helm/software/matita/nlibrary/re/re-setoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/pairs.ma".
  16 include "datatypes/bool.ma".
  17 include "sets/sets.ma".
  18
  19 ninductive Admit : CProp[0] ≝ .
  20 naxiom admit : Admit.
  21
  22 (* single = is for the abstract equality of setoids, == is for concrete
  23    equalities (that may be lifted to the setoid level when needed *)
  24 notation < "hvbox(a break mpadded width -50% (=)= b)" non associative with precedence 45 for @{ 'eq_low $a $b }.
  25 notation > "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eq_low $a $b }.
  26
  27
  28 (* XXX move to lists.ma *)
  29 ninductive list (A:Type[0]) : Type[0] ≝
  30   | nil: list A
  31   | cons: A -> list A -> list A.
  32
  33 nlet rec eq_list (A : setoid) (l1, l2 : list A) on l1 : CProp[0] ≝
  34 match l1 with
  35 [ nil ⇒ match l2 return λ_.CProp[0] with [ nil ⇒ True | _ ⇒ False ]
  36 | cons x xs ⇒ match l2 with [ nil ⇒ False | cons y ys ⇒ x = y ∧ eq_list ? xs ys]].
  37
  38 interpretation "eq_list" 'eq_low a b = (eq_list ? a b).
  39
  40 ndefinition LIST : setoid → setoid.
  41 #S; @(list S); @(eq_list S);
  42 ##[ #l; nelim l; //; #; @; //;
  43 ##| #l1; nelim l1; ##[ #y; ncases y; //] #x xs H y; ncases y; ##[*] #y ys; *; #; @; /2/;
  44 ##| #l1; nelim l1; ##[ #l2 l3; ncases l2; ncases l3; /3/; #z zs y ys; *]
  45     #x xs H l2 l3; ncases l2; ncases l3; /2/; #z zs y yz; *; #H1 H2; *; #H3 H4; @; /3/;##]
  46 nqed.
  47
  48 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
  49 unification hint 0 ≔ S : setoid;
  50   T ≟ carr S,
  51   P1 ≟ refl ? (eq0 (LIST S)),
  52   P2 ≟ sym ? (eq0 (LIST S)),
  53   P3 ≟ trans ? (eq0 (LIST S)),
  54   X ≟ mk_setoid (list S) (mk_equivalence_relation ? (eq_list T) P1 P2 P3)
  55 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
  56      carr X ≡ list T.
  57
  58 unification hint 0 ≔ S:setoid,a,b:list S;
  59    R ≟ eq0 (LIST S),
  60    L ≟ (list S)
  61 (* -------------------------------------------- *) ⊢
  62    eq_list S a b ≡ eq_rel L R a b.
  63
  64 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  65   right associative with precedence 47
  66   for @{'cons $hd $tl}.
  67
  68 notation "[ list0 x sep ; ]"
  69   non associative with precedence 90
  70   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  71
  72 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  73   right associative with precedence 47
  74   for @{'append $l1 $l2 }.
  75
  76 interpretation "nil" 'nil = (nil ?).
  77 interpretation "cons" 'cons hd tl = (cons ? hd tl).
  78
  79 nlet rec append A (l1: list A) l2 on l1 ≝
  80   match l1 with
  81   [ nil ⇒ l2
  82   | cons hd tl ⇒ hd :: append A tl l2 ].
  83
  84 interpretation "append" 'append l1 l2 = (append ? l1 l2).
  85
  86 ntheorem append_nil: ∀A:setoid.∀l:list A.l @ [] = l.
  87 #A;#l;nelim l;//; #a;#l1;#IH;nnormalize;/2/;nqed.
  88
  89 ndefinition associative ≝ λA:setoid.λf:A → A → A.∀x,y,z.f x (f y z) = f (f x y) z.
  90
  91 ntheorem associative_append: ∀A:setoid.associative (list A) (append A).
  92 #A;#x;#y;#z;nelim x[ napply (refl ???) |#a;#x1;#H;nnormalize;/2/]nqed.
  93
  94 nlet rec flatten S (l : list (list S)) on l : list S ≝
  95 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
  96
  97 (* end move to list *)
  98
  99 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
 100
 101 ninductive eq (A:Type[0]) (x:A) : A → CProp[0] ≝ refl: eq A x x.
 102
 103 nlemma eq_rect_Type0_r':
 104  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → P x p.
 105  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 106 nqed.
 107
 108 nlemma eq_rect_Type0_r:
 109  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
 110  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_Type0_r' ??? p0); nassumption.
 111 nqed.
 112
 113 nlemma eq_rect_CProp0_r':
 114  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 115  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 116 nqed.
 117
 118 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 119  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
 120  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_CProp0_r' ??? p0); nassumption.
 121 nqed.
 122
 123 (* XXX move to bool *)
 124 interpretation "bool eq" 'eq_low a b = (eq bool a b).
 125
 126 ndefinition BOOL : setoid.
 127 @bool; @(eq bool); ncases admit.nqed.
 128
 129 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 130 alias id "refl" = "cic:/matita/ng/properties/relations/refl.fix(0,1,3)".
 131 unification hint 0 ≔ ;
 132   P1 ≟ refl ? (eq0 BOOL),
 133   P2 ≟ sym ? (eq0 BOOL),
 134   P3 ≟ trans ? (eq0 BOOL),
 135   X ≟ mk_setoid bool (mk_equivalence_relation ? (eq bool) P1 P2 P3)
 136 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 137      carr X ≡ bool.
 138
 139 unification hint 0 ≔ a,b;
 140    R ≟ eq0 BOOL,
 141    L ≟ bool
 142 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 143    eq bool a b ≡ eq_rel L R a b.
 144
 145 nrecord Alpha : Type[1] ≝ {
 146    acarr :> setoid;
 147    eqb: acarr → acarr → bool;
 148    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) = (x = y)
 149 }.
 150
 151 interpretation "eqb" 'eq_low a b = (eqb ? a b).
 152
 153 ninductive re (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 154    z: re S
 155  | e: re S
 156  | s: S → re S
 157  | c: re S → re S → re S
 158  | o: re S → re S → re S
 159  | k: re S → re S.
 160
 161 nlet rec eq_re (S:Alpha) (a,b : re S) on a : CProp[0] ≝
 162   match a with
 163   [ z ⇒ match b with [ z ⇒ True | _ ⇒ False]
 164   | e ⇒ match b with [ e ⇒ True | _ ⇒ False]
 165   | s x ⇒ match b with [ s y ⇒ x = y | _ ⇒ False]
 166   | c r1 r2 ⇒ match b with [ c s1 s2 ⇒ eq_re ? r1 s1 ∧ eq_re ? r2 s2 | _ ⇒ False]
 167   | o r1 r2 ⇒ match b with [ o s1 s2  ⇒ eq_re ? r1 s1 ∧ eq_re ? r2 s2 | _ ⇒ False]
 168   | k r1 ⇒ match b with [ k r2 ⇒ eq_re ? r1 r2 | _ ⇒ False]].
 169
 170 ndefinition RE : Alpha → setoid.
 171 #A; @(re A); @(eq_re A);
 172 ##[ #p; nelim p; /2/;
 173 ##| #p1; nelim p1; ##[##1,2: #p2; ncases p2; /2/;
 174     ##|##2,3: #x p2; ncases p2; /2/;
 175     ##|##4,5: #e1 e2 H1 H2 p2; ncases p2; /3/; #e3 e4; *; #; @; /2/;
 176     ##|#r H p2; ncases p2; /2/;##]
 177 ##| #p1; nelim p1;
 178     ##[ ##1,2: #y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 179     ##| ##3: #a; #y z; ncases y; ncases z; /2/; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 180     ##| ##4,5: #r1 r2 H1 H2 y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize;
 181         ##[##1,3,4,5,6,8: #; ncases (?:False); //;##]
 182         #r1 r2 r3 r4; nnormalize; *; #H1 H2; *; #H3 H4; /3/;
 183     ##| #r H y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; ##[##1,2,3: #; ncases (?:False); //]
 184         #r2 r3; /3/; ##]##]
 185 nqed.
 186
 187 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 188 alias id "carr" = "cic:/matita/ng/sets/setoids/carr.fix(0,0,1)".
 189 unification hint 0 ≔ A : Alpha;
 190   S ≟ acarr A,
 191   T ≟ carr S,
 192   P1 ≟ refl ? (eq0 (RE A)),
 193   P2 ≟ sym ? (eq0 (RE A)),
 194   P3 ≟ trans ? (eq0 (RE A)),
 195   X ≟ mk_setoid (re T) (mk_equivalence_relation ? (eq_re A) P1 P2 P3)
 196 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 197      carr X ≡ re T.
 198
 199 unification hint 0 ≔ A:Alpha,a,b:re A;
 200    R ≟ eq0 (RE A),
 201    L ≟ re A
 202 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 203    eq_re A a b ≡ eq_rel L R a b.
 204
 205 notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 206 notation > "a ^ *" non associative with precedence 75 for @{ 'pk $a}.
 207 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
 208 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
 209
 210 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
 211 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
 212
 213 (* to get rid of \middot *)
 214 ncoercion c  : ∀S.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
 215
 216 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 217 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 218 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
 219
 220 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
 221 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
 222
 223 notation "0" non associative with precedence 90 for @{ 'empty_r }.
 224 interpretation "empty" 'empty_r = (z ?).
 225
 226 notation > "'lang' S" non associative with precedence 90 for @{ Ω^(list $S) }.
 227 notation > "'Elang' S" non associative with precedence 90 for @{ 𝛀^(list $S) }.
 228
 229 nlet rec conjunct S (l : list (list S)) (L : lang S) on l: CProp[0] ≝
 230 match l with [ nil ⇒ True | cons w tl ⇒ w ∈ L ∧ conjunct ? tl L ].
 231
 232 ndefinition sing_lang : ∀A:setoid.∀x:A.Ω^A ≝ λS.λx.{ w | x = w }.
 233 interpretation "sing lang" 'singl x = (sing_lang ? x).
 234
 235 interpretation "subset construction with type" 'comprehension t \eta.x =
 236   (mk_powerclass t x).
 237
 238 ndefinition cat : ∀A:setoid.∀l1,l2:lang A.lang A ≝
 239   λS.λl1,l2.{ w ∈ list S | ∃w1,w2.w =_0 w1 @ w2 ∧ w1 ∈ l1 ∧ w2 ∈ l2}.
 240 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
 241
 242 ndefinition star : ∀A:setoid.∀l:lang A.lang A ≝
 243   λS.λl.{ w ∈ list S | ∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l}.
 244 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
 245
 246 notation > "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_re ? $E}.
 247 nlet rec L_re (S : Alpha) (r : re S) on r : lang S ≝
 248 match r with
 249 [ z ⇒ ∅
 250 | e ⇒ { [ ] }
 251 | s x ⇒ { [x] }
 252 | c r1 r2 ⇒ 𝐋 r1 · 𝐋 r2
 253 | o r1 r2 ⇒  𝐋 r1 ∪ 𝐋 r2
 254 | k r1 ⇒ (𝐋 r1) ^*].
 255 notation "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_re $E}.
 256 interpretation "in_l" 'L_re E = (L_re ? E).
 257
 258 notation "a || b" left associative with precedence 30 for @{'orb $a $b}.
 259 ndefinition orb ≝ λa,b:bool. match a with [ true ⇒ true | _ ⇒ b ].
 260 interpretation "orb" 'orb a b = (orb a b).
 261
 262 ninductive pitem (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 263    pz: pitem S
 264  | pe: pitem S
 265  | ps: S → pitem S
 266  | pp: S → pitem S
 267  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 268  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 269  | pk: pitem S → pitem S.
 270
 271 nlet rec eq_pitem  (S : Alpha) (p1, p2 : pitem S) on p1 : CProp[0] ≝
 272  match p1 with
 273  [ pz ⇒ match p2 with [ pz ⇒ True | _ ⇒ False]
 274  | pe ⇒ match p2 with [ pe ⇒ True | _ ⇒ False]
 275  | ps x ⇒ match p2 with [ ps y ⇒ x = y | _ ⇒ False]
 276  | pp x ⇒ match p2 with [ pp y ⇒ x = y | _ ⇒ False]
 277  | pc a1 a2 ⇒ match p2 with [ pc b1 b2 ⇒ eq_pitem ? a1 b1 ∧ eq_pitem ? a2 b2| _ ⇒ False]
 278  | po a1 a2 ⇒ match p2 with [ po b1 b2 ⇒ eq_pitem ? a1 b1 ∧ eq_pitem ? a2 b2| _ ⇒ False]
 279  | pk a ⇒ match p2 with [ pk b ⇒ eq_pitem ? a b | _ ⇒ False]].
 280
 281 interpretation "eq_pitem" 'eq_low a b = (eq_pitem ? a b).
 282
 283 nlemma PITEM : ∀S:Alpha.setoid.
 284 #S; @(pitem S); @(eq_pitem …);
 285 ##[ #p; nelim p; //; nnormalize; #; @; //;
 286 ##| #p; nelim p; ##[##1,2: #y; ncases y; //; ##|##3,4: #x y; ncases y; //; #; napply (?^-1); nassumption;
 287     ##|##5,6: #r1 r2 H1 H2 p2; ncases p2; //; #s1 s2; nnormalize; *; #; @; /2/;
 288     ##| #r H y; ncases y; //; nnormalize; /2/;##]
 289 ##| #x; nelim x;
 290     ##[ ##1,2: #y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 291     ##| ##3,4: #a; #y z; ncases y; ncases z; /2/; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 292     ##| ##5,6: #r1 r2 H1 H2 y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize;
 293         ##[##1,2,5,6,7,8,4,10: #; ncases (?:False); //;##]
 294         #r1 r2 r3 r4; nnormalize; *; #H1 H2; *; #H3 H4; /3/;
 295     ##| #r H y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; ##[##1,2,3,4: #; ncases (?:False); //]
 296         #r2 r3; /3/; ##]##]
 297 nqed.
 298
 299 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 300 unification hint 0 ≔ SS:Alpha;
 301     S ≟ acarr SS,
 302     A ≟ carr S,
 303     P1 ≟ refl ? (eq0 (PITEM SS)),
 304     P2 ≟ sym ? (eq0 (PITEM SS)),
 305     P3 ≟ trans ? (eq0 (PITEM SS)),
 306     R ≟ mk_setoid (pitem S) (mk_equivalence_relation (pitem A) (eq_pitem SS) P1 P2 P3)
 307 (*---------------------------*)⊢
 308     carr R ≡ pitem A.
 309
 310 unification hint 0 ≔ S:Alpha,a,b:pitem S;
 311    R ≟ PITEM S,
 312    L ≟ (pitem S)
 313 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 314    eq_pitem S a b ≡ eq_rel L (eq0 R) a b.
 315
 316 (* XXX move to pair.ma *)
 317 nlet rec eq_pair (A, B : setoid) (a : A × B) (b : A × B) on a : CProp[0] ≝
 318   match a with [ mk_pair a1 a2 ⇒
 319   match b with [ mk_pair b1 b2 ⇒ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ]].
 320
 321 interpretation "eq_pair" 'eq_low a b = (eq_pair ?? a b).
 322
 323 nlemma PAIR : ∀A,B:setoid. setoid.
 324 #A B; @(A × B); @(eq_pair …);
 325 ##[ #ab; ncases ab; #a b; @; napply #;
 326 ##| #ab cd; ncases ab; ncases cd; #a1 a2 b1 b2; *; #E1 E2;
 327     @; napply (?^-1); //;
 328 ##| #a b c; ncases a; ncases b; ncases c; #c1 c2 b1 b2 a1 a2;
 329     *; #E1 E2; *; #E3 E4; @; ##[ napply (.= E1); //] napply (.= E2); //.##]
 330 nqed.
 331
 332 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 333 unification hint 0 ≔ AA, BB;
 334     A ≟ carr AA, B ≟ carr BB,
 335     P1 ≟ refl ? (eq0 (PAIR AA BB)),
 336     P2 ≟ sym ? (eq0 (PAIR AA BB)),
 337     P3 ≟ trans ? (eq0 (PAIR AA BB)),
 338     R ≟ mk_setoid (A × B) (mk_equivalence_relation ? (eq_pair …) P1 P2 P3)
 339 (*---------------------------------------------------------------------------*)⊢
 340     carr R ≡ A × B.
 341
 342 unification hint 0 ≔ S1,S2,a,b;
 343    R ≟ PAIR S1 S2,
 344    L ≟ (pair S1 S2)
 345 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 346    eq_pair S1 S2 a b ≡ eq_rel L (eq0 R) a b.
 347
 348 (* end move to pair *)
 349
 350 ndefinition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 351
 352 notation "\fst term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'fst $x}.
 353 interpretation "fst" 'fst x = (fst ? ? x).
 354 notation > "\snd term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'snd $x}.
 355 interpretation "snd" 'snd x = (snd ? ? x).
 356
 357 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 358 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 359 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 360 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 361 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 362 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 363 (* to get rid of \middot *)
 364 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 365 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 366 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 367 interpretation "pempty" 'empty_r = (pz ?).
 368
 369 notation > "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{forget ? $e}.
 370 nlet rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 371  match l with
 372   [ pz ⇒ 0
 373   | pe ⇒ ϵ
 374   | ps x ⇒ `x
 375   | pp x ⇒ `x
 376   | pc E1 E2 ⇒ (|E1| · |E2|)
 377   | po E1 E2 ⇒ (|E1| + |E2|)
 378   | pk E ⇒ |E|^* ].
 379 notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.
 380 interpretation "forget" 'forget a = (forget ? a).
 381
 382 notation > "𝐋\p\ term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_pi ? $E}.
 383 nlet rec L_pi (S : Alpha) (r : pitem S) on r : lang S ≝
 384 match r with
 385 [ pz ⇒ ∅
 386 | pe ⇒ ∅
 387 | ps _ ⇒ ∅
 388 | pp x ⇒ { [x] }
 389 | pc r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 |r2| ∪ 𝐋\p\ r2
 390 | po r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 ∪ 𝐋\p\ r2
 391 | pk r1 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 (|r1|^* ) ].
 392 notation > "𝐋\p term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 393 notation "𝐋\sub(\p) term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 394 interpretation "in_pl" 'L_pi E = (L_pi ? E).
 395
 396 (* The caml, as some patches for it *)
 397 ncoercion setoid1_of_setoid : ∀s:setoid. setoid1 ≝ setoid1_of_setoid on _s: setoid to setoid1.
 398
 399 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_CProp2".
 400 unification hint 0 ≔ S : setoid, x,y;
 401   SS ≟ LIST S,
 402   TT ≟ setoid1_of_setoid SS
 403 (*-----------------------------------------*) ⊢
 404   eq_list S x y ≡ eq_rel1 ? (eq1 TT) x y.
 405
 406 unification hint 0 ≔ SS : setoid;
 407   S ≟ carr SS,
 408   TT ≟ setoid1_of_setoid (LIST SS)
 409 (*-----------------------------------------------------------------*) ⊢
 410   list S ≡ carr1 TT.
 411
 412 (* XXX Ex setoid support *)
 413 nlemma Sig: ∀S,T:setoid.∀P: S → (T → CPROP).
 414   ∀y,z:T.y = z → (∀x.y=z → P x y = P x z)  → (Ex S (λx.P x y)) =_1 (Ex S (λx.P x z)).
 415 #S T P y z Q E; @; *; #x Px; @x; nlapply (E x Q); *; /2/; nqed.
 416
 417 notation "∑" non associative with precedence 90 for @{Sig ?????}.
 418
 419 nlemma test : ∀S:setoid. ∀ee: S ⇒_1 S ⇒_1 CPROP.
 420  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y → (Ex S (λw.ee x w ∧ True)) =_1 (Ex S (λw.ee y w ∧ True)).
 421 #S m x y E;
 422 napply (.=_1 (∑ E (λw,H.(H ╪_1 #)╪_1 #))).
 423 napply #.
 424 nqed.
 425
 426 nlemma test2 : ∀S:setoid. ∀ee: S ⇒_1 S ⇒_1 CPROP.
 427  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y →
 428    (True ∧ (Ex S (λw.ee x w ∧ True))) =_1 (True ∧ (Ex S (λw.ee y w ∧ True))).
 429 #S m x y E;
 430 napply (.=_1 #╪_1(∑ E (λw,H.(H ╪_1 #) ╪_1 #))).
 431 napply #.
 432 nqed.
 433
 434 nlemma ex_setoid : ∀S:setoid.(S ⇒_1 CPROP) → setoid.
 435 #T P; @ (Ex T (λx:T.P x)); @;
 436 ##[ #H1 H2; napply True |##*: //; ##]
 437 nqed.
 438
 439 unification hint 0 ≔ T,P ; S ≟ (ex_setoid T P) ⊢
 440  Ex T (λx:T.P x) ≡ carr S.
 441
 442 nlemma test3 : ∀S:setoid. ∀ee: S ⇒_1 S ⇒_1 CPROP.
 443  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y →
 444    ((Ex S (λw.ee x w ∧ True) ∨ True)) =_1 ((Ex S (λw.ee y w ∧ True) ∨ True)).
 445 #S m x y E;
 446 napply (.=_1 (∑ E (λw,H.(H ╪_1 #) ╪_1 #)) ╪_1 #).
 447 napply #.
 448 nqed.
 449 (* Ex setoid support end *)
 450
 451 ndefinition L_pi_ext : ∀S:Alpha.∀r:pitem S.Elang S.
 452 #S r; @(𝐋\p r); #w1 w2 E; nelim r;
 453 ##[ ##1,2: /2/;
 454 ##| #x; @; *;
 455 ##| #x; @; #H; nchange in H with ([?] =_0 ?); ##[ napply ((.=_0 H) E); ##]
 456     napply ((.=_0 H) E^-1);
 457 ##| #e1 e2 H1 H2;
 458     nchange in match (w1 ∈ 𝐋\p (?·?)) with ((∃_.?)∨?);
 459     nchange in match (w2 ∈ 𝐋\p (?·?)) with ((∃_.?)∨?);
 460     napply (.= (#‡H2));
 461     napply (.=_1 (∑ E (λx1,H1.∑ E (λx2,H2.?)))╪_1 #); ##[
 462       ncut ((w1 = (x1@x2)) = (w2 = (x1@x2)));##[
 463         @; #X; ##[ napply ((.= H1^-1) X) | napply ((.= H2) X) ] ##] #X;
 464       napply ( (X‡#)‡#); ##]
 465     napply #;
 466 ##| #e1 e2 H1 H2;
 467     nnormalize in ⊢ (???%%);
 468     napply (H1‡H2);
 469 ##| #e H; nnormalize in ⊢ (???%%);
 470     napply (.=_1 (∑ E (λx1,H1.∑ E (λx2,H2.?)))); ##[
 471       ncut ((w1 = (x1@x2)) = (w2 = (x1@x2)));##[
 472         @; #X; ##[ napply ((.= H1^-1) X) | napply ((.= H2) X) ] ##] #X;
 473       napply ((X‡#)‡#); ##]
 474     napply #;##]
 475 nqed.
 476
 477 unification hint 0 ≔ S : Alpha,e : pitem S;
 478   SS ≟ (list S),
 479   X ≟ (mk_ext_powerclass SS (𝐋\p e) (ext_prop SS (L_pi_ext S e)))
 480 (*-----------------------------------------------------------------*)⊢
 481   ext_carr SS X ≡ 𝐋\p e.
 482
 483 ndefinition epsilon ≝
 484   λS:Alpha.λb.match b return λ_.lang S with [ true ⇒ { [ ] } | _ ⇒ ∅ ].
 485
 486 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 487 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 488 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 489
 490 ndefinition L_pr ≝ λS : Alpha.λp:pre S.  𝐋\p\ (\fst p) ∪ ϵ (\snd p).
 491
 492 interpretation "L_pr" 'L_pi E = (L_pr ? E).
 493
 494 nlemma append_eq_nil : ∀S:setoid.∀w1,w2:list S. [ ] = w1 @ w2 → w1 = [ ].
 495 #S w1; ncases w1; //. nqed.
 496
 497 (* lemma 12 *)
 498 nlemma epsilon_in_true : ∀S:Alpha.∀e:pre S. [ ] ∈ 𝐋\p e = (\snd e = true).
 499 #S r; ncases r; #e b; @; ##[##2: #H; nrewrite > H; @2; /2/; ##] ncases b;//;
 500 *; ##[##2:*] nelim e;
 501 ##[ ##1,2: *; ##| #c; *; ##| #c; *| ##7: #p H;
 502 ##| #r1 r2 H G; *; ##[##2: nassumption; ##]
 503 ##| #r1 r2 H1 H2; *; /2/ by {}]
 504 *; #w1; *; #w2; *; *;
 505 ##[ #defw1 H1 foo; napply H;
 506     napply (. (append_eq_nil ? ?? defw1)^-1╪_1#);
 507     nassumption;
 508 ##| #defw1 H1 foo; napply H;
 509     napply (. (append_eq_nil ? ?? defw1)^-1╪_1#);
 510     nassumption;
 511 ##]
 512 nqed.
 513
 514 nlemma not_epsilon_lp : ∀S:Alpha.∀e:pitem S. ¬ ([ ] ∈ (𝐋\p e)).
 515 #S e; nelim e; ##[##1,2,3,4: nnormalize;/2/]
 516 ##[ #p1 p2 np1 np2; *; ##[##2: napply np2] *; #w1; *; #w2; *; *; #abs;
 517     nlapply (append_eq_nil ??? abs); # defw1; #; napply np1;
 518     napply (. defw1^-1╪_1#);
 519     nassumption;
 520 ##| #p1 p2 np1 np2; *; nchange with (¬?); //;
 521 ##| #r n; *; #w1; *; #w2; *; *; #abs; #; napply n;
 522     nlapply (append_eq_nil ??? abs); # defw1; #;
 523     napply (. defw1^-1╪_1#);
 524     nassumption;##]
 525 nqed.
 526
 527 ndefinition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 528 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 529 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 530
 531 ndefinition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa,b:pre S.
 532    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 533    match b1 with
 534    [ false ⇒ 〈e1 · \fst b, \snd b〉
 535    | true ⇒ 〈e1 · \fst (bcast ? (\fst b)),\snd b || \snd (bcast ? (\fst b))〉]].
 536
 537 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc $op $a $b}.
 538 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 539 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 540
 541 ndefinition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa:pre S.
 542    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 543    match b1 with
 544    [ false ⇒ 〈e1^*, false〉
 545    | true ⇒ 〈(\fst (bcast ? e1))^*, true〉]].
 546
 547 notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.
 548 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 549 notation > "a ^ ⊛" non associative with precedence 75 for @{'lk eclose $a}.
 550
 551 notation > "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 552 nlet rec eclose (S: Alpha) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 553  match E with
 554   [ pz ⇒ 〈 0, false 〉
 555   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 556   | ps x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 557   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 558   | po E1 E2 ⇒ •E1 ⊕ •E2
 559   | pc E1 E2 ⇒ •E1 ⊙ 〈 E2, false 〉
 560   | pk E ⇒ 〈(\fst (•E))^*,true〉].
 561 notation < "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 562 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 563 notation > "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 564
 565 ndefinition reclose ≝ λS:Alpha.λp:pre S.let p' ≝ •\fst p in 〈\fst p',\snd p || \snd p'〉.
 566 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 567
 568 nlemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. ϵ(b1 || b2) = ϵ b1 ∪ ϵ b2. ##[##2: napply S]
 569 #S b1 b2; ncases b1; ncases b2;
 570 nchange in match (true || true) with true;
 571 nchange in match (true || false) with true;
 572 nchange in match (ϵ true) with {[]};
 573 nchange in match (ϵ false) with ∅;
 574 ##[##1,4: napply ((cupID…)^-1);
 575 ##| napply ((cup0 ? {[]})^-1);
 576 ##| napply (.= (cup0 ? {[]})^-1); napply cupC; ##]
 577 nqed.
 578
 579 (* XXX move somewere else *)
 580 ndefinition if': ∀A,B:CPROP. A = B → A → B.
 581 #A B; *; /2/. nqed.
 582
 583 ncoercion if : ∀A,B:CPROP. ∀p:A = B. A → B ≝ if' on _p : eq_rel1 ???? to ∀_:?.?.
 584
 585 (* theorem 16: 2 *)
 586 nlemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.𝐋\p (e1 ⊕ e2) = 𝐋\p e1 ∪ 𝐋\p e2.
 587 #S r1; ncases r1; #e1 b1 r2; ncases r2; #e2 b2;
 588 nwhd in ⊢ (???(??%)?);
 589 nchange in ⊢(???%?) with (𝐋\p (e1 + e2) ∪ ϵ (b1 || b2));
 590 nchange in ⊢(???(??%?)?) with (𝐋\p (e1) ∪ 𝐋\p (e2));
 591 napply (.=_1 #╪_1 (epsilon_or ???));
 592 napply (.=_1 (cupA…)^-1);
 593 napply (.=_1 (cupA…)╪_1#);
 594 napply (.=_1 (#╪_1(cupC…))╪_1#);
 595 napply (.=_1 (cupA…)^-1╪_1#);
 596 napply (.=_1 (cupA…));
 597 //;
 598 nqed.
 599
 600
 601 (* XXX problem: auto does not find # (refl) when it has a concrete == *)
 602 nlemma odotEt : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.∀b2:bool.
 603   〈e1,true〉 ⊙ 〈e2,b2〉 = 〈e1 · \fst (•e2),b2 || \snd (•e2)〉.
 604 #S e1 e2 b2; ncases b2; nnormalize; @; //; @; napply refl; nqed.
 605
 606 nlemma LcatE : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.
 607   𝐋\p (e1 · e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋  |e2| ∪ 𝐋\p e2. //; nqed.
 608
 609 nlemma cup_dotD : ∀S:Alpha.∀p,q,r:lang S.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 610 #S p q r; napply ext_set; #w; nnormalize; @;
 611 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 612 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 613 nqed.
 614
 615
 616 nlemma erase_dot : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.𝐋 |e1 · e2| =  𝐋 |e1| · 𝐋 |e2|.
 617 #S e1 e2; napply ext_set; nnormalize; #w; @; *; #w1; *; #w2; *; *; /7/ by ex_intro, conj;
 618 nqed.
 619
 620 nlemma erase_plus : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.𝐋 |e1 + e2| =  𝐋 |e1| ∪ 𝐋 |e2|.
 621 #S e1 e2; napply ext_set; nnormalize; #w; @; *; /4/ by or_introl, or_intror; nqed.
 622
 623 nlemma erase_star : ∀S:Alpha.∀e1:pitem S.𝐋 |e1|^* = 𝐋 |e1^*|. //; nqed.
 624
 625 ndefinition substract := λS:Alpha.λp,q:lang S.{ w | w ∈ p ∧ ¬ w ∈ q }.
 626 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 627
 628 FINQUI: manca ext per substract
 629
 630 nlemma memnil : ∀S:Alpha.∀a:list S. a ∈ {[]} → a = [ ].
 631 #S a; ncases a; //; nqed.
 632
 633 nlemma cup_sub: ∀S:Alpha.∀a,b:Elang S. ¬ ([]∈ a) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 634 #S a b c; napply ext_set; #w; @;
 635 ##[ *; ##[ #wa; @; ##[@;//] #H; napply c; napply (. ?╪_0?);
 636     napply (. (memnil ?? H)^-1‡#);
 637 /4/; *; /4/; nqed.
 638
 639 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 640 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 641
 642 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 643 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 644
 645 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 646 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed.
 647
 648 nlemma erase_bull : ∀S.∀a:pitem S. .|\fst (•a)| = .|a|.
 649 #S a; nelim a; // by {};
 650 ##[ #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| · .|e2|);
 651     nrewrite < IH1; nrewrite < IH2;
 652     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊙ 〈e2,false〉));
 653     ncases (•e1); #e3 b; ncases b; nnormalize;
 654     ##[ ncases (•e2); //; ##| nrewrite > IH2; //]
 655 ##| #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| + .|e2|);
 656     nrewrite < IH2; nrewrite < IH1;
 657     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊕ •e2));
 658     ncases (•e1); ncases (•e2); //;
 659 ##| #e IH; nchange in ⊢ (???%) with (.|e|^* ); nrewrite < IH;
 660     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e))^*; //; ##]
 661 nqed.
 662
 663 nlemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 664 #S p; ncases p; //; nqed.
 665
 666 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 667 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 668 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 669 napply Hw2; nqed.
 670
 671 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 672 nlemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1,e2: pre S.
 673       𝐋\p (•(\fst e2)) =  𝐋\p (\fst e2) ∪ 𝐋 .|\fst e2| →
 674          𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 675 #S e1 e2 th1; ncases e1; #e1' b1'; ncases b1';
 676 ##[ nwhd in ⊢ (??(??%)?); nletin e2' ≝ (\fst e2); nletin b2' ≝ (\snd e2);
 677     nletin e2'' ≝ (\fst (•(\fst e2))); nletin b2'' ≝ (\snd (•(\fst e2)));
 678     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 679     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (?∪?);
 680     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 681     nrewrite > (epsilon_or …); nrewrite > (cupC ? (ϵ ?)…);
 682     nrewrite > (cupA …);nrewrite < (cupA ?? (ϵ?)…);
 683     nrewrite > (?: 𝐋\p e2'' ∪ ϵ b2'' = 𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|); ##[##2:
 684       nchange with (𝐋\p 〈e2'',b2''〉 =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|);
 685       ngeneralize in match th1;
 686       nrewrite > (eta_lp…); #th1; nrewrite > th1; //;##]
 687     nrewrite > (eta_lp ? e2);
 688     nchange in match (𝐋\p 〈\fst e2,?〉) with (𝐋\p e2'∪ ϵ b2');
 689     nrewrite > (cup_dotD …); nrewrite > (epsilon_dot…);
 690     nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2')…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (cupA…);
 691     nrewrite < (erase_bull S e2') in ⊢ (???(??%?)); //;
 692 ##| ncases e2; #e2' b2'; nchange in match (〈e1',false〉⊙?) with 〈?,?〉;
 693     nchange in match (𝐋\p ?) with (?∪?);
 694     nchange in match (𝐋\p (e1'·?)) with (?∪?);
 695     nchange in match (𝐋\p 〈e1',?〉) with (?∪?);
 696     nrewrite > (cup0…);
 697     nrewrite > (cupA…); //;##]
 698 nqed.
 699
 700 nlemma sub_dot_star :
 701   ∀S.∀X:word S → Prop.∀b. (X - ϵ b) · X^* ∪ {[]} = X^*.
 702 #S X b; napply extP; #w; @;
 703 ##[ *; ##[##2: nnormalize; #defw; nrewrite < defw; @[]; @; //]
 704     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 705     @ (w1 :: lw); nrewrite < defw; nrewrite < flx; @; //;
 706     @; //; napply (subW … sube);
 707 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; nrewrite < defw; nelim wl in Pwl; ##[ #_; @2; //]
 708     #w' wl' IH; *; #Pw' IHp; nlapply (IH IHp); *;
 709     ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defwl' H1 H2;
 710         @; ncases b in H1; #H1;
 711         ##[##2: nrewrite > (sub0…); @w'; @(w1@w2);
 712                 nrewrite > (associative_append ? w' w1 w2);
 713                 nrewrite > defwl'; @; ##[@;//] @(wl'); @; //;
 714            ##| ncases w' in Pw';
 715                ##[ #ne; @w1; @w2; nrewrite > defwl'; @; //; @; //;
 716                ##| #x xs Px; @(x::xs); @(w1@w2);
 717                    nrewrite > (defwl'); @; ##[@; //; @; //; @; nnormalize; #; ndestruct]
 718                    @wl'; @; //; ##] ##]
 719         ##| #wlnil; nchange in match (flatten ? (w'::wl')) with (w' @ flatten ? wl');
 720             nrewrite < (wlnil); nrewrite > (append_nil…); ncases b;
 721             ##[ ncases w' in Pw'; /2/; #x xs Pxs; @; @(x::xs); @([]);
 722                 nrewrite > (append_nil…); @; ##[ @; //;@; //; nnormalize; @; #; ndestruct]
 723                 @[]; @; //;
 724             ##| @; @w'; @[]; nrewrite > (append_nil…); @; ##[##2: @[]; @; //]
 725                 @; //; @; //; @; *;##]##]##]
 726 nqed.
 727
 728 (* theorem 16: 1 *)
 729 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 730 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 731 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 732 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 733 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 .|e|.
 734 #S e; nelim e; //;
 735   ##[ #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 736   ##| #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl; *;
 737   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 738       nchange in ⊢ (??(??(%))?) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 739       nrewrite > (odot_dot_aux S (•e1) 〈e2,false〉 IH2);
 740       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (cup_dotD …);
 741       nrewrite > (cupA …); nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p ?) …);
 742       nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (𝐋\p e2 ∪ {}); nrewrite > (cup0 …);
 743       nrewrite < (erase_dot …); nrewrite < (cupA …); //;
 744   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 745       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2); nrewrite > (oplus_cup …);
 746       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (IH2 …); nrewrite > (cupA …);
 747       nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2)…);nrewrite < (cupA ??? (𝐋\p e2)…);
 748       nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p e2)…); nrewrite < (cupA …);
 749       nrewrite < (erase_plus …); //.
 750   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 751       nchange in match (𝐋\p ?) with  (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 752       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 753       nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 754       nrewrite > (erase_bull…e);
 755       nrewrite > (erase_star …);
 756       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b')); ##[##2:
 757         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 758         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 759             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 760         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 761       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 762       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 .|e^*|)); //;
 763       nchange in match (𝐋 .|e^*|) with ((𝐋. |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 764  nqed.
 765
 766 (* theorem 16: 3 *)
 767 nlemma odot_dot:
 768   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 769 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 770
 771 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 772 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 773 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 774     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 775     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 776 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 777     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 778     @; /2/; @xs; /2/;##]
 779  nqed.
 780
 781 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 782 #S e; @[]; /2/; nqed.
 783
 784 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 785 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 786
 787 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 788 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 789
 790 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 791   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 792 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 793 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 794 nqed.
 795
 796 (* theorem 16: 4 *)
 797 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 .|\fst e|)^*.
 798 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 799 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 800     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 801     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 802     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 803     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b' )); ##[##2:
 804       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 805       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 806       nchange in match b' in bc with b';
 807       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 808       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 809     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 810     nrewrite > (sub_dot_star…);
 811     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 812     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 813 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 814     nrewrite > (cup0…);
 815     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 .|e|^* );
 816     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 817 nqed.
 818
 819 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 820   match e with
 821   [ z ⇒ pz ?
 822   | e ⇒ pe ?
 823   | s x ⇒ ps ? x
 824   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 825   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 826   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 827
 828 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 829
 830 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 831 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 832 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 833
 834 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 835 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 836 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 837     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 838 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 839     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 840 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 841     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 842 nqed.
 843
 844 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 .|pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 845 #S A; nelim A; //;
 846 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 847     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 848 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 849     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 850 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 851     nrewrite < H1; //]
 852 nqed.
 853
 854 (* corollary 17 *)
 855 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 856 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 857 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 858 nqed.
 859
 860 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 861 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 862
 863 (* corollary 18 *)
 864 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ .|e|.
 865 #S e; @;
 866 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 867     nrewrite > defsnde; #H;
 868     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 869     E MO?
 870
 871 STOP
 872
 873 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 874 non associative with precedence 60 for @{move ? $x $E}.
 875 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 876  match E with
 877   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 878   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 879   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 880   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 881   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 882   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 883   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 884 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 885 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 886 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 887
 888 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
 889 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
 890
 891 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ∅ → False.
 892 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 893 nqed.
 894
 895
 896 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
 897 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 898 nqed.
 899
 900 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 901 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 902 nqed.
 903
 904
 905 naxiom in_move_cat:
 906  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
 907    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
 908 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
 909 ncases e1 in H; ncases e2;
 910 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 911    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 912    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 913 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 914    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 915    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 916 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
 917    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 918    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
 919    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
 920 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
 921    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
 922    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
 923 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
 924     ...
 925 nqed.
 926
 927 ntheorem move_ok:
 928  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
 929 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
 930 ##[##1,2: #a w; @;
 931    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
 932       #H; ninversion H; #; ndestruct;
 933    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
 934        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
 935 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
 936    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
 937 ##|#a c w; @; nnormalize;
 938    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
 939        #H; ninversion H; #; ndestruct;
 940    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
 941               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
 942 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
 943    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
 944       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
 945           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
 946           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
 947       ##|
 948       ...
 949 ##|
 950 ##|
 951 ##]
 952 nqed.
 953
 954
 955 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{move_star ? $x $E}.
 956 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
 957  match w with
 958   [ nil ⇒ E
 959   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
 960
 961 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
 962
 963 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 964  mk_equiv:
 965   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 966    \fst E1  = \fst E2 →
 967     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
 968      equiv S E1 E2.
 969
 970 ndefinition NAT: decidable.
 971  @ nat eqb; /2/.
 972 nqed.
 973
 974 include "hints_declaration.ma".
 975
 976 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 977 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
 978
 979 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
 980
 981 nlet corec foo_nop (b: bool):
 982  equiv ?
 983   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
 984   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
 985  @; //; #x; ncases x
 986   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 987   | #y; ncases y
 988      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 989      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
 990 nqed.
 991
 992 (*
 993 nlet corec foo (a: unit):
 994  equiv NAT
 995   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
 996   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
 997 ≝ ?.
 998  @;
 999   ##[ nnormalize; //
1000   ##| #x; ncases x
1001        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
1002          nnormalize in foo: (? → ??%%);
1003          @; //; #y; ncases y
1004            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
1005            | #y; ncases y
1006               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
1007
1008             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
1009      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
1010   ##]
1011 nqed.
1012 *)
1013
1014 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
1015 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
1016 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
1017
1018
1019 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
1020  nnormalize in match test3;
1021  nnormalize;
1022 //;
1023 nqed.
1024
1025 (**********************************************************)
1026
1027 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
1028    der_z: der S a (z S) (z S)
1029  | der_e: der S a (e S) (z S)
1030  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
1031  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
1032  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
1033             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
1034  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
1035             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
1036  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
1037     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
1038
1039 nlemma eq_rect_CProp0_r:
1040  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
1041  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
1042 nqed.
1043
1044 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
1045
1046 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
1047 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
1048   [ #K; ninversion K
1049   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
1050   | (* tutti casi assurdi *) *)
1051
1052 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
1053    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
1054  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
1055
1056 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
1057    mk_eq_re: ∀E1,E2.
1058     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
1059     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
1060     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
1061       eq_re S E1 E2.
1062
1063 (* serve il lemma dopo? *)
1064 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
1065  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
1066   [ #r; #K (* ok *)
1067   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
1068
1069 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
1070 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
1071 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
1072   [ //
1073   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
1074   ]
1075 nqed. *)
1076
1077 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
1078  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
1079   [##1,2: #H1; ninversion H1
1080      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
1081      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1082      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1083      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1084      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1085      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1086      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
1087 ##| #H1; ninversion H1
1088      [ //
1089      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1090      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1091      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1092      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1093      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1094      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
1095 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
1096      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
1097      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1098      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1099      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1100      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1101      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1102      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
1103 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
1104