helm/software/matita/nlibrary/re/re-setoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/pairs.ma".
  16 include "datatypes/bool.ma".
  17 include "sets/sets.ma".
  18
  19 ninductive Admit : CProp[0] ≝ .
  20 naxiom admit : Admit.
  21
  22 ninductive list (A:Type[0]) : Type[0] ≝
  23   | nil: list A
  24   | cons: A -> list A -> list A.
  25
  26 nlet rec eq_list (A : setoid) (l1, l2 : list A) on l1 : CProp[0] ≝
  27 match l1 with
  28 [ nil ⇒ match l2 return λ_.CProp[0] with [ nil ⇒ True | _ ⇒ False ]
  29 | cons x xs ⇒ match l2 with [ nil ⇒ False | cons y ys ⇒ x = y ∧ eq_list ? xs ys]].
  30
  31 ndefinition LIST : setoid → setoid.
  32 #S; @(list S); @(eq_list S); ncases admit; nqed.
  33
  34 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
  35 unification hint 0 ≔ S : setoid;
  36   P1 ≟ refl ? (eq0 (LIST S)),
  37   P2 ≟ sym ? (eq0 (LIST S)),
  38   P3 ≟ trans ? (eq0 (LIST S)),
  39   X ≟ mk_setoid (list S) (mk_equivalence_relation ? (eq_list S) P1 P2 P3),
  40   T ≟ carr S
  41 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
  42      carr X ≡ list T.
  43
  44 unification hint 0 ≔ S,a,b;
  45    R ≟ LIST S,
  46    L ≟ (list S)
  47 (* -------------------------------------------- *) ⊢
  48    eq_list S a b ≡ eq_rel L (eq0 R) a b.
  49
  50 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  51   right associative with precedence 47
  52   for @{'cons $hd $tl}.
  53
  54 notation "[ list0 x sep ; ]"
  55   non associative with precedence 90
  56   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  57
  58 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  59   right associative with precedence 47
  60   for @{'append $l1 $l2 }.
  61
  62 interpretation "nil" 'nil = (nil ?).
  63 interpretation "cons" 'cons hd tl = (cons ? hd tl).
  64
  65 nlet rec append A (l1: list A) l2 on l1 ≝
  66   match l1 with
  67   [ nil ⇒ l2
  68   | cons hd tl ⇒ hd :: append A tl l2 ].
  69
  70 interpretation "append" 'append l1 l2 = (append ? l1 l2).
  71
  72 ntheorem append_nil: ∀A:setoid.∀l:list A.l @ [] = l.
  73 #A;#l;nelim l;//; #a;#l1;#IH;nnormalize;/2/;nqed.
  74
  75 ndefinition associative ≝ λA:setoid.λf:A → A → A.∀x,y,z.f x (f y z) = f (f x y) z.
  76
  77
  78 ntheorem associative_append: ∀A:setoid.associative (list A) (append A).
  79 #A;#x;#y;#z;nelim x[ napply # |#a;#x1;#H;nnormalize;/2/]nqed.
  80
  81 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
  82
  83 ninductive eq (A:Type[0]) (x:A) : A → CProp[0] ≝ refl: eq A x x.
  84
  85 nlemma eq_rect_Type0_r':
  86  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → P x p.
  87  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
  88 nqed.
  89
  90 nlemma eq_rect_Type0_r:
  91  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
  92  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_Type0_r' ??? p0); nassumption.
  93 nqed.
  94
  95 nlemma eq_rect_CProp0_r':
  96  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
  97  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
  98 nqed.
  99
 100 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 101  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
 102  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_CProp0_r' ??? p0); nassumption.
 103 nqed.
 104
 105 notation < "a = b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqpp $a $b}.
 106 interpretation "bool eq" 'eqpp a b = (eq bool a b).
 107
 108 ndefinition BOOL : setoid.
 109 @bool; @(eq bool); ncases admit.nqed.
 110
 111 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 112 alias id "refl" = "cic:/matita/ng/properties/relations/refl.fix(0,1,3)".
 113 unification hint 0 ≔ ;
 114   P1 ≟ refl ? (eq0 BOOL),
 115   P2 ≟ sym ? (eq0 BOOL),
 116   P3 ≟ trans ? (eq0 BOOL),
 117   X ≟ mk_setoid bool (mk_equivalence_relation ? (eq bool) P1 P2 P3)
 118 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 119      carr X ≡ bool.
 120
 121 unification hint 0 ≔ a,b;
 122    R ≟ BOOL,
 123    L ≟ bool
 124 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 125    eq bool a b ≡ eq_rel L (eq0 R) a b.
 126
 127 nrecord Alpha : Type[1] ≝ {
 128    acarr :> setoid;
 129    eqb: acarr → acarr → bool;
 130    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) = (x = y)
 131 }.
 132
 133 notation "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqb $a $b }.
 134 interpretation "eqb" 'eqb a b = (eqb ? a b).
 135
 136 ninductive re (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 137    z: re S
 138  | e: re S
 139  | s: S → re S
 140  | c: re S → re S → re S
 141  | o: re S → re S → re S
 142  | k: re S → re S.
 143
 144 naxiom eq_re : ∀S:Alpha.re S → re S → CProp[0].
 145 ndefinition RE : Alpha → setoid.
 146 #A; @(re A); @(eq_re A); ncases admit. nqed.
 147
 148 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 149 alias id "carr" = "cic:/matita/ng/sets/setoids/carr.fix(0,0,1)".
 150 unification hint 0 ≔ A : Alpha;
 151   P1 ≟ refl ? (eq0 (RE A)),
 152   P2 ≟ sym ? (eq0 (RE A)),
 153   P3 ≟ trans ? (eq0 (RE A)),
 154   X ≟ mk_setoid (re A) (mk_equivalence_relation ? (eq_re A) P1 P2 P3),
 155   T ≟ acarr A
 156 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 157      carr X ≡ (re T).
 158
 159 unification hint 0 ≔ A,a,b;
 160    R ≟ RE A,
 161    L ≟ re A
 162 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 163    eq_re A a b ≡ eq_rel L (eq0 R) a b.
 164
 165 notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 166 notation > "a ^ *" non associative with precedence 75 for @{ 'pk $a}.
 167 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
 168 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
 169
 170 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
 171 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
 172
 173 (* to get rid of \middot *)
 174 ncoercion c  : ∀S.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
 175
 176 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 177 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 178 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
 179
 180 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
 181 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
 182
 183 notation "0" non associative with precedence 90 for @{ 'empty_r }.
 184 interpretation "empty" 'empty_r = (z ?).
 185
 186 notation > "'lang' S" non associative with precedence 90 for @{ Ω^(list $S) }.
 187 notation > "'Elang' S" non associative with precedence 90 for @{ 𝛀^(list $S) }.
 188
 189 nlet rec flatten S (l : list (list S)) on l : list S ≝
 190 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
 191
 192 nlet rec conjunct S (l : list (list S)) (L : lang S) on l: CProp[0] ≝
 193 match l with [ nil ⇒ True | cons w tl ⇒ w ∈ L ∧ conjunct ? tl L ].
 194
 195 ndefinition sing_lang : ∀A:setoid.∀x:A.Ω^A ≝ λS.λx.{ w | x = w }.
 196 interpretation "sing lang" 'singl x = (sing_lang ? x).
 197
 198 interpretation "subset construction with type" 'comprehension t \eta.x =
 199   (mk_powerclass t x).
 200
 201 ndefinition cat : ∀A:setoid.∀l1,l2:lang A.lang A ≝
 202   λS.λl1,l2.{ w ∈ list S | ∃w1,w2.w =_0 w1 @ w2 ∧ w1 ∈ l1 ∧ w2 ∈ l2}.
 203 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
 204
 205 ndefinition star : ∀A:setoid.∀l:lang A.lang A ≝
 206   λS.λl.{ w ∈ list S | ∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l}.
 207 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
 208
 209 notation > "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_re ? $E}.
 210 nlet rec L_re (S : Alpha) (r : re S) on r : lang S ≝
 211 match r with
 212 [ z ⇒ ∅
 213 | e ⇒ { [ ] }
 214 | s x ⇒ { [x] }
 215 | c r1 r2 ⇒ 𝐋 r1 · 𝐋 r2
 216 | o r1 r2 ⇒  𝐋 r1 ∪ 𝐋 r2
 217 | k r1 ⇒ (𝐋 r1) ^*].
 218 notation "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_re $E}.
 219 interpretation "in_l" 'L_re E = (L_re ? E).
 220
 221 notation "a || b" left associative with precedence 30 for @{'orb $a $b}.
 222 ndefinition orb ≝ λa,b:bool. match a with [ true ⇒ true | _ ⇒ b ].
 223 interpretation "orb" 'orb a b = (orb a b).
 224
 225 ninductive pitem (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 226    pz: pitem S
 227  | pe: pitem S
 228  | ps: S → pitem S
 229  | pp: S → pitem S
 230  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 231  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 232  | pk: pitem S → pitem S.
 233
 234 ndefinition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 235
 236 notation "\fst term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'fst $x}.
 237 interpretation "fst" 'fst x = (fst ? ? x).
 238 notation > "\snd term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'snd $x}.
 239 interpretation "snd" 'snd x = (snd ? ? x).
 240
 241 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 242 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 243 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 244 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 245 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 246 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 247 (* to get rid of \middot *)
 248 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 249 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 250 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 251 interpretation "pempty" 'empty_r = (pz ?).
 252
 253 notation > "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{forget ? $e}.
 254 nlet rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 255  match l with
 256   [ pz ⇒ 0
 257   | pe ⇒ ϵ
 258   | ps x ⇒ `x
 259   | pp x ⇒ `x
 260   | pc E1 E2 ⇒ (|E1| · |E2|)
 261   | po E1 E2 ⇒ (|E1| + |E2|)
 262   | pk E ⇒ |E|^* ].
 263 notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.
 264 interpretation "forget" 'forget a = (forget ? a).
 265
 266 notation > "𝐋\p\ term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_pi ? $E}.
 267 nlet rec L_pi (S : Alpha) (r : pitem S) on r : lang S ≝
 268 match r with
 269 [ pz ⇒ ∅
 270 | pe ⇒ ∅
 271 | ps _ ⇒ ∅
 272 | pp x ⇒ { [x] }
 273 | pc r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 |r2| ∪ 𝐋\p\ r2
 274 | po r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 ∪ 𝐋\p\ r2
 275 | pk r1 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 (|r1|^* ) ].
 276 notation > "𝐋\p term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 277 notation "𝐋\sub(\p) term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 278 interpretation "in_pl" 'L_pi E = (L_pi ? E).
 279
 280 (* The caml, as some patches for it *)
 281 ncoercion setoid1_of_setoid : ∀s:setoid. setoid1 ≝ setoid1_of_setoid on _s: setoid to setoid1.
 282
 283 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_CProp2".
 284 unification hint 0 ≔ S : setoid, x,y;
 285   SS ≟ LIST S,
 286   TT ≟ setoid1_of_setoid SS
 287 (*-----------------------------------------*) ⊢
 288   eq_list S x y ≡ eq_rel1 ? (eq1 TT) x y.
 289
 290 unification hint 0 ≔ SS : setoid;
 291   S ≟ carr SS,
 292   TT ≟ setoid1_of_setoid (LIST SS)
 293 (*-----------------------------------------------------------------*) ⊢
 294   list S ≡ carr1 TT.
 295
 296 (* Ex setoid support *)
 297 nlemma Sig: ∀S,T:setoid.∀P: S → (T → CPROP).
 298   ∀y,z:T.y = z → (∀x.y=z → P x y = P x z)  → (Ex S (λx.P x y)) =_1 (Ex S (λx.P x z)).
 299 #S T P y z Q E; @; *; #x Px; @x; nlapply (E x Q); *; /2/; nqed.
 300
 301 notation "∑" non associative with precedence 90 for @{Sig ?????}.
 302
 303 nlemma test : ∀S:setoid. ∀ee: S ⇒_1 S ⇒_1 CPROP.
 304  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y → (Ex S (λw.ee x w ∧ True)) =_1 (Ex S (λw.ee y w ∧ True)).
 305 #S m x y E;
 306 napply (.=_1 (∑ E (λw,H.(H ╪_1 #)╪_1 #))).
 307 napply #.
 308 nqed.
 309
 310 nlemma test2 : ∀S:setoid. ∀ee: S ⇒_1 S ⇒_1 CPROP.
 311  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y →
 312    (True ∧ (Ex S (λw.ee x w ∧ True))) =_1 (True ∧ (Ex S (λw.ee y w ∧ True))).
 313 #S m x y E;
 314 napply (.=_1 #╪_1(∑ E (λw,H.(H ╪_1 #) ╪_1 #))).
 315 napply #.
 316 nqed.
 317
 318 nlemma ex_setoid : ∀S:setoid.(S ⇒_1 CPROP) → setoid.
 319 #T P; @ (Ex T (λx:T.P x)); @;
 320 ##[ #H1 H2; napply True |##*: //; ##]
 321 nqed.
 322
 323 unification hint 0 ≔ T,P ; S ≟ (ex_setoid T P) ⊢
 324  Ex T (λx:T.P x) ≡ carr S.
 325
 326 nlemma test3 : ∀S:setoid. ∀ee: S ⇒_1 S ⇒_1 CPROP.
 327  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y →
 328    ((Ex S (λw.ee x w ∧ True) ∨ True)) =_1 ((Ex S (λw.ee y w ∧ True) ∨ True)).
 329 #S m x y E;
 330 napply (.=_1 (∑ E (λw,H.(H ╪_1 #) ╪_1 #)) ╪_1 #).
 331 napply #.
 332 nqed.
 333 (* Ex setoid support end *)
 334
 335 ndefinition L_pi_ext : ∀S:Alpha.∀r:pitem S.Elang S.
 336 #S r; @(𝐋\p r); #w1 w2 E; nelim r;
 337 ##[ /2/;
 338 ##| /2/;
 339 ##| #x; @; *;
 340 ##| #x; @; #H; nchange in H with ([?] =_0 ?); ##[ napply ((.=_0 H) E); ##]
 341     napply ((.=_0 H) E^-1);
 342 ##| #e1 e2 H1 H2;
 343     nchange in match (w1 ∈ 𝐋\p (?·?)) with ((∃_.?)∨?);
 344     nchange in match (w2 ∈ 𝐋\p (?·?)) with ((∃_.?)∨?);
 345     napply (.= (#‡H2));
 346     napply (.=_1 (∑ E (λx1,H1.∑ E (λx2,H2.?)))╪_1 #); ##[
 347       ncut ((w1 = (x1@x2)) = (w2 = (x1@x2)));##[
 348         @; #X; ##[ napply ((.= H1^-1) X) | napply ((.= H2) X) ] ##] #X;
 349       napply ( (X‡#)‡#); ##]
 350     napply #;
 351 ##| #e1 e2 H1 H2;
 352     nnormalize in ⊢ (???%%);
 353     napply (H1‡H2);
 354 ##| #e H; nnormalize in ⊢ (???%%);
 355     napply (.=_1 (∑ E (λx1,H1.∑ E (λx2,H2.?)))); ##[
 356       ncut ((w1 = (x1@x2)) = (w2 = (x1@x2)));##[
 357         @; #X; ##[ napply ((.= H1^-1) X) | napply ((.= H2) X) ] ##] #X;
 358       napply ((X‡#)‡#); ##]
 359     napply #;##]
 360 nqed.
 361
 362 unification hint 0 ≔ S : Alpha,e : pitem S;
 363   SS ≟ (list S),
 364   X ≟ (mk_ext_powerclass SS (𝐋\p e) (ext_prop SS (L_pi_ext S e)))
 365 (*-----------------------------------------------------------------*)⊢
 366   ext_carr SS X ≡ 𝐋\p e.
 367
 368 ndefinition epsilon ≝
 369   λS:Alpha.λb.match b return λ_.lang S with [ true ⇒ { [ ] } | _ ⇒ ∅ ].
 370
 371 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 372 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 373 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 374
 375 ndefinition L_pr ≝ λS : Alpha.λp:pre S.  𝐋\p\ (\fst p) ∪ ϵ (\snd p).
 376
 377 interpretation "L_pr" 'L_pi E = (L_pr ? E).
 378
 379 nlemma append_eq_nil : ∀S:setoid.∀w1,w2:list S. [ ] = w1 @ w2 → w1 = [ ].
 380 #S w1; ncases w1; //. nqed.
 381
 382 (* lemma 12 *)
 383 nlemma epsilon_in_true : ∀S:Alpha.∀e:pre S. [ ] ∈ 𝐋\p e = (\snd e = true).
 384 #S r; ncases r; #e b; @; ##[##2: #H; nrewrite > H; @2; /2/; ##] ncases b;//;
 385 *; ##[##2:*] nelim e;
 386 ##[ ##1,2: *; ##| #c; *; ##| #c; *| ##7: #p H;
 387 ##| #r1 r2 H G; *; ##[##2: nassumption; ##]
 388 ##| #r1 r2 H1 H2; *; /2/ by {}]
 389 *; #w1; *; #w2; *; *;
 390 ##[ #defw1 H1 foo; napply H;
 391     napply (. (append_eq_nil ? ?? defw1)^-1╪_1#);
 392     nassumption;
 393 ##| #defw1 H1 foo; napply H;
 394     napply (. (append_eq_nil ? ?? defw1)^-1╪_1#);
 395     nassumption;
 396 ##]
 397 nqed.
 398
 399 nlemma not_epsilon_lp : ∀S:Alpha.∀e:pitem S. ¬ ([ ] ∈ (𝐋\p e)).
 400 #S e; nelim e; ##[##1,2,3,4: nnormalize;/2/]
 401 ##[ #p1 p2 np1 np2; *; ##[##2: napply np2] *; #w1; *; #w2; *; *; #abs;
 402     nlapply (append_eq_nil ??? abs); # defw1; #; napply np1;
 403     napply (. defw1^-1╪_1#);
 404     nassumption;
 405 ##| #p1 p2 np1 np2; *; nchange with (¬?); //;
 406 ##| #r n; *; #w1; *; #w2; *; *; #abs; #; napply n;
 407     nlapply (append_eq_nil ??? abs); # defw1; #;
 408     napply (. defw1^-1╪_1#);
 409     nassumption;##]
 410 nqed.
 411
 412 ndefinition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 413 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 414 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 415
 416 ndefinition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa,b:pre S.
 417    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 418    match b1 with
 419    [ false ⇒ 〈e1 · \fst b, \snd b〉
 420    | true ⇒ 〈e1 · \fst (bcast ? (\fst b)),\snd b || \snd (bcast ? (\fst b))〉]].
 421
 422 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc $op $a $b}.
 423 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 424 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 425
 426 ndefinition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa:pre S.
 427    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 428    match b1 with
 429    [ false ⇒ 〈e1^*, false〉
 430    | true ⇒ 〈(\fst (bcast ? e1))^*, true〉]].
 431
 432 notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.
 433 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 434 notation > "a ^ ⊛" non associative with precedence 75 for @{'lk eclose $a}.
 435
 436 notation > "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 437 nlet rec eclose (S: Alpha) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 438  match E with
 439   [ pz ⇒ 〈 0, false 〉
 440   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 441   | ps x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 442   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 443   | po E1 E2 ⇒ •E1 ⊕ •E2
 444   | pc E1 E2 ⇒ •E1 ⊙ 〈 E2, false 〉
 445   | pk E ⇒ 〈(\fst (•E))^*,true〉].
 446 notation < "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 447 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 448 notation > "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 449
 450 ndefinition reclose ≝ λS:Alpha.λp:pre S.let p' ≝ •\fst p in 〈\fst p',\snd p || \snd p'〉.
 451 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 452
 453 nlemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. ϵ(b1 || b2) = ϵ b1 ∪ ϵ b2. ##[##2: napply S]
 454 #S b1 b2; ncases b1; ncases b2;
 455 nchange in match (true || true) with true;
 456 nchange in match (true || false) with true;
 457 nchange in match (ϵ true) with {[]};
 458 nchange in match (ϵ false) with ∅;
 459 ##[##1,4: napply ((cupID…)^-1);
 460 ##| napply ((cup0 ? {[]})^-1);
 461 ##| napply (.= (cup0 ? {[]})^-1); napply cupC; ##]
 462 nqed.
 463
 464 (* XXX move somewere else *)
 465 ndefinition if': ∀A,B:CPROP. A = B → A → B.
 466 #A B; *; /2/. nqed.
 467
 468 ncoercion if : ∀A,B:CPROP. ∀p:A = B. A → B ≝ if' on _p : eq_rel1 ???? to ∀_:?.?.
 469
 470 (* theorem 16: 2 *)
 471 nlemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.𝐋\p (e1 ⊕ e2) = 𝐋\p e1 ∪ 𝐋\p e2.
 472 #S r1; ncases r1; #e1 b1 r2; ncases r2; #e2 b2;
 473 nwhd in ⊢ (???(??%)?);
 474 nchange in ⊢(???%?) with (𝐋\p (e1 + e2) ∪ ϵ (b1 || b2));
 475 nchange in ⊢(???(??%?)?) with (𝐋\p (e1) ∪ 𝐋\p (e2));
 476 napply (.=_1 #╪_1 (epsilon_or ???));
 477 napply (.=_1 (cupA…)^-1);
 478 napply (.=_1 (cupA…)╪_1#);
 479 napply (.=_1 (#╪_1(cupC…))╪_1#);
 480 napply (.=_1 (cupA…)^-1╪_1#);
 481 napply (.=_1 (cupA…));
 482 //;
 483 nqed.
 484
 485 FINQUI
 486
 487 manca setoide per pair (e pre)
 488
 489 nlemma odotEt :
 490   ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.∀b2. 〈e1,true〉 ⊙ 〈e2,b2〉 = ?.〈e1 · \fst (•e2),b2 || \snd (•e2)〉.
 491 #S e1 e2 b2; nnormalize; ncases (•e2); //; nqed.
 492
 493 nlemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋\p (e1 · e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|e2| ∪ 𝐋\p e2. //; nqed.
 494
 495 nlemma cup_dotD : ∀S.∀p,q,r:lang S.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 496 #S p q r; napply extP; #w; nnormalize; @;
 497 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 498 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 499 nqed.
 500
 501
 502 nlemma erase_dot : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 .|e1 · e2| =  𝐋 .|e1| · 𝐋 .|e2|.
 503 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; #w1; *; #w2; *; *; /7/ by ex_intro, conj;
 504 nqed.
 505
 506 nlemma erase_plus : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 .|e1 + e2| =  𝐋 .|e1| ∪ 𝐋 .|e2|.
 507 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; /4/ by or_introl, or_intror; nqed.
 508
 509 nlemma erase_star : ∀S.∀e1:pitem S.𝐋 .|e1|^* = 𝐋 .|e1^*|. //; nqed.
 510
 511 ndefinition substract := λS.λp,q:word S → Prop.λw.p w ∧ ¬ q w.
 512 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 513
 514 nlemma cup_sub: ∀S.∀a,b:word S → Prop. ¬ (a []) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 515 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /4/; *; /4/; nqed.
 516
 517 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 518 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 519
 520 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 521 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 522
 523 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 524 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed.
 525
 526 nlemma erase_bull : ∀S.∀a:pitem S. .|\fst (•a)| = .|a|.
 527 #S a; nelim a; // by {};
 528 ##[ #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| · .|e2|);
 529     nrewrite < IH1; nrewrite < IH2;
 530     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊙ 〈e2,false〉));
 531     ncases (•e1); #e3 b; ncases b; nnormalize;
 532     ##[ ncases (•e2); //; ##| nrewrite > IH2; //]
 533 ##| #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| + .|e2|);
 534     nrewrite < IH2; nrewrite < IH1;
 535     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊕ •e2));
 536     ncases (•e1); ncases (•e2); //;
 537 ##| #e IH; nchange in ⊢ (???%) with (.|e|^* ); nrewrite < IH;
 538     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e))^*; //; ##]
 539 nqed.
 540
 541 nlemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 542 #S p; ncases p; //; nqed.
 543
 544 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 545 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 546 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 547 napply Hw2; nqed.
 548
 549 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 550 nlemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1,e2: pre S.
 551       𝐋\p (•(\fst e2)) =  𝐋\p (\fst e2) ∪ 𝐋 .|\fst e2| →
 552          𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 553 #S e1 e2 th1; ncases e1; #e1' b1'; ncases b1';
 554 ##[ nwhd in ⊢ (??(??%)?); nletin e2' ≝ (\fst e2); nletin b2' ≝ (\snd e2);
 555     nletin e2'' ≝ (\fst (•(\fst e2))); nletin b2'' ≝ (\snd (•(\fst e2)));
 556     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 557     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (?∪?);
 558     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 559     nrewrite > (epsilon_or …); nrewrite > (cupC ? (ϵ ?)…);
 560     nrewrite > (cupA …);nrewrite < (cupA ?? (ϵ?)…);
 561     nrewrite > (?: 𝐋\p e2'' ∪ ϵ b2'' = 𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|); ##[##2:
 562       nchange with (𝐋\p 〈e2'',b2''〉 =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|);
 563       ngeneralize in match th1;
 564       nrewrite > (eta_lp…); #th1; nrewrite > th1; //;##]
 565     nrewrite > (eta_lp ? e2);
 566     nchange in match (𝐋\p 〈\fst e2,?〉) with (𝐋\p e2'∪ ϵ b2');
 567     nrewrite > (cup_dotD …); nrewrite > (epsilon_dot…);
 568     nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2')…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (cupA…);
 569     nrewrite < (erase_bull S e2') in ⊢ (???(??%?)); //;
 570 ##| ncases e2; #e2' b2'; nchange in match (〈e1',false〉⊙?) with 〈?,?〉;
 571     nchange in match (𝐋\p ?) with (?∪?);
 572     nchange in match (𝐋\p (e1'·?)) with (?∪?);
 573     nchange in match (𝐋\p 〈e1',?〉) with (?∪?);
 574     nrewrite > (cup0…);
 575     nrewrite > (cupA…); //;##]
 576 nqed.
 577
 578 nlemma sub_dot_star :
 579   ∀S.∀X:word S → Prop.∀b. (X - ϵ b) · X^* ∪ {[]} = X^*.
 580 #S X b; napply extP; #w; @;
 581 ##[ *; ##[##2: nnormalize; #defw; nrewrite < defw; @[]; @; //]
 582     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 583     @ (w1 :: lw); nrewrite < defw; nrewrite < flx; @; //;
 584     @; //; napply (subW … sube);
 585 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; nrewrite < defw; nelim wl in Pwl; ##[ #_; @2; //]
 586     #w' wl' IH; *; #Pw' IHp; nlapply (IH IHp); *;
 587     ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defwl' H1 H2;
 588         @; ncases b in H1; #H1;
 589         ##[##2: nrewrite > (sub0…); @w'; @(w1@w2);
 590                 nrewrite > (associative_append ? w' w1 w2);
 591                 nrewrite > defwl'; @; ##[@;//] @(wl'); @; //;
 592            ##| ncases w' in Pw';
 593                ##[ #ne; @w1; @w2; nrewrite > defwl'; @; //; @; //;
 594                ##| #x xs Px; @(x::xs); @(w1@w2);
 595                    nrewrite > (defwl'); @; ##[@; //; @; //; @; nnormalize; #; ndestruct]
 596                    @wl'; @; //; ##] ##]
 597         ##| #wlnil; nchange in match (flatten ? (w'::wl')) with (w' @ flatten ? wl');
 598             nrewrite < (wlnil); nrewrite > (append_nil…); ncases b;
 599             ##[ ncases w' in Pw'; /2/; #x xs Pxs; @; @(x::xs); @([]);
 600                 nrewrite > (append_nil…); @; ##[ @; //;@; //; nnormalize; @; #; ndestruct]
 601                 @[]; @; //;
 602             ##| @; @w'; @[]; nrewrite > (append_nil…); @; ##[##2: @[]; @; //]
 603                 @; //; @; //; @; *;##]##]##]
 604 nqed.
 605
 606 (* theorem 16: 1 *)
 607 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 608 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 609 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 610 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 611 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 .|e|.
 612 #S e; nelim e; //;
 613   ##[ #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 614   ##| #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl; *;
 615   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 616       nchange in ⊢ (??(??(%))?) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 617       nrewrite > (odot_dot_aux S (•e1) 〈e2,false〉 IH2);
 618       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (cup_dotD …);
 619       nrewrite > (cupA …); nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p ?) …);
 620       nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (𝐋\p e2 ∪ {}); nrewrite > (cup0 …);
 621       nrewrite < (erase_dot …); nrewrite < (cupA …); //;
 622   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 623       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2); nrewrite > (oplus_cup …);
 624       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (IH2 …); nrewrite > (cupA …);
 625       nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2)…);nrewrite < (cupA ??? (𝐋\p e2)…);
 626       nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p e2)…); nrewrite < (cupA …);
 627       nrewrite < (erase_plus …); //.
 628   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 629       nchange in match (𝐋\p ?) with  (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 630       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 631       nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 632       nrewrite > (erase_bull…e);
 633       nrewrite > (erase_star …);
 634       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b')); ##[##2:
 635         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 636         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 637             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 638         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 639       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 640       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 .|e^*|)); //;
 641       nchange in match (𝐋 .|e^*|) with ((𝐋. |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 642  nqed.
 643
 644 (* theorem 16: 3 *)
 645 nlemma odot_dot:
 646   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 647 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 648
 649 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 650 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 651 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 652     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 653     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 654 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 655     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 656     @; /2/; @xs; /2/;##]
 657  nqed.
 658
 659 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 660 #S e; @[]; /2/; nqed.
 661
 662 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 663 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 664
 665 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 666 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 667
 668 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 669   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 670 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 671 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 672 nqed.
 673
 674 (* theorem 16: 4 *)
 675 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 .|\fst e|)^*.
 676 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 677 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 678     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 679     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 680     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 681     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b' )); ##[##2:
 682       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 683       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 684       nchange in match b' in bc with b';
 685       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 686       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 687     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 688     nrewrite > (sub_dot_star…);
 689     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 690     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 691 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 692     nrewrite > (cup0…);
 693     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 .|e|^* );
 694     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 695 nqed.
 696
 697 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 698   match e with
 699   [ z ⇒ pz ?
 700   | e ⇒ pe ?
 701   | s x ⇒ ps ? x
 702   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 703   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 704   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 705
 706 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 707
 708 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 709 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 710 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 711
 712 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 713 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 714 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 715     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 716 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 717     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 718 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 719     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 720 nqed.
 721
 722 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 .|pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 723 #S A; nelim A; //;
 724 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 725     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 726 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 727     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 728 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 729     nrewrite < H1; //]
 730 nqed.
 731
 732 (* corollary 17 *)
 733 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 734 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 735 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 736 nqed.
 737
 738 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 739 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 740
 741 (* corollary 18 *)
 742 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ .|e|.
 743 #S e; @;
 744 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 745     nrewrite > defsnde; #H;
 746     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 747     E MO?
 748
 749 STOP
 750
 751 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 752 non associative with precedence 60 for @{move ? $x $E}.
 753 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 754  match E with
 755   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 756   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 757   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 758   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 759   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 760   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 761   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 762 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 763 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 764 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 765
 766 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
 767 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
 768
 769 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ∅ → False.
 770 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 771 nqed.
 772
 773
 774 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
 775 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 776 nqed.
 777
 778 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 779 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 780 nqed.
 781
 782
 783 naxiom in_move_cat:
 784  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
 785    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
 786 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
 787 ncases e1 in H; ncases e2;
 788 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 789    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 790    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 791 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 792    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 793    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 794 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
 795    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 796    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
 797    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
 798 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
 799    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
 800    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
 801 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
 802     ...
 803 nqed.
 804
 805 ntheorem move_ok:
 806  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
 807 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
 808 ##[##1,2: #a w; @;
 809    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
 810       #H; ninversion H; #; ndestruct;
 811    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
 812        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
 813 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
 814    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
 815 ##|#a c w; @; nnormalize;
 816    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
 817        #H; ninversion H; #; ndestruct;
 818    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
 819               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
 820 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
 821    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
 822       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
 823           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
 824           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
 825       ##|
 826       ...
 827 ##|
 828 ##|
 829 ##]
 830 nqed.
 831
 832
 833 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{move_star ? $x $E}.
 834 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
 835  match w with
 836   [ nil ⇒ E
 837   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
 838
 839 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
 840
 841 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 842  mk_equiv:
 843   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 844    \fst E1  = \fst E2 →
 845     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
 846      equiv S E1 E2.
 847
 848 ndefinition NAT: decidable.
 849  @ nat eqb; /2/.
 850 nqed.
 851
 852 include "hints_declaration.ma".
 853
 854 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 855 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
 856
 857 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
 858
 859 nlet corec foo_nop (b: bool):
 860  equiv ?
 861   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
 862   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
 863  @; //; #x; ncases x
 864   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 865   | #y; ncases y
 866      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 867      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
 868 nqed.
 869
 870 (*
 871 nlet corec foo (a: unit):
 872  equiv NAT
 873   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
 874   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
 875 ≝ ?.
 876  @;
 877   ##[ nnormalize; //
 878   ##| #x; ncases x
 879        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 880          nnormalize in foo: (? → ??%%);
 881          @; //; #y; ncases y
 882            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 883            | #y; ncases y
 884               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 885
 886             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
 887      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 888   ##]
 889 nqed.
 890 *)
 891
 892 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
 893 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
 894 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
 895
 896
 897 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
 898  nnormalize in match test3;
 899  nnormalize;
 900 //;
 901 nqed.
 902
 903 (**********************************************************)
 904
 905 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
 906    der_z: der S a (z S) (z S)
 907  | der_e: der S a (e S) (z S)
 908  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
 909  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
 910  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 911             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
 912  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
 913             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
 914  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 915     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
 916
 917 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 918  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 919  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 920 nqed.
 921
 922 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
 923
 924 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
 925 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
 926   [ #K; ninversion K
 927   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
 928   | (* tutti casi assurdi *) *)
 929
 930 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
 931    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
 932  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
 933
 934 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
 935    mk_eq_re: ∀E1,E2.
 936     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
 937     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
 938     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
 939       eq_re S E1 E2.
 940
 941 (* serve il lemma dopo? *)
 942 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
 943  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
 944   [ #r; #K (* ok *)
 945   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
 946
 947 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
 948 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
 949 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
 950   [ //
 951   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
 952   ]
 953 nqed. *)
 954
 955 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
 956  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
 957   [##1,2: #H1; ninversion H1
 958      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
 959      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 960      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 961      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 962      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 963      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 964      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
 965 ##| #H1; ninversion H1
 966      [ //
 967      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 968      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 969      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 970      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 971      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 972      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 973 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
 974      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
 975      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 976      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 977      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 978      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 979      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 980      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 981 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
 982