helm/software/matita/nlibrary/re/re-setoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/pairs.ma".
  16 include "datatypes/bool.ma".
  17 include "logic/cprop.ma".
  18
  19 ninductive Admit : CProp[0] ≝ .
  20 naxiom admit : Admit.
  21
  22 ninductive list (A:setoid) : Type[0] ≝
  23   | nil: list A
  24   | cons: A -> list A -> list A.
  25
  26 nlet rec eq_list A (l1, l2 : list A) on l1 : CProp[0] ≝
  27 match l1 with
  28 [ nil ⇒ match l2 with [ nil ⇒ ? | _ ⇒ ? ]
  29 | cons x xs ⇒ match l2 with [ nil ⇒ ? | cons y ys ⇒ x = y ∧ eq_list ? xs ys]].
  30 ##[ napply True|napply False|napply False]nqed.
  31
  32 ndefinition LIST : setoid → setoid.
  33 #S; @(list S); @(eq_list S); ncases admit; nqed.
  34
  35 unification hint 0 ≔ S;
  36   P1 ≟ refl ? (eq (LIST S)),
  37   P2 ≟ sym ? (eq (LIST S)),
  38   P3 ≟ trans ? (eq (LIST S)),
  39   X ≟ mk_setoid (list S) (mk_equivalence_relation ? (eq_list S) P1 P2 P3)
  40 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
  41      carr X ≡ list S.
  42
  43 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  44   right associative with precedence 47
  45   for @{'cons $hd $tl}.
  46
  47 notation "[ list0 x sep ; ]"
  48   non associative with precedence 90
  49   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  50
  51 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  52   right associative with precedence 47
  53   for @{'append $l1 $l2 }.
  54
  55 interpretation "nil" 'nil = (nil ?).
  56 interpretation "cons" 'cons hd tl = (cons ? hd tl).
  57
  58 nlet rec append A (l1: list A) l2 on l1 ≝
  59   match l1 with
  60   [ nil ⇒ l2
  61   | cons hd tl ⇒ hd :: append A tl l2 ].
  62
  63 interpretation "append" 'append l1 l2 = (append ? l1 l2).
  64
  65 ntheorem append_nil: ∀A.∀l:list A.l @ [] = l.
  66 #A;#l;nelim l;//; #a;#l1;#IH;nnormalize;/2/;nqed.
  67
  68 ndefinition associative ≝ λA:setoid.λf:A → A → A.∀x,y,z.f x (f y z) = f (f x y) z.
  69
  70 ninductive one : Type[0] ≝ unit : one.
  71
  72 ndefinition force ≝
  73   λS:Type[1].λs:S.λT:Type[1].λt:T.λlock:one.
  74     match lock return λ_.Type[1] with [ unit ⇒ T].
  75
  76 nlet rec lift (S:Type[1]) (s:S) (T:Type[1]) (t:T) (lock:one) on lock : force S s T t lock ≝
  77  match lock return λlock.force S s T t lock with [ unit ⇒ t ].
  78
  79 ncoercion lift : ∀S:Type[1].∀s:S.∀T:Type[1].∀t:T.∀lock:one. force S s T t lock ≝ lift
  80  on s : ? to force ?????.
  81
  82 unification hint 0 ≔ R : setoid;
  83    TR ≟ setoid, MR ≟ (carr R), lock ≟ unit
  84 (* ---------------------------------------- *) ⊢
  85    setoid ≡ force ?(*Type[0]*) MR TR R lock.
  86
  87 ntheorem associative_append: ∀A.associative (list A) (append A).
  88 #A;#x;#y;#z;nelim x[//|#a;#x1;#H;nnormalize;/2/]nqed.
  89
  90 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
  91
  92 nrecord Alpha : Type[1] ≝ {
  93    carr :> setoid;
  94    eqb: carr → carr → bool; (*
  95    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) = (x = y) *)
  96 }.
  97
  98 notation "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqb $a $b }.
  99 interpretation "eqb" 'eqb a b = (eqb ? a b).
 100
 101 ndefinition word ≝ λS:Alpha.list S.
 102
 103 ninductive re (S: Alpha) : Type[0] ≝
 104    z: re S
 105  | e: re S
 106  | s: S → re S
 107  | c: re S → re S → re S
 108  | o: re S → re S → re S
 109  | k: re S → re S.
 110
 111 notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 112 notation > "a ^ *" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 113 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
 114 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
 115
 116 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
 117 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
 118
 119 (* to get rid of \middot *)
 120 ncoercion c  : ∀S:Alpha.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
 121
 122 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 123 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 124 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
 125
 126 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
 127 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
 128
 129 notation "∅" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
 130 interpretation "empty" 'empty = (z ?).
 131
 132 nlet rec flatten (S : Alpha) (l : list (word S)) on l : word S ≝
 133 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
 134
 135 nlet rec conjunct (S : Alpha) (l : list (word S)) (r : word S → Prop) on l: Prop ≝
 136 match l with [ nil ⇒ ? | cons w tl ⇒ r w ∧ conjunct ? tl r ]. napply True. nqed.
 137
 138 ndefinition empty_lang ≝ λS.λw:word S.False.
 139 notation "{}" non associative with precedence 90 for @{'empty_lang}.
 140 interpretation "empty lang" 'empty_lang = (empty_lang ?).
 141
 142 ndefinition sing_lang ≝ λS.λx,w:word S.x=w.
 143 notation "{x}" non associative with precedence 90 for @{'sing_lang $x}.
 144 interpretation "sing lang" 'sing_lang x = (sing_lang ? x).
 145
 146 ndefinition union : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝ λS.λl1,l2.λw:word S.l1 w ∨ l2 w.
 147 interpretation "union lang" 'union a b = (union ? a b).
 148
 149 ndefinition cat : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝
 150   λS.λl1,l2.λw:word S.∃w1,w2.w1 @ w2 = w ∧ l1 w1 ∧ l2 w2.
 151 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
 152
 153 ndefinition star ≝ λS.λl.λw:word S.∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l.
 154 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
 155
 156 notation > "𝐋 term 90 E" non associative with precedence 90 for @{in_l ? $E}.
 157 nlet rec in_l (S : Alpha) (r : re S) on r : word S → Prop ≝
 158 match r with
 159 [ z ⇒ {}
 160 | e ⇒ { [ ] }
 161 | s x ⇒ { [x] }
 162 | c r1 r2 ⇒ 𝐋 r1 · 𝐋 r2
 163 | o r1 r2 ⇒  𝐋 r1 ∪ 𝐋 r2
 164 | k r1 ⇒ (𝐋 r1) ^*].
 165 notation "𝐋 term 90 E" non associative with precedence 90 for @{'in_l $E}.
 166 interpretation "in_l" 'in_l E = (in_l ? E).
 167 interpretation "in_l mem" 'mem w l = (in_l ? l w).
 168
 169 notation "a || b" left associative with precedence 30 for @{'orb $a $b}.
 170 interpretation "orb" 'orb a b = (orb a b).
 171
 172 ndefinition if_then_else ≝ λT:Type[0].λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
 173 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 19 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
 174 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
 175 interpretation "if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else ? e t f).
 176
 177 ninductive pitem (S: Alpha) : Type[0] ≝
 178    pz: pitem S
 179  | pe: pitem S
 180  | ps: S → pitem S
 181  | pp: S → pitem S
 182  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 183  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 184  | pk: pitem S → pitem S.
 185
 186 ndefinition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 187
 188 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 189 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 190 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 191 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 192 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 193 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 194 (* to get rid of \middot *)
 195 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 196 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 197 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 198 interpretation "pempty" 'empty = (pz ?).
 199
 200 notation > "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{forget ? $e}.
 201 nlet rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 202  match l with
 203   [ pz ⇒ ∅
 204   | pe ⇒ ϵ
 205   | ps x ⇒ `x
 206   | pp x ⇒ `x
 207   | pc E1 E2 ⇒ (|E1| · |E2|)
 208   | po E1 E2 ⇒ (|E1| + |E2|)
 209   | pk E ⇒ |E|^* ].
 210 notation < ".|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.
 211 interpretation "forget" 'forget a = (forget ? a).
 212
 213 notation "\fst term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'fst $x}.
 214 interpretation "fst" 'fst x = (fst ? ? x).
 215 notation > "\snd term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'snd $x}.
 216 interpretation "snd" 'snd x = (snd ? ? x).
 217
 218 notation > "𝐋\p\ term 90 E" non associative with precedence 90 for @{in_pl ? $E}.
 219 nlet rec in_pl (S : Alpha) (r : pitem S) on r : word S → Prop ≝
 220 match r with
 221 [ pz ⇒ {}
 222 | pe ⇒ {}
 223 | ps _ ⇒ {}
 224 | pp x ⇒ { [x] }
 225 | pc r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 .|r2| ∪ 𝐋\p\ r2
 226 | po r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 ∪ 𝐋\p\ r2
 227 | pk r1 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 (.|r1|^* ) ].
 228 notation > "𝐋\p term 90 E" non associative with precedence 90 for @{'in_pl $E}.
 229 notation "𝐋\sub(\p) term 90 E" non associative with precedence 90 for @{'in_pl $E}.
 230 interpretation "in_pl" 'in_pl E = (in_pl ? E).
 231 interpretation "in_pl mem" 'mem w l = (in_pl ? l w).
 232
 233 ndefinition epsilon ≝ λS,b.if b then { ([ ] : word S) } else {}.
 234
 235 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 236 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 237 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 238
 239 ndefinition in_prl ≝ λS : Alpha.λp:pre S.  𝐋\p\ (\fst p) ∪ ϵ (\snd p).
 240
 241 interpretation "in_prl mem" 'mem w l = (in_prl ? l w).
 242 interpretation "in_prl" 'in_pl E = (in_prl ? E).
 243
 244 nlemma append_eq_nil : ∀S.∀w1,w2:word S. w1 @ w2 = [ ] → w1 = [ ].
 245 #S w1; nelim w1; //. #x tl IH w2; nnormalize; #abs; ndestruct; nqed.
 246
 247 (* lemma 12 *)
 248 nlemma epsilon_in_true : ∀S.∀e:pre S. [ ] ∈ e ↔ \snd e = true.
 249 #S r; ncases r; #e b; @; ##[##2: #H; nrewrite > H; @2; /2/; ##] ncases b;//;
 250 nnormalize; *; ##[##2:*] nelim e;
 251 ##[ ##1,2: *; ##| #c; *; ##| #c; nnormalize; #; ndestruct; ##| ##7: #p H;
 252 ##| #r1 r2 H G; *; ##[##2: /3/ by or_intror]
 253 ##| #r1 r2 H1 H2; *; /3/ by or_intror, or_introl; ##]
 254 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw1; nrewrite > (append_eq_nil … w1 w2 …); /3/ by {};//;
 255 nqed.
 256
 257 nlemma not_epsilon_lp : ∀S.∀e:pitem S. ¬ (𝐋\p e [ ]).
 258 #S e; nelim e; nnormalize; /2/ by nmk;
 259 ##[ #; @; #; ndestruct;
 260 ##| #r1 r2 n1 n2; @; *; /2/; *; #w1; *; #w2; *; *; #H;
 261     nrewrite > (append_eq_nil …H…); /2/;
 262 ##| #r1 r2 n1 n2; @; *; /2/;
 263 ##| #r n; @; *; #w1; *; #w2; *; *; #H;
 264     nrewrite > (append_eq_nil …H…); /2/;##]
 265 nqed.
 266
 267 ndefinition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 268 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 269 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 270
 271 ndefinition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa,b:pre S.
 272    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 273    match b1 with
 274    [ false ⇒ 〈e1 · \fst b, \snd b〉
 275    | true ⇒ 〈e1 · \fst (bcast ? (\fst b)),\snd b || \snd (bcast ? (\fst b))〉]].
 276
 277 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc $op $a $b}.
 278 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 279 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 280
 281 ndefinition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa:pre S.
 282    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 283    match b1 with
 284    [ false ⇒ 〈e1^*, false〉
 285    | true ⇒ 〈(\fst (bcast ? e1))^*, true〉]].
 286
 287 notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.
 288 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 289 notation > "a^⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk eclose $a}.
 290
 291 notation > "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 292 nlet rec eclose (S: Alpha) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 293  match E with
 294   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 295   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 296   | ps x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 297   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 298   | po E1 E2 ⇒ •E1 ⊕ •E2
 299   | pc E1 E2 ⇒ •E1 ⊙ 〈 E2, false 〉
 300   | pk E ⇒ 〈(\fst (•E))^*,true〉].
 301 notation < "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 302 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 303 notation > "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 304
 305 ndefinition reclose ≝ λS:Alpha.λp:pre S.let p' ≝ •\fst p in 〈\fst p',\snd p || \snd p'〉.
 306 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 307
 308 ndefinition eq_f1 ≝ λS.λa,b:word S → Prop.∀w.a w ↔ b w.
 309 notation > "A =1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 310 notation "A =\sub 1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 311 interpretation "eq f1" 'eq_f1 a b = (eq_f1 ? a b).
 312
 313 naxiom extP : ∀S.∀p,q:word S → Prop.(p =1 q) → p = q.
 314
 315 nlemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. ϵ(b1 || b2) = ϵ b1 ∪ ϵ b2. ##[##2: napply S]
 316 #S b1 b2; ncases b1; ncases b2; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *;
 317 nqed.
 318
 319 nlemma cupA : ∀S.∀a,b,c:word S → Prop.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 320 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/; *; /3/; nqed.
 321
 322 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:word S → Prop.a ∪ b = b ∪ a.
 323 #S a b; napply extP; #w; @; *; nnormalize; /2/; nqed.
 324
 325 (* theorem 16: 2 *)
 326 nlemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.𝐋\p (e1 ⊕ e2) = 𝐋\p e1 ∪ 𝐋\p e2.
 327 #S r1; ncases r1; #e1 b1 r2; ncases r2; #e2 b2;
 328 nwhd in ⊢ (??(??%)?);
 329 nchange in ⊢(??%?) with (𝐋\p (e1 + e2) ∪ ϵ (b1 || b2));
 330 nchange in ⊢(??(??%?)?) with (𝐋\p (e1) ∪ 𝐋\p (e2));
 331 nrewrite > (epsilon_or S …); nrewrite > (cupA S (𝐋\p e1) …);
 332 nrewrite > (cupC ? (ϵ b1) …); nrewrite < (cupA S (𝐋\p e2) …);
 333 nrewrite > (cupC ? ? (ϵ b1) …); nrewrite < (cupA …); //;
 334 nqed.
 335
 336 nlemma odotEt :
 337   ∀S.∀e1,e2:pitem S.∀b2. 〈e1,true〉 ⊙ 〈e2,b2〉 = 〈e1 · \fst (•e2),b2 || \snd (•e2)〉.
 338 #S e1 e2 b2; nnormalize; ncases (•e2); //; nqed.
 339
 340 nlemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋\p (e1 · e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|e2| ∪ 𝐋\p e2. //; nqed.
 341
 342 nlemma cup_dotD : ∀S.∀p,q,r:word S → Prop.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 343 #S p q r; napply extP; #w; nnormalize; @;
 344 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 345 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 346 nqed.
 347
 348 nlemma cup0 :∀S.∀p:word S → Prop.p ∪ {} = p.
 349 #S p; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *; nqed.
 350
 351 nlemma erase_dot : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 .|e1 · e2| =  𝐋 .|e1| · 𝐋 .|e2|.
 352 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; #w1; *; #w2; *; *; /7/ by ex_intro, conj;
 353 nqed.
 354
 355 nlemma erase_plus : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 .|e1 + e2| =  𝐋 .|e1| ∪ 𝐋 .|e2|.
 356 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; /4/ by or_introl, or_intror; nqed.
 357
 358 nlemma erase_star : ∀S.∀e1:pitem S.𝐋 .|e1|^* = 𝐋 .|e1^*|. //; nqed.
 359
 360 ndefinition substract := λS.λp,q:word S → Prop.λw.p w ∧ ¬ q w.
 361 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 362
 363 nlemma cup_sub: ∀S.∀a,b:word S → Prop. ¬ (a []) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 364 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /4/; *; /4/; nqed.
 365
 366 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 367 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 368
 369 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 370 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 371
 372 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 373 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed.
 374
 375 nlemma erase_bull : ∀S.∀a:pitem S. .|\fst (•a)| = .|a|.
 376 #S a; nelim a; // by {};
 377 ##[ #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| · .|e2|);
 378     nrewrite < IH1; nrewrite < IH2;
 379     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊙ 〈e2,false〉));
 380     ncases (•e1); #e3 b; ncases b; nnormalize;
 381     ##[ ncases (•e2); //; ##| nrewrite > IH2; //]
 382 ##| #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| + .|e2|);
 383     nrewrite < IH2; nrewrite < IH1;
 384     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊕ •e2));
 385     ncases (•e1); ncases (•e2); //;
 386 ##| #e IH; nchange in ⊢ (???%) with (.|e|^* ); nrewrite < IH;
 387     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e))^*; //; ##]
 388 nqed.
 389
 390 nlemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 391 #S p; ncases p; //; nqed.
 392
 393 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 394 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 395 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 396 napply Hw2; nqed.
 397
 398 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 399 nlemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1,e2: pre S.
 400       𝐋\p (•(\fst e2)) =  𝐋\p (\fst e2) ∪ 𝐋 .|\fst e2| →
 401          𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 402 #S e1 e2 th1; ncases e1; #e1' b1'; ncases b1';
 403 ##[ nwhd in ⊢ (??(??%)?); nletin e2' ≝ (\fst e2); nletin b2' ≝ (\snd e2);
 404     nletin e2'' ≝ (\fst (•(\fst e2))); nletin b2'' ≝ (\snd (•(\fst e2)));
 405     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 406     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (?∪?);
 407     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 408     nrewrite > (epsilon_or …); nrewrite > (cupC ? (ϵ ?)…);
 409     nrewrite > (cupA …);nrewrite < (cupA ?? (ϵ?)…);
 410     nrewrite > (?: 𝐋\p e2'' ∪ ϵ b2'' = 𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|); ##[##2:
 411       nchange with (𝐋\p 〈e2'',b2''〉 =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|);
 412       ngeneralize in match th1;
 413       nrewrite > (eta_lp…); #th1; nrewrite > th1; //;##]
 414     nrewrite > (eta_lp ? e2);
 415     nchange in match (𝐋\p 〈\fst e2,?〉) with (𝐋\p e2'∪ ϵ b2');
 416     nrewrite > (cup_dotD …); nrewrite > (epsilon_dot…);
 417     nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2')…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (cupA…);
 418     nrewrite < (erase_bull S e2') in ⊢ (???(??%?)); //;
 419 ##| ncases e2; #e2' b2'; nchange in match (〈e1',false〉⊙?) with 〈?,?〉;
 420     nchange in match (𝐋\p ?) with (?∪?);
 421     nchange in match (𝐋\p (e1'·?)) with (?∪?);
 422     nchange in match (𝐋\p 〈e1',?〉) with (?∪?);
 423     nrewrite > (cup0…);
 424     nrewrite > (cupA…); //;##]
 425 nqed.
 426
 427 nlemma sub_dot_star :
 428   ∀S.∀X:word S → Prop.∀b. (X - ϵ b) · X^* ∪ {[]} = X^*.
 429 #S X b; napply extP; #w; @;
 430 ##[ *; ##[##2: nnormalize; #defw; nrewrite < defw; @[]; @; //]
 431     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 432     @ (w1 :: lw); nrewrite < defw; nrewrite < flx; @; //;
 433     @; //; napply (subW … sube);
 434 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; nrewrite < defw; nelim wl in Pwl; ##[ #_; @2; //]
 435     #w' wl' IH; *; #Pw' IHp; nlapply (IH IHp); *;
 436     ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defwl' H1 H2;
 437         @; ncases b in H1; #H1;
 438         ##[##2: nrewrite > (sub0…); @w'; @(w1@w2);
 439                 nrewrite > (associative_append ? w' w1 w2);
 440                 nrewrite > defwl'; @; ##[@;//] @(wl'); @; //;
 441            ##| ncases w' in Pw';
 442                ##[ #ne; @w1; @w2; nrewrite > defwl'; @; //; @; //;
 443                ##| #x xs Px; @(x::xs); @(w1@w2);
 444                    nrewrite > (defwl'); @; ##[@; //; @; //; @; nnormalize; #; ndestruct]
 445                    @wl'; @; //; ##] ##]
 446         ##| #wlnil; nchange in match (flatten ? (w'::wl')) with (w' @ flatten ? wl');
 447             nrewrite < (wlnil); nrewrite > (append_nil…); ncases b;
 448             ##[ ncases w' in Pw'; /2/; #x xs Pxs; @; @(x::xs); @([]);
 449                 nrewrite > (append_nil…); @; ##[ @; //;@; //; nnormalize; @; #; ndestruct]
 450                 @[]; @; //;
 451             ##| @; @w'; @[]; nrewrite > (append_nil…); @; ##[##2: @[]; @; //]
 452                 @; //; @; //; @; *;##]##]##]
 453 nqed.
 454
 455 (* theorem 16: 1 *)
 456 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 457 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 458 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 459 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 460 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 .|e|.
 461 #S e; nelim e; //;
 462   ##[ #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 463   ##| #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl; *;
 464   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 465       nchange in ⊢ (??(??(%))?) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 466       nrewrite > (odot_dot_aux S (•e1) 〈e2,false〉 IH2);
 467       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (cup_dotD …);
 468       nrewrite > (cupA …); nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p ?) …);
 469       nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (𝐋\p e2 ∪ {}); nrewrite > (cup0 …);
 470       nrewrite < (erase_dot …); nrewrite < (cupA …); //;
 471   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 472       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2); nrewrite > (oplus_cup …);
 473       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (IH2 …); nrewrite > (cupA …);
 474       nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2)…);nrewrite < (cupA ??? (𝐋\p e2)…);
 475       nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p e2)…); nrewrite < (cupA …);
 476       nrewrite < (erase_plus …); //.
 477   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 478       nchange in match (𝐋\p ?) with  (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 479       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 480       nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 481       nrewrite > (erase_bull…e);
 482       nrewrite > (erase_star …);
 483       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b')); ##[##2:
 484         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 485         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 486             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 487         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 488       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 489       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 .|e^*|)); //;
 490       nchange in match (𝐋 .|e^*|) with ((𝐋. |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 491  nqed.
 492
 493 (* theorem 16: 3 *)
 494 nlemma odot_dot:
 495   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 496 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 497
 498 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 499 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 500 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 501     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 502     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 503 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 504     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 505     @; /2/; @xs; /2/;##]
 506  nqed.
 507
 508 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 509 #S e; @[]; /2/; nqed.
 510
 511 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 512 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 513
 514 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 515 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 516
 517 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 518   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 519 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 520 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 521 nqed.
 522
 523 (* theorem 16: 4 *)
 524 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 .|\fst e|)^*.
 525 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 526 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 527     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 528     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 529     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 530     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b' )); ##[##2:
 531       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 532       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 533       nchange in match b' in bc with b';
 534       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 535       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 536     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 537     nrewrite > (sub_dot_star…);
 538     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 539     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 540 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 541     nrewrite > (cup0…);
 542     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 .|e|^* );
 543     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 544 nqed.
 545
 546 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 547   match e with
 548   [ z ⇒ pz ?
 549   | e ⇒ pe ?
 550   | s x ⇒ ps ? x
 551   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 552   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 553   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 554
 555 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 556
 557 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 558 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 559 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 560
 561 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 562 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 563 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 564     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 565 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 566     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 567 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 568     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 569 nqed.
 570
 571 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 .|pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 572 #S A; nelim A; //;
 573 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 574     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 575 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 576     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 577 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 578     nrewrite < H1; //]
 579 nqed.
 580
 581 (* corollary 17 *)
 582 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 583 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 584 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 585 nqed.
 586
 587 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 588 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 589
 590 (* corollary 18 *)
 591 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ .|e|.
 592 #S e; @;
 593 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 594     nrewrite > defsnde; #H;
 595     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 596     E MO?
 597
 598 STOP
 599
 600 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 601 non associative with precedence 60 for @{move ? $x $E}.
 602 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 603  match E with
 604   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 605   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 606   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 607   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 608   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 609   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 610   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 611 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 612 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 613 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 614
 615 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
 616 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
 617
 618 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ∅ → False.
 619 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 620 nqed.
 621
 622
 623 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
 624 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 625 nqed.
 626
 627 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 628 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 629 nqed.
 630
 631
 632 naxiom in_move_cat:
 633  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
 634    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
 635 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
 636 ncases e1 in H; ncases e2;
 637 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 638    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 639    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 640 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 641    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 642    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 643 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
 644    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 645    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
 646    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
 647 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
 648    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
 649    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
 650 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
 651     ...
 652 nqed.
 653
 654 ntheorem move_ok:
 655  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
 656 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
 657 ##[##1,2: #a w; @;
 658    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
 659       #H; ninversion H; #; ndestruct;
 660    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
 661        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
 662 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
 663    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
 664 ##|#a c w; @; nnormalize;
 665    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
 666        #H; ninversion H; #; ndestruct;
 667    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
 668               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
 669 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
 670    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
 671       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
 672           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
 673           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
 674       ##|
 675       ...
 676 ##|
 677 ##|
 678 ##]
 679 nqed.
 680
 681
 682 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{move_star ? $x $E}.
 683 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
 684  match w with
 685   [ nil ⇒ E
 686   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
 687
 688 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
 689
 690 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 691  mk_equiv:
 692   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 693    \fst E1  = \fst E2 →
 694     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
 695      equiv S E1 E2.
 696
 697 ndefinition NAT: decidable.
 698  @ nat eqb; /2/.
 699 nqed.
 700
 701 include "hints_declaration.ma".
 702
 703 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 704 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
 705
 706 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
 707
 708 nlet corec foo_nop (b: bool):
 709  equiv ?
 710   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
 711   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
 712  @; //; #x; ncases x
 713   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 714   | #y; ncases y
 715      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 716      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
 717 nqed.
 718
 719 (*
 720 nlet corec foo (a: unit):
 721  equiv NAT
 722   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
 723   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
 724 ≝ ?.
 725  @;
 726   ##[ nnormalize; //
 727   ##| #x; ncases x
 728        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 729          nnormalize in foo: (? → ??%%);
 730          @; //; #y; ncases y
 731            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 732            | #y; ncases y
 733               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 734
 735             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
 736      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 737   ##]
 738 nqed.
 739 *)
 740
 741 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
 742 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
 743 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
 744
 745
 746 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
 747  nnormalize in match test3;
 748  nnormalize;
 749 //;
 750 nqed.
 751
 752 (**********************************************************)
 753
 754 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
 755    der_z: der S a (z S) (z S)
 756  | der_e: der S a (e S) (z S)
 757  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
 758  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
 759  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 760             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
 761  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
 762             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
 763  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 764     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
 765
 766 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 767  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 768  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 769 nqed.
 770
 771 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
 772
 773 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
 774 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
 775   [ #K; ninversion K
 776   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
 777   | (* tutti casi assurdi *) *)
 778
 779 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
 780    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
 781  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
 782
 783 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
 784    mk_eq_re: ∀E1,E2.
 785     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
 786     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
 787     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
 788       eq_re S E1 E2.
 789
 790 (* serve il lemma dopo? *)
 791 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
 792  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
 793   [ #r; #K (* ok *)
 794   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
 795
 796 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
 797 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
 798 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
 799   [ //
 800   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
 801   ]
 802 nqed. *)
 803
 804 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
 805  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
 806   [##1,2: #H1; ninversion H1
 807      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
 808      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 809      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 810      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 811      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 812      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 813      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
 814 ##| #H1; ninversion H1
 815      [ //
 816      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 817      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 818      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 819      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 820      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 821      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 822 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
 823      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
 824      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 825      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 826      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 827      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 828      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 829      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 830 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
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