helm/software/matita/nlibrary/re/re-setoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/pairs.ma".
  16 include "datatypes/bool.ma".
  17 include "logic/cprop.ma".
  18
  19 ninductive Admit : CProp[0] ≝ .
  20 naxiom admit : Admit.
  21
  22 ninductive list (A:Type[0]) : Type[0] ≝
  23   | nil: list A
  24   | cons: A -> list A -> list A.
  25
  26 nlet rec eq_list (A : setoid) (l1, l2 : list A) on l1 : CProp[0] ≝
  27 match l1 with
  28 [ nil ⇒ match l2 return λ_.CProp[0] with [ nil ⇒ ? | _ ⇒ ? ]
  29 | cons x xs ⇒ match l2 with [ nil ⇒ ? | cons y ys ⇒ x = y ∧ eq_list ? xs ys]].
  30 ##[ napply True|napply False|napply False]nqed.
  31
  32 ndefinition LIST : setoid → setoid.
  33 #S; @(list S); @(eq_list S); ncases admit; nqed.
  34
  35 unification hint 0 ≔ S : setoid;
  36   T ≟ carr S,
  37   P1 ≟ refl ? (eq (LIST S)),
  38   P2 ≟ sym ? (eq (LIST S)),
  39   P3 ≟ trans ? (eq (LIST S)),
  40   X ≟ mk_setoid (list S) (mk_equivalence_relation ? (eq_list S) P1 P2 P3)
  41 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
  42      carr X ≡ list T.
  43
  44 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  45   right associative with precedence 47
  46   for @{'cons $hd $tl}.
  47
  48 notation "[ list0 x sep ; ]"
  49   non associative with precedence 90
  50   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  51
  52 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  53   right associative with precedence 47
  54   for @{'append $l1 $l2 }.
  55
  56 interpretation "nil" 'nil = (nil ?).
  57 interpretation "cons" 'cons hd tl = (cons ? hd tl).
  58
  59 nlet rec append A (l1: list A) l2 on l1 ≝
  60   match l1 with
  61   [ nil ⇒ l2
  62   | cons hd tl ⇒ hd :: append A tl l2 ].
  63
  64 interpretation "append" 'append l1 l2 = (append ? l1 l2).
  65
  66 ntheorem append_nil: ∀A:setoid.∀l:list A.l @ [] = l.
  67 #A;#l;nelim l;//; #a;#l1;#IH;nnormalize;/2/;nqed.
  68
  69 ndefinition associative ≝ λA:setoid.λf:A → A → A.∀x,y,z.f x (f y z) = f (f x y) z.
  70
  71 ninductive one : Type[0] ≝ unit : one.
  72
  73 ndefinition force ≝
  74   λS:Type[1].λs:S.λT:Type[1].λt:T.λlock:one.
  75     match lock return λ_.Type[1] with [ unit ⇒ T].
  76
  77 nlet rec lift (S:Type[1]) (s:S) (T:Type[1]) (t:T) (lock:one) on lock : force S s T t lock ≝
  78  match lock return λlock.force S s T t lock with [ unit ⇒ t ].
  79
  80 ncoercion lift : ∀S:Type[1].∀s:S.∀T:Type[1].∀t:T.∀lock:one. force S s T t lock ≝ lift
  81  on s : ? to force ?????.
  82
  83 unification hint 0 ≔ R : setoid;
  84    TR ≟ setoid, MR ≟ (carr R), lock ≟ unit
  85 (* ---------------------------------------- *) ⊢
  86    setoid ≡ force ?(*Type[0]*) MR TR R lock.
  87
  88 ntheorem associative_append: ∀A:setoid.associative (list A) (append A).
  89 #A;#x;#y;#z;nelim x[//|#a;#x1;#H;nnormalize;/2/]nqed.
  90
  91 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
  92
  93 naxiom eq_bool : bool → bool → CProp[0].
  94 ndefinition BOOL : setoid.
  95 @bool; @eq_bool; ncases admit.nqed.
  96
  97 unification hint 0 ≔ ;
  98   P1 ≟ refl ? (eq BOOL),
  99   P2 ≟ sym ? (eq BOOL),
 100   P3 ≟ trans ? (eq BOOL),
 101   X ≟ mk_setoid bool (mk_equivalence_relation ? eq_bool P1 P2 P3)
 102 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 103      carr X ≡ bool.
 104
 105 nrecord Alpha : Type[1] ≝ {
 106    acarr :> setoid;
 107    eqb: acarr → acarr → bool (*;
 108    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) = (x = y)*)
 109 }.
 110
 111 notation "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqb $a $b }.
 112 interpretation "eqb" 'eqb a b = (eqb ? a b).
 113
 114 ninductive re (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 115    z: re S
 116  | e: re S
 117  | s: S → re S
 118  | c: re S → re S → re S
 119  | o: re S → re S → re S
 120  | k: re S → re S.
 121
 122 naxiom eq_re : ∀S:Alpha.re S → re S → CProp[0].
 123 ndefinition RE : Alpha → setoid.
 124 #A; @(re A); @(eq_re A); ncases admit. nqed.
 125
 126 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 127 alias id "carr" = "cic:/matita/ng/sets/setoids/carr.fix(0,0,1)".
 128 unification hint 0 ≔ A : Alpha;
 129   T ≟ acarr A,
 130   P1 ≟ refl ? (eq (RE A)),
 131   P2 ≟ sym ? (eq (RE A)),
 132   P3 ≟ trans ? (eq (RE A)),
 133   X ≟ mk_setoid (re T) (mk_equivalence_relation ? (eq_re A) P1 P2 P3)
 134 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 135      carr X ≡ (re T).
 136
 137 notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 138 notation > "a ^ *" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 139 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
 140 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
 141
 142 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
 143 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
 144
 145 (* to get rid of \middot *)
 146 ncoercion c  : ∀S.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
 147
 148 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 149 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 150 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
 151
 152 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
 153 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
 154
 155 notation "∅" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
 156 interpretation "empty" 'empty = (z ?).
 157
 158 nrecord Setl (A : Type[0]) : Type[1] ≝ { in_set : A → CProp[0] }.
 159 ndefinition Lang ≝ λA.Setl (list A).
 160
 161 interpretation "in Setl" 'mem x l = (in_set ? l x).
 162 interpretation "compr Lang" 'comprehension t f = (mk_Setl t f).
 163
 164 nlet rec flatten S (l : list (list S)) on l : list S ≝
 165 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
 166
 167 nlet rec conjunct S (l : list (list S)) (L : Lang S) on l: CProp[0] ≝
 168 match l with [ nil ⇒ True | cons w tl ⇒ w ∈ L ∧ conjunct ? tl L ].
 169
 170 ndefinition empty_lang ≝ λS.{ w ∈ list S | False }.
 171 notation "{}" non associative with precedence 90 for @{'empty_lang}.
 172 interpretation "empty lang" 'empty_lang = (empty_lang ?).
 173
 174 ndefinition sing_lang ≝ λS:Alpha.λx.{ w ∈ list S | x = w }.
 175 interpretation "sing lang" 'singl x = (sing_lang ? x).
 176
 177 ndefinition union ≝ λS.λl1,l2.{ w ∈ list S | w ∈ l1 ∨ w ∈ l2}.
 178 interpretation "union lang" 'union a b = (union ? a b).
 179
 180 ndefinition cat ≝
 181   λS:Alpha.λl1,l2.{ w ∈ list S | ∃w1,w2.w1 @ w2 = w ∧ w1 ∈ l1 ∧ w2 ∈ l2}.
 182 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
 183
 184 ndefinition star ≝
 185   λS:Alpha.λl.{ w ∈ list S | ∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l}.
 186 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
 187
 188 notation > "𝐋 term 90 E" non associative with precedence 75 for @{L_re ? $E}.
 189 nlet rec L_re (S : Alpha) (r : re S) on r : Lang S ≝
 190 match r with
 191 [ z ⇒ {}
 192 | e ⇒ { [ ] }
 193 | s x ⇒ { [x] }
 194 | c r1 r2 ⇒ 𝐋 r1 · 𝐋 r2
 195 | o r1 r2 ⇒  𝐋 r1 ∪ 𝐋 r2
 196 | k r1 ⇒ (𝐋 r1) ^*].
 197 notation "𝐋 term 90 E" non associative with precedence 75 for @{'L_re $E}.
 198 interpretation "in_l" 'L_re E = (L_re ? E).
 199
 200 notation "a || b" left associative with precedence 30 for @{'orb $a $b}.
 201 ndefinition orb ≝ λa,b:bool. match a with [ true ⇒ true | _ ⇒ b ].
 202 interpretation "orb" 'orb a b = (orb a b).
 203
 204 ninductive pitem (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 205    pz: pitem S
 206  | pe: pitem S
 207  | ps: S → pitem S
 208  | pp: S → pitem S
 209  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 210  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 211  | pk: pitem S → pitem S.
 212
 213 ndefinition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 214
 215 notation "\fst term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'fst $x}.
 216 interpretation "fst" 'fst x = (fst ? ? x).
 217 notation > "\snd term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'snd $x}.
 218 interpretation "snd" 'snd x = (snd ? ? x).
 219
 220 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 221 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 222 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 223 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 224 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 225 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 226 (* to get rid of \middot *)
 227 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 228 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 229 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 230 interpretation "pempty" 'empty = (pz ?).
 231
 232 notation > "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{forget ? $e}.
 233 nlet rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 234  match l with
 235   [ pz ⇒ ∅
 236   | pe ⇒ ϵ
 237   | ps x ⇒ `x
 238   | pp x ⇒ `x
 239   | pc E1 E2 ⇒ (|E1| · |E2|)
 240   | po E1 E2 ⇒ (|E1| + |E2|)
 241   | pk E ⇒ |E|^* ].
 242 notation < ".|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.
 243 interpretation "forget" 'forget a = (forget ? a).
 244
 245 notation > "𝐋\p\ term 90 E" non associative with precedence 90 for @{in_pl ? $E}.
 246 nlet rec in_pl (S : Alpha) (r : pitem S) on r : word S → Prop ≝
 247 match r with
 248 [ pz ⇒ {}
 249 | pe ⇒ {}
 250 | ps _ ⇒ {}
 251 | pp x ⇒ { [x] }
 252 | pc r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 .|r2| ∪ 𝐋\p\ r2
 253 | po r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 ∪ 𝐋\p\ r2
 254 | pk r1 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 (.|r1|^* ) ].
 255 notation > "𝐋\p term 90 E" non associative with precedence 90 for @{'in_pl $E}.
 256 notation "𝐋\sub(\p) term 90 E" non associative with precedence 90 for @{'in_pl $E}.
 257 interpretation "in_pl" 'in_pl E = (in_pl ? E).
 258 interpretation "in_pl mem" 'mem w l = (in_pl ? l w).
 259
 260 ndefinition epsilon ≝ λS,b.if b then { ([ ] : word S) } else {}.
 261
 262 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 263 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 264 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 265
 266 ndefinition in_prl ≝ λS : Alpha.λp:pre S.  𝐋\p\ (\fst p) ∪ ϵ (\snd p).
 267
 268 interpretation "in_prl mem" 'mem w l = (in_prl ? l w).
 269 interpretation "in_prl" 'in_pl E = (in_prl ? E).
 270
 271 nlemma append_eq_nil : ∀S.∀w1,w2:word S. w1 @ w2 = [ ] → w1 = [ ].
 272 #S w1; nelim w1; //. #x tl IH w2; nnormalize; #abs; ndestruct; nqed.
 273
 274 (* lemma 12 *)
 275 nlemma epsilon_in_true : ∀S.∀e:pre S. [ ] ∈ e ↔ \snd e = true.
 276 #S r; ncases r; #e b; @; ##[##2: #H; nrewrite > H; @2; /2/; ##] ncases b;//;
 277 nnormalize; *; ##[##2:*] nelim e;
 278 ##[ ##1,2: *; ##| #c; *; ##| #c; nnormalize; #; ndestruct; ##| ##7: #p H;
 279 ##| #r1 r2 H G; *; ##[##2: /3/ by or_intror]
 280 ##| #r1 r2 H1 H2; *; /3/ by or_intror, or_introl; ##]
 281 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw1; nrewrite > (append_eq_nil … w1 w2 …); /3/ by {};//;
 282 nqed.
 283
 284 nlemma not_epsilon_lp : ∀S.∀e:pitem S. ¬ (𝐋\p e [ ]).
 285 #S e; nelim e; nnormalize; /2/ by nmk;
 286 ##[ #; @; #; ndestruct;
 287 ##| #r1 r2 n1 n2; @; *; /2/; *; #w1; *; #w2; *; *; #H;
 288     nrewrite > (append_eq_nil …H…); /2/;
 289 ##| #r1 r2 n1 n2; @; *; /2/;
 290 ##| #r n; @; *; #w1; *; #w2; *; *; #H;
 291     nrewrite > (append_eq_nil …H…); /2/;##]
 292 nqed.
 293
 294 ndefinition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 295 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 296 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 297
 298 ndefinition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa,b:pre S.
 299    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 300    match b1 with
 301    [ false ⇒ 〈e1 · \fst b, \snd b〉
 302    | true ⇒ 〈e1 · \fst (bcast ? (\fst b)),\snd b || \snd (bcast ? (\fst b))〉]].
 303
 304 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc $op $a $b}.
 305 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 306 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 307
 308 ndefinition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa:pre S.
 309    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 310    match b1 with
 311    [ false ⇒ 〈e1^*, false〉
 312    | true ⇒ 〈(\fst (bcast ? e1))^*, true〉]].
 313
 314 notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.
 315 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 316 notation > "a^⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk eclose $a}.
 317
 318 notation > "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 319 nlet rec eclose (S: Alpha) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 320  match E with
 321   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 322   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 323   | ps x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 324   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 325   | po E1 E2 ⇒ •E1 ⊕ •E2
 326   | pc E1 E2 ⇒ •E1 ⊙ 〈 E2, false 〉
 327   | pk E ⇒ 〈(\fst (•E))^*,true〉].
 328 notation < "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 329 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 330 notation > "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 331
 332 ndefinition reclose ≝ λS:Alpha.λp:pre S.let p' ≝ •\fst p in 〈\fst p',\snd p || \snd p'〉.
 333 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 334
 335 ndefinition eq_f1 ≝ λS.λa,b:word S → Prop.∀w.a w ↔ b w.
 336 notation > "A =1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 337 notation "A =\sub 1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 338 interpretation "eq f1" 'eq_f1 a b = (eq_f1 ? a b).
 339
 340 naxiom extP : ∀S.∀p,q:word S → Prop.(p =1 q) → p = q.
 341
 342 nlemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. ϵ(b1 || b2) = ϵ b1 ∪ ϵ b2. ##[##2: napply S]
 343 #S b1 b2; ncases b1; ncases b2; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *;
 344 nqed.
 345
 346 nlemma cupA : ∀S.∀a,b,c:word S → Prop.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 347 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/; *; /3/; nqed.
 348
 349 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:word S → Prop.a ∪ b = b ∪ a.
 350 #S a b; napply extP; #w; @; *; nnormalize; /2/; nqed.
 351
 352 (* theorem 16: 2 *)
 353 nlemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.𝐋\p (e1 ⊕ e2) = 𝐋\p e1 ∪ 𝐋\p e2.
 354 #S r1; ncases r1; #e1 b1 r2; ncases r2; #e2 b2;
 355 nwhd in ⊢ (??(??%)?);
 356 nchange in ⊢(??%?) with (𝐋\p (e1 + e2) ∪ ϵ (b1 || b2));
 357 nchange in ⊢(??(??%?)?) with (𝐋\p (e1) ∪ 𝐋\p (e2));
 358 nrewrite > (epsilon_or S …); nrewrite > (cupA S (𝐋\p e1) …);
 359 nrewrite > (cupC ? (ϵ b1) …); nrewrite < (cupA S (𝐋\p e2) …);
 360 nrewrite > (cupC ? ? (ϵ b1) …); nrewrite < (cupA …); //;
 361 nqed.
 362
 363 nlemma odotEt :
 364   ∀S.∀e1,e2:pitem S.∀b2. 〈e1,true〉 ⊙ 〈e2,b2〉 = 〈e1 · \fst (•e2),b2 || \snd (•e2)〉.
 365 #S e1 e2 b2; nnormalize; ncases (•e2); //; nqed.
 366
 367 nlemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋\p (e1 · e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|e2| ∪ 𝐋\p e2. //; nqed.
 368
 369 nlemma cup_dotD : ∀S.∀p,q,r:word S → Prop.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 370 #S p q r; napply extP; #w; nnormalize; @;
 371 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 372 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 373 nqed.
 374
 375 nlemma cup0 :∀S.∀p:word S → Prop.p ∪ {} = p.
 376 #S p; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *; nqed.
 377
 378 nlemma erase_dot : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 .|e1 · e2| =  𝐋 .|e1| · 𝐋 .|e2|.
 379 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; #w1; *; #w2; *; *; /7/ by ex_intro, conj;
 380 nqed.
 381
 382 nlemma erase_plus : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 .|e1 + e2| =  𝐋 .|e1| ∪ 𝐋 .|e2|.
 383 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; /4/ by or_introl, or_intror; nqed.
 384
 385 nlemma erase_star : ∀S.∀e1:pitem S.𝐋 .|e1|^* = 𝐋 .|e1^*|. //; nqed.
 386
 387 ndefinition substract := λS.λp,q:word S → Prop.λw.p w ∧ ¬ q w.
 388 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 389
 390 nlemma cup_sub: ∀S.∀a,b:word S → Prop. ¬ (a []) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 391 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /4/; *; /4/; nqed.
 392
 393 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 394 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 395
 396 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 397 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 398
 399 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 400 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed.
 401
 402 nlemma erase_bull : ∀S.∀a:pitem S. .|\fst (•a)| = .|a|.
 403 #S a; nelim a; // by {};
 404 ##[ #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| · .|e2|);
 405     nrewrite < IH1; nrewrite < IH2;
 406     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊙ 〈e2,false〉));
 407     ncases (•e1); #e3 b; ncases b; nnormalize;
 408     ##[ ncases (•e2); //; ##| nrewrite > IH2; //]
 409 ##| #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| + .|e2|);
 410     nrewrite < IH2; nrewrite < IH1;
 411     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊕ •e2));
 412     ncases (•e1); ncases (•e2); //;
 413 ##| #e IH; nchange in ⊢ (???%) with (.|e|^* ); nrewrite < IH;
 414     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e))^*; //; ##]
 415 nqed.
 416
 417 nlemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 418 #S p; ncases p; //; nqed.
 419
 420 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 421 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 422 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 423 napply Hw2; nqed.
 424
 425 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 426 nlemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1,e2: pre S.
 427       𝐋\p (•(\fst e2)) =  𝐋\p (\fst e2) ∪ 𝐋 .|\fst e2| →
 428          𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 429 #S e1 e2 th1; ncases e1; #e1' b1'; ncases b1';
 430 ##[ nwhd in ⊢ (??(??%)?); nletin e2' ≝ (\fst e2); nletin b2' ≝ (\snd e2);
 431     nletin e2'' ≝ (\fst (•(\fst e2))); nletin b2'' ≝ (\snd (•(\fst e2)));
 432     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 433     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (?∪?);
 434     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 435     nrewrite > (epsilon_or …); nrewrite > (cupC ? (ϵ ?)…);
 436     nrewrite > (cupA …);nrewrite < (cupA ?? (ϵ?)…);
 437     nrewrite > (?: 𝐋\p e2'' ∪ ϵ b2'' = 𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|); ##[##2:
 438       nchange with (𝐋\p 〈e2'',b2''〉 =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|);
 439       ngeneralize in match th1;
 440       nrewrite > (eta_lp…); #th1; nrewrite > th1; //;##]
 441     nrewrite > (eta_lp ? e2);
 442     nchange in match (𝐋\p 〈\fst e2,?〉) with (𝐋\p e2'∪ ϵ b2');
 443     nrewrite > (cup_dotD …); nrewrite > (epsilon_dot…);
 444     nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2')…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (cupA…);
 445     nrewrite < (erase_bull S e2') in ⊢ (???(??%?)); //;
 446 ##| ncases e2; #e2' b2'; nchange in match (〈e1',false〉⊙?) with 〈?,?〉;
 447     nchange in match (𝐋\p ?) with (?∪?);
 448     nchange in match (𝐋\p (e1'·?)) with (?∪?);
 449     nchange in match (𝐋\p 〈e1',?〉) with (?∪?);
 450     nrewrite > (cup0…);
 451     nrewrite > (cupA…); //;##]
 452 nqed.
 453
 454 nlemma sub_dot_star :
 455   ∀S.∀X:word S → Prop.∀b. (X - ϵ b) · X^* ∪ {[]} = X^*.
 456 #S X b; napply extP; #w; @;
 457 ##[ *; ##[##2: nnormalize; #defw; nrewrite < defw; @[]; @; //]
 458     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 459     @ (w1 :: lw); nrewrite < defw; nrewrite < flx; @; //;
 460     @; //; napply (subW … sube);
 461 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; nrewrite < defw; nelim wl in Pwl; ##[ #_; @2; //]
 462     #w' wl' IH; *; #Pw' IHp; nlapply (IH IHp); *;
 463     ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defwl' H1 H2;
 464         @; ncases b in H1; #H1;
 465         ##[##2: nrewrite > (sub0…); @w'; @(w1@w2);
 466                 nrewrite > (associative_append ? w' w1 w2);
 467                 nrewrite > defwl'; @; ##[@;//] @(wl'); @; //;
 468            ##| ncases w' in Pw';
 469                ##[ #ne; @w1; @w2; nrewrite > defwl'; @; //; @; //;
 470                ##| #x xs Px; @(x::xs); @(w1@w2);
 471                    nrewrite > (defwl'); @; ##[@; //; @; //; @; nnormalize; #; ndestruct]
 472                    @wl'; @; //; ##] ##]
 473         ##| #wlnil; nchange in match (flatten ? (w'::wl')) with (w' @ flatten ? wl');
 474             nrewrite < (wlnil); nrewrite > (append_nil…); ncases b;
 475             ##[ ncases w' in Pw'; /2/; #x xs Pxs; @; @(x::xs); @([]);
 476                 nrewrite > (append_nil…); @; ##[ @; //;@; //; nnormalize; @; #; ndestruct]
 477                 @[]; @; //;
 478             ##| @; @w'; @[]; nrewrite > (append_nil…); @; ##[##2: @[]; @; //]
 479                 @; //; @; //; @; *;##]##]##]
 480 nqed.
 481
 482 (* theorem 16: 1 *)
 483 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 484 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 485 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 486 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 487 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 .|e|.
 488 #S e; nelim e; //;
 489   ##[ #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 490   ##| #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl; *;
 491   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 492       nchange in ⊢ (??(??(%))?) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 493       nrewrite > (odot_dot_aux S (•e1) 〈e2,false〉 IH2);
 494       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (cup_dotD …);
 495       nrewrite > (cupA …); nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p ?) …);
 496       nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (𝐋\p e2 ∪ {}); nrewrite > (cup0 …);
 497       nrewrite < (erase_dot …); nrewrite < (cupA …); //;
 498   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 499       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2); nrewrite > (oplus_cup …);
 500       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (IH2 …); nrewrite > (cupA …);
 501       nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2)…);nrewrite < (cupA ??? (𝐋\p e2)…);
 502       nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p e2)…); nrewrite < (cupA …);
 503       nrewrite < (erase_plus …); //.
 504   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 505       nchange in match (𝐋\p ?) with  (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 506       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 507       nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 508       nrewrite > (erase_bull…e);
 509       nrewrite > (erase_star …);
 510       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b')); ##[##2:
 511         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 512         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 513             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 514         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 515       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 516       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 .|e^*|)); //;
 517       nchange in match (𝐋 .|e^*|) with ((𝐋. |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 518  nqed.
 519
 520 (* theorem 16: 3 *)
 521 nlemma odot_dot:
 522   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 523 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 524
 525 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 526 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 527 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 528     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 529     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 530 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 531     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 532     @; /2/; @xs; /2/;##]
 533  nqed.
 534
 535 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 536 #S e; @[]; /2/; nqed.
 537
 538 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 539 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 540
 541 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 542 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 543
 544 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 545   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 546 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 547 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 548 nqed.
 549
 550 (* theorem 16: 4 *)
 551 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 .|\fst e|)^*.
 552 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 553 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 554     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 555     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 556     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 557     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b' )); ##[##2:
 558       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 559       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 560       nchange in match b' in bc with b';
 561       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 562       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 563     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 564     nrewrite > (sub_dot_star…);
 565     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 566     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 567 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 568     nrewrite > (cup0…);
 569     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 .|e|^* );
 570     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 571 nqed.
 572
 573 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 574   match e with
 575   [ z ⇒ pz ?
 576   | e ⇒ pe ?
 577   | s x ⇒ ps ? x
 578   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 579   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 580   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 581
 582 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 583
 584 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 585 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 586 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 587
 588 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 589 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 590 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 591     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 592 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 593     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 594 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 595     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 596 nqed.
 597
 598 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 .|pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 599 #S A; nelim A; //;
 600 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 601     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 602 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 603     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 604 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 605     nrewrite < H1; //]
 606 nqed.
 607
 608 (* corollary 17 *)
 609 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 610 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 611 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 612 nqed.
 613
 614 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 615 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 616
 617 (* corollary 18 *)
 618 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ .|e|.
 619 #S e; @;
 620 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 621     nrewrite > defsnde; #H;
 622     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 623     E MO?
 624
 625 STOP
 626
 627 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 628 non associative with precedence 60 for @{move ? $x $E}.
 629 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 630  match E with
 631   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 632   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 633   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 634   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 635   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 636   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 637   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 638 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 639 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 640 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 641
 642 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
 643 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
 644
 645 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ∅ → False.
 646 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 647 nqed.
 648
 649
 650 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
 651 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 652 nqed.
 653
 654 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 655 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 656 nqed.
 657
 658
 659 naxiom in_move_cat:
 660  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
 661    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
 662 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
 663 ncases e1 in H; ncases e2;
 664 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 665    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 666    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 667 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 668    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 669    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 670 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
 671    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 672    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
 673    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
 674 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
 675    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
 676    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
 677 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
 678     ...
 679 nqed.
 680
 681 ntheorem move_ok:
 682  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
 683 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
 684 ##[##1,2: #a w; @;
 685    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
 686       #H; ninversion H; #; ndestruct;
 687    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
 688        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
 689 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
 690    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
 691 ##|#a c w; @; nnormalize;
 692    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
 693        #H; ninversion H; #; ndestruct;
 694    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
 695               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
 696 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
 697    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
 698       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
 699           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
 700           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
 701       ##|
 702       ...
 703 ##|
 704 ##|
 705 ##]
 706 nqed.
 707
 708
 709 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{move_star ? $x $E}.
 710 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
 711  match w with
 712   [ nil ⇒ E
 713   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
 714
 715 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
 716
 717 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 718  mk_equiv:
 719   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 720    \fst E1  = \fst E2 →
 721     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
 722      equiv S E1 E2.
 723
 724 ndefinition NAT: decidable.
 725  @ nat eqb; /2/.
 726 nqed.
 727
 728 include "hints_declaration.ma".
 729
 730 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 731 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
 732
 733 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
 734
 735 nlet corec foo_nop (b: bool):
 736  equiv ?
 737   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
 738   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
 739  @; //; #x; ncases x
 740   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 741   | #y; ncases y
 742      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 743      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
 744 nqed.
 745
 746 (*
 747 nlet corec foo (a: unit):
 748  equiv NAT
 749   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
 750   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
 751 ≝ ?.
 752  @;
 753   ##[ nnormalize; //
 754   ##| #x; ncases x
 755        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 756          nnormalize in foo: (? → ??%%);
 757          @; //; #y; ncases y
 758            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 759            | #y; ncases y
 760               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 761
 762             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
 763      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 764   ##]
 765 nqed.
 766 *)
 767
 768 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
 769 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
 770 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
 771
 772
 773 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
 774  nnormalize in match test3;
 775  nnormalize;
 776 //;
 777 nqed.
 778
 779 (**********************************************************)
 780
 781 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
 782    der_z: der S a (z S) (z S)
 783  | der_e: der S a (e S) (z S)
 784  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
 785  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
 786  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 787             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
 788  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
 789             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
 790  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 791     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
 792
 793 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 794  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 795  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 796 nqed.
 797
 798 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
 799
 800 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
 801 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
 802   [ #K; ninversion K
 803   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
 804   | (* tutti casi assurdi *) *)
 805
 806 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
 807    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
 808  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
 809
 810 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
 811    mk_eq_re: ∀E1,E2.
 812     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
 813     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
 814     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
 815       eq_re S E1 E2.
 816
 817 (* serve il lemma dopo? *)
 818 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
 819  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
 820   [ #r; #K (* ok *)
 821   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
 822
 823 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
 824 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
 825 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
 826   [ //
 827   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
 828   ]
 829 nqed. *)
 830
 831 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
 832  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
 833   [##1,2: #H1; ninversion H1
 834      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
 835      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 836      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 837      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 838      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 839      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 840      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
 841 ##| #H1; ninversion H1
 842      [ //
 843      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 844      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 845      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 846      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 847      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 848      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 849 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
 850      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
 851      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 852      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 853      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 854      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 855      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 856      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 857 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
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