helm/software/matita/nlibrary/nat/order.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat/nat.ma".
  16
  17 ninductive le (n: nat) : nat → CProp[0] ≝
  18    le_n: le n n
  19  | le_S: ∀m. le n m → le n (S m).
  20
  21 ndefinition lt ≝ λn,m. le (S n) m.
  22
  23 nlemma le_O_n: ∀n. le O n.
  24  #n; nelim n [ napply le_n | #n'; #H; napply le_S; nassumption ]
  25 nqed.
  26
  27 (* needs decompose *)
  28 naxiom le_S_S: ∀n,m. le n m → le (S n) (S m).
  29 naxiom le_S_S_to_le: ∀n,m. le (S n) (S m) → le n m.
  30 naxiom lt_Sn_m: ∀n,m. lt (S n) m → lt n m.
  31
  32 nlemma lt_O_Sn: ∀n. lt O (S n).
  33  #n; napply le_S_S; napply le_O_n.
  34 nqed.