helm/software/matita/nlibrary/re/re-setoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/pairs.ma".
  16 include "datatypes/bool.ma".
  17 include "sets/sets.ma".
  18
  19 ninductive Admit : CProp[0] ≝ .
  20 naxiom admit : Admit.
  21
  22 ninductive list (A:Type[0]) : Type[0] ≝
  23   | nil: list A
  24   | cons: A -> list A -> list A.
  25
  26 nlet rec eq_list (A : setoid) (l1, l2 : list A) on l1 : CProp[0] ≝
  27 match l1 with
  28 [ nil ⇒ match l2 return λ_.CProp[0] with [ nil ⇒ True | _ ⇒ False ]
  29 | cons x xs ⇒ match l2 with [ nil ⇒ False | cons y ys ⇒ x = y ∧ eq_list ? xs ys]].
  30
  31 ndefinition LIST : setoid → setoid.
  32 #S; @(list S); @(eq_list S); ncases admit; nqed.
  33
  34 unification hint 0 ≔ S : setoid;
  35   P1 ≟ refl ? (eq0 (LIST S)),
  36   P2 ≟ sym ? (eq0 (LIST S)),
  37   P3 ≟ trans ? (eq0 (LIST S)),
  38   X ≟ mk_setoid (list S) (mk_equivalence_relation ? (eq_list S) P1 P2 P3),
  39   T ≟ carr S
  40 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
  41      carr X ≡ list T.
  42
  43 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  44   right associative with precedence 47
  45   for @{'cons $hd $tl}.
  46
  47 notation "[ list0 x sep ; ]"
  48   non associative with precedence 90
  49   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  50
  51 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  52   right associative with precedence 47
  53   for @{'append $l1 $l2 }.
  54
  55 interpretation "nil" 'nil = (nil ?).
  56 interpretation "cons" 'cons hd tl = (cons ? hd tl).
  57
  58 nlet rec append A (l1: list A) l2 on l1 ≝
  59   match l1 with
  60   [ nil ⇒ l2
  61   | cons hd tl ⇒ hd :: append A tl l2 ].
  62
  63 interpretation "append" 'append l1 l2 = (append ? l1 l2).
  64
  65 ntheorem append_nil: ∀A:setoid.∀l:list A.l @ [] = l.
  66 #A;#l;nelim l;//; #a;#l1;#IH;nnormalize;/2/;nqed.
  67
  68 ndefinition associative ≝ λA:setoid.λf:A → A → A.∀x,y,z.f x (f y z) = f (f x y) z.
  69
  70 ninductive one : Type[0] ≝ unit : one.
  71
  72 ndefinition force ≝
  73   λS:Type[2].λs:S.λT:Type[2].λt:T.λlock:one.
  74     match lock return λ_.Type[2] with [ unit ⇒ T].
  75
  76 nlet rec lift (S:Type[2]) (s:S) (T:Type[2]) (t:T) (lock:one) on lock : force S s T t lock ≝
  77  match lock return λlock.force S s T t lock with [ unit ⇒ t ].
  78
  79 ncoercion lift1 : ∀S:Type[1].∀s:S.∀T:Type[1].∀t:T.∀lock:one. force S s T t lock ≝ lift
  80  on s : ? to force ?????.
  81
  82 ncoercion lift2 : ∀S:Type[2].∀s:S.∀T:Type[2].∀t:T.∀lock:one. force S s T t lock ≝ lift
  83  on s : ? to force ?????.
  84
  85 unification hint 0 ≔ R : setoid;
  86    TR ≟ setoid, MR ≟ (carr R), lock ≟ unit
  87 (* ---------------------------------------- *) ⊢
  88    setoid ≡ force ?(*Type[0]*) MR TR R lock.
  89
  90 unification hint 0 ≔ R : setoid1;
  91    TR ≟ setoid1, MR ≟ (carr1 R), lock ≟ unit
  92 (* ---------------------------------------- *) ⊢
  93    setoid1 ≡ force ? MR TR R lock.
  94
  95 ntheorem associative_append: ∀A:setoid.associative (list A) (append A).
  96 #A;#x;#y;#z;nelim x[//|#a;#x1;#H;nnormalize;/2/]nqed.
  97
  98 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
  99
 100 ninductive eq (A:Type[0]) (x:A) : A → CProp[0] ≝ refl: eq A x x.
 101
 102 nlemma eq_rect_Type0_r':
 103  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → P x p.
 104  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 105 nqed.
 106
 107 nlemma eq_rect_Type0_r:
 108  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
 109  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_Type0_r' ??? p0); nassumption.
 110 nqed.
 111
 112 nlemma eq_rect_CProp0_r':
 113  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 114  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 115 nqed.
 116
 117 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 118  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
 119  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_CProp0_r' ??? p0); nassumption.
 120 nqed.
 121
 122 notation < "a = b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqpp $a $b}.
 123 interpretation "bool eq" 'eqpp a b = (eq bool a b).
 124
 125 ndefinition BOOL : setoid.
 126 @bool; @(eq bool); ncases admit.nqed.
 127
 128 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 129 alias id "refl" = "cic:/matita/ng/properties/relations/refl.fix(0,1,3)".
 130 unification hint 0 ≔ ;
 131   P1 ≟ refl ? (eq0 BOOL),
 132   P2 ≟ sym ? (eq0 BOOL),
 133   P3 ≟ trans ? (eq0 BOOL),
 134   X ≟ mk_setoid bool (mk_equivalence_relation ? (eq bool) P1 P2 P3)
 135 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 136      carr X ≡ bool.
 137
 138 nrecord Alpha : Type[1] ≝ {
 139    acarr :> setoid;
 140    eqb: acarr → acarr → bool;
 141    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) = (x = y)
 142 }.
 143
 144 notation "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqb $a $b }.
 145 interpretation "eqb" 'eqb a b = (eqb ? a b).
 146
 147 ninductive re (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 148    z: re S
 149  | e: re S
 150  | s: S → re S
 151  | c: re S → re S → re S
 152  | o: re S → re S → re S
 153  | k: re S → re S.
 154
 155 naxiom eq_re : ∀S:Alpha.re S → re S → CProp[0].
 156 ndefinition RE : Alpha → setoid.
 157 #A; @(re A); @(eq_re A); ncases admit. nqed.
 158
 159 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 160 alias id "carr" = "cic:/matita/ng/sets/setoids/carr.fix(0,0,1)".
 161 unification hint 0 ≔ A : Alpha;
 162   P1 ≟ refl ? (eq0 (RE A)),
 163   P2 ≟ sym ? (eq0 (RE A)),
 164   P3 ≟ trans ? (eq0 (RE A)),
 165   X ≟ mk_setoid (re A) (mk_equivalence_relation ? (eq_re A) P1 P2 P3),
 166   T ≟ acarr A
 167 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 168      carr X ≡ (re T).
 169
 170 notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 171 notation > "a ^ *" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 172 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
 173 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
 174
 175 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
 176 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
 177
 178 (* to get rid of \middot *)
 179 ncoercion c  : ∀S.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
 180
 181 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 182 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 183 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
 184
 185 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
 186 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
 187
 188 notation "0" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
 189 interpretation "empty" 'empty = (z ?).
 190
 191 notation > "'lang' S" non associative with precedence 90 for @{ Ω^(list $S) }.
 192 notation > "'Elang' S" non associative with precedence 90 for @{ 𝛀^(list $S) }.
 193
 194 nlet rec flatten S (l : list (list S)) on l : list S ≝
 195 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
 196
 197 nlet rec conjunct S (l : list (list S)) (L : lang S) on l: CProp[0] ≝
 198 match l with [ nil ⇒ True | cons w tl ⇒ w ∈ L ∧ conjunct ? tl L ].
 199
 200
 201 ndefinition empty_set : ∀A.Ω^A ≝ λA.{ w | False }.
 202 notation "∅" non associative with precedence 90 for @{'emptyset}.
 203 interpretation "empty set" 'emptyset = (empty_set ?).
 204
 205 (*
 206 notation "{}" non associative with precedence 90 for @{'empty_lang}.
 207 interpretation "empty lang" 'empty_lang = (empty_lang ?).
 208 *)
 209
 210 ndefinition sing_lang : ∀A:setoid.∀x:A.Ω^A ≝ λS.λx.{ w | x = w }.
 211 interpretation "sing lang" 'singl x = (sing_lang ? x).
 212
 213 interpretation "subset construction with type" 'comprehension t \eta.x =
 214   (mk_powerclass t x).
 215
 216 ndefinition cat : ∀A:setoid.∀l1,l2:lang A.lang A ≝
 217   λS.λl1,l2.{ w ∈ list S | ∃w1,w2.w =_0 w1 @ w2 ∧ w1 ∈ l1 ∧ w2 ∈ l2}.
 218 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
 219
 220 ndefinition star : ∀A:setoid.∀l:lang A.lang A ≝
 221   λS.λl.{ w ∈ list S | ∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l}.
 222 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
 223
 224 notation > "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_re ? $E}.
 225 nlet rec L_re (S : Alpha) (r : re S) on r : lang S ≝
 226 match r with
 227 [ z ⇒ ∅
 228 | e ⇒ { [ ] }
 229 | s x ⇒ { [x] }
 230 | c r1 r2 ⇒ 𝐋 r1 · 𝐋 r2
 231 | o r1 r2 ⇒  𝐋 r1 ∪ 𝐋 r2
 232 | k r1 ⇒ (𝐋 r1) ^*].
 233 notation "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_re $E}.
 234 interpretation "in_l" 'L_re E = (L_re ? E).
 235
 236 notation "a || b" left associative with precedence 30 for @{'orb $a $b}.
 237 ndefinition orb ≝ λa,b:bool. match a with [ true ⇒ true | _ ⇒ b ].
 238 interpretation "orb" 'orb a b = (orb a b).
 239
 240 ninductive pitem (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 241    pz: pitem S
 242  | pe: pitem S
 243  | ps: S → pitem S
 244  | pp: S → pitem S
 245  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 246  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 247  | pk: pitem S → pitem S.
 248
 249 ndefinition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 250
 251 notation "\fst term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'fst $x}.
 252 interpretation "fst" 'fst x = (fst ? ? x).
 253 notation > "\snd term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'snd $x}.
 254 interpretation "snd" 'snd x = (snd ? ? x).
 255
 256 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 257 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 258 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 259 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 260 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 261 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 262 (* to get rid of \middot *)
 263 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 264 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 265 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 266 interpretation "pempty" 'empty = (pz ?).
 267
 268 notation > "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{forget ? $e}.
 269 nlet rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 270  match l with
 271   [ pz ⇒ 0
 272   | pe ⇒ ϵ
 273   | ps x ⇒ `x
 274   | pp x ⇒ `x
 275   | pc E1 E2 ⇒ (|E1| · |E2|)
 276   | po E1 E2 ⇒ (|E1| + |E2|)
 277   | pk E ⇒ |E|^* ].
 278 notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.
 279 interpretation "forget" 'forget a = (forget ? a).
 280
 281 notation > "𝐋\p\ term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_pi ? $E}.
 282 nlet rec L_pi (S : Alpha) (r : pitem S) on r : lang S ≝
 283 match r with
 284 [ pz ⇒ ∅
 285 | pe ⇒ ∅
 286 | ps _ ⇒ ∅
 287 | pp x ⇒ { [x] }
 288 | pc r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 |r2| ∪ 𝐋\p\ r2
 289 | po r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 ∪ 𝐋\p\ r2
 290 | pk r1 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 (|r1|^* ) ].
 291 notation > "𝐋\p term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 292 notation "𝐋\sub(\p) term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 293 interpretation "in_pl" 'L_pi E = (L_pi ? E).
 294
 295 unification hint 0 ≔ S,a,b;
 296    R ≟ LIST S
 297 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 298    eq_list S a b ≡ eq_rel (list S) (eq0 R) a b.
 299
 300 notation > "B ⇒_0 C" right associative with precedence 72 for @{'umorph0 $B $C}.
 301 notation > "B ⇒_1 C" right associative with precedence 72 for @{'umorph1 $B $C}.
 302 notation "B ⇒\sub 0 C" right associative with precedence 72 for @{'umorph0 $B $C}.
 303 notation "B ⇒\sub 1 C" right associative with precedence 72 for @{'umorph1 $B $C}.
 304
 305 interpretation "unary morphism 0" 'umorph0 A B = (unary_morphism A B).
 306 interpretation "unary morphism 1" 'umorph1 A B = (unary_morphism1 A B).
 307
 308 ncoercion setoid1_of_setoid : ∀s:setoid. setoid1 ≝ setoid1_of_setoid on _s: setoid to setoid1.
 309
 310 nlemma exists_is_morph: (* BUG *) ∀S,T:setoid.∀P: S ⇒_1 (T ⇒_1 (CProp[0]:?)).
 311   ∀y,z:S.y =_0 z → (Ex T (P y)) = (Ex T (P z)).
 312 #S T P y z E; @;
 313 ##[ *; #x Px; @x; alias symbol "refl" (instance 4) = "refl".
 314     alias symbol "prop2" (instance 2) = "prop21".
 315     napply (. E^-1‡#); napply Px;
 316 ##| *; #x Px; @x; napply (. E‡#); napply Px;##]
 317 nqed.
 318
 319 ndefinition ex_morph : ∀S:setoid. (S ⇒_1 CPROP) ⇒_1 CPROP.
 320 #S; @; ##[ #P; napply (Ex ? P); ##| #P1 P2 E; @;
 321 *; #x; #H; @ x; nlapply (E x x ?); //; *; /2/;
 322 nqed.
 323
 324 nlemma Sig: ∀S,T:setoid.∀P: S → (T → CPROP).
 325   ∀y,z:T.y = z → (∀x.y=z → P x y = P x z)  → (Ex S (λx.P x y)) =_1 (Ex S (λx.P x z)).
 326 #S T P y z Q E; @; *; #x Px; @x; nlapply (E x Q); *; /2/; nqed.
 327
 328 (* desiderata : Σ(λx.H‡#)
 329    ottenute   : Σ H (λx,H.H‡#) -- quindi monoriscrittura. H toplevel permette inferenza di y e z in Sig
 330 *)
 331
 332 nlemma test : ∀S:setoid. ∀ee: S ⇒_1 S ⇒_1 CPROP.
 333  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y → (Ex S (λw.ee x w ∧ True)) =_1 (Ex S (λw.ee y w ∧ True)).
 334 #S m x y E;
 335
 336 napply (trans1 ????? (Sig ????? E (λw,H.
 337   (prop11 ?(unary_morphism1_setoid1 ??)???
 338     (prop11 ?(unary_morphism1_setoid1 ??)???
 339        H
 340        ?? (refl ???))
 341     ?? (refl1 ???))))).
 342 napply refl1.
 343 nqed.
 344
 345 nlemma test2 : ∀S:setoid. ∀ee: S ⇒_1 S ⇒_1 CPROP.
 346  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y →
 347    (True ∧ (Ex S (λw.ee x w ∧ True))) =_1 (True ∧ (Ex S (λw.ee y w ∧ True))).
 348 #S m x y E;
 349 napply (trans1 ?????
 350 (#‡
 351  (Sig ????? E (λw,H.
 352   (prop11 ?(unary_morphism1_setoid1 ??)???
 353     (prop11 ?(unary_morphism1_setoid1 ??)???
 354        H
 355        ?? (refl ???))
 356     ?? (refl1 ???)))))).
 357 napply refl1.
 358
 359 alias symbol "trans" (instance 1) = "trans1".
 360 alias symbol "refl" (instance 5) = "refl".
 361 alias symbol "prop2" (instance 3) = "prop21".
 362 alias symbol "trans" (instance 1) = "trans1".
 363 alias symbol "prop2" (instance 3) = "prop21".
 364 (* super bug 1+1:
 365      eseguire senza modificare per ottenrere degli alias, fare back di 1 passo
 366      e ri-eseguire. Se riesegue senza aggiungere altri alias allora hai gli
 367      alias giusti (ma se fate back di più passi, gli alias non vanno più bene...).
 368      ora (m x w) e True possono essere sostituiti da ?, se invece
 369      si toglie anche l'∧, allora un super bug si scatena (meta contesto locale
 370      scazzato, con y al posto di x, unificata con se stessa ma col contesto
 371      locale corretto...). lo stesso (o simile) bug salta fuori se esegui
 372      senza gli alias giusti con ? al posto di True o (m x w).
 373
 374      bug a parte, pare inferisca tutto lui...
 375      la E astratta nella prova è solo per fargli inferire x e y, se Sig
 376      lo si riformula in modo più naturale (senza y=z) allora bisogna passare
 377      x e y esplicitamente. *)
 378 alias symbol "trans" (instance 1) = "trans1".
 379 alias symbol "prop2" (instance 3) = "prop21".
 380 alias symbol "trans" (instance 1) = "trans1".
 381 alias symbol "prop2" (instance 3) = "prop21".
 382
 383 alias symbol "trans" (instance 1) = "trans1".
 384 alias symbol "prop2" (instance 3) = "prop21".
 385 (*napply (.= (Sig ? S (λw,x. m x w ∧ True) ?? E (λw,H.(H‡#)‡#))); *)
 386
 387 (* OK *)
 388 napply (.= (Sig ? ? (?) ?? E (λw,H.
 389   (prop11 ?(unary_morphism1_setoid1 ??)???
 390     (prop11 ?(unary_morphism1_setoid1 ??)???
 391        H
 392        ?? (refl ???))
 393     ?? (refl1 ???))))).
 394 napply refl1.
 395
 396   (prop11 (setoid1_of_setoid ?) (ext_powerclass_setoid ?) ? ? ????
 397                                                 (prop11 (setoid1_of_setoid ?) (ext_powerclass_setoid ?) ? ? ????
 398                                                    H
 399                                                    (refl ??))
 400                                               (refl ? True))))).
 401
 402 prop11 ???????? (prop11 ???????? H (refl ??)) (refl ??))));
 403
 404 napply (.= (Sig ? S (λw,x. m x w ∧ True) ?? E (λw,H.(H‡#)‡#)));
 405
 406
 407 napply (.= (Sig ? S (λw,x.?) ?? E (λw,H.(H‡#)‡#)));
 408 (Ex S (λx.?P x y)) ==?==
 409 //; nqed.
 410 STOP
 411 napply (λw:S.(.= ((E‡#)‡#)) #); ##[##2: napply w| napply m. #H; napply H;
 412
 413
 414
 415  let form ≝ comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ee in
 416   form x = form y.
 417  #S ee x y E;
 418  nletin F ≝ (comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ee);
 419
 420  nnormalize;
 421   nchange in E with (eq_rel1 ? (eq1 (setoid1_of_setoid (LIST S))) x y);
 422
 423  ncheck (exists_is_morph (LIST S) (LIST S) ? ?? (E‡#)).
 424  nletin xxx ≝ (exists_is_morph); (LIST S)); (LIST S) ee x y E);
 425
 426  nchange with (F x = F y);
 427  nchange in E with (eq_rel1 ? (eq1 (setoid1_of_setoid (LIST S))) x y);
 428  napply (.= † E);
 429  napply #.
 430 nqed.
 431
 432
 433 E : w = w2
 434
 435
 436   Σ(λx.(#‡E)‡#) : ∃x.x = w ∧ m → ∃x.x = w2 ∧ m
 437   λx.(#‡E)‡#    : ∀x.x = w ∧ m → x = w2 ∧ m
 438
 439
 440 w;
 441 F ≟ ex_moprh ∘ G
 442 g ≟ fun11 G
 443 ------------------------------
 444 ex (λx.g w x) ==?== fun11 F w
 445
 446 x ⊢ fun11 ?h ≟ λw. ?g w x
 447 ?G ≟ morphism_leibniz (T → S) ∘ ?h
 448 ------------------------------
 449 (λw. (λx:T.?g w x)) ==?== fun11 ?G
 450
 451 ...
 452 x ⊢ fun11 ?h ==?== λw. eq x w ∧ m [w]
 453 (λw,x.eq x w ∧ m[w]) ==?== fun11 ?G
 454 ex (λx.?g w x) ==?== ex (λx.x = w ∧ m[w])
 455
 456 ndefinition ex_morph : ∀S:setoid. (S ⇒_1 CPROP) ⇒_1 CPROP.
 457 #S; @; ##[ #P; napply (Ex ? P); ##| ncases admit. ##] nqed.
 458
 459 ndefinition ex_morph1 : ∀S:setoid. (S ⇒_1 CPROP) ⇒_1 CPROP.
 460 #S; @; ##[ #P; napply (Ex ? (λx.P); ##| ncases admit. ##] nqed.
 461
 462
 463 nlemma d : ∀S:Alpha.
 464  ∀ee: (setoid1_of_setoid (list S)) ⇒_1 (setoid1_of_setoid (list S)) ⇒_1 CPROP.
 465  ∀x,y:list S.x = y →
 466  let form ≝ comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ee in
 467   form x = form y.
 468  #S ee x y E;
 469  nletin F ≝ (comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ee);
 470
 471  nnormalize;
 472
 473  nchange with (F x = F y);
 474  nchange in E with (eq_rel1 ? (eq1 (setoid1_of_setoid (LIST S))) x y);
 475  napply (.= † E);
 476  napply #.
 477 nqed.
 478
 479
 480 nlemma d : ∀S:Alpha.∀ee: (setoid1_of_setoid (list S)) ⇒_1 (setoid1_of_setoid (list S)) ⇒_1 CPROP.∀x,y:list S.x = y →
 481  let form ≝ comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ee in
 482   form x = form y.
 483  #S ee x y E;
 484  nletin F ≝ (comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ee);
 485
 486  nnormalize;
 487
 488  nchange with (F x = F y);
 489  nchange in E with (eq_rel1 ? (eq1 (setoid1_of_setoid (LIST S))) x y);
 490  napply (.= † E);
 491  napply #.
 492 nqed.
 493
 494
 495 nlemma d : ∀S:Alpha.(setoid1_of_setoid (list S)) ⇒_1 CPROP.
 496  #S; napply (comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ?);
 497  napply (eq1).
 498
 499
 500
 501 (*
 502 ndefinition comp_ex : ∀X,S,T,K.∀P:X ⇒_1 (S ⇒_1 T).∀Pc : (S ⇒_1 T) ⇒_1 K. X ⇒_1 K.
 503  *)
 504
 505 ndefinition L_pi_ext : ∀S:Alpha.∀r:pitem S.Elang S.
 506 #S r; @(𝐋\p r); #w1 w2 E; nelim r; /2/;
 507 ##[ #x; @; #H; ##[ nchange in H ⊢ % with ([?]=?); napply ((.= H) E)]
 508     nchange in H ⊢ % with ([?]=?); napply ((.= H) E^-1);
 509 ##| #e1 e2 H1 H2;
 510     nchange in match (w1 ∈ 𝐋\p (?·?)) with ((∃_.?)∨?);
 511     napply (.= (#‡H2));
 512     napply (.= (Eexists ?? ? w1 w2 E)‡#);
 513
 514
 515     nchange in match (w2 ∈ 𝐋\p (?·?)) with (?∨?);
 516     napply (.=
 517
 518
 519  //; napply (trans ?? ??? H E);
 520    napply (trans (list S) (eq0 (LIST S)) ? [?] ?(*w1 [x] w2*) H E);
 521   nlapply (trans (list S) (eq0 (LIST S))).
 522
 523 napply (.= H); nnormalize; nlapply (trans ? [x] w1 w2 E H); napply (.= ?) [napply (w1 = [x])] ##[##2: napply #; napply sym1; napply refl1 ]
 524
 525 ndefinition epsilon ≝
 526   λS:Alpha.λb.match b return λ_.lang S with [ true ⇒ { [ ] } | _ ⇒ ∅ ].
 527
 528 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 529 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 530 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 531
 532 ndefinition L_pr ≝ λS : Alpha.λp:pre S.  𝐋\p\ (\fst p) ∪ ϵ (\snd p).
 533
 534 interpretation "L_pr" 'L_pi E = (L_pr ? E).
 535
 536 nlemma append_eq_nil : ∀S:setoid.∀w1,w2:list S. w1 @ w2 = [ ] → w1 = [ ].
 537 #S w1; ncases w1; //. nqed.
 538
 539 (* lemma 12 *)
 540 nlemma epsilon_in_true : ∀S:Alpha.∀e:pre S. [ ] ∈ 𝐋\p e = (\snd e = true).
 541 #S r; ncases r; #e b; @; ##[##2: #H; nrewrite > H; @2; /2/; ##] ncases b;//;
 542 *; ##[##2:*] nelim e;
 543 ##[ ##1,2: *; ##| #c; *; ##| #c; *| ##7: #p H;
 544 ##| #r1 r2 H G; *; ##[##2: nassumption; ##]
 545 ##| #r1 r2 H1 H2; *; /2/ by {}]
 546 *; #w1; *; #w2; *; *;
 547 ##[ #defw1 H1 foo; napply H; napply (. #‡#); (append_eq_nil … defw1)^-1‡#);
 548
 549  nrewrite > (append_eq_nil ? … w1 w2 …); /3/ by {};//;
 550 nqed.
 551
 552 nlemma not_epsilon_lp : ∀S.∀e:pitem S. ¬ (𝐋\p e [ ]).
 553 #S e; nelim e; nnormalize; /2/ by nmk;
 554 ##[ #; @; #; ndestruct;
 555 ##| #r1 r2 n1 n2; @; *; /2/; *; #w1; *; #w2; *; *; #H;
 556     nrewrite > (append_eq_nil …H…); /2/;
 557 ##| #r1 r2 n1 n2; @; *; /2/;
 558 ##| #r n; @; *; #w1; *; #w2; *; *; #H;
 559     nrewrite > (append_eq_nil …H…); /2/;##]
 560 nqed.
 561
 562 ndefinition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 563 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 564 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 565
 566 ndefinition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa,b:pre S.
 567    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 568    match b1 with
 569    [ false ⇒ 〈e1 · \fst b, \snd b〉
 570    | true ⇒ 〈e1 · \fst (bcast ? (\fst b)),\snd b || \snd (bcast ? (\fst b))〉]].
 571
 572 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc $op $a $b}.
 573 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 574 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 575
 576 ndefinition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa:pre S.
 577    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 578    match b1 with
 579    [ false ⇒ 〈e1^*, false〉
 580    | true ⇒ 〈(\fst (bcast ? e1))^*, true〉]].
 581
 582 notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.
 583 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 584 notation > "a^⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk eclose $a}.
 585
 586 notation > "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 587 nlet rec eclose (S: Alpha) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 588  match E with
 589   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 590   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 591   | ps x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 592   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 593   | po E1 E2 ⇒ •E1 ⊕ •E2
 594   | pc E1 E2 ⇒ •E1 ⊙ 〈 E2, false 〉
 595   | pk E ⇒ 〈(\fst (•E))^*,true〉].
 596 notation < "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 597 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 598 notation > "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 599
 600 ndefinition reclose ≝ λS:Alpha.λp:pre S.let p' ≝ •\fst p in 〈\fst p',\snd p || \snd p'〉.
 601 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 602
 603 ndefinition eq_f1 ≝ λS.λa,b:word S → Prop.∀w.a w ↔ b w.
 604 notation > "A =1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 605 notation "A =\sub 1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 606 interpretation "eq f1" 'eq_f1 a b = (eq_f1 ? a b).
 607
 608 naxiom extP : ∀S.∀p,q:word S → Prop.(p =1 q) → p = q.
 609
 610 nlemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. ϵ(b1 || b2) = ϵ b1 ∪ ϵ b2. ##[##2: napply S]
 611 #S b1 b2; ncases b1; ncases b2; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *;
 612 nqed.
 613
 614 nlemma cupA : ∀S.∀a,b,c:word S → Prop.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 615 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/; *; /3/; nqed.
 616
 617 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:word S → Prop.a ∪ b = b ∪ a.
 618 #S a b; napply extP; #w; @; *; nnormalize; /2/; nqed.
 619
 620 (* theorem 16: 2 *)
 621 nlemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.𝐋\p (e1 ⊕ e2) = 𝐋\p e1 ∪ 𝐋\p e2.
 622 #S r1; ncases r1; #e1 b1 r2; ncases r2; #e2 b2;
 623 nwhd in ⊢ (??(??%)?);
 624 nchange in ⊢(??%?) with (𝐋\p (e1 + e2) ∪ ϵ (b1 || b2));
 625 nchange in ⊢(??(??%?)?) with (𝐋\p (e1) ∪ 𝐋\p (e2));
 626 nrewrite > (epsilon_or S …); nrewrite > (cupA S (𝐋\p e1) …);
 627 nrewrite > (cupC ? (ϵ b1) …); nrewrite < (cupA S (𝐋\p e2) …);
 628 nrewrite > (cupC ? ? (ϵ b1) …); nrewrite < (cupA …); //;
 629 nqed.
 630
 631 nlemma odotEt :
 632   ∀S.∀e1,e2:pitem S.∀b2. 〈e1,true〉 ⊙ 〈e2,b2〉 = 〈e1 · \fst (•e2),b2 || \snd (•e2)〉.
 633 #S e1 e2 b2; nnormalize; ncases (•e2); //; nqed.
 634
 635 nlemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋\p (e1 · e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|e2| ∪ 𝐋\p e2. //; nqed.
 636
 637 nlemma cup_dotD : ∀S.∀p,q,r:word S → Prop.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 638 #S p q r; napply extP; #w; nnormalize; @;
 639 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 640 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 641 nqed.
 642
 643 nlemma cup0 :∀S.∀p:word S → Prop.p ∪ {} = p.
 644 #S p; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *; nqed.
 645
 646 nlemma erase_dot : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 .|e1 · e2| =  𝐋 .|e1| · 𝐋 .|e2|.
 647 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; #w1; *; #w2; *; *; /7/ by ex_intro, conj;
 648 nqed.
 649
 650 nlemma erase_plus : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 .|e1 + e2| =  𝐋 .|e1| ∪ 𝐋 .|e2|.
 651 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; /4/ by or_introl, or_intror; nqed.
 652
 653 nlemma erase_star : ∀S.∀e1:pitem S.𝐋 .|e1|^* = 𝐋 .|e1^*|. //; nqed.
 654
 655 ndefinition substract := λS.λp,q:word S → Prop.λw.p w ∧ ¬ q w.
 656 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 657
 658 nlemma cup_sub: ∀S.∀a,b:word S → Prop. ¬ (a []) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 659 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /4/; *; /4/; nqed.
 660
 661 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 662 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 663
 664 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 665 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 666
 667 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 668 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed.
 669
 670 nlemma erase_bull : ∀S.∀a:pitem S. .|\fst (•a)| = .|a|.
 671 #S a; nelim a; // by {};
 672 ##[ #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| · .|e2|);
 673     nrewrite < IH1; nrewrite < IH2;
 674     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊙ 〈e2,false〉));
 675     ncases (•e1); #e3 b; ncases b; nnormalize;
 676     ##[ ncases (•e2); //; ##| nrewrite > IH2; //]
 677 ##| #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| + .|e2|);
 678     nrewrite < IH2; nrewrite < IH1;
 679     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊕ •e2));
 680     ncases (•e1); ncases (•e2); //;
 681 ##| #e IH; nchange in ⊢ (???%) with (.|e|^* ); nrewrite < IH;
 682     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e))^*; //; ##]
 683 nqed.
 684
 685 nlemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 686 #S p; ncases p; //; nqed.
 687
 688 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 689 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 690 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 691 napply Hw2; nqed.
 692
 693 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 694 nlemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1,e2: pre S.
 695       𝐋\p (•(\fst e2)) =  𝐋\p (\fst e2) ∪ 𝐋 .|\fst e2| →
 696          𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 697 #S e1 e2 th1; ncases e1; #e1' b1'; ncases b1';
 698 ##[ nwhd in ⊢ (??(??%)?); nletin e2' ≝ (\fst e2); nletin b2' ≝ (\snd e2);
 699     nletin e2'' ≝ (\fst (•(\fst e2))); nletin b2'' ≝ (\snd (•(\fst e2)));
 700     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 701     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (?∪?);
 702     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 703     nrewrite > (epsilon_or …); nrewrite > (cupC ? (ϵ ?)…);
 704     nrewrite > (cupA …);nrewrite < (cupA ?? (ϵ?)…);
 705     nrewrite > (?: 𝐋\p e2'' ∪ ϵ b2'' = 𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|); ##[##2:
 706       nchange with (𝐋\p 〈e2'',b2''〉 =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|);
 707       ngeneralize in match th1;
 708       nrewrite > (eta_lp…); #th1; nrewrite > th1; //;##]
 709     nrewrite > (eta_lp ? e2);
 710     nchange in match (𝐋\p 〈\fst e2,?〉) with (𝐋\p e2'∪ ϵ b2');
 711     nrewrite > (cup_dotD …); nrewrite > (epsilon_dot…);
 712     nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2')…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (cupA…);
 713     nrewrite < (erase_bull S e2') in ⊢ (???(??%?)); //;
 714 ##| ncases e2; #e2' b2'; nchange in match (〈e1',false〉⊙?) with 〈?,?〉;
 715     nchange in match (𝐋\p ?) with (?∪?);
 716     nchange in match (𝐋\p (e1'·?)) with (?∪?);
 717     nchange in match (𝐋\p 〈e1',?〉) with (?∪?);
 718     nrewrite > (cup0…);
 719     nrewrite > (cupA…); //;##]
 720 nqed.
 721
 722 nlemma sub_dot_star :
 723   ∀S.∀X:word S → Prop.∀b. (X - ϵ b) · X^* ∪ {[]} = X^*.
 724 #S X b; napply extP; #w; @;
 725 ##[ *; ##[##2: nnormalize; #defw; nrewrite < defw; @[]; @; //]
 726     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 727     @ (w1 :: lw); nrewrite < defw; nrewrite < flx; @; //;
 728     @; //; napply (subW … sube);
 729 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; nrewrite < defw; nelim wl in Pwl; ##[ #_; @2; //]
 730     #w' wl' IH; *; #Pw' IHp; nlapply (IH IHp); *;
 731     ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defwl' H1 H2;
 732         @; ncases b in H1; #H1;
 733         ##[##2: nrewrite > (sub0…); @w'; @(w1@w2);
 734                 nrewrite > (associative_append ? w' w1 w2);
 735                 nrewrite > defwl'; @; ##[@;//] @(wl'); @; //;
 736            ##| ncases w' in Pw';
 737                ##[ #ne; @w1; @w2; nrewrite > defwl'; @; //; @; //;
 738                ##| #x xs Px; @(x::xs); @(w1@w2);
 739                    nrewrite > (defwl'); @; ##[@; //; @; //; @; nnormalize; #; ndestruct]
 740                    @wl'; @; //; ##] ##]
 741         ##| #wlnil; nchange in match (flatten ? (w'::wl')) with (w' @ flatten ? wl');
 742             nrewrite < (wlnil); nrewrite > (append_nil…); ncases b;
 743             ##[ ncases w' in Pw'; /2/; #x xs Pxs; @; @(x::xs); @([]);
 744                 nrewrite > (append_nil…); @; ##[ @; //;@; //; nnormalize; @; #; ndestruct]
 745                 @[]; @; //;
 746             ##| @; @w'; @[]; nrewrite > (append_nil…); @; ##[##2: @[]; @; //]
 747                 @; //; @; //; @; *;##]##]##]
 748 nqed.
 749
 750 (* theorem 16: 1 *)
 751 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 752 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 753 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 754 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 755 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 .|e|.
 756 #S e; nelim e; //;
 757   ##[ #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 758   ##| #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl; *;
 759   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 760       nchange in ⊢ (??(??(%))?) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 761       nrewrite > (odot_dot_aux S (•e1) 〈e2,false〉 IH2);
 762       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (cup_dotD …);
 763       nrewrite > (cupA …); nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p ?) …);
 764       nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (𝐋\p e2 ∪ {}); nrewrite > (cup0 …);
 765       nrewrite < (erase_dot …); nrewrite < (cupA …); //;
 766   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 767       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2); nrewrite > (oplus_cup …);
 768       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (IH2 …); nrewrite > (cupA …);
 769       nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2)…);nrewrite < (cupA ??? (𝐋\p e2)…);
 770       nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p e2)…); nrewrite < (cupA …);
 771       nrewrite < (erase_plus …); //.
 772   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 773       nchange in match (𝐋\p ?) with  (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 774       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 775       nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 776       nrewrite > (erase_bull…e);
 777       nrewrite > (erase_star …);
 778       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b')); ##[##2:
 779         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 780         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 781             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 782         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 783       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 784       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 .|e^*|)); //;
 785       nchange in match (𝐋 .|e^*|) with ((𝐋. |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 786  nqed.
 787
 788 (* theorem 16: 3 *)
 789 nlemma odot_dot:
 790   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 791 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 792
 793 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 794 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 795 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 796     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 797     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 798 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 799     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 800     @; /2/; @xs; /2/;##]
 801  nqed.
 802
 803 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 804 #S e; @[]; /2/; nqed.
 805
 806 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 807 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 808
 809 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 810 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 811
 812 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 813   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 814 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 815 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 816 nqed.
 817
 818 (* theorem 16: 4 *)
 819 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 .|\fst e|)^*.
 820 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 821 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 822     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 823     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 824     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 825     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b' )); ##[##2:
 826       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 827       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 828       nchange in match b' in bc with b';
 829       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 830       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 831     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 832     nrewrite > (sub_dot_star…);
 833     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 834     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 835 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 836     nrewrite > (cup0…);
 837     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 .|e|^* );
 838     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 839 nqed.
 840
 841 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 842   match e with
 843   [ z ⇒ pz ?
 844   | e ⇒ pe ?
 845   | s x ⇒ ps ? x
 846   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 847   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 848   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 849
 850 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 851
 852 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 853 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 854 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 855
 856 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 857 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 858 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 859     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 860 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 861     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 862 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 863     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 864 nqed.
 865
 866 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 .|pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 867 #S A; nelim A; //;
 868 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 869     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 870 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 871     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 872 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 873     nrewrite < H1; //]
 874 nqed.
 875
 876 (* corollary 17 *)
 877 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 878 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 879 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 880 nqed.
 881
 882 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 883 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 884
 885 (* corollary 18 *)
 886 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ .|e|.
 887 #S e; @;
 888 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 889     nrewrite > defsnde; #H;
 890     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 891     E MO?
 892
 893 STOP
 894
 895 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 896 non associative with precedence 60 for @{move ? $x $E}.
 897 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 898  match E with
 899   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 900   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 901   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 902   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 903   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 904   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 905   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 906 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 907 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 908 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 909
 910 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
 911 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
 912
 913 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ∅ → False.
 914 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 915 nqed.
 916
 917
 918 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
 919 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 920 nqed.
 921
 922 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 923 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 924 nqed.
 925
 926
 927 naxiom in_move_cat:
 928  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
 929    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
 930 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
 931 ncases e1 in H; ncases e2;
 932 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 933    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 934    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 935 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 936    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 937    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 938 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
 939    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 940    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
 941    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
 942 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
 943    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
 944    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
 945 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
 946     ...
 947 nqed.
 948
 949 ntheorem move_ok:
 950  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
 951 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
 952 ##[##1,2: #a w; @;
 953    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
 954       #H; ninversion H; #; ndestruct;
 955    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
 956        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
 957 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
 958    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
 959 ##|#a c w; @; nnormalize;
 960    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
 961        #H; ninversion H; #; ndestruct;
 962    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
 963               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
 964 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
 965    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
 966       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
 967           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
 968           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
 969       ##|
 970       ...
 971 ##|
 972 ##|
 973 ##]
 974 nqed.
 975
 976
 977 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{move_star ? $x $E}.
 978 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
 979  match w with
 980   [ nil ⇒ E
 981   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
 982
 983 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
 984
 985 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 986  mk_equiv:
 987   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 988    \fst E1  = \fst E2 →
 989     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
 990      equiv S E1 E2.
 991
 992 ndefinition NAT: decidable.
 993  @ nat eqb; /2/.
 994 nqed.
 995
 996 include "hints_declaration.ma".
 997
 998 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 999 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
1000
1001 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
1002
1003 nlet corec foo_nop (b: bool):
1004  equiv ?
1005   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
1006   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
1007  @; //; #x; ncases x
1008   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
1009   | #y; ncases y
1010      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
1011      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
1012 nqed.
1013
1014 (*
1015 nlet corec foo (a: unit):
1016  equiv NAT
1017   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
1018   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
1019 ≝ ?.
1020  @;
1021   ##[ nnormalize; //
1022   ##| #x; ncases x
1023        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
1024          nnormalize in foo: (? → ??%%);
1025          @; //; #y; ncases y
1026            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
1027            | #y; ncases y
1028               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
1029
1030             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
1031      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
1032   ##]
1033 nqed.
1034 *)
1035
1036 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
1037 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
1038 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
1039
1040
1041 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
1042  nnormalize in match test3;
1043  nnormalize;
1044 //;
1045 nqed.
1046
1047 (**********************************************************)
1048
1049 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
1050    der_z: der S a (z S) (z S)
1051  | der_e: der S a (e S) (z S)
1052  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
1053  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
1054  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
1055             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
1056  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
1057             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
1058  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
1059     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
1060
1061 nlemma eq_rect_CProp0_r:
1062  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
1063  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
1064 nqed.
1065
1066 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
1067
1068 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
1069 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
1070   [ #K; ninversion K
1071   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
1072   | (* tutti casi assurdi *) *)
1073
1074 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
1075    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
1076  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
1077
1078 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
1079    mk_eq_re: ∀E1,E2.
1080     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
1081     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
1082     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
1083       eq_re S E1 E2.
1084
1085 (* serve il lemma dopo? *)
1086 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
1087  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
1088   [ #r; #K (* ok *)
1089   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
1090
1091 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
1092 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
1093 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
1094   [ //
1095   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
1096   ]
1097 nqed. *)
1098
1099 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
1100  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
1101   [##1,2: #H1; ninversion H1
1102      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
1103      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1104      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1105      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1106      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1107      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1108      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
1109 ##| #H1; ninversion H1
1110      [ //
1111      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1112      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1113      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1114      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1115      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1116      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
1117 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
1118      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
1119      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1120      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1121      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1122      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1123      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1124      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
1125 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
1126