim ltbc;/2/;nqed.
 249
 250 (*
 251 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
 252 \def transitive_lt. *)
 253
 254 ntheorem le_S_S: ∀n,m:nat. n ≤ m → S n ≤ S m.
 255 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/; nqed.
 256
 257 ntheorem le_O_n : ∀n:nat. O ≤ n.
 258 #n; nelim n; /2/; nqed.
 259
 260 ntheorem nboh: 0 ≤ 0 + 0.
 261 //; nqed.
 262
 263 ntheorem le_n_Sn : ∀n:nat. n ≤ S n.
 264 /2/; nqed.
 265
 266 ntheorem le_pred_n : ∀n:nat. pred n ≤ n.
 267 #n; nelim n; //; nqed.
 268
 269 (* XXX global problem
 270 nlemma my_trans_le : ∀x,y,z:nat.x ≤ y → y ≤ z → x ≤ z.
 271 napply transitive_le.
 272 nqed. *)
 273
 274 ntheorem monotonic_pred: monotonic ? le pred.
 275 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/;nqed.
 276
 277 ntheorem le_S_S_to_le: ∀n,m:nat. S n ≤ S m → n ≤ m.
 278 /2/; nqed.
 279
 280 (* this are instances of the le versions
 281 ntheorem lt_S_S_to_lt: ∀n,m. S n < S m → n < m.
 282 /2/; nqed.
 283
 284 ntheorem lt_to_lt_S_S: ∀n,m. n < m → S n < S m.
 285 /2/; nqed. *)
 286
 287 ntheorem lt_to_not_zero : ∀n,m:nat. n < m → not_zero m.
 288 #n; #m; #Hlt; nelim Hlt;//; nqed.
 289
 290 (* lt vs. le *)
 291 ntheorem not_le_Sn_O: ∀ n:nat. S n ≰ O.
 292 #n; napply nmk; #Hlen0; napply (lt_to_not_zero ?? Hlen0); nqed.
 293
 294 ntheorem not_le_to_not_le_S_S: ∀ n,m:nat. n ≰ m → S n ≰ S m.
 295 /3/; nqed.
 296
 297 ntheorem not_le_S_S_to_not_le: ∀ n,m:nat. S n ≰ S m → n ≰ m.
 298 /3/; nqed.
 299
 300 ntheorem decidable_le: ∀n,m. decidable (n≤m).
 301 napply nat_elim2; #n; /2/;
 302 #m; *; /3/; nqed.
 303
 304 ntheorem decidable_lt: ∀n,m. decidable (n < m).
 305 #n; #m; napply decidable_le ; nqed.
 306
 307 ntheorem not_le_Sn_n: ∀n:nat. S n ≰ n.
 308 #n; nelim n; /2/; nqed.
 309
 310 (* this is le_S_S_to_le
 311 ntheorem lt_S_to_le: ∀n,m:nat. n < S m → n ≤ m.
 312 /2/; nqed.
 313 *)
 314
 315 ntheorem not_le_to_lt: ∀n,m. n ≰ m → m < n.
 316 napply nat_elim2; #n;
 317  ##[#abs; napply False_ind;/2/;
 318  ##|/2/;
 319  ##|#m;#Hind;#HnotleSS; napply le_S_S;/3/;
 320  ##]
 321 nqed.
 322
 323 ntheorem lt_to_not_le: ∀n,m. n < m → m ≰ n.
 324 #n; #m; #Hltnm; nelim Hltnm;/3/; nqed.
 325
 326 ntheorem not_lt_to_le: ∀n,m:nat. n ≮ m → m ≤ n.
 327 /4/; nqed.
 328
 329 (*
 330 #n; #m; #Hnlt; napply le_S_S_to_le;/2/;
 331 (* something strange here: /2/ fails *)
 332 napply not_le_to_lt; napply Hnlt; nqed. *)
 333
 334 ntheorem le_to_not_lt: ∀n,m:nat. n ≤ m → m ≮ n.
 335 #n; #m; #H;napply lt_to_not_le; /2/; (* /3/ *) nqed.
 336
 337 (* lt and le trans *)
 338
 339 ntheorem lt_to_le_to_lt: ∀n,m,p:nat. n < m → m ≤ p → n < p.
 340 #n; #m; #p; #H; #H1; nelim H1; /2/; nqed.
 341
 342 ntheorem le_to_lt_to_lt: ∀n,m,p:nat. n ≤ m → m < p → n < p.
 343 #n; #m; #p; #H; nelim H; /3/; nqed.
 344
 345 ntheorem lt_S_to_lt: ∀n,m. S n < m → n < m.
 346 /2/; nqed.
 347
 348 ntheorem ltn_to_ltO: ∀n,m:nat. n < m → O < m.
 349 /2/; nqed.
 350
 351 (*
 352 theorem lt_SO_n_to_lt_O_pred_n: \forall n:nat.
 353 (S O) \lt n \to O \lt (pred n).
 354 intros.
 355 apply (ltn_to_ltO (pred (S O)) (pred n) ?).
 356  apply (lt_pred (S O) n);
 357  [ apply (lt_O_S O)
 358  | assumption
 359  ]
 360 qed. *)
 361
 362 ntheorem lt_O_n_elim: ∀n:nat. O < n →
 363   ∀P:nat → Prop.(∀m:nat.P (S m)) → P n.
 364 #n; nelim n; //; #abs; napply False_ind;/2/;
 365 nqed.
 366
 367 (*
 368 theorem lt_pred: \forall n,m.
 369   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 370 apply nat_elim2
 371   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 372   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 373   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 374   ]
 375 qed.
 376
 377 theorem S_pred: \forall n:nat.lt O n \to eq nat n (S (pred n)).
 378 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 379 apply eq_f.apply pred_Sn.
 380 qed.
 381
 382 theorem le_pred_to_le:
 383  ∀n,m. O < m → pred n ≤ pred m → n ≤ m.
 384 intros 2;
 385 elim n;
 386 [ apply le_O_n
 387 | simplify in H2;
 388   rewrite > (S_pred m);
 389   [ apply le_S_S;
 390     assumption
 391   | assumption
 392   ]
 393 ].
 394 qed.
 395
 396 *)
 397
 398 (* le to lt or eq *)
 399 ntheorem le_to_or_lt_eq: ∀n,m:nat. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
 400 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /3/; nqed.
 401
 402 (* not eq *)
 403 ntheorem lt_to_not_eq : ∀n,m:nat. n < m → n ≠ m.
 404 #n; #m; #H; napply not_to_not;/2/; nqed.
 405
 406 (*not lt
 407 ntheorem eq_to_not_lt: ∀a,b:nat. a = b → a ≮ b.
 408 intros.
 409 unfold Not.
 410 intros.
 411 rewrite > H in H1.
 412 apply (lt_to_not_eq b b)
 413 [ assumption
 414 | reflexivity
 415 ]
 416 qed.
 417
 418 theorem lt_n_m_to_not_lt_m_Sn: ∀n,m. n < m → m ≮ S n.
 419 intros;
 420 unfold Not;
 421 intro;
 422 unfold lt in H;
 423 unfold lt in H1;
 424 generalize in match (le_S_S ? ? H);
 425 intro;
 426 generalize in match (transitive_le ? ? ? H2 H1);
 427 intro;
 428 apply (not_le_Sn_n ? H3).
 429 qed. *)
 430
 431 ntheorem not_eq_to_le_to_lt: ∀n,m. n≠m → n≤m → n<m.
 432 #n; #m; #Hneq; #Hle; ncases (le_to_or_lt_eq ?? Hle); //;
 433 #Heq; /3/; nqed.
 434 (*
 435 nelim (Hneq Heq); nqed. *)
 436
 437 (* le elimination *)
 438 ntheorem le_n_O_to_eq : ∀n:nat. n ≤ O → O=n.
 439 #n; ncases n; //; #a ; #abs;
 440 napply False_ind; /2/;nqed.
 441
 442 ntheorem le_n_O_elim: ∀n:nat. n ≤ O → ∀P: nat →Prop. P O → P n.
 443 #n; ncases n; //; #a; #abs;
 444 napply False_ind; /2/; nqed.
 445
 446 ntheorem le_n_Sm_elim : ∀n,m:nat.n ≤ S m →
 447 ∀P:Prop. (S n ≤ S m → P) → (n=S m → P) → P.
 448 #n; #m; #Hle; #P; nelim Hle; /3/; nqed.
 449
 450 (* le and eq *)
 451
 452 ntheorem le_to_le_to_eq: ∀n,m. n ≤ m → m ≤ n → n = m.
 453 napply nat_elim2; /4/;
 454 nqed.
 455
 456 ntheorem lt_O_S : ∀n:nat. O < S n.
 457 /2/; nqed.
 458
 459 (*
 460 (* other abstract properties *)
 461 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 462 unfold antisymmetric.intros 2.
 463 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 464 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 465 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 466 intros.apply eq_f.apply H.
 467 apply le_S_S_to_le.assumption.
 468 apply le_S_S_to_le.assumption.
 469 qed.
 470
 471 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 472 \def antisymmetric_le.
 473
 474 theorem le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m: ∀n,m. n ≤ m → m < S n → n=m.
 475 intros;
 476 unfold lt in H1;
 477 generalize in match (le_S_S_to_le ? ? H1);
 478 intro;
 479 apply antisym_le;
 480 assumption.
 481 qed.
 482 *)
 483
 484 (* well founded induction principles *)
 485
 486 ntheorem nat_elim1 : ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
 487 (∀m.(∀p. p < m → P p) → P m) → P n.
 488 #n; #P; #H;
 489 ncut (∀q:nat. q ≤ n → P q);/2/;
 490 nelim n;
 491  ##[#q; #HleO; (* applica male *)
 492     napply (le_n_O_elim ? HleO);
 493     napply H; #p; #ltpO;
 494     napply False_ind; /2/; (* 3 *)
 495  ##|#p; #Hind; #q; #HleS;
 496     napply H; #a; #lta; napply Hind;
 497     napply le_S_S_to_le;/2/;
 498  ##]
 499 nqed.
 500
 501 (* some properties of functions *)
 502 (*
 503 definition increasing \def \lambda f:nat \to nat.
 504 \forall n:nat. f n < f (S n).
 505
 506 theorem increasing_to_monotonic: \forall f:nat \to nat.
 507 increasing f \to monotonic nat lt f.
 508 unfold monotonic.unfold lt.unfold increasing.unfold lt.intros.elim H1.apply H.
 509 apply (trans_le ? (f n1)).
 510 assumption.apply (trans_le ? (S (f n1))).
 511 apply le_n_Sn.
 512 apply H.
 513 qed.
 514
 515 theorem le_n_fn: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 516 \to \forall n:nat. n \le (f n).
 517 intros.elim n.
 518 apply le_O_n.
 519 apply (trans_le ? (S (f n1))).
 520 apply le_S_S.apply H1.
 521 simplify in H. unfold increasing in H.unfold lt in H.apply H.
 522 qed.
 523
 524 theorem increasing_to_le: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 525 \to \forall m:nat. \exists i. m \le (f i).
 526 intros.elim m.
 527 apply (ex_intro ? ? O).apply le_O_n.
 528 elim H1.
 529 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 530 apply (trans_le ? (S (f a))).
 531 apply le_S_S.assumption.
 532 simplify in H.unfold increasing in H.unfold lt in H.
 533 apply H.
 534 qed.
 535
 536 theorem increasing_to_le2: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 537 \to \forall m:nat. (f O) \le m \to
 538 \exists i. (f i) \le m \land m <(f (S i)).
 539 intros.elim H1.
 540 apply (ex_intro ? ? O).
 541 split.apply le_n.apply H.
 542 elim H3.elim H4.
 543 cut ((S n1) < (f (S a)) \lor (S n1) = (f (S a))).
 544 elim Hcut.
 545 apply (ex_intro ? ? a).
 546 split.apply le_S. assumption.assumption.
 547 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 548 split.rewrite < H7.apply le_n.
 549 rewrite > H7.
 550 apply H.
 551 apply le_to_or_lt_eq.apply H6.
 552 qed.
 553 *)
 554
 555 (*********************** monotonicity ***************************)
 556 ntheorem monotonic_le_plus_r:
 557 ∀n:nat.monotonic nat le (λm.n + m).
 558 #n; #a; #b; nelim n; nnormalize; //;
 559 #m; #H; #leab;napply le_S_S; /2/; nqed.
 560
 561 (*
 562 ntheorem le_plus_r: ∀p,n,m:nat. n ≤ m → p + n ≤ p + m
 563 ≝ monotonic_le_plus_r. *)
 564
 565 ntheorem monotonic_le_plus_l:
 566 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n + m).
 567 /2/; nqed.
 568
 569 (*
 570 ntheorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
 571 \def monotonic_le_plus_l. *)
 572
 573 ntheorem le_plus: ∀n1,n2,m1,m2:nat. n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2
 574 → n1 + m1 ≤ n2 + m2.
 575 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem; napply (transitive_le ? (n1+m2));
 576 /2/; nqed.
 577
 578 ntheorem le_plus_n :∀n,m:nat. m ≤ n + m.
 579 /2/; nqed.
 580
 581 nlemma le_plus_a: ∀a,n,m. n ≤ m → n ≤ a + m.
 582 /2/; nqed.
 583
 584 nlemma le_plus_b: ∀b,n,m. n + b ≤ m → n ≤ m.
 585 /2/; nqed.
 586
 587 ntheorem le_plus_n_r :∀n,m:nat. m ≤ m + n.
 588 /2/; nqed.
 589
 590 ntheorem eq_plus_to_le: ∀n,m,p:nat.n=m+p → m ≤ n.
 591 //; nqed.
 592
 593 ntheorem le_plus_to_le: ∀a,n,m. a + n ≤ a + m → n ≤ m.
 594 #a; nelim a; nnormalize; /3/; nqed.
 595
 596 ntheorem le_plus_to_le_r: ∀a,n,m. n + a ≤ m +a → n ≤ m.
 597 /2/; nqed.
 598
 599 (* plus & lt *)
 600
 601 ntheorem monotonic_lt_plus_r:
 602 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.n+m).
 603 /2/; nqed.
 604
 605 (*
 606 variant lt_plus_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to n + p < n + q \def
 607 monotonic_lt_plus_r. *)
 608
 609 ntheorem monotonic_lt_plus_l:
 610 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.m+n).
 611 /2/; nqed.
 612
 613 (*
 614 variant lt_plus_l: \forall n,p,q:nat. p < q \to p + n < q + n \def
 615 monotonic_lt_plus_l. *)
 616
 617 ntheorem lt_plus: ∀n,m,p,q:nat. n < m → p < q → n + p < m + q.
 618 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #ltpq;
 619 napply (transitive_lt ? (n+q));/2/; nqed.
 620
 621 ntheorem lt_plus_to_lt_l :∀n,p,q:nat. p+n < q+n → p<q.
 622 /2/; nqed.
 623
 624 ntheorem lt_plus_to_lt_r :∀n,p,q:nat. n+p < n+q → p<q.
 625 /2/; nqed.
 626
 627 (*
 628 ntheorem le_to_lt_to_lt_plus: ∀a,b,c,d:nat.
 629 a ≤ c → b < d → a + b < c+d.
 630 (* bello /2/ un po' lento *)
 631 #a; #b; #c; #d; #leac; #lebd;
 632 nnormalize; napplyS le_plus; //; nqed.
 633 *)
 634
 635 (* times *)
 636 ntheorem monotonic_le_times_r:
 637 ∀n:nat.monotonic nat le (λm. n * m).
 638 #n; #x; #y; #lexy; nelim n; nnormalize;//;(* lento /2/;*)
 639 #a; #lea; napply le_plus; //;
 640 nqed.
 641
 642 (*
 643 ntheorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
 644 \def monotonic_le_times_r. *)
 645
 646 (*
 647 ntheorem monotonic_le_times_l:
 648 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n*m).
 649 /2/; nqed.
 650 *)
 651
 652 (*
 653 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
 654 \def monotonic_le_times_l. *)
 655
 656 ntheorem le_times: ∀n1,n2,m1,m2:nat.
 657 n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2 → n1*m1 ≤ n2*m2.
 658 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem;
 659 napply (transitive_le ? (n1*m2)); (* /2/ slow *)
 660  ##[ napply monotonic_le_times_r;//;
 661  ##| napplyS monotonic_le_times_r;//;
 662  ##]
 663 nqed.
 664
 665 (* interesssante *)
 666 ntheorem lt_times_n: ∀n,m:nat. O < n → m ≤ n*m.
 667 #n; #m; #H; /2/; nqed.
 668
 669 ntheorem le_times_to_le:
 670 ∀a,n,m. O < a → a * n ≤ a * m → n ≤ m.
 671 #a; napply nat_elim2; nnormalize;
 672   ##[//;
 673   ##|#n; #H1; #H2;
 674      napply (transitive_le ? (a*S n));/2/;
 675   ##|#n; #m; #H; #lta; #le;
 676      napply le_S_S; napply H; /2/;
 677   ##]
 678 nqed.
 679
 680 ntheorem le_S_times_2: ∀n,m.O < m → n ≤ m → S n ≤ 2*m.
 681 #n; #m; #posm; #lenm;  (* interessante *)
 682 napplyS (le_plus n m); //; nqed.
 683
 684 (* times & lt *)
 685 (*
 686 ntheorem lt_O_times_S_S: ∀n,m:nat.O < (S n)*(S m).
 687 intros.simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 688 qed. *)
 689
 690 (*
 691 ntheorem lt_times_eq_O: \forall a,b:nat.
 692 O < a → a * b = O → b = O.
 693 intros.
 694 apply (nat_case1 b)
 695 [ intros.
 696   reflexivity
 697 | intros.
 698   rewrite > H2 in H1.
 699   rewrite > (S_pred a) in H1
 700   [ apply False_ind.
 701     apply (eq_to_not_lt O ((S (pred a))*(S m)))
 702     [ apply sym_eq.
 703       assumption
 704     | apply lt_O_times_S_S
 705     ]
 706   | assumption
 707   ]
 708 ]
 709 qed.
 710
 711 theorem O_lt_times_to_O_lt: \forall a,c:nat.
 712 O \lt (a * c) \to O \lt a.
 713 intros.
 714 apply (nat_case1 a)
 715 [ intros.
 716   rewrite > H1 in H.
 717   simplify in H.
 718   assumption
 719 | intros.
 720   apply lt_O_S
 721 ]
 722 qed.
 723
 724 lemma lt_times_to_lt_O: \forall i,n,m:nat. i < n*m \to O < m.
 725 intros.
 726 elim (le_to_or_lt_eq O ? (le_O_n m))
 727   [assumption
 728   |apply False_ind.
 729    rewrite < H1 in H.
 730    rewrite < times_n_O in H.
 731    apply (not_le_Sn_O ? H)
 732   ]
 733 qed. *)
 734
 735 (*
 736 ntheorem monotonic_lt_times_r:
 737 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.(S n)*m).
 738 /2/;
 739 simplify.
 740 intros.elim n.
 741 simplify.rewrite < plus_n_O.rewrite < plus_n_O.assumption.
 742 apply lt_plus.assumption.assumption.
 743 qed. *)
 744
 745 ntheorem monotonic_lt_times_l:
 746   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(t*c)).
 747 #c; #posc; #n; #m; #ltnm;
 748 nelim ltnm; nnormalize;
 749   ##[/2/;
 750   ##|#a; #_; #lt1; napply (transitive_le ??? lt1);//;
 751   ##]
 752 nqed.
 753
 754 ntheorem monotonic_lt_times_r:
 755   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(c*t)).
 756 /2/; nqed.
 757
 758 ntheorem lt_to_le_to_lt_times:
 759 ∀n,m,p,q:nat. n < m → p ≤ q → O < q → n*p < m*q.
 760 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #lepq; #posq;
 761 napply (le_to_lt_to_lt ? (n*q));
 762   ##[napply monotonic_le_times_r;//;
 763   ##|napply monotonic_lt_times_l;//;
 764   ##]
 765 nqed.
 766
 767 ntheorem lt_times:∀n,m,p,q:nat. n<m → p<q → n*p < m*q.
 768 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #ltpq;
 769 napply lt_to_le_to_lt_times;/2/;
 770 nqed.
 771
 772 ntheorem lt_times_n_to_lt_l:
 773 ∀n,p,q:nat. p*n < q*n → p < q.
 774 #n; #p; #q; #Hlt;
 775 nelim (decidable_lt p q);//;
 776 #nltpq; napply False_ind;
 777 napply (absurd ? ? (lt_to_not_le ? ? Hlt));
 778 napplyS monotonic_le_times_r;/2/;
 779 nqed.
 780
 781 ntheorem lt_times_n_to_lt_r:
 782 ∀n,p,q:nat. n*p < n*q → p < q.
 783 /2/; nqed.
 784
 785 (*
 786 theorem nat_compare_times_l : \forall n,p,q:nat.
 787 nat_compare p q = nat_compare ((S n) * p) ((S n) * q).
 788 intros.apply nat_compare_elim.intro.
 789 apply nat_compare_elim.
 790 intro.reflexivity.
 791 intro.absurd (p=q).
 792 apply (inj_times_r n).assumption.
 793 apply lt_to_not_eq. assumption.
 794 intro.absurd (q<p).
 795 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 796 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 797 intro.rewrite < H.rewrite > nat_compare_n_n.reflexivity.
 798 intro.apply nat_compare_elim.intro.
 799 absurd (p<q).
 800 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 801 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 802 intro.absurd (q=p).
 803 symmetry.
 804 apply (inj_times_r n).assumption.
 805 apply lt_to_not_eq.assumption.
 806 intro.reflexivity.
 807 qed. *)
 808
 809 (* times and plus
 810 theorem lt_times_plus_times: \forall a,b,n,m:nat.
 811 a < n \to b < m \to a*m + b < n*m.
 812 intros 3.
 813 apply (nat_case n)
 814   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 815   |intros.simplify.
 816    rewrite < sym_plus.
 817    unfold.
 818    change with (S b+a*m1 \leq m1+m*m1).
 819    apply le_plus
 820     [assumption
 821     |apply le_times
 822       [apply le_S_S_to_le.assumption
 823       |apply le_n
 824       ]
 825     ]
 826   ]
 827 qed. *)
 828
 829 (************************** minus ******************************)
 830
 831 nlet rec minus n m ≝
 832  match n with
 833  [ O ⇒ O
 834  | S p ⇒
 835         match m with
 836           [ O ⇒ S p
 837     | S q ⇒ minus p q ]].
 838
 839 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
 840
 841 ntheorem minus_S_S: ∀n,m:nat.S n - S m = n -m.
 842 //; nqed.
 843
 844 ntheorem minus_O_n: ∀n:nat.O=O-n.
 845 #n; ncases n; //; nqed.
 846
 847 ntheorem minus_n_O: ∀n:nat.n=n-O.
 848 #n; ncases n; //; nqed.
 849
 850 ntheorem minus_n_n: ∀n:nat.O=n-n.
 851 #n; nelim n; //; nqed.
 852
 853 ntheorem minus_Sn_n: ∀n:nat. S O = (S n)-n.
 854 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 855
 856 ntheorem minus_Sn_m: ∀m,n:nat. m ≤ n → S n -m = S (n-m).
 857 (* qualcosa da capire qui
 858 #n; #m; #lenm; nelim lenm; napplyS refl_eq. *)
 859 napply nat_elim2;
 860   ##[//
 861   ##|#n; #abs; napply False_ind; /2/
 862   ##|#n; #m; #Hind; #c; napplyS Hind; /2/;
 863   ##]
 864 nqed.
 865
 866 ntheorem not_eq_to_le_to_le_minus:
 867   ∀n,m.n ≠ m → n ≤ m → n ≤ m - 1.
 868 #n; #m; ncases m;//; #m; nnormalize;
 869 #H; #H1; napply le_S_S_to_le;
 870 napplyS (not_eq_to_le_to_lt n (S m) H H1);
 871 nqed.
 872
 873 ntheorem eq_minus_S_pred: ∀n,m. n - (S m) = pred(n -m).
 874 napply nat_elim2; nnormalize; //; nqed.
 875
 876 ntheorem plus_minus:
 877 ∀m,n,p:nat. m ≤ n → (n-m)+p = (n+p)-m.
 878 napply nat_elim2;
 879   ##[//
 880   ##|#n; #p; #abs; napply False_ind; /2/;
 881   ##|nnormalize;/3/;
 882   ##]
 883 nqed.
 884
 885 ntheorem minus_plus_m_m: ∀n,m:nat.n = (n+m)-m.
 886 #n; #m; napplyS (plus_minus m m n); //; nqed.
 887
 888 ntheorem plus_minus_m_m: ∀n,m:nat.
 889   m ≤ n → n = (n-m)+m.
 890 #n; #m; #lemn; napplyS sym_eq;
 891 napplyS (plus_minus m n m); //; nqed.
 892
 893 ntheorem le_plus_minus_m_m: ∀n,m:nat. n ≤ (n-m)+m.
 894 #n; nelim n;
 895   ##[//
 896   ##|#a; #Hind; #m; ncases m;//;
 897      nnormalize; #n;/2/;
 898   ##]
 899 nqed.
 900
 901 ntheorem minus_to_plus :∀n,m,p:nat.
 902   m ≤ n → n-m = p → n = m+p.
 903 #n; #m; #p; #lemn; #eqp; napplyS plus_minus_m_m; //;
 904 nqed.
 905
 906 ntheorem plus_to_minus :∀n,m,p:nat.n = m+p → n-m = p.
 907 (* /4/ done in 43.5 *)
 908 #n; #m; #p; #eqp;
 909 napply sym_eq;
 910 napplyS (minus_plus_m_m p m);
 911 nqed.
 912
 913 ntheorem minus_pred_pred : ∀n,m:nat. O < n → O < m →
 914 pred n - pred m = n - m.
 915 #n; #m; #posn; #posm;
 916 napply (lt_O_n_elim n posn);
 917 napply (lt_O_n_elim m posm);//.
 918 nqed.
 919
 920 (*
 921 theorem eq_minus_n_m_O: \forall n,m:nat.
 922 n \leq m \to n-m = O.
 923 intros 2.
 924 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.n \leq m \to n-m = O)).
 925 intros.simplify.reflexivity.
 926 intros.apply False_ind.
 927 apply not_le_Sn_O;
 928 [2: apply H | skip].
 929 intros.
 930 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le. apply H1.
 931 qed.
 932
 933 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 934 intros.elim H.elim (minus_Sn_n n).apply le_n.
 935 rewrite > minus_Sn_m.
 936 apply le_S.assumption.
 937 apply lt_to_le.assumption.
 938 qed.
 939
 940 theorem minus_le_S_minus_S: \forall n,m:nat. m-n \leq S (m-(S n)).
 941 intros.
 942 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m-n \leq S (m-(S n)))).
 943 intro.elim n1.simplify.apply le_n_Sn.
 944 simplify.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 945 intros.simplify.apply le_n_Sn.
 946 intros.simplify.apply H.
 947 qed.
 948
 949 theorem lt_minus_S_n_to_le_minus_n : \forall n,m,p:nat. m-(S n) < p \to m-n \leq p.
 950 intros 3.intro.
 951 (* autobatch *)
 952 (* end auto($Revision: 9739 $) proof: TIME=1.33 SIZE=100 DEPTH=100 *)
 953 apply (trans_le (m-n) (S (m-(S n))) p).
 954 apply minus_le_S_minus_S.
 955 assumption.
 956 qed.
 957
 958 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 959 intros.apply (nat_elim2 (\lambda m,n. n-m \leq n)).
 960 intros.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 961 intros.simplify.apply le_n.
 962 intros.simplify.apply le_S.assumption.
 963 qed.
 964
 965 theorem lt_minus_m: \forall n,m:nat. O < n \to O < m \to n-m \lt n.
 966 intros.apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 967 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 968 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_minus_m.
 969 qed.
 970
 971 theorem minus_le_O_to_le: \forall n,m:nat. n-m \leq O \to n \leq m.
 972 intros 2.
 973 apply (nat_elim2 (\lambda n,m:nat.n-m \leq O \to n \leq m)).
 974 intros.apply le_O_n.
 975 simplify.intros. assumption.
 976 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.assumption.
 977 qed.
 978 *)
 979
 980 (* monotonicity and galois *)
 981
 982 ntheorem monotonic_le_minus_l:
 983 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → q-n ≤ p-n.
 984 napply nat_elim2; #p; #q;
 985   ##[#lePO; napply (le_n_O_elim ? lePO);//;
 986   ##|//;
 987   ##|#Hind; #n; ncases n;
 988     ##[//;
 989     ##|#a; #leSS; napply Hind; /2/;
 990     ##]
 991   ##]
 992 nqed.
 993
 994 ntheorem le_minus_to_plus: ∀n,m,p. n-m ≤ p → n≤ p+m.
 995 #n; #m; #p; #lep;
 996 napply transitive_le;
 997   ##[##|napply le_plus_minus_m_m
 998   ##|napply monotonic_le_plus_l;//;
 999   ##]
1000 nqed.
1001
1002 ntheorem le_plus_to_minus: ∀n,m,p. n ≤ p+m → n-m ≤ p.
1003 #n; #m; #p; #lep;
1004 (* bello *)
1005 napplyS monotonic_le_minus_l;//;
1006 (* /2/; *)
1007 nqed.
1008
1009 ntheorem monotonic_le_minus_r:
1010 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → n-p ≤ n-q.
1011 #p; #q; #n; #lepq;
1012 napply le_plus_to_minus;
1013 napply (transitive_le ??? (le_plus_minus_m_m ? q));/2/;
1014 nqed.
1015
1016 (*********************** boolean arithmetics ********************)
1017 include "basics/bool.ma".
1018
1019 nlet rec eqb n m ≝
1020 match n with
1021   [ O ⇒ match m with [ O ⇒ true | S q ⇒ false]
1022   | S p ⇒ match m with [ O ⇒ false | S q ⇒ eqb p q]
1023   ].
1024
1025 (*
1026 ntheorem eqb_to_Prop: ∀n,m:nat.
1027 match (eqb n m) with
1028 [ true  \Rightarrow n = m
1029 | false \Rightarrow n \neq m].
1030 intros.
1031 apply (nat_elim2
1032 (\lambda n,m:nat.match (eqb n m) with
1033 [ true  \Rightarrow n = m
1034 | false \Rightarrow n \neq m])).
1035 intro.elim n1.
1036 simplify.reflexivity.
1037 simplify.apply not_eq_O_S.
1038 intro.
1039 simplify.unfold Not.
1040 intro. apply (not_eq_O_S n1).apply sym_eq.assumption.
1041 intros.simplify.
1042 generalize in match H.
1043 elim ((eqb n1 m1)).
1044 simplify.apply eq_f.apply H1.
1045 simplify.unfold Not.intro.apply H1.apply inj_S.assumption.
1046 qed.
1047 *)
1048
1049 ntheorem eqb_elim : ∀ n,m:nat.∀ P:bool → Prop.
1050 (n=m → (P true)) → (n ≠ m → (P false)) → (P (eqb n m)).
1051 napply nat_elim2;
1052   ##[#n; ncases n; nnormalize; /3/;
1053   ##|nnormalize; /3/;
1054   ##|nnormalize; /4/;
1055   ##]
1056 nqed.
1057
1058 ntheorem eqb_n_n: ∀n. eqb n n = true.
1059 #n; nelim n; nnormalize; //.
1060 nqed.
1061
1062 ntheorem eqb_true_to_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = true → n = m.
1063 #n; #m; napply (eqb_elim n m);//;
1064 #_; #abs; napply False_ind; /2/;
1065 nqed.
1066
1067 ntheorem eqb_false_to_not_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = false → n ≠ m.
1068 #n; #m; napply (eqb_elim n m);/2/;
1069 nqed.
1070
1071 ntheorem eq_to_eqb_true: ∀n,m:nat.
1072   n = m → eqb n m = true.
1073 //; nqed.
1074
1075 ntheorem not_eq_to_eqb_false: ∀n,m:nat.
1076   n ≠  m → eqb n m = false.
1077 #n; #m; #noteq;
1078 napply eqb_elim;//;
1079 #Heq; napply False_ind; /2/;
1080 nqed.
1081
1082 nlet rec leb n m ≝
1083 match n with
1084     [ O ⇒ true
1085     | (S p) ⇒
1086         match m with
1087         [ O ⇒ false
1088               | (S q) ⇒ leb p q]].
1089
1090 ntheorem leb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1091 (n ≤ m → P true) → (n ≰ m → P false) → P (leb n m).
1092 napply nat_elim2; nnormalize;
1093   ##[/2/
1094   ##|/3/;
1095   ##|#n; #m; #Hind; #P; #Pt; #Pf; napply Hind;
1096     ##[#lenm; napply Pt; napply le_S_S;//;
1097     ##|#nlenm; napply Pf; /2/;
1098     ##]
1099   ##]
1100 nqed.
1101
1102 ntheorem leb_true_to_le:∀n,m.leb n m = true → n ≤ m.
1103 #n; #m; napply leb_elim;
1104   ##[//;
1105   ##|#_; #abs; napply False_ind; /2/;
1106   ##]
1107 nqed.
1108
1109 ntheorem leb_false_to_not_le:∀n,m.
1110   leb n m = false → n ≰ m.
1111 #n; #m; napply leb_elim;
1112   ##[#_; #abs; napply False_ind; /2/;
1113   ##|//;
1114   ##]
1115 nqed.
1116
1117 ntheorem le_to_leb_true: ∀n,m. n ≤ m → leb n m = true.
1118 #n; #m; napply leb_elim; //;
1119 #H; #H1; napply False_ind; /2/;
1120 nqed.
1121
1122 ntheorem not_le_to_leb_false: ∀n,m. n ≰ m → leb n m = false.
1123 #n; #m; napply leb_elim; //;
1124 #H; #H1; napply False_ind; /2/;
1125 nqed.
1126
1127 ntheorem lt_to_leb_false: ∀n,m. m < n → leb n m = false.
1128 /3/; nqed.
1129
1130 (* serve anche ltb?
1131 ndefinition ltb ≝λn,m. leb (S n) m.
1132
1133 ntheorem ltb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1134 (n < m → P true) → (n ≮ m → P false) → P (ltb n m).
1135 #n; #m; #P; #Hlt; #Hnlt;
1136 napply leb_elim; /3/; nqed.
1137
1138 ntheorem ltb_true_to_lt:∀n,m.ltb n m = true → n < m.
1139 #n; #m; #Hltb; napply leb_true_to_le; nassumption;
1140 nqed.
1141
1142 ntheorem ltb_false_to_not_lt:∀n,m.
1143   ltb n m = false → n ≮ m.
1144 #n; #m; #Hltb; napply leb_false_to_not_le; nassumption;
1145 nqed.
1146
1147 ntheorem lt_to_ltb_true: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
1148 #n; #m; #Hltb; napply le_to_leb_true; nassumption;
1149 nqed.
1150
1151 ntheorem le_to_ltb_false: ∀n,m. m \le n → ltb n m = false.
1152 #n; #m; #Hltb; napply lt_to_leb_false; /2/;
1153 nqed. *)
1154