helm/software/matita/nlibrary/re/re-setoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/pairs.ma".
  16 include "datatypes/bool.ma".
  17 include "sets/sets.ma".
  18
  19 ninductive Admit : CProp[0] ≝ .
  20 naxiom admit : Admit.
  21
  22 ninductive list (A:Type[0]) : Type[0] ≝
  23   | nil: list A
  24   | cons: A -> list A -> list A.
  25
  26 nlet rec eq_list (A : setoid) (l1, l2 : list A) on l1 : CProp[0] ≝
  27 match l1 with
  28 [ nil ⇒ match l2 return λ_.CProp[0] with [ nil ⇒ ? | _ ⇒ ? ]
  29 | cons x xs ⇒ match l2 with [ nil ⇒ ? | cons y ys ⇒ x = y ∧ eq_list ? xs ys]].
  30 ##[ napply True|napply False|napply False]nqed.
  31
  32 ndefinition LIST : setoid → setoid.
  33 #S; @(list S); @(eq_list S); ncases admit; nqed.
  34
  35 unification hint 0 ≔ S : setoid;
  36   P1 ≟ refl ? (eq0 (LIST S)),
  37   P2 ≟ sym ? (eq0 (LIST S)),
  38   P3 ≟ trans ? (eq0 (LIST S)),
  39   X ≟ mk_setoid (list S) (mk_equivalence_relation ? (eq_list S) P1 P2 P3),
  40   T ≟ carr S
  41 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
  42      carr X ≡ list T.
  43
  44 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  45   right associative with precedence 47
  46   for @{'cons $hd $tl}.
  47
  48 notation "[ list0 x sep ; ]"
  49   non associative with precedence 90
  50   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  51
  52 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  53   right associative with precedence 47
  54   for @{'append $l1 $l2 }.
  55
  56 interpretation "nil" 'nil = (nil ?).
  57 interpretation "cons" 'cons hd tl = (cons ? hd tl).
  58
  59 nlet rec append A (l1: list A) l2 on l1 ≝
  60   match l1 with
  61   [ nil ⇒ l2
  62   | cons hd tl ⇒ hd :: append A tl l2 ].
  63
  64 interpretation "append" 'append l1 l2 = (append ? l1 l2).
  65
  66 ntheorem append_nil: ∀A:setoid.∀l:list A.l @ [] = l.
  67 #A;#l;nelim l;//; #a;#l1;#IH;nnormalize;/2/;nqed.
  68
  69 ndefinition associative ≝ λA:setoid.λf:A → A → A.∀x,y,z.f x (f y z) = f (f x y) z.
  70
  71 ninductive one : Type[0] ≝ unit : one.
  72
  73 ndefinition force ≝
  74   λS:Type[2].λs:S.λT:Type[2].λt:T.λlock:one.
  75     match lock return λ_.Type[2] with [ unit ⇒ T].
  76
  77 nlet rec lift (S:Type[2]) (s:S) (T:Type[2]) (t:T) (lock:one) on lock : force S s T t lock ≝
  78  match lock return λlock.force S s T t lock with [ unit ⇒ t ].
  79
  80 ncoercion lift1 : ∀S:Type[1].∀s:S.∀T:Type[1].∀t:T.∀lock:one. force S s T t lock ≝ lift
  81  on s : ? to force ?????.
  82
  83 ncoercion lift2 : ∀S:Type[2].∀s:S.∀T:Type[2].∀t:T.∀lock:one. force S s T t lock ≝ lift
  84  on s : ? to force ?????.
  85
  86 unification hint 0 ≔ R : setoid;
  87    TR ≟ setoid, MR ≟ (carr R), lock ≟ unit
  88 (* ---------------------------------------- *) ⊢
  89    setoid ≡ force ?(*Type[0]*) MR TR R lock.
  90
  91 unification hint 0 ≔ R : setoid1;
  92    TR ≟ setoid1, MR ≟ (carr1 R), lock ≟ unit
  93 (* ---------------------------------------- *) ⊢
  94    setoid1 ≡ force ? MR TR R lock.
  95
  96 ntheorem associative_append: ∀A:setoid.associative (list A) (append A).
  97 #A;#x;#y;#z;nelim x[//|#a;#x1;#H;nnormalize;/2/]nqed.
  98
  99 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
 100
 101 ninductive eq (A:Type[0]) (x:A) : A → CProp[0] ≝ refl: eq A x x.
 102
 103 nlemma eq_rect_Type0_r':
 104  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → P x p.
 105  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 106 nqed.
 107
 108 nlemma eq_rect_Type0_r:
 109  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
 110  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_Type0_r' ??? p0); nassumption.
 111 nqed.
 112
 113 nlemma eq_rect_CProp0_r':
 114  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 115  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 116 nqed.
 117
 118 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 119  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
 120  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_CProp0_r' ??? p0); nassumption.
 121 nqed.
 122
 123 notation < "a = b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqpp $a $b}.
 124 interpretation "bool eq" 'eqpp a b = (eq bool a b).
 125
 126 ndefinition BOOL : setoid.
 127 @bool; @(eq bool); ncases admit.nqed.
 128
 129 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 130 alias id "refl" = "cic:/matita/ng/properties/relations/refl.fix(0,1,3)".
 131 unification hint 0 ≔ ;
 132   P1 ≟ refl ? (eq0 BOOL),
 133   P2 ≟ sym ? (eq0 BOOL),
 134   P3 ≟ trans ? (eq0 BOOL),
 135   X ≟ mk_setoid bool (mk_equivalence_relation ? (eq bool) P1 P2 P3)
 136 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 137      carr X ≡ bool.
 138
 139 nrecord Alpha : Type[1] ≝ {
 140    acarr :> setoid;
 141    eqb: acarr → acarr → bool;
 142    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) = (x = y)
 143 }.
 144
 145 notation "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqb $a $b }.
 146 interpretation "eqb" 'eqb a b = (eqb ? a b).
 147
 148 ninductive re (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 149    z: re S
 150  | e: re S
 151  | s: S → re S
 152  | c: re S → re S → re S
 153  | o: re S → re S → re S
 154  | k: re S → re S.
 155
 156 naxiom eq_re : ∀S:Alpha.re S → re S → CProp[0].
 157 ndefinition RE : Alpha → setoid.
 158 #A; @(re A); @(eq_re A); ncases admit. nqed.
 159
 160 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 161 alias id "carr" = "cic:/matita/ng/sets/setoids/carr.fix(0,0,1)".
 162 unification hint 0 ≔ A : Alpha;
 163   P1 ≟ refl ? (eq0 (RE A)),
 164   P2 ≟ sym ? (eq0 (RE A)),
 165   P3 ≟ trans ? (eq0 (RE A)),
 166   X ≟ mk_setoid (re A) (mk_equivalence_relation ? (eq_re A) P1 P2 P3),
 167   T ≟ acarr A
 168 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 169      carr X ≡ (re T).
 170
 171 notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 172 notation > "a ^ *" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 173 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
 174 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
 175
 176 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
 177 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
 178
 179 (* to get rid of \middot *)
 180 ncoercion c  : ∀S.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
 181
 182 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 183 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 184 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
 185
 186 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
 187 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
 188
 189 notation "0" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
 190 interpretation "empty" 'empty = (z ?).
 191
 192 notation > "'lang' S" non associative with precedence 90 for @{ Ω^(list $S) }.
 193 notation > "'Elang' S" non associative with precedence 90 for @{ 𝛀^(list $S) }.
 194
 195 nlet rec flatten S (l : list (list S)) on l : list S ≝
 196 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
 197
 198 nlet rec conjunct S (l : list (list S)) (L : lang S) on l: CProp[0] ≝
 199 match l with [ nil ⇒ True | cons w tl ⇒ w ∈ L ∧ conjunct ? tl L ].
 200
 201
 202 ndefinition empty_set : ∀A.Ω^A ≝ λA.{ w | False }.
 203 notation "∅" non associative with precedence 90 for @{'emptyset}.
 204 interpretation "empty set" 'emptyset = (empty_set ?).
 205
 206 (*
 207 notation "{}" non associative with precedence 90 for @{'empty_lang}.
 208 interpretation "empty lang" 'empty_lang = (empty_lang ?).
 209 *)
 210
 211 ndefinition sing_lang : ∀A:setoid.∀x:A.Ω^A ≝ λS.λx.{ w | x = w }.
 212 interpretation "sing lang" 'singl x = (sing_lang ? x).
 213
 214 interpretation "subset construction with type" 'comprehension t \eta.x =
 215   (mk_powerclass t x).
 216
 217 ndefinition cat : ∀A:setoid.∀l1,l2:lang A.lang A ≝
 218   λS.λl1,l2.{ w ∈ list S | ∃w1,w2.w =_0 w1 @ w2 ∧ w1 ∈ l1 ∧ w2 ∈ l2}.
 219 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
 220
 221 ndefinition star : ∀A:setoid.∀l:lang A.lang A ≝
 222   λS.λl.{ w ∈ list S | ∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l}.
 223 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
 224
 225 notation > "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_re ? $E}.
 226 nlet rec L_re (S : Alpha) (r : re S) on r : lang S ≝
 227 match r with
 228 [ z ⇒ ∅
 229 | e ⇒ { [ ] }
 230 | s x ⇒ { [x] }
 231 | c r1 r2 ⇒ 𝐋 r1 · 𝐋 r2
 232 | o r1 r2 ⇒  𝐋 r1 ∪ 𝐋 r2
 233 | k r1 ⇒ (𝐋 r1) ^*].
 234 notation "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_re $E}.
 235 interpretation "in_l" 'L_re E = (L_re ? E).
 236
 237 notation "a || b" left associative with precedence 30 for @{'orb $a $b}.
 238 ndefinition orb ≝ λa,b:bool. match a with [ true ⇒ true | _ ⇒ b ].
 239 interpretation "orb" 'orb a b = (orb a b).
 240
 241 ninductive pitem (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 242    pz: pitem S
 243  | pe: pitem S
 244  | ps: S → pitem S
 245  | pp: S → pitem S
 246  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 247  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 248  | pk: pitem S → pitem S.
 249
 250 ndefinition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 251
 252 notation "\fst term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'fst $x}.
 253 interpretation "fst" 'fst x = (fst ? ? x).
 254 notation > "\snd term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'snd $x}.
 255 interpretation "snd" 'snd x = (snd ? ? x).
 256
 257 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 258 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 259 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 260 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 261 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 262 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 263 (* to get rid of \middot *)
 264 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 265 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 266 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 267 interpretation "pempty" 'empty = (pz ?).
 268
 269 notation > "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{forget ? $e}.
 270 nlet rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 271  match l with
 272   [ pz ⇒ 0
 273   | pe ⇒ ϵ
 274   | ps x ⇒ `x
 275   | pp x ⇒ `x
 276   | pc E1 E2 ⇒ (|E1| · |E2|)
 277   | po E1 E2 ⇒ (|E1| + |E2|)
 278   | pk E ⇒ |E|^* ].
 279 notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.
 280 interpretation "forget" 'forget a = (forget ? a).
 281
 282 notation > "𝐋\p\ term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_pi ? $E}.
 283 nlet rec L_pi (S : Alpha) (r : pitem S) on r : lang S ≝
 284 match r with
 285 [ pz ⇒ ∅
 286 | pe ⇒ ∅
 287 | ps _ ⇒ ∅
 288 | pp x ⇒ { [x] }
 289 | pc r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 |r2| ∪ 𝐋\p\ r2
 290 | po r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 ∪ 𝐋\p\ r2
 291 | pk r1 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 (|r1|^* ) ].
 292 notation > "𝐋\p term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 293 notation "𝐋\sub(\p) term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 294 interpretation "in_pl" 'L_pi E = (L_pi ? E).
 295
 296 unification hint 0 ≔ S,a,b;
 297    R ≟ LIST S
 298 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 299    eq_list S a b ≡ eq_rel (list S) (eq0 R) a b.
 300
 301 notation > "B ⇒_0 C" right associative with precedence 72 for @{'umorph0 $B $C}.
 302 notation > "B ⇒_1 C" right associative with precedence 72 for @{'umorph1 $B $C}.
 303 notation "B ⇒\sub 0 C" right associative with precedence 72 for @{'umorph0 $B $C}.
 304 notation "B ⇒\sub 1 C" right associative with precedence 72 for @{'umorph1 $B $C}.
 305
 306 interpretation "unary morphism 0" 'umorph0 A B = (unary_morphism A B).
 307 interpretation "unary morphism 1" 'umorph1 A B = (unary_morphism1 A B).
 308
 309 ncoercion setoid1_of_setoid : ∀s:setoid. setoid1 ≝ setoid1_of_setoid on _s: setoid to setoid1.
 310
 311 nlemma exists_is_morph: (* BUG *) ∀S,T:setoid.∀P: S ⇒_1 (T ⇒_1 (CProp[0]:?)).
 312   ∀y,z:S.y =_0 z → (Ex T (P y)) = (Ex T (P z)).
 313 #S T P y z E; @;
 314 ##[ *; #x Px; @x; alias symbol "refl" (instance 4) = "refl".
 315     alias symbol "prop2" (instance 2) = "prop21".
 316     napply (. E^-1‡#); napply Px;
 317 ##| *; #x Px; @x; napply (. E‡#); napply Px;##]
 318 nqed.
 319
 320 ndefinition ex_morph : ∀S:setoid. (S ⇒_1 CPROP) ⇒_1 CPROP.
 321 #S; @; ##[ #P; napply (Ex ? P); ##| #P1 P2 E; @;
 322 *; #x; #H; @ x; nlapply (E x x ?); //; *; /2/;
 323 nqed.
 324
 325 nlemma d : ∀S:setoid1. ∀ee: S ⇒_1 S ⇒_1 CPROP.
 326  ∀x,y:S.x =_1 y → (Ex1 S (λw.ee x w)) =_1 (Ex1 S (λw.ee y w)).
 327  let form ≝ comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ee in
 328   form x = form y.
 329  #S ee x y E;
 330  nletin F ≝ (comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ee);
 331
 332  nnormalize;
 333   nchange in E with (eq_rel1 ? (eq1 (setoid1_of_setoid (LIST S))) x y);
 334
 335  ncheck (exists_is_morph (LIST S) (LIST S) ? ?? (E‡#)).
 336  nletin xxx ≝ (exists_is_morph); (LIST S)); (LIST S) ee x y E);
 337
 338  nchange with (F x = F y);
 339  nchange in E with (eq_rel1 ? (eq1 (setoid1_of_setoid (LIST S))) x y);
 340  napply (.= † E);
 341  napply #.
 342 nqed.
 343
 344
 345 E : w = w2
 346
 347
 348   Σ(λx.(#‡E)‡#) : ∃x.x = w ∧ m → ∃x.x = w2 ∧ m
 349   λx.(#‡E)‡#    : ∀x.x = w ∧ m → x = w2 ∧ m
 350
 351
 352 w;
 353 F ≟ ex_moprh ∘ G
 354 g ≟ fun11 G
 355 ------------------------------
 356 ex (λx.g w x) ==?== fun11 F w
 357
 358 x ⊢ fun11 ?h ≟ λw. ?g w x
 359 ?G ≟ morphism_leibniz (T → S) ∘ ?h
 360 ------------------------------
 361 (λw. (λx:T.?g w x)) ==?== fun11 ?G
 362
 363 ...
 364 x ⊢ fun11 ?h ==?== λw. eq x w ∧ m [w]
 365 (λw,x.eq x w ∧ m[w]) ==?== fun11 ?G
 366 ex (λx.?g w x) ==?== ex (λx.x = w ∧ m[w])
 367
 368 ndefinition ex_morph : ∀S:setoid. (S ⇒_1 CPROP) ⇒_1 CPROP.
 369 #S; @; ##[ #P; napply (Ex ? P); ##| ncases admit. ##] nqed.
 370
 371 ndefinition ex_morph1 : ∀S:setoid. (S ⇒_1 CPROP) ⇒_1 CPROP.
 372 #S; @; ##[ #P; napply (Ex ? (λx.P); ##| ncases admit. ##] nqed.
 373
 374
 375 nlemma d : ∀S:Alpha.
 376  ∀ee: (setoid1_of_setoid (list S)) ⇒_1 (setoid1_of_setoid (list S)) ⇒_1 CPROP.
 377  ∀x,y:list S.x = y →
 378  let form ≝ comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ee in
 379   form x = form y.
 380  #S ee x y E;
 381  nletin F ≝ (comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ee);
 382
 383  nnormalize;
 384
 385  nchange with (F x = F y);
 386  nchange in E with (eq_rel1 ? (eq1 (setoid1_of_setoid (LIST S))) x y);
 387  napply (.= † E);
 388  napply #.
 389 nqed.
 390
 391
 392 nlemma d : ∀S:Alpha.∀ee: (setoid1_of_setoid (list S)) ⇒_1 (setoid1_of_setoid (list S)) ⇒_1 CPROP.∀x,y:list S.x = y →
 393  let form ≝ comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ee in
 394   form x = form y.
 395  #S ee x y E;
 396  nletin F ≝ (comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ee);
 397
 398  nnormalize;
 399
 400  nchange with (F x = F y);
 401  nchange in E with (eq_rel1 ? (eq1 (setoid1_of_setoid (LIST S))) x y);
 402  napply (.= † E);
 403  napply #.
 404 nqed.
 405
 406
 407 nlemma d : ∀S:Alpha.(setoid1_of_setoid (list S)) ⇒_1 CPROP.
 408  #S; napply (comp1_unary_morphisms ??? (ex_morph (list S)) ?);
 409  napply (eq1).
 410
 411
 412
 413 (*
 414 ndefinition comp_ex : ∀X,S,T,K.∀P:X ⇒_1 (S ⇒_1 T).∀Pc : (S ⇒_1 T) ⇒_1 K. X ⇒_1 K.
 415  *)
 416
 417 ndefinition L_pi_ext : ∀S:Alpha.∀r:pitem S.Elang S.
 418 #S r; @(𝐋\p r); #w1 w2 E; nelim r; /2/;
 419 ##[ #x; @; #H; ##[ nchange in H ⊢ % with ([?]=?); napply ((.= H) E)]
 420     nchange in H ⊢ % with ([?]=?); napply ((.= H) E^-1);
 421 ##| #e1 e2 H1 H2;
 422     nchange in match (w1 ∈ 𝐋\p (?·?)) with ((∃_.?)∨?);
 423     napply (.= (#‡H2));
 424     napply (.= (Eexists ?? ? w1 w2 E)‡#);
 425
 426
 427     nchange in match (w2 ∈ 𝐋\p (?·?)) with (?∨?);
 428     napply (.=
 429
 430
 431  //; napply (trans ?? ??? H E);
 432    napply (trans (list S) (eq0 (LIST S)) ? [?] ?(*w1 [x] w2*) H E);
 433   nlapply (trans (list S) (eq0 (LIST S))).
 434
 435 napply (.= H); nnormalize; nlapply (trans ? [x] w1 w2 E H); napply (.= ?) [napply (w1 = [x])] ##[##2: napply #; napply sym1; napply refl1 ]
 436
 437 ndefinition epsilon ≝
 438   λS:Alpha.λb.match b return λ_.lang S with [ true ⇒ { [ ] } | _ ⇒ ∅ ].
 439
 440 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 441 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 442 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 443
 444 ndefinition L_pr ≝ λS : Alpha.λp:pre S.  𝐋\p\ (\fst p) ∪ ϵ (\snd p).
 445
 446 interpretation "L_pr" 'L_pi E = (L_pr ? E).
 447
 448 nlemma append_eq_nil : ∀S:setoid.∀w1,w2:list S. w1 @ w2 = [ ] → w1 = [ ].
 449 #S w1; ncases w1; //. nqed.
 450
 451 (* lemma 12 *)
 452 nlemma epsilon_in_true : ∀S:Alpha.∀e:pre S. [ ] ∈ 𝐋\p e = (\snd e = true).
 453 #S r; ncases r; #e b; @; ##[##2: #H; nrewrite > H; @2; /2/; ##] ncases b;//;
 454 *; ##[##2:*] nelim e;
 455 ##[ ##1,2: *; ##| #c; *; ##| #c; *| ##7: #p H;
 456 ##| #r1 r2 H G; *; ##[##2: nassumption; ##]
 457 ##| #r1 r2 H1 H2; *; /2/ by {}]
 458 *; #w1; *; #w2; *; *;
 459 ##[ #defw1 H1 foo; napply H; napply (. #‡#); (append_eq_nil … defw1)^-1‡#);
 460
 461  nrewrite > (append_eq_nil ? … w1 w2 …); /3/ by {};//;
 462 nqed.
 463
 464 nlemma not_epsilon_lp : ∀S.∀e:pitem S. ¬ (𝐋\p e [ ]).
 465 #S e; nelim e; nnormalize; /2/ by nmk;
 466 ##[ #; @; #; ndestruct;
 467 ##| #r1 r2 n1 n2; @; *; /2/; *; #w1; *; #w2; *; *; #H;
 468     nrewrite > (append_eq_nil …H…); /2/;
 469 ##| #r1 r2 n1 n2; @; *; /2/;
 470 ##| #r n; @; *; #w1; *; #w2; *; *; #H;
 471     nrewrite > (append_eq_nil …H…); /2/;##]
 472 nqed.
 473
 474 ndefinition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 475 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 476 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 477
 478 ndefinition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa,b:pre S.
 479    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 480    match b1 with
 481    [ false ⇒ 〈e1 · \fst b, \snd b〉
 482    | true ⇒ 〈e1 · \fst (bcast ? (\fst b)),\snd b || \snd (bcast ? (\fst b))〉]].
 483
 484 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc $op $a $b}.
 485 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 486 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 487
 488 ndefinition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa:pre S.
 489    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 490    match b1 with
 491    [ false ⇒ 〈e1^*, false〉
 492    | true ⇒ 〈(\fst (bcast ? e1))^*, true〉]].
 493
 494 notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.
 495 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 496 notation > "a^⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk eclose $a}.
 497
 498 notation > "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 499 nlet rec eclose (S: Alpha) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 500  match E with
 501   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 502   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 503   | ps x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 504   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 505   | po E1 E2 ⇒ •E1 ⊕ •E2
 506   | pc E1 E2 ⇒ •E1 ⊙ 〈 E2, false 〉
 507   | pk E ⇒ 〈(\fst (•E))^*,true〉].
 508 notation < "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 509 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 510 notation > "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 511
 512 ndefinition reclose ≝ λS:Alpha.λp:pre S.let p' ≝ •\fst p in 〈\fst p',\snd p || \snd p'〉.
 513 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 514
 515 ndefinition eq_f1 ≝ λS.λa,b:word S → Prop.∀w.a w ↔ b w.
 516 notation > "A =1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 517 notation "A =\sub 1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 518 interpretation "eq f1" 'eq_f1 a b = (eq_f1 ? a b).
 519
 520 naxiom extP : ∀S.∀p,q:word S → Prop.(p =1 q) → p = q.
 521
 522 nlemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. ϵ(b1 || b2) = ϵ b1 ∪ ϵ b2. ##[##2: napply S]
 523 #S b1 b2; ncases b1; ncases b2; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *;
 524 nqed.
 525
 526 nlemma cupA : ∀S.∀a,b,c:word S → Prop.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 527 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/; *; /3/; nqed.
 528
 529 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:word S → Prop.a ∪ b = b ∪ a.
 530 #S a b; napply extP; #w; @; *; nnormalize; /2/; nqed.
 531
 532 (* theorem 16: 2 *)
 533 nlemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.𝐋\p (e1 ⊕ e2) = 𝐋\p e1 ∪ 𝐋\p e2.
 534 #S r1; ncases r1; #e1 b1 r2; ncases r2; #e2 b2;
 535 nwhd in ⊢ (??(??%)?);
 536 nchange in ⊢(??%?) with (𝐋\p (e1 + e2) ∪ ϵ (b1 || b2));
 537 nchange in ⊢(??(??%?)?) with (𝐋\p (e1) ∪ 𝐋\p (e2));
 538 nrewrite > (epsilon_or S …); nrewrite > (cupA S (𝐋\p e1) …);
 539 nrewrite > (cupC ? (ϵ b1) …); nrewrite < (cupA S (𝐋\p e2) …);
 540 nrewrite > (cupC ? ? (ϵ b1) …); nrewrite < (cupA …); //;
 541 nqed.
 542
 543 nlemma odotEt :
 544   ∀S.∀e1,e2:pitem S.∀b2. 〈e1,true〉 ⊙ 〈e2,b2〉 = 〈e1 · \fst (•e2),b2 || \snd (•e2)〉.
 545 #S e1 e2 b2; nnormalize; ncases (•e2); //; nqed.
 546
 547 nlemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋\p (e1 · e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|e2| ∪ 𝐋\p e2. //; nqed.
 548
 549 nlemma cup_dotD : ∀S.∀p,q,r:word S → Prop.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 550 #S p q r; napply extP; #w; nnormalize; @;
 551 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 552 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 553 nqed.
 554
 555 nlemma cup0 :∀S.∀p:word S → Prop.p ∪ {} = p.
 556 #S p; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *; nqed.
 557
 558 nlemma erase_dot : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 .|e1 · e2| =  𝐋 .|e1| · 𝐋 .|e2|.
 559 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; #w1; *; #w2; *; *; /7/ by ex_intro, conj;
 560 nqed.
 561
 562 nlemma erase_plus : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 .|e1 + e2| =  𝐋 .|e1| ∪ 𝐋 .|e2|.
 563 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; /4/ by or_introl, or_intror; nqed.
 564
 565 nlemma erase_star : ∀S.∀e1:pitem S.𝐋 .|e1|^* = 𝐋 .|e1^*|. //; nqed.
 566
 567 ndefinition substract := λS.λp,q:word S → Prop.λw.p w ∧ ¬ q w.
 568 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 569
 570 nlemma cup_sub: ∀S.∀a,b:word S → Prop. ¬ (a []) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 571 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /4/; *; /4/; nqed.
 572
 573 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 574 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 575
 576 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 577 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 578
 579 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 580 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed.
 581
 582 nlemma erase_bull : ∀S.∀a:pitem S. .|\fst (•a)| = .|a|.
 583 #S a; nelim a; // by {};
 584 ##[ #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| · .|e2|);
 585     nrewrite < IH1; nrewrite < IH2;
 586     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊙ 〈e2,false〉));
 587     ncases (•e1); #e3 b; ncases b; nnormalize;
 588     ##[ ncases (•e2); //; ##| nrewrite > IH2; //]
 589 ##| #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| + .|e2|);
 590     nrewrite < IH2; nrewrite < IH1;
 591     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊕ •e2));
 592     ncases (•e1); ncases (•e2); //;
 593 ##| #e IH; nchange in ⊢ (???%) with (.|e|^* ); nrewrite < IH;
 594     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e))^*; //; ##]
 595 nqed.
 596
 597 nlemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 598 #S p; ncases p; //; nqed.
 599
 600 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 601 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 602 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 603 napply Hw2; nqed.
 604
 605 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 606 nlemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1,e2: pre S.
 607       𝐋\p (•(\fst e2)) =  𝐋\p (\fst e2) ∪ 𝐋 .|\fst e2| →
 608          𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 609 #S e1 e2 th1; ncases e1; #e1' b1'; ncases b1';
 610 ##[ nwhd in ⊢ (??(??%)?); nletin e2' ≝ (\fst e2); nletin b2' ≝ (\snd e2);
 611     nletin e2'' ≝ (\fst (•(\fst e2))); nletin b2'' ≝ (\snd (•(\fst e2)));
 612     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 613     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (?∪?);
 614     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 615     nrewrite > (epsilon_or …); nrewrite > (cupC ? (ϵ ?)…);
 616     nrewrite > (cupA …);nrewrite < (cupA ?? (ϵ?)…);
 617     nrewrite > (?: 𝐋\p e2'' ∪ ϵ b2'' = 𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|); ##[##2:
 618       nchange with (𝐋\p 〈e2'',b2''〉 =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|);
 619       ngeneralize in match th1;
 620       nrewrite > (eta_lp…); #th1; nrewrite > th1; //;##]
 621     nrewrite > (eta_lp ? e2);
 622     nchange in match (𝐋\p 〈\fst e2,?〉) with (𝐋\p e2'∪ ϵ b2');
 623     nrewrite > (cup_dotD …); nrewrite > (epsilon_dot…);
 624     nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2')…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (cupA…);
 625     nrewrite < (erase_bull S e2') in ⊢ (???(??%?)); //;
 626 ##| ncases e2; #e2' b2'; nchange in match (〈e1',false〉⊙?) with 〈?,?〉;
 627     nchange in match (𝐋\p ?) with (?∪?);
 628     nchange in match (𝐋\p (e1'·?)) with (?∪?);
 629     nchange in match (𝐋\p 〈e1',?〉) with (?∪?);
 630     nrewrite > (cup0…);
 631     nrewrite > (cupA…); //;##]
 632 nqed.
 633
 634 nlemma sub_dot_star :
 635   ∀S.∀X:word S → Prop.∀b. (X - ϵ b) · X^* ∪ {[]} = X^*.
 636 #S X b; napply extP; #w; @;
 637 ##[ *; ##[##2: nnormalize; #defw; nrewrite < defw; @[]; @; //]
 638     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 639     @ (w1 :: lw); nrewrite < defw; nrewrite < flx; @; //;
 640     @; //; napply (subW … sube);
 641 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; nrewrite < defw; nelim wl in Pwl; ##[ #_; @2; //]
 642     #w' wl' IH; *; #Pw' IHp; nlapply (IH IHp); *;
 643     ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defwl' H1 H2;
 644         @; ncases b in H1; #H1;
 645         ##[##2: nrewrite > (sub0…); @w'; @(w1@w2);
 646                 nrewrite > (associative_append ? w' w1 w2);
 647                 nrewrite > defwl'; @; ##[@;//] @(wl'); @; //;
 648            ##| ncases w' in Pw';
 649                ##[ #ne; @w1; @w2; nrewrite > defwl'; @; //; @; //;
 650                ##| #x xs Px; @(x::xs); @(w1@w2);
 651                    nrewrite > (defwl'); @; ##[@; //; @; //; @; nnormalize; #; ndestruct]
 652                    @wl'; @; //; ##] ##]
 653         ##| #wlnil; nchange in match (flatten ? (w'::wl')) with (w' @ flatten ? wl');
 654             nrewrite < (wlnil); nrewrite > (append_nil…); ncases b;
 655             ##[ ncases w' in Pw'; /2/; #x xs Pxs; @; @(x::xs); @([]);
 656                 nrewrite > (append_nil…); @; ##[ @; //;@; //; nnormalize; @; #; ndestruct]
 657                 @[]; @; //;
 658             ##| @; @w'; @[]; nrewrite > (append_nil…); @; ##[##2: @[]; @; //]
 659                 @; //; @; //; @; *;##]##]##]
 660 nqed.
 661
 662 (* theorem 16: 1 *)
 663 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 664 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 665 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 666 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 667 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 .|e|.
 668 #S e; nelim e; //;
 669   ##[ #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 670   ##| #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl; *;
 671   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 672       nchange in ⊢ (??(??(%))?) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 673       nrewrite > (odot_dot_aux S (•e1) 〈e2,false〉 IH2);
 674       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (cup_dotD …);
 675       nrewrite > (cupA …); nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p ?) …);
 676       nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (𝐋\p e2 ∪ {}); nrewrite > (cup0 …);
 677       nrewrite < (erase_dot …); nrewrite < (cupA …); //;
 678   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 679       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2); nrewrite > (oplus_cup …);
 680       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (IH2 …); nrewrite > (cupA …);
 681       nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2)…);nrewrite < (cupA ??? (𝐋\p e2)…);
 682       nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p e2)…); nrewrite < (cupA …);
 683       nrewrite < (erase_plus …); //.
 684   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 685       nchange in match (𝐋\p ?) with  (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 686       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 687       nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 688       nrewrite > (erase_bull…e);
 689       nrewrite > (erase_star …);
 690       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b')); ##[##2:
 691         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 692         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 693             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 694         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 695       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 696       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 .|e^*|)); //;
 697       nchange in match (𝐋 .|e^*|) with ((𝐋. |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 698  nqed.
 699
 700 (* theorem 16: 3 *)
 701 nlemma odot_dot:
 702   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 703 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 704
 705 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 706 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 707 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 708     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 709     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 710 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 711     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 712     @; /2/; @xs; /2/;##]
 713  nqed.
 714
 715 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 716 #S e; @[]; /2/; nqed.
 717
 718 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 719 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 720
 721 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 722 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 723
 724 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 725   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 726 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 727 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 728 nqed.
 729
 730 (* theorem 16: 4 *)
 731 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 .|\fst e|)^*.
 732 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 733 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 734     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 735     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 736     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 737     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b' )); ##[##2:
 738       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 739       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 740       nchange in match b' in bc with b';
 741       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 742       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 743     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 744     nrewrite > (sub_dot_star…);
 745     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 746     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 747 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 748     nrewrite > (cup0…);
 749     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 .|e|^* );
 750     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 751 nqed.
 752
 753 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 754   match e with
 755   [ z ⇒ pz ?
 756   | e ⇒ pe ?
 757   | s x ⇒ ps ? x
 758   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 759   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 760   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 761
 762 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 763
 764 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 765 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 766 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 767
 768 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 769 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 770 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 771     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 772 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 773     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 774 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 775     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 776 nqed.
 777
 778 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 .|pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 779 #S A; nelim A; //;
 780 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 781     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 782 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 783     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 784 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 785     nrewrite < H1; //]
 786 nqed.
 787
 788 (* corollary 17 *)
 789 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 790 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 791 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 792 nqed.
 793
 794 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 795 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 796
 797 (* corollary 18 *)
 798 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ .|e|.
 799 #S e; @;
 800 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 801     nrewrite > defsnde; #H;
 802     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 803     E MO?
 804
 805 STOP
 806
 807 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 808 non associative with precedence 60 for @{move ? $x $E}.
 809 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 810  match E with
 811   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 812   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 813   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 814   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 815   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 816   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 817   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 818 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 819 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 820 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 821
 822 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
 823 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
 824
 825 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ∅ → False.
 826 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 827 nqed.
 828
 829
 830 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
 831 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 832 nqed.
 833
 834 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 835 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 836 nqed.
 837
 838
 839 naxiom in_move_cat:
 840  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
 841    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
 842 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
 843 ncases e1 in H; ncases e2;
 844 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 845    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 846    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 847 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 848    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 849    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 850 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
 851    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 852    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
 853    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
 854 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
 855    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
 856    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
 857 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
 858     ...
 859 nqed.
 860
 861 ntheorem move_ok:
 862  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
 863 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
 864 ##[##1,2: #a w; @;
 865    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
 866       #H; ninversion H; #; ndestruct;
 867    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
 868        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
 869 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
 870    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
 871 ##|#a c w; @; nnormalize;
 872    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
 873        #H; ninversion H; #; ndestruct;
 874    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
 875               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
 876 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
 877    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
 878       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
 879           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
 880           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
 881       ##|
 882       ...
 883 ##|
 884 ##|
 885 ##]
 886 nqed.
 887
 888
 889 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{move_star ? $x $E}.
 890 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
 891  match w with
 892   [ nil ⇒ E
 893   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
 894
 895 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
 896
 897 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 898  mk_equiv:
 899   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 900    \fst E1  = \fst E2 →
 901     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
 902      equiv S E1 E2.
 903
 904 ndefinition NAT: decidable.
 905  @ nat eqb; /2/.
 906 nqed.
 907
 908 include "hints_declaration.ma".
 909
 910 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 911 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
 912
 913 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
 914
 915 nlet corec foo_nop (b: bool):
 916  equiv ?
 917   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
 918   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
 919  @; //; #x; ncases x
 920   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 921   | #y; ncases y
 922      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 923      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
 924 nqed.
 925
 926 (*
 927 nlet corec foo (a: unit):
 928  equiv NAT
 929   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
 930   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
 931 ≝ ?.
 932  @;
 933   ##[ nnormalize; //
 934   ##| #x; ncases x
 935        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 936          nnormalize in foo: (? → ??%%);
 937          @; //; #y; ncases y
 938            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 939            | #y; ncases y
 940               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 941
 942             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
 943      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 944   ##]
 945 nqed.
 946 *)
 947
 948 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
 949 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
 950 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
 951
 952
 953 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
 954  nnormalize in match test3;
 955  nnormalize;
 956 //;
 957 nqed.
 958
 959 (**********************************************************)
 960
 961 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
 962    der_z: der S a (z S) (z S)
 963  | der_e: der S a (e S) (z S)
 964  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
 965  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
 966  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 967             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
 968  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
 969             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
 970  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 971     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
 972
 973 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 974  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 975  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 976 nqed.
 977
 978 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
 979
 980 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
 981 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
 982   [ #K; ninversion K
 983   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
 984   | (* tutti casi assurdi *) *)
 985
 986 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
 987    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
 988  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
 989
 990 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
 991    mk_eq_re: ∀E1,E2.
 992     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
 993     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
 994     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
 995       eq_re S E1 E2.
 996
 997 (* serve il lemma dopo? *)
 998 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
 999  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
1000   [ #r; #K (* ok *)
1001   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
1002
1003 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
1004 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
1005 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
1006   [ //
1007   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
1008   ]
1009 nqed. *)
1010
1011 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
1012  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
1013   [##1,2: #H1; ninversion H1
1014      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
1015      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1016      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1017      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1018      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1019      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1020      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
1021 ##| #H1; ninversion H1
1022      [ //
1023      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1024      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1025      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1026      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1027      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1028      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
1029 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
1030      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
1031      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1032      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1033      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1034      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1035      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1036      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
1037 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
1038