helm/software/matita/nlibrary/arithmetics/nat.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* include "higher_order_defs/functions.ma". *)
  16 include "hints_declaration.ma".
  17 include "basics/functions.ma".
  18 include "basics/eq.ma".
  19
  20 ntheorem foo: ∀A:Type.∀a,b:A.∀f:A→A.∀g:A→A→A.
  21 (∀x,y.f (g x y) = x) → ∀x. g (f a) x = b → f a = f b.
  22 //; nqed.
  23
  24 ninductive nat : Type[0] ≝
  25   | O : nat
  26   | S : nat → nat.
  27
  28 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  29
  30 alias num (instance 0) = "nnatural number".
  31
  32 (*
  33 nrecord pos : Type ≝
  34  {n:>nat; is_pos: n ≠ 0}.
  35
  36 ncoercion nat_to_pos: ∀n:nat. n ≠0 →pos ≝ mk_pos on
  37 *)
  38
  39 (* default "natural numbers" cic:/matita/ng/arithmetics/nat/nat.ind.
  40 *)
  41
  42 ndefinition pred ≝
  43  λn. match n with [ O ⇒  O | (S p) ⇒ p].
  44
  45 ntheorem pred_Sn : ∀n. n = pred (S n).
  46 //; nqed.
  47
  48 ntheorem injective_S : injective nat nat S.
  49 //; nqed.
  50
  51 (*
  52 ntheorem inj_S : \forall n,m:nat.(S n)=(S m) \to n=m.
  53 //. nqed. *)
  54
  55 ntheorem not_eq_S: ∀n,m:nat. n ≠ m → S n ≠ S m.
  56 /3/; nqed.
  57
  58 ndefinition not_zero: nat → Prop ≝
  59  λn: nat. match n with
  60   [ O ⇒ False | (S p) ⇒ True ].
  61
  62 ntheorem not_eq_O_S : ∀n:nat. O ≠ S n.
  63 #n; napply nmk; #eqOS; nchange with (not_zero O); nrewrite > eqOS; //.
  64 nqed.
  65
  66 ntheorem not_eq_n_Sn: ∀n:nat. n ≠ S n.
  67 #n; nelim n;/2/; nqed.
  68
  69 ntheorem nat_case:
  70  ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
  71   (n=O → P O) → (∀m:nat. (n=(S m) → P (S m))) → P n.
  72 #n; #P; nelim n; /2/; nqed.
  73
  74 ntheorem nat_elim2 :
  75  ∀R:nat → nat → Prop.
  76   (∀n:nat. R O n)
  77   → (∀n:nat. R (S n) O)
  78   → (∀n,m:nat. R n m → R (S n) (S m))
  79   → ∀n,m:nat. R n m.
  80 #R; #ROn; #RSO; #RSS; #n; nelim n;//;
  81 #n0; #Rn0m; #m; ncases m;/2/; nqed.
  82
  83 ntheorem decidable_eq_nat : ∀n,m:nat.decidable (n=m).
  84 napply nat_elim2; #n;
  85  ##[ ncases n; /2/;
  86  ##| /3/;
  87  ##| #m; #Hind; ncases Hind; /3/;
  88  ##]
  89 nqed.
  90
  91 (*************************** plus ******************************)
  92
  93 nlet rec plus n m ≝
  94  match n with
  95  [ O ⇒ m
  96  | S p ⇒ S (plus p m) ].
  97
  98 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  99
 100 ntheorem plus_O_n: ∀n:nat. n = 0+n.
 101 //; nqed.
 102
 103 (*
 104 ntheorem plus_Sn_m: ∀n,m:nat. S (n + m) = S n + m.
 105 //; nqed.
 106 *)
 107
 108 ntheorem plus_n_O: ∀n:nat. n = n+0.
 109 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 110
 111 ntheorem plus_n_Sm : ∀n,m:nat. S (n+m) = n + S m.
 112 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 113
 114 (*
 115 ntheorem plus_Sn_m1: ∀n,m:nat. S m + n = n + S m.
 116 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 117 *)
 118
 119 (* deleterio?
 120 ntheorem plus_n_1 : ∀n:nat. S n = n+1.
 121 //; nqed.
 122 *)
 123
 124 ntheorem symmetric_plus: symmetric ? plus.
 125 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 126
 127 ntheorem associative_plus : associative nat plus.
 128 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 129
 130 ntheorem assoc_plus1: ∀a,b,c. c + (b + a) = b + c + a.
 131 //; nqed.
 132
 133 ntheorem injective_plus_r: ∀n:nat.injective nat nat (λm.n+m).
 134 #n; nelim n; nnormalize; /3/; nqed.
 135
 136 (* ntheorem inj_plus_r: \forall p,n,m:nat. p+n = p+m \to n=m
 137 \def injective_plus_r.
 138
 139 ntheorem injective_plus_l: ∀m:nat.injective nat nat (λn.n+m).
 140 /2/; nqed. *)
 141
 142 (* ntheorem inj_plus_l: \forall p,n,m:nat. n+p = m+p \to n=m
 143 \def injective_plus_l. *)
 144
 145 (*************************** times *****************************)
 146
 147 nlet rec times n m ≝
 148  match n with
 149  [ O ⇒ O
 150  | S p ⇒ m+(times p m) ].
 151
 152 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
 153
 154 ntheorem times_Sn_m: ∀n,m:nat. m+n*m = S n*m.
 155 //; nqed.
 156
 157 ntheorem times_O_n: ∀n:nat. O = O*n.
 158 //; nqed.
 159
 160 ntheorem times_n_O: ∀n:nat. O = n*O.
 161 #n; nelim n; //; nqed.
 162
 163 ntheorem times_n_Sm : ∀n,m:nat. n+(n*m) = n*(S m).
 164 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 165
 166 ntheorem symmetric_times : symmetric nat times.
 167 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 168
 169 (* variant sym_times : \forall n,m:nat. n*m = m*n \def
 170 symmetric_times. *)
 171
 172 ntheorem distributive_times_plus : distributive nat times plus.
 173 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 174
 175 ntheorem distributive_times_plus_r :
 176   ∀a,b,c:nat. (b+c)*a = b*a + c*a.
 177 //; nqed.
 178
 179 ntheorem associative_times: associative nat times.
 180 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 181
 182 nlemma times_times: ∀x,y,z. x*(y*z) = y*(x*z).
 183 //; nqed.
 184
 185 (* ci servono questi risultati?
 186 ntheorem times_O_to_O: ∀n,m:nat.n*m=O → n=O ∨ m=O.
 187 napply nat_elim2; /2/;
 188 #n; #m; #H; nnormalize; #H1; napply False_ind;napply not_eq_O_S;
 189 //; nqed.
 190
 191 ntheorem times_n_SO : ∀n:nat. n = n * S O.
 192 #n; //; nqed.
 193
 194 ntheorem times_SSO_n : ∀n:nat. n + n = (S(S O)) * n.
 195 nnormalize; //; nqed.
 196
 197 nlemma times_SSO: \forall n.(S(S O))*(S n) = S(S((S(S O))*n)).
 198 //; nqed.
 199
 200 ntheorem or_eq_eq_S: \forall n.\exists m.
 201 n = (S(S O))*m \lor n = S ((S(S O))*m).
 202 #n; nelim n;
 203   ##[@; /2/;
 204   ##|#a; #H; nelim H; #b;#or;nelim or;#aeq;
 205     ##[@ b; @ 2; //;
 206     ##|@ (S b); @ 1; /2/;
 207     ##]
 208 nqed.
 209 *)
 210
 211 (******************** ordering relations ************************)
 212
 213 ninductive le (n:nat) : nat → Prop ≝
 214   | le_n : le n n
 215   | le_S : ∀ m:nat. le n m → le n (S m).
 216
 217 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (le x y).
 218
 219 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y = (Not (le x y)).
 220
 221 ndefinition lt: nat → nat → Prop ≝
 222 λn,m:nat. S n ≤ m.
 223
 224 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (lt x y).
 225
 226 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y = (Not (lt x y)).
 227
 228 (* nlemma eq_lt: ∀n,m. (n < m) = (S n ≤ m).
 229 //; nqed. *)
 230
 231 ndefinition ge: nat → nat → Prop ≝
 232 λn,m:nat.m ≤ n.
 233
 234 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (ge x y).
 235
 236 ndefinition gt: nat → nat → Prop ≝
 237 λn,m:nat.m<n.
 238
 239 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (gt x y).
 240
 241 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y = (Not (gt x y)).
 242
 243 ntheorem transitive_le : transitive nat le.
 244 #a; #b; #c; #leab; #lebc;nelim lebc;/2/;
 245 nqed.
 246
 247 (*
 248 ntheorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
 249 \def transitive_le. *)
 250
 251
 252 ntheorem transitive_lt: transitive nat lt.
 253 #a; #b; #c; #ltab; #ltbc;nelim ltbc;/2/;nqed.
 254
 255 (*
 256 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
 257 \def transitive_lt. *)
 258
 259 ntheorem le_S_S: ∀n,m:nat. n ≤ m → S n ≤ S m.
 260 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/; nqed.
 261
 262 ntheorem le_O_n : ∀n:nat. O ≤ n.
 263 #n; nelim n; /2/; nqed.
 264
 265 ntheorem le_n_Sn : ∀n:nat. n ≤ S n.
 266 /2/; nqed.
 267
 268 ntheorem le_pred_n : ∀n:nat. pred n ≤ n.
 269 #n; nelim n; //; nqed.
 270
 271 (* XXX global problem
 272 nlemma my_trans_le : ∀x,y,z:nat.x ≤ y → y ≤ z → x ≤ z.
 273 napply transitive_le.
 274 nqed. *)
 275
 276 ntheorem monotonic_pred: monotonic ? le pred.
 277 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/;nqed.
 278
 279 ntheorem le_S_S_to_le: ∀n,m:nat. S n ≤ S m → n ≤ m.
 280 (* XXX *) nletin hint ≝ monotonic.
 281 /2/; nqed.
 282
 283 (* this are instances of the le versions
 284 ntheorem lt_S_S_to_lt: ∀n,m. S n < S m → n < m.
 285 /2/; nqed.
 286
 287 ntheorem lt_to_lt_S_S: ∀n,m. n < m → S n < S m.
 288 /2/; nqed. *)
 289
 290 ntheorem lt_to_not_zero : ∀n,m:nat. n < m → not_zero m.
 291 #n; #m; #Hlt; nelim Hlt;//; nqed.
 292
 293 (* lt vs. le *)
 294 ntheorem not_le_Sn_O: ∀ n:nat. S n ≰ O.
 295 #n; napply nmk; #Hlen0; napply (lt_to_not_zero ?? Hlen0); nqed.
 296
 297 ntheorem not_le_to_not_le_S_S: ∀ n,m:nat. n ≰ m → S n ≰ S m.
 298 /3/; nqed.
 299
 300 ntheorem not_le_S_S_to_not_le: ∀ n,m:nat. S n ≰ S m → n ≰ m.
 301 /3/; nqed.
 302
 303 ntheorem decidable_le: ∀n,m. decidable (n≤m).
 304 napply nat_elim2; #n; /2/;
 305 #m; *; /3/; nqed.
 306
 307 ntheorem decidable_lt: ∀n,m. decidable (n < m).
 308 #n; #m; napply decidable_le ; nqed.
 309
 310 ntheorem not_le_Sn_n: ∀n:nat. S n ≰ n.
 311 #n; nelim n; /2/; nqed.
 312
 313 (* this is le_S_S_to_le
 314 ntheorem lt_S_to_le: ∀n,m:nat. n < S m → n ≤ m.
 315 /2/; nqed.
 316 *)
 317
 318 ntheorem not_le_to_lt: ∀n,m. n ≰ m → m < n.
 319 napply nat_elim2; #n;
 320  ##[#abs; napply False_ind;/2/;
 321  ##|/2/;
 322  ##|#m;#Hind;#HnotleSS; napply le_S_S;/3/;
 323  ##]
 324 nqed.
 325
 326 ntheorem lt_to_not_le: ∀n,m. n < m → m ≰ n.
 327 #n; #m; #Hltnm; nelim Hltnm;/3/; nqed.
 328
 329 ntheorem not_lt_to_le: ∀n,m:nat. n ≮ m → m ≤ n.
 330 /4/; nqed.
 331
 332 (*
 333 #n; #m; #Hnlt; napply le_S_S_to_le;/2/;
 334 (* something strange here: /2/ fails *)
 335 napply not_le_to_lt; napply Hnlt; nqed. *)
 336
 337 ntheorem le_to_not_lt: ∀n,m:nat. n ≤ m → m ≮ n.
 338 #n; #m; #H;napply lt_to_not_le; /2/; (* /3/ *) nqed.
 339
 340 (* lt and le trans *)
 341
 342 ntheorem lt_to_le_to_lt: ∀n,m,p:nat. n < m → m ≤ p → n < p.
 343 #n; #m; #p; #H; #H1; nelim H1; /2/; nqed.
 344
 345 ntheorem le_to_lt_to_lt: ∀n,m,p:nat. n ≤ m → m < p → n < p.
 346 #n; #m; #p; #H; nelim H; /3/; nqed.
 347
 348 ntheorem lt_S_to_lt: ∀n,m. S n < m → n < m.
 349 /2/; nqed.
 350
 351 ntheorem ltn_to_ltO: ∀n,m:nat. n < m → O < m.
 352 /2/; nqed.
 353
 354 (*
 355 theorem lt_SO_n_to_lt_O_pred_n: \forall n:nat.
 356 (S O) \lt n \to O \lt (pred n).
 357 intros.
 358 apply (ltn_to_ltO (pred (S O)) (pred n) ?).
 359  apply (lt_pred (S O) n);
 360  [ apply (lt_O_S O)
 361  | assumption
 362  ]
 363 qed. *)
 364
 365 ntheorem lt_O_n_elim: ∀n:nat. O < n →
 366   ∀P:nat → Prop.(∀m:nat.P (S m)) → P n.
 367 #n; nelim n; //; #abs; napply False_ind;/2/;
 368 nqed.
 369
 370 (*
 371 theorem lt_pred: \forall n,m.
 372   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 373 apply nat_elim2
 374   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 375   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 376   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 377   ]
 378 qed.
 379
 380 theorem S_pred: \forall n:nat.lt O n \to eq nat n (S (pred n)).
 381 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 382 apply eq_f.apply pred_Sn.
 383 qed.
 384
 385 theorem le_pred_to_le:
 386  ∀n,m. O < m → pred n ≤ pred m → n ≤ m.
 387 intros 2;
 388 elim n;
 389 [ apply le_O_n
 390 | simplify in H2;
 391   rewrite > (S_pred m);
 392   [ apply le_S_S;
 393     assumption
 394   | assumption
 395   ]
 396 ].
 397 qed.
 398
 399 *)
 400
 401 (* le to lt or eq *)
 402 ntheorem le_to_or_lt_eq: ∀n,m:nat. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
 403 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /3/; nqed.
 404
 405 (* not eq *)
 406 ntheorem lt_to_not_eq : ∀n,m:nat. n < m → n ≠ m.
 407 #n; #m; #H; napply not_to_not;/2/; nqed.
 408
 409 (*not lt
 410 ntheorem eq_to_not_lt: ∀a,b:nat. a = b → a ≮ b.
 411 intros.
 412 unfold Not.
 413 intros.
 414 rewrite > H in H1.
 415 apply (lt_to_not_eq b b)
 416 [ assumption
 417 | reflexivity
 418 ]
 419 qed.
 420
 421 theorem lt_n_m_to_not_lt_m_Sn: ∀n,m. n < m → m ≮ S n.
 422 intros;
 423 unfold Not;
 424 intro;
 425 unfold lt in H;
 426 unfold lt in H1;
 427 generalize in match (le_S_S ? ? H);
 428 intro;
 429 generalize in match (transitive_le ? ? ? H2 H1);
 430 intro;
 431 apply (not_le_Sn_n ? H3).
 432 qed. *)
 433
 434 ntheorem not_eq_to_le_to_lt: ∀n,m. n≠m → n≤m → n<m.
 435 #n; #m; #Hneq; #Hle; ncases (le_to_or_lt_eq ?? Hle); //;
 436 #Heq; /3/; nqed.
 437 (*
 438 nelim (Hneq Heq); nqed. *)
 439
 440 (* le elimination *)
 441 ntheorem le_n_O_to_eq : ∀n:nat. n ≤ O → O=n.
 442 #n; ncases n; //; #a ; #abs;
 443 napply False_ind; /2/;nqed.
 444
 445 ntheorem le_n_O_elim: ∀n:nat. n ≤ O → ∀P: nat →Prop. P O → P n.
 446 #n; ncases n; //; #a; #abs;
 447 napply False_ind; /2/; nqed.
 448
 449 ntheorem le_n_Sm_elim : ∀n,m:nat.n ≤ S m →
 450 ∀P:Prop. (S n ≤ S m → P) → (n=S m → P) → P.
 451 #n; #m; #Hle; #P; nelim Hle; /3/; nqed.
 452
 453 (* le and eq *)
 454
 455 ntheorem le_to_le_to_eq: ∀n,m. n ≤ m → m ≤ n → n = m.
 456 napply nat_elim2; /4/; nqed.
 457
 458 ntheorem lt_O_S : ∀n:nat. O < S n.
 459 /2/; nqed.
 460
 461 (*
 462 (* other abstract properties *)
 463 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 464 unfold antisymmetric.intros 2.
 465 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 466 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 467 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 468 intros.apply eq_f.apply H.
 469 apply le_S_S_to_le.assumption.
 470 apply le_S_S_to_le.assumption.
 471 qed.
 472
 473 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 474 \def antisymmetric_le.
 475
 476 theorem le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m: ∀n,m. n ≤ m → m < S n → n=m.
 477 intros;
 478 unfold lt in H1;
 479 generalize in match (le_S_S_to_le ? ? H1);
 480 intro;
 481 apply antisym_le;
 482 assumption.
 483 qed.
 484 *)
 485
 486 (* well founded induction principles *)
 487
 488 ntheorem nat_elim1 : ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
 489 (∀m.(∀p. p < m → P p) → P m) → P n.
 490 #n; #P; #H;
 491 ncut (∀q:nat. q ≤ n → P q);/2/;
 492 nelim n;
 493  ##[#q; #HleO; (* applica male *)
 494     napply (le_n_O_elim ? HleO);
 495     napply H; #p; #ltpO;
 496     napply False_ind; /2/; (* 3 *)
 497  ##|#p; #Hind; #q; #HleS;
 498     napply H; #a; #lta; napply Hind;
 499     napply le_S_S_to_le;/2/;
 500  ##]
 501 nqed.
 502
 503 (* some properties of functions *)
 504 (*
 505 definition increasing \def \lambda f:nat \to nat.
 506 \forall n:nat. f n < f (S n).
 507
 508 theorem increasing_to_monotonic: \forall f:nat \to nat.
 509 increasing f \to monotonic nat lt f.
 510 unfold monotonic.unfold lt.unfold increasing.unfold lt.intros.elim H1.apply H.
 511 apply (trans_le ? (f n1)).
 512 assumption.apply (trans_le ? (S (f n1))).
 513 apply le_n_Sn.
 514 apply H.
 515 qed.
 516
 517 theorem le_n_fn: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 518 \to \forall n:nat. n \le (f n).
 519 intros.elim n.
 520 apply le_O_n.
 521 apply (trans_le ? (S (f n1))).
 522 apply le_S_S.apply H1.
 523 simplify in H. unfold increasing in H.unfold lt in H.apply H.
 524 qed.
 525
 526 theorem increasing_to_le: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 527 \to \forall m:nat. \exists i. m \le (f i).
 528 intros.elim m.
 529 apply (ex_intro ? ? O).apply le_O_n.
 530 elim H1.
 531 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 532 apply (trans_le ? (S (f a))).
 533 apply le_S_S.assumption.
 534 simplify in H.unfold increasing in H.unfold lt in H.
 535 apply H.
 536 qed.
 537
 538 theorem increasing_to_le2: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 539 \to \forall m:nat. (f O) \le m \to
 540 \exists i. (f i) \le m \land m <(f (S i)).
 541 intros.elim H1.
 542 apply (ex_intro ? ? O).
 543 split.apply le_n.apply H.
 544 elim H3.elim H4.
 545 cut ((S n1) < (f (S a)) \lor (S n1) = (f (S a))).
 546 elim Hcut.
 547 apply (ex_intro ? ? a).
 548 split.apply le_S. assumption.assumption.
 549 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 550 split.rewrite < H7.apply le_n.
 551 rewrite > H7.
 552 apply H.
 553 apply le_to_or_lt_eq.apply H6.
 554 qed.
 555 *)
 556
 557 (*********************** monotonicity ***************************)
 558 ntheorem monotonic_le_plus_r:
 559 ∀n:nat.monotonic nat le (λm.n + m).
 560 #n; #a; #b; nelim n; nnormalize; //;
 561 #m; #H; #leab;napply le_S_S; /2/; nqed.
 562
 563 (*
 564 ntheorem le_plus_r: ∀p,n,m:nat. n ≤ m → p + n ≤ p + m
 565 ≝ monotonic_le_plus_r. *)
 566
 567 ntheorem monotonic_le_plus_l:
 568 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n + m).
 569 #m; #x; #y; #H; napplyS monotonic_le_plus_r;
 570 /2/; nqed.
 571
 572 (*
 573 ntheorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
 574 \def monotonic_le_plus_l. *)
 575
 576 ntheorem le_plus: ∀n1,n2,m1,m2:nat. n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2
 577 → n1 + m1 ≤ n2 + m2.
 578 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem; napply (transitive_le ? (n1+m2));
 579 /2/; nqed.
 580
 581 ntheorem le_plus_n :∀n,m:nat. m ≤ n + m.
 582 /2/; nqed.
 583
 584 nlemma le_plus_a: ∀a,n,m. n ≤ m → n ≤ a + m.
 585 /2/; nqed.
 586
 587 nlemma le_plus_b: ∀b,n,m. n + b ≤ m → n ≤ m.
 588 /2/; nqed.
 589
 590 ntheorem le_plus_n_r :∀n,m:nat. m ≤ m + n.
 591 /2/; nqed.
 592
 593 ntheorem eq_plus_to_le: ∀n,m,p:nat.n=m+p → m ≤ n.
 594 //; nqed.
 595
 596 ntheorem le_plus_to_le: ∀a,n,m. a + n ≤ a + m → n ≤ m.
 597 #a; nelim a; nnormalize; /3/; nqed.
 598
 599 ntheorem le_plus_to_le_r: ∀a,n,m. n + a ≤ m +a → n ≤ m.
 600 /2/; nqed.
 601
 602 (* plus & lt *)
 603
 604 ntheorem monotonic_lt_plus_r:
 605 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.n+m).
 606 /2/; nqed.
 607
 608 (*
 609 variant lt_plus_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to n + p < n + q \def
 610 monotonic_lt_plus_r. *)
 611
 612 ntheorem monotonic_lt_plus_l:
 613 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.m+n).
 614 /2/; nqed.
 615
 616 (*
 617 variant lt_plus_l: \forall n,p,q:nat. p < q \to p + n < q + n \def
 618 monotonic_lt_plus_l. *)
 619
 620 ntheorem lt_plus: ∀n,m,p,q:nat. n < m → p < q → n + p < m + q.
 621 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #ltpq;
 622 napply (transitive_lt ? (n+q));/2/; nqed.
 623
 624 ntheorem lt_plus_to_lt_l :∀n,p,q:nat. p+n < q+n → p<q.
 625 /2/; nqed.
 626
 627 ntheorem lt_plus_to_lt_r :∀n,p,q:nat. n+p < n+q → p<q.
 628 /2/; nqed.
 629
 630 (*
 631 ntheorem le_to_lt_to_lt_plus: ∀a,b,c,d:nat.
 632 a ≤ c → b < d → a + b < c+d.
 633 (* bello /2/ un po' lento *)
 634 #a; #b; #c; #d; #leac; #lebd;
 635 nnormalize; napplyS le_plus; //; nqed.
 636 *)
 637
 638 (* times *)
 639 ntheorem monotonic_le_times_r:
 640 ∀n:nat.monotonic nat le (λm. n * m).
 641 #n; #x; #y; #lexy; nelim n; nnormalize;//;(* lento /2/;*)
 642 #a; #lea; napply le_plus; //;
 643 nqed.
 644
 645 (*
 646 ntheorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
 647 \def monotonic_le_times_r. *)
 648
 649 (*
 650 ntheorem monotonic_le_times_l:
 651 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n*m).
 652 /2/; nqed.
 653 *)
 654
 655 (*
 656 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
 657 \def monotonic_le_times_l. *)
 658
 659 ntheorem le_times: ∀n1,n2,m1,m2:nat.
 660 n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2 → n1*m1 ≤ n2*m2.
 661 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem;
 662 napply (transitive_le ? (n1*m2)); (* /2/ slow *)
 663  ##[ napply monotonic_le_times_r;//;
 664  ##| napplyS monotonic_le_times_r;//;
 665  ##]
 666 nqed.
 667
 668 (* interesssante *)
 669 ntheorem lt_times_n: ∀n,m:nat. O < n → m ≤ n*m.
 670 #n; #m; #H; /2/; nqed.
 671
 672 ntheorem le_times_to_le:
 673 ∀a,n,m. O < a → a * n ≤ a * m → n ≤ m.
 674 #a; napply nat_elim2; nnormalize;
 675   ##[//;
 676   ##|#n; #H1; #H2;
 677      napply (transitive_le ? (a*S n));/2/;
 678   ##|#n; #m; #H; #lta; #le;
 679      napply le_S_S; napply H; /2/;
 680   ##]
 681 nqed.
 682
 683 ntheorem le_S_times_2: ∀n,m.O < m → n ≤ m → S n ≤ 2*m.
 684 #n; #m; #posm; #lenm;  (* interessante *)
 685 napplyS (le_plus n m); //; nqed.
 686
 687 (* times & lt *)
 688 (*
 689 ntheorem lt_O_times_S_S: ∀n,m:nat.O < (S n)*(S m).
 690 intros.simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 691 qed. *)
 692
 693 (*
 694 ntheorem lt_times_eq_O: \forall a,b:nat.
 695 O < a → a * b = O → b = O.
 696 intros.
 697 apply (nat_case1 b)
 698 [ intros.
 699   reflexivity
 700 | intros.
 701   rewrite > H2 in H1.
 702   rewrite > (S_pred a) in H1
 703   [ apply False_ind.
 704     apply (eq_to_not_lt O ((S (pred a))*(S m)))
 705     [ apply sym_eq.
 706       assumption
 707     | apply lt_O_times_S_S
 708     ]
 709   | assumption
 710   ]
 711 ]
 712 qed.
 713
 714 theorem O_lt_times_to_O_lt: \forall a,c:nat.
 715 O \lt (a * c) \to O \lt a.
 716 intros.
 717 apply (nat_case1 a)
 718 [ intros.
 719   rewrite > H1 in H.
 720   simplify in H.
 721   assumption
 722 | intros.
 723   apply lt_O_S
 724 ]
 725 qed.
 726
 727 lemma lt_times_to_lt_O: \forall i,n,m:nat. i < n*m \to O < m.
 728 intros.
 729 elim (le_to_or_lt_eq O ? (le_O_n m))
 730   [assumption
 731   |apply False_ind.
 732    rewrite < H1 in H.
 733    rewrite < times_n_O in H.
 734    apply (not_le_Sn_O ? H)
 735   ]
 736 qed. *)
 737
 738 (*
 739 ntheorem monotonic_lt_times_r:
 740 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.(S n)*m).
 741 /2/;
 742 simplify.
 743 intros.elim n.
 744 simplify.rewrite < plus_n_O.rewrite < plus_n_O.assumption.
 745 apply lt_plus.assumption.assumption.
 746 qed. *)
 747
 748 ntheorem monotonic_lt_times_l:
 749   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(t*c)).
 750 #c; #posc; #n; #m; #ltnm;
 751 nelim ltnm; nnormalize;
 752   ##[/2/;
 753   ##|#a; #_; #lt1; napply (transitive_le ??? lt1);//;
 754   ##]
 755 nqed.
 756
 757 ntheorem monotonic_lt_times_r:
 758   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(c*t)).
 759 /2/; nqed.
 760
 761 ntheorem lt_to_le_to_lt_times:
 762 ∀n,m,p,q:nat. n < m → p ≤ q → O < q → n*p < m*q.
 763 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #lepq; #posq;
 764 napply (le_to_lt_to_lt ? (n*q));
 765   ##[napply monotonic_le_times_r;//;
 766   ##|napply monotonic_lt_times_l;//;
 767   ##]
 768 nqed.
 769
 770 ntheorem lt_times:∀n,m,p,q:nat. n<m → p<q → n*p < m*q.
 771 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #ltpq;
 772 napply lt_to_le_to_lt_times;/2/;
 773 nqed.
 774
 775 ntheorem lt_times_n_to_lt_l:
 776 ∀n,p,q:nat. p*n < q*n → p < q.
 777 #n; #p; #q; #Hlt;
 778 nelim (decidable_lt p q);//;
 779 #nltpq; napply False_ind;
 780 napply (absurd ? ? (lt_to_not_le ? ? Hlt));
 781 napplyS monotonic_le_times_r;/2/;
 782 nqed.
 783
 784 ntheorem lt_times_n_to_lt_r:
 785 ∀n,p,q:nat. n*p < n*q → p < q.
 786 /2/; nqed.
 787
 788 (*
 789 theorem nat_compare_times_l : \forall n,p,q:nat.
 790 nat_compare p q = nat_compare ((S n) * p) ((S n) * q).
 791 intros.apply nat_compare_elim.intro.
 792 apply nat_compare_elim.
 793 intro.reflexivity.
 794 intro.absurd (p=q).
 795 apply (inj_times_r n).assumption.
 796 apply lt_to_not_eq. assumption.
 797 intro.absurd (q<p).
 798 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 799 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 800 intro.rewrite < H.rewrite > nat_compare_n_n.reflexivity.
 801 intro.apply nat_compare_elim.intro.
 802 absurd (p<q).
 803 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 804 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 805 intro.absurd (q=p).
 806 symmetry.
 807 apply (inj_times_r n).assumption.
 808 apply lt_to_not_eq.assumption.
 809 intro.reflexivity.
 810 qed. *)
 811
 812 (* times and plus
 813 theorem lt_times_plus_times: \forall a,b,n,m:nat.
 814 a < n \to b < m \to a*m + b < n*m.
 815 intros 3.
 816 apply (nat_case n)
 817   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 818   |intros.simplify.
 819    rewrite < sym_plus.
 820    unfold.
 821    change with (S b+a*m1 \leq m1+m*m1).
 822    apply le_plus
 823     [assumption
 824     |apply le_times
 825       [apply le_S_S_to_le.assumption
 826       |apply le_n
 827       ]
 828     ]
 829   ]
 830 qed. *)
 831
 832 (************************** minus ******************************)
 833
 834 nlet rec minus n m ≝
 835  match n with
 836  [ O ⇒ O
 837  | S p ⇒
 838         match m with
 839           [ O ⇒ S p
 840     | S q ⇒ minus p q ]].
 841
 842 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
 843
 844 ntheorem minus_S_S: ∀n,m:nat.S n - S m = n -m.
 845 //; nqed.
 846
 847 ntheorem minus_O_n: ∀n:nat.O=O-n.
 848 #n; ncases n; //; nqed.
 849
 850 ntheorem minus_n_O: ∀n:nat.n=n-O.
 851 #n; ncases n; //; nqed.
 852
 853 ntheorem minus_n_n: ∀n:nat.O=n-n.
 854 #n; nelim n; //; nqed.
 855
 856 ntheorem minus_Sn_n: ∀n:nat. S O = (S n)-n.
 857 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 858
 859 ntheorem minus_Sn_m: ∀m,n:nat. m ≤ n → S n -m = S (n-m).
 860 (* qualcosa da capire qui
 861 #n; #m; #lenm; nelim lenm; napplyS refl_eq. *)
 862 napply nat_elim2;
 863   ##[//
 864   ##|#n; #abs; napply False_ind; /2/
 865   ##|#n; #m; #Hind; #c; napplyS Hind; /2/;
 866   ##]
 867 nqed.
 868
 869 ntheorem not_eq_to_le_to_le_minus:
 870   ∀n,m.n ≠ m → n ≤ m → n ≤ m - 1.
 871 #n; #m; ncases m;//; #m; nnormalize;
 872 #H; #H1; napply le_S_S_to_le;
 873 napplyS (not_eq_to_le_to_lt n (S m) H H1);
 874 nqed.
 875
 876 ntheorem eq_minus_S_pred: ∀n,m. n - (S m) = pred(n -m).
 877 napply nat_elim2; nnormalize; //; nqed.
 878
 879 ntheorem plus_minus:
 880 ∀m,n,p:nat. m ≤ n → (n-m)+p = (n+p)-m.
 881 napply nat_elim2;
 882   ##[//
 883   ##|#n; #p; #abs; napply False_ind; /2/;
 884   ##|nnormalize;/3/;
 885   ##]
 886 nqed.
 887
 888 ntheorem minus_plus_m_m: ∀n,m:nat.n = (n+m)-m.
 889 #n; #m; napplyS (plus_minus m m n); //; nqed.
 890
 891 ntheorem plus_minus_m_m: ∀n,m:nat.
 892   m ≤ n → n = (n-m)+m.
 893 #n; #m; #lemn; napplyS symmetric_eq;
 894 napplyS (plus_minus m n m); //; nqed.
 895
 896 ntheorem le_plus_minus_m_m: ∀n,m:nat. n ≤ (n-m)+m.
 897 #n; nelim n;
 898   ##[//
 899   ##|#a; #Hind; #m; ncases m;//;
 900      nnormalize; #n;/2/;
 901   ##]
 902 nqed.
 903
 904 ntheorem minus_to_plus :∀n,m,p:nat.
 905   m ≤ n → n-m = p → n = m+p.
 906 #n; #m; #p; #lemn; #eqp; napplyS plus_minus_m_m; //;
 907 nqed.
 908
 909 ntheorem plus_to_minus :∀n,m,p:nat.n = m+p → n-m = p.
 910 (* /4/ done in 43.5 *)
 911 #n; #m; #p; #eqp;
 912 napply symmetric_eq;
 913 napplyS (minus_plus_m_m p m);
 914 nqed.
 915
 916 ntheorem minus_pred_pred : ∀n,m:nat. O < n → O < m →
 917 pred n - pred m = n - m.
 918 #n; #m; #posn; #posm;
 919 napply (lt_O_n_elim n posn);
 920 napply (lt_O_n_elim m posm);//.
 921 nqed.
 922
 923 (*
 924 theorem eq_minus_n_m_O: \forall n,m:nat.
 925 n \leq m \to n-m = O.
 926 intros 2.
 927 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.n \leq m \to n-m = O)).
 928 intros.simplify.reflexivity.
 929 intros.apply False_ind.
 930 apply not_le_Sn_O;
 931 [2: apply H | skip].
 932 intros.
 933 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le. apply H1.
 934 qed.
 935
 936 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 937 intros.elim H.elim (minus_Sn_n n).apply le_n.
 938 rewrite > minus_Sn_m.
 939 apply le_S.assumption.
 940 apply lt_to_le.assumption.
 941 qed.
 942
 943 theorem minus_le_S_minus_S: \forall n,m:nat. m-n \leq S (m-(S n)).
 944 intros.
 945 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m-n \leq S (m-(S n)))).
 946 intro.elim n1.simplify.apply le_n_Sn.
 947 simplify.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 948 intros.simplify.apply le_n_Sn.
 949 intros.simplify.apply H.
 950 qed.
 951
 952 theorem lt_minus_S_n_to_le_minus_n : \forall n,m,p:nat. m-(S n) < p \to m-n \leq p.
 953 intros 3.intro.
 954 (* autobatch *)
 955 (* end auto($Revision: 9739 $) proof: TIME=1.33 SIZE=100 DEPTH=100 *)
 956 apply (trans_le (m-n) (S (m-(S n))) p).
 957 apply minus_le_S_minus_S.
 958 assumption.
 959 qed.
 960
 961 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 962 intros.apply (nat_elim2 (\lambda m,n. n-m \leq n)).
 963 intros.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 964 intros.simplify.apply le_n.
 965 intros.simplify.apply le_S.assumption.
 966 qed.
 967
 968 theorem lt_minus_m: \forall n,m:nat. O < n \to O < m \to n-m \lt n.
 969 intros.apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 970 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 971 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_minus_m.
 972 qed.
 973
 974 theorem minus_le_O_to_le: \forall n,m:nat. n-m \leq O \to n \leq m.
 975 intros 2.
 976 apply (nat_elim2 (\lambda n,m:nat.n-m \leq O \to n \leq m)).
 977 intros.apply le_O_n.
 978 simplify.intros. assumption.
 979 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.assumption.
 980 qed.
 981 *)
 982
 983 (* monotonicity and galois *)
 984
 985 ntheorem monotonic_le_minus_l:
 986 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → q-n ≤ p-n.
 987 napply nat_elim2; #p; #q;
 988   ##[#lePO; napply (le_n_O_elim ? lePO);//;
 989   ##|//;
 990   ##|#Hind; #n; ncases n;
 991     ##[//;
 992     ##|#a; #leSS; napply Hind; /2/;
 993     ##]
 994   ##]
 995 nqed.
 996
 997 ntheorem le_minus_to_plus: ∀n,m,p. n-m ≤ p → n≤ p+m.
 998 #n; #m; #p; #lep;
 999 napply transitive_le;
1000   ##[##|napply le_plus_minus_m_m
1001   ##|napply monotonic_le_plus_l;//;
1002   ##]
1003 nqed.
1004
1005 ntheorem le_plus_to_minus: ∀n,m,p. n ≤ p+m → n-m ≤ p.
1006 #n; #m; #p; #lep;
1007 (* bello *)
1008 napplyS monotonic_le_minus_l;//;
1009 (* /2/; *)
1010 nqed.
1011
1012 ntheorem monotonic_le_minus_r:
1013 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → n-p ≤ n-q.
1014 #p; #q; #n; #lepq;
1015 napply le_plus_to_minus;
1016 napply (transitive_le ??? (le_plus_minus_m_m ? q));/2/;
1017 nqed.
1018
1019 (*********************** boolean arithmetics ********************)
1020 include "basics/bool.ma".
1021
1022 nlet rec eqb n m ≝
1023 match n with
1024   [ O ⇒ match m with [ O ⇒ true | S q ⇒ false]
1025   | S p ⇒ match m with [ O ⇒ false | S q ⇒ eqb p q]
1026   ].
1027
1028 (*
1029 ntheorem eqb_to_Prop: ∀n,m:nat.
1030 match (eqb n m) with
1031 [ true  \Rightarrow n = m
1032 | false \Rightarrow n \neq m].
1033 intros.
1034 apply (nat_elim2
1035 (\lambda n,m:nat.match (eqb n m) with
1036 [ true  \Rightarrow n = m
1037 | false \Rightarrow n \neq m])).
1038 intro.elim n1.
1039 simplify.reflexivity.
1040 simplify.apply not_eq_O_S.
1041 intro.
1042 simplify.unfold Not.
1043 intro. apply (not_eq_O_S n1).apply sym_eq.assumption.
1044 intros.simplify.
1045 generalize in match H.
1046 elim ((eqb n1 m1)).
1047 simplify.apply eq_f.apply H1.
1048 simplify.unfold Not.intro.apply H1.apply inj_S.assumption.
1049 qed.
1050 *)
1051
1052 naxiom eqb_elim : ∀ n,m:nat.∀ P:bool → Prop.
1053 (n=m → (P true)) → (n ≠ m → (P false)) → (P (eqb n m)).
1054 (*
1055 napply nat_elim2;
1056   ##[#n; ncases n; nnormalize; /3/;
1057   ##|nnormalize; /3/;
1058   ##|nnormalize; /4/;
1059   ##]
1060 nqed.*)
1061
1062 ntheorem eqb_n_n: ∀n. eqb n n = true.
1063 #n; nelim n; nnormalize; //.
1064 nqed.
1065
1066 ntheorem eqb_true_to_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = true → n = m.
1067 #n; #m; napply (eqb_elim n m);//;
1068 #_; #abs; napply False_ind; /2/;
1069 nqed.
1070
1071 ntheorem eqb_false_to_not_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = false → n ≠ m.
1072 #n; #m; napply (eqb_elim n m);/2/;
1073 nqed.
1074
1075 ntheorem eq_to_eqb_true: ∀n,m:nat.
1076   n = m → eqb n m = true.
1077 //; nqed.
1078
1079 ntheorem not_eq_to_eqb_false: ∀n,m:nat.
1080   n ≠  m → eqb n m = false.
1081 #n; #m; #noteq;
1082 napply eqb_elim;//;
1083 #Heq; napply False_ind; /2/;
1084 nqed.
1085
1086 nlet rec leb n m ≝
1087 match n with
1088     [ O ⇒ true
1089     | (S p) ⇒
1090         match m with
1091         [ O ⇒ false
1092               | (S q) ⇒ leb p q]].
1093
1094 ntheorem leb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1095 (n ≤ m → P true) → (n ≰ m → P false) → P (leb n m).
1096 napply nat_elim2; nnormalize;
1097   ##[/2/
1098   ##|/3/;
1099   ##|#n; #m; #Hind; #P; #Pt; #Pf; napply Hind;
1100     ##[#lenm; napply Pt; napply le_S_S;//;
1101     ##|#nlenm; napply Pf; /2/;
1102     ##]
1103   ##]
1104 nqed.
1105
1106 ntheorem leb_true_to_le:∀n,m.leb n m = true → n ≤ m.
1107 #n; #m; napply leb_elim;
1108   ##[//;
1109   ##|#_; #abs; napply False_ind; /2/;
1110   ##]
1111 nqed.
1112
1113 ntheorem leb_false_to_not_le:∀n,m.
1114   leb n m = false → n ≰ m.
1115 #n; #m; napply leb_elim;
1116   ##[#_; #abs; napply False_ind; /2/;
1117   ##|//;
1118   ##]
1119 nqed.
1120
1121 ntheorem le_to_leb_true: ∀n,m. n ≤ m → leb n m = true.
1122 #n; #m; napply leb_elim; //;
1123 #H; #H1; napply False_ind; /2/;
1124 nqed.
1125
1126 ntheorem not_le_to_leb_false: ∀n,m. n ≰ m → leb n m = false.
1127 #n; #m; napply leb_elim; //;
1128 #H; #H1; napply False_ind; /2/;
1129 nqed.
1130
1131 ntheorem lt_to_leb_false: ∀n,m. m < n → leb n m = false.
1132 /3/; nqed.
1133
1134 (* serve anche ltb?
1135 ndefinition ltb ≝λn,m. leb (S n) m.
1136
1137 ntheorem ltb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1138 (n < m → P true) → (n ≮ m → P false) → P (ltb n m).
1139 #n; #m; #P; #Hlt; #Hnlt;
1140 napply leb_elim; /3/; nqed.
1141
1142 ntheorem ltb_true_to_lt:∀n,m.ltb n m = true → n < m.
1143 #n; #m; #Hltb; napply leb_true_to_le; nassumption;
1144 nqed.
1145
1146 ntheorem ltb_false_to_not_lt:∀n,m.
1147   ltb n m = false → n ≮ m.
1148 #n; #m; #Hltb; napply leb_false_to_not_le; nassumption;
1149 nqed.
1150
1151 ntheorem lt_to_ltb_true: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
1152 #n; #m; #Hltb; napply le_to_leb_true; nassumption;
1153 nqed.
1154
1155 ntheorem le_to_ltb_false: ∀n,m. m \le n → ltb n m = false.
1156 #n; #m; #Hltb; napply lt_to_leb_false; /2/;
1157 nqed. *)
1158
1159 ninductive compare : Type[0] ≝
1160 | LT : compare
1161 | EQ : compare
1162 | GT : compare.
1163
1164 ndefinition compare_invert: compare → compare ≝
1165   λc.match c with
1166       [ LT ⇒ GT
1167       | EQ ⇒ EQ
1168       | GT ⇒ LT ].
1169
1170 nlet rec nat_compare n m: compare ≝
1171 match n with
1172 [ O ⇒ match m with
1173       [ O ⇒ EQ
1174       | (S q) ⇒ LT ]
1175 | S p ⇒ match m with
1176       [ O ⇒ GT
1177       | S q ⇒ nat_compare p q]].
1178
1179 ntheorem nat_compare_n_n: ∀n. nat_compare n n = EQ.
1180 #n;nelim n
1181 ##[//
1182 ##|#m;#IH;nnormalize;//]
1183 nqed.
1184
1185 ntheorem nat_compare_S_S: ∀n,m:nat.nat_compare n m = nat_compare (S n) (S m).
1186 //;
1187 nqed.
1188
1189 ntheorem nat_compare_pred_pred:
1190   ∀n,m.O < n → O < m → nat_compare n m = nat_compare (pred n) (pred m).
1191 #n;#m;#Hn;#Hm;
1192 napply (lt_O_n_elim n Hn);
1193 napply (lt_O_n_elim m Hm);
1194 #p;#q;//;
1195 nqed.
1196
1197 ntheorem nat_compare_to_Prop:
1198   ∀n,m.match (nat_compare n m) with
1199     [ LT ⇒ n < m
1200     | EQ ⇒ n = m
1201     | GT ⇒ m < n ].
1202 #n;#m;
1203 napply (nat_elim2 (λn,m.match (nat_compare n m) with
1204   [ LT ⇒ n < m
1205   | EQ ⇒ n = m
1206   | GT ⇒ m < n ]) ?????) (* FIXME: don't want to put all these ?, especially when … does not work! *)
1207 ##[##1,2:#n1;ncases n1;//;
1208 ##|#n1;#m1;nnormalize;ncases (nat_compare n1 m1);
1209    ##[##1,3:nnormalize;#IH;napply le_S_S;//;
1210    ##|nnormalize;#IH;nrewrite > IH;//]
1211 nqed.
1212
1213 ntheorem nat_compare_n_m_m_n:
1214   ∀n,m:nat.nat_compare n m = compare_invert (nat_compare m n).
1215 #n;#m;
1216 napply (nat_elim2 (λn,m. nat_compare n m = compare_invert (nat_compare m n)))
1217 ##[##1,2:#n1;ncases n1;//;
1218 ##|#n1;#m1;#IH;nnormalize;napply IH]
1219 nqed.
1220
1221 ntheorem nat_compare_elim :
1222   ∀n,m. ∀P:compare → Prop.
1223     (n < m → P LT) → (n=m → P EQ) → (m < n → P GT) → P (nat_compare n m).
1224 #n;#m;#P;#Hlt;#Heq;#Hgt;
1225 ncut (match (nat_compare n m) with
1226     [ LT ⇒ n < m
1227     | EQ ⇒ n=m
1228     | GT ⇒ m < n] →
1229   P (nat_compare n m))
1230 ##[ncases (nat_compare n m);
1231    ##[napply Hlt
1232    ##|napply Heq
1233    ##|napply Hgt]
1234 ##|#Hcut;napply Hcut;//;
1235 nqed.
1236
1237 ninductive cmp_cases (n,m:nat) : CProp[0] ≝
1238   | cmp_le : n ≤ m → cmp_cases n m
1239   | cmp_gt : m < n → cmp_cases n m.
1240
1241 ntheorem lt_to_le : ∀n,m:nat. n < m → n ≤ m.
1242 #n;#m;#H;nelim H
1243 ##[//
1244 ##|/2/]
1245 nqed.
1246
1247 nlemma cmp_nat: ∀n,m.cmp_cases n m.
1248 #n;#m; nlapply (nat_compare_to_Prop n m);
1249 ncases (nat_compare n m);#H
1250 ##[@;napply lt_to_le;//
1251 ##|@;//
1252 ##|@2;//]
1253 nqed.