helm/software/matita/nlibrary/re/re-setoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/pairs-setoids.ma".
  16 include "datatypes/bool-setoids.ma".
  17 include "datatypes/list-setoids.ma".
  18 include "sets/sets.ma".
  19
  20 (*
  21 ninductive Admit : CProp[0] ≝ .
  22 naxiom admit : Admit.
  23 *)
  24
  25 (* XXX move somewere else *)
  26 ndefinition if': ∀A,B:CPROP. A = B → A → B.
  27 #A B; *; /2/. nqed.
  28
  29 ncoercion if : ∀A,B:CPROP. ∀p:A = B. A → B ≝ if' on _p : eq_rel1 ? (eq1 CPROP) ?? to ∀_:?.?.
  30
  31 ndefinition ifs': ∀S.∀A,B:Ω^S. A = B → ∀x. x ∈ A → x ∈ B.
  32 #S A B; *; /2/. nqed.
  33
  34 ncoercion ifs : ∀S.∀A,B:Ω^S. ∀p:A = B.∀x. x ∈ A → x ∈ B ≝ ifs' on _p : eq_rel1 ? (eq1 (powerclass_setoid ?))?? to ∀_:?.?.
  35
  36 (* XXX move to list-setoids-theory.ma *)
  37
  38 ntheorem append_nil: ∀A:setoid.∀l:list A.l @ [] = l.
  39 #A;#l;nelim l;//; #a;#l1;#IH;nnormalize;/2/;nqed.
  40
  41 ndefinition associative ≝ λA:setoid.λf:A → A → A.∀x,y,z.f x (f y z) = f (f x y) z.
  42
  43 ntheorem associative_append: ∀A:setoid.associative (list A) (append A).
  44 #A;#x;#y;#z;nelim x[ napply (refl ???) |#a;#x1;#H;nnormalize;/2/]nqed.
  45
  46 (* end move to list *)
  47
  48
  49 (* XXX to undestand what I want inside Alpha
  50    the eqb part should be split away, but when available it should be
  51    possible to obtain a leibnitz equality on lemmas proved on setoids
  52 *)
  53 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
  54
  55 ninductive eq (A:Type[0]) (x:A) : A → CProp[0] ≝ erefl: eq A x x.
  56
  57 nlemma eq_rect_Type0_r':
  58  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (erefl A a) → P x p.
  59  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
  60 nqed.
  61
  62 nlemma eq_rect_Type0_r:
  63  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (erefl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
  64  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_Type0_r' ??? p0); nassumption.
  65 nqed.
  66
  67 nlemma eq_rect_CProp0_r':
  68  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (erefl A a) → P x p.
  69  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
  70 nqed.
  71
  72 nlemma eq_rect_CProp0_r:
  73  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (erefl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
  74  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_CProp0_r' ??? p0); nassumption.
  75 nqed.
  76
  77 nrecord Alpha : Type[1] ≝ {
  78    acarr :> setoid;
  79    eqb: acarr → acarr → bool;
  80    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) = (x = y)
  81 }.
  82
  83 interpretation "eqb" 'eq_low a b = (eqb ? a b).
  84 (* end alpha *)
  85
  86 (* re *)
  87 ninductive re (S: Type[0]) : Type[0] ≝
  88    z: re S
  89  | e: re S
  90  | s: S → re S
  91  | c: re S → re S → re S
  92  | o: re S → re S → re S
  93  | k: re S → re S.
  94
  95 notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
  96 notation > "a ^ *" non associative with precedence 75 for @{ 'pk $a}.
  97 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
  98 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
  99
 100 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
 101 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
 102
 103 (* to get rid of \middot *)
 104 ncoercion c  : ∀S.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
 105
 106 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 107 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 108 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
 109
 110 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
 111 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
 112
 113 notation "0" non associative with precedence 90 for @{ 'empty_r }.
 114 interpretation "empty" 'empty_r = (z ?).
 115
 116 notation > "'lang' S" non associative with precedence 90 for @{ Ω^(list $S) }.
 117 notation > "'Elang' S" non associative with precedence 90 for @{ 𝛀^(list $S) }.
 118
 119 (* setoid support for re *)
 120
 121 nlet rec eq_re (S:Alpha) (a,b : re S) on a : CProp[0] ≝
 122   match a with
 123   [ z ⇒ match b with [ z ⇒ True | _ ⇒ False]
 124   | e ⇒ match b with [ e ⇒ True | _ ⇒ False]
 125   | s x ⇒ match b with [ s y ⇒ x = y | _ ⇒ False]
 126   | c r1 r2 ⇒ match b with [ c s1 s2 ⇒ eq_re ? r1 s1 ∧ eq_re ? r2 s2 | _ ⇒ False]
 127   | o r1 r2 ⇒ match b with [ o s1 s2  ⇒ eq_re ? r1 s1 ∧ eq_re ? r2 s2 | _ ⇒ False]
 128   | k r1 ⇒ match b with [ k r2 ⇒ eq_re ? r1 r2 | _ ⇒ False]].
 129
 130 interpretation "eq_re" 'eq_low a b = (eq_re ? a b).
 131
 132 ndefinition RE : Alpha → setoid.
 133 #A; @(re A); @(eq_re A);
 134 ##[ #p; nelim p; /2/;
 135 ##| #p1; nelim p1; ##[##1,2: #p2; ncases p2; /2/;
 136     ##|##2,3: #x p2; ncases p2; /2/;
 137     ##|##4,5: #e1 e2 H1 H2 p2; ncases p2; /3/; #e3 e4; *; #; @; /2/;
 138     ##|#r H p2; ncases p2; /2/;##]
 139 ##| #p1; nelim p1;
 140     ##[ ##1,2: #y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 141     ##| ##3: #a; #y z; ncases y; ncases z; /2/; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 142     ##| ##4,5: #r1 r2 H1 H2 y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize;
 143         ##[##1,3,4,5,6,8: #; ncases (?:False); //;##]
 144         #r1 r2 r3 r4; nnormalize; *; #H1 H2; *; #H3 H4; /3/;
 145     ##| #r H y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; ##[##1,2,3: #; ncases (?:False); //]
 146         #r2 r3; /3/; ##]##]
 147 nqed.
 148
 149 unification hint 0 ≔ A : Alpha;
 150   S ≟ acarr A,
 151   T ≟ carr S,
 152   P1 ≟ refl ? (eq0 (RE A)),
 153   P2 ≟ sym ? (eq0 (RE A)),
 154   P3 ≟ trans ? (eq0 (RE A)),
 155   X ≟ mk_setoid (re T) (mk_equivalence_relation ? (eq_re A) P1 P2 P3)
 156 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 157      carr X ≡ re T.
 158
 159 unification hint 0 ≔ A:Alpha,a,b:re A;
 160    R ≟ eq0 (RE A),
 161    L ≟ re A
 162 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 163    eq_re A a b ≡ eq_rel L R a b.
 164
 165 nlemma c_is_morph : ∀A:Alpha.(re A) ⇒_0 (re A) ⇒_0 (re A).
 166 #A; napply (mk_binary_morphism … (λs1,s2:re A. s1 · s2));
 167 #a; nelim a;
 168 ##[##1,2: #a' b b'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj;
 169 ##|#x a' b b'; ncases a'; /2/ by conj;
 170 ##|##4,5: #r1 r2 IH1 IH2 a'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj;
 171 ##|#r IH a'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj; ##]
 172 nqed.
 173
 174 (* XXX This is the good format for hints about morphisms, fix the others *)
 175 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type0".
 176 unification hint 0 ≔ S:Alpha, A,B:re S;
 177     MM ≟ mk_unary_morphism ??
 178           (λA:re S.mk_unary_morphism ?? (λB.A · B) (prop1 ?? (c_is_morph S A)))
 179           (prop1 ?? (c_is_morph S)),
 180     T ≟ RE S
 181 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 182    fun1 T T (fun1 T (unary_morph_setoid T T) MM A) B ≡ A · B.
 183
 184 nlemma o_is_morph : ∀A:Alpha.(re A) ⇒_0 (re A) ⇒_0 (re A).
 185 #A; napply (mk_binary_morphism … (λs1,s2:re A. s1 + s2));
 186 #a; nelim a;
 187 ##[##1,2: #a' b b'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj;
 188 ##|#x a' b b'; ncases a'; /2/ by conj;
 189 ##|##4,5: #r1 r2 IH1 IH2 a'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj;
 190 ##|#r IH a'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj; ##]
 191 nqed.
 192
 193 unification hint 0 ≔ S:Alpha, A,B:re S;
 194     MM ≟ mk_unary_morphism ??
 195           (λA:re S.mk_unary_morphism ?? (λB.A + B) (prop1 ?? (o_is_morph S A)))
 196           (prop1 ?? (o_is_morph S)),
 197     T ≟ RE S
 198 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 199    fun1 T T (fun1 T (unary_morph_setoid T T) MM A) B ≡ A + B.
 200
 201 (* end setoids support for re *)
 202
 203 nlet rec conjunct S (l : list (list S)) (L : lang S) on l: CProp[0] ≝
 204 match l with [ nil ⇒ True | cons w tl ⇒ w ∈ L ∧ conjunct ? tl L ].
 205
 206 interpretation "subset construction with type" 'comprehension t \eta.x =
 207   (mk_powerclass t x).
 208
 209 ndefinition cat : ∀A:setoid.∀l1,l2:lang A.lang A ≝
 210   λS.λl1,l2.{ w ∈ list S | ∃w1,w2.w =_0 w1 @ w2 ∧ w1 ∈ l1 ∧ w2 ∈ l2}.
 211 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
 212
 213 (* hints for cat *)
 214 nlemma cat_is_morph : ∀A:setoid. (lang A) ⇒_1 (lang A) ⇒_1 (lang A).
 215 #X; napply (mk_binary_morphism1 … (λA,B:lang X.A · B));
 216 #A1 A2 B1 B2 EA EB; napply ext_set; #x;
 217 ncut (∀y,x:list X.(x ∈ B1) =_1 (x ∈ B2)); ##[
 218   #_; #y; ncases EA; ncases EB; #h1 h2 h3 h4; @; ##[ napply h1 | napply h2] ##] #YY;
 219 ncut (∀x,y:list X.(x ∈ A1) =_1 (x ∈ A2)); ##[
 220   #y; #y; ncases EA; ncases EB; #h1 h2 h3 h4; @; ##[ napply h3 | napply h4] ##] #XX;
 221 napply (.=_1 (∑w1, w2. XX w1 w2/ E ; (# ╪_1 E) ╪_1 #));
 222 napply (.=_1 (∑w1, w2. YY w1 w2/ E ; # ╪_1 E)); //;
 223 nqed.
 224
 225 nlemma cat_is_ext: ∀A:setoid. (Elang A) → (Elang A) → (Elang A).
 226  #S A B; @ (ext_carr … A · ext_carr … B); (* XXX coercion ext_carr che non funge *)
 227 #x y Exy;
 228 ncut (∀w1,w2.(x == w1@w2) = (y == w1@w2)); ##[
 229   #w1 w2; @; #H; ##[ napply (.= Exy^-1) | napply (.= Exy)] // ]
 230 #E; @; #H;
 231 ##[ napply (. (∑w1,w2. (E w1 w2)^-1 / E ; (E ╪_1 #) ╪_1 #)); napply H;
 232 ##| napply (. (∑w1,w2. E w1 w2 / E ; (E ╪_1 #) ╪_1 #)); napply H ]
 233 nqed.
 234
 235 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 236 unification hint 0 ≔ A : setoid, B,C :  Elang A;
 237    AA ≟ LIST A,
 238    R ≟ mk_ext_powerclass ?
 239          (ext_carr ? B · ext_carr ? C) (ext_prop ? (cat_is_ext ? B C))
 240 (*--------------------------------------------------------------------*)  ⊢
 241     ext_carr AA R ≡ cat A (ext_carr AA B) (ext_carr AA C).
 242
 243 unification hint 0 ≔ S:setoid, A,B:lang S;
 244     T ≟ powerclass_setoid (list S),
 245     MM ≟ mk_unary_morphism1 T (unary_morphism1_setoid1 T T)
 246           (λA:lang S.
 247              mk_unary_morphism1 T T
 248                (λB:lang S.cat S A B) (prop11 T T (cat_is_morph S A)))
 249           (prop11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) (cat_is_morph S))
 250 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 251    fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) MM A) B ≡ cat S A B.
 252
 253 nlemma cat_is_ext_morph:∀A:setoid.(Elang A) ⇒_1 (Elang A) ⇒_1 (Elang A).
 254 #A; napply (mk_binary_morphism1 …  (cat_is_ext …));
 255 #x1 x2 y1 y2 Ex Ey; napply (prop11 … (cat_is_morph A)); nassumption.
 256 nqed.
 257
 258 unification hint 1 ≔ AA : setoid, B,C : Elang AA;
 259   AAS ≟ LIST AA,
 260   T ≟ ext_powerclass_setoid (list AA),
 261   R ≟ mk_unary_morphism1 T (unary_morphism1_setoid1 T T)
 262           (λS:Elang AA.
 263            mk_unary_morphism1 T T
 264             (λS':Elang AA.
 265               mk_ext_powerclass (list AA) (cat AA (ext_carr ? S) (ext_carr ? S'))
 266                 (ext_prop (list AA) (cat_is_ext AA S S')))
 267             (prop11 T T (cat_is_ext_morph AA S)))
 268           (prop11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) (cat_is_ext_morph AA)),
 269    BB ≟ ext_carr ? B,
 270    CC ≟ ext_carr ? C
 271 (*------------------------------------------------------*) ⊢
 272    ext_carr AAS (fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) R B) C) ≡ cat AA BB CC.
 273
 274 (* end hints for cat *)
 275
 276 ndefinition star : ∀A:setoid.∀l:lang A.lang A ≝
 277   λS.λl.{ w ∈ list S | ∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l}.
 278 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
 279
 280 notation > "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_re ? $E}.
 281 nlet rec L_re (S : Alpha) (r : re S) on r : lang S ≝
 282 match r with
 283 [ z ⇒ ∅
 284 | e ⇒ { [ ] }
 285 | s x ⇒ { [x] }
 286 | c r1 r2 ⇒ 𝐋 r1 · 𝐋 r2
 287 | o r1 r2 ⇒  𝐋 r1 ∪ 𝐋 r2
 288 | k r1 ⇒ (𝐋 r1) ^*].
 289 notation "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_re $E}.
 290 interpretation "in_l" 'L_re E = (L_re ? E).
 291
 292 (* support for 𝐋 as an extensional set *)
 293 ndefinition L_re_is_ext : ∀S:Alpha.∀r:re S.Elang S.
 294 #S r; @(𝐋 r); #w1 w2 E; nelim r;
 295 ##[ ##1,2: /2/; @; #defw1; napply (.=_0 (defw1 : [ ] = ?)); //; napply (?^-1); //;
 296 ##| #x; @; #defw1; napply (.=_0 (defw1 : [x] = ?)); //; napply (?^-1); //;
 297 ##| #e1 e2 H1 H2; (* not shure I shoud Inline *)
 298     @; *; #s1; *; #s2; *; *; #defw1 s1L1 s2L2;
 299     ##[ nlapply (trans … E^-1 defw1); #defw2;
 300     ##| nlapply (trans … E defw1); #defw2; ##] @s1; @s2; /3/;
 301 ##| #e1 e2 H1 H2; napply (H1‡H2); (* good! *)
 302 ##| #e H; @; *; #l; *; #defw1 Pl; @l; @; //; napply (.=_1 defw1); /2/; ##]
 303 nqed.
 304
 305 unification hint 0 ≔ S : Alpha,e : re S;
 306   SS ≟ LIST S,
 307   X ≟ mk_ext_powerclass SS (𝐋 e) (ext_prop SS (L_re_is_ext S e))
 308 (*-----------------------------------------------------------------*)⊢
 309   ext_carr SS X ≡ L_re S e.
 310
 311 nlemma L_re_is_morph:∀A:Alpha.(setoid1_of_setoid (re A)) ⇒_1 Ω^(list A).
 312 #A; @; ##[ napply (λr:re A.𝐋 r); ##] #r1; nelim r1;
 313 ##[##1,2: #r2; ncases r2; //; ##[##1,6: *|##2,7,5,12,10: #a; *|##3,4,8,9: #a1 a2; *]
 314 ##|#x r2; ncases r2; ##[##1,2: *|##4,5: #a1 a2; *|##6: #a; *] #y E; @; #z defz;
 315    ncases z in defz; ##[##1,3: *] #zh ztl; ncases ztl; ##[##2,4: #d dl; *; #_; *]
 316    *; #defx; #_; @; //; napply (?^-1); napply (.= defx^-1); //; napply (?^-1); //;
 317 ##|#e1 e2 IH1 IH2 r2; ncases r2; ##[##1,2: *|##5: #a1 a2; *|##3,6: #a1; *]
 318    #f1 f2; *; #E1 E2; nlapply (IH2 … E2); nlapply (IH1 … E1); #H1 H2;
 319    nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (?·?);
 320    napply (.=_1 (H1 ╪_1 H2)); //;
 321 ##|#e1 e2 IH1 IH2 r2; ncases r2; ##[##1,2: *|##4: #a1 a2; *|##3,6: #a1; *]
 322    #f1 f2; *; #E1 E2; nlapply (IH2 … E2); nlapply (IH1 … E1); #H1 H2;
 323    napply (.=_1 H1╪_1H2); //;
 324 ##|#r IH r2; ncases r2; ##[##1,2: *|##4,5: #a1 a2; *|##3: #a1; *]
 325    #e; #defe; nlapply (IH e defe); #H;
 326    @; #x; *; #wl; *; #defx Px; @wl; @; //; nelim wl in Px; //; #l ls IH; *; #lr Pr;
 327    ##[ nlapply (ifs' … H … lr) | nlapply (ifs' … H^-1 … lr) ] #le;
 328    @; ##[##1,3: nassumption] /2/; ##]
 329 nqed.
 330
 331 unification hint 0 ≔ A:Alpha, a:re A;
 332   T ≟ setoid1_of_setoid (RE A),
 333   T1 ≟ LIST A,
 334   T2 ≟ powerclass_setoid T1,
 335   MM ≟ mk_unary_morphism1 ??
 336          (λa:setoid1_of_setoid (RE A).𝐋 a) (prop11 ?? (L_re_is_morph A))
 337 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 338    fun11 T T2 MM a ≡  𝐋 a.
 339
 340 nlemma L_re_is_ext_morph:∀A:Alpha.(setoid1_of_setoid (re A)) ⇒_1 𝛀^(list A).
 341 #A; @; ##[ #a; napply (L_re_is_ext ? a); ##] #a b E;
 342 ncut (𝐋 b =  𝐋 a); ##[ napply (.=_1 (┼_1 E^-1)); // ] #EL;
 343 @; #x H; nchange in H ⊢ % with (x ∈ 𝐋 ?);
 344 ##[ napply (. (# ╪_1 ?)); ##[##3: napply H |##2: ##skip ] napply EL;
 345 ##| napply (. (# ╪_1 ?)); ##[##3: napply H |##2: ##skip ] napply (EL^-1)]
 346 nqed.
 347
 348 unification hint 1 ≔  AA : Alpha, a: re AA;
 349   T ≟ RE AA, T1 ≟ LIST AA, TT ≟ ext_powerclass_setoid T1,
 350   R ≟ mk_unary_morphism1 ??
 351        (λa:setoid1_of_setoid T.
 352          mk_ext_powerclass ? (𝐋 a) (ext_prop ? (L_re_is_ext AA a)))
 353             (prop11 ?? (L_re_is_ext_morph AA))
 354 (*------------------------------------------------------*) ⊢
 355    ext_carr T1 (fun11 (setoid1_of_setoid T) TT R a) ≡ L_re AA a.
 356
 357 (* end support for 𝐋 as an extensional set *)
 358
 359 ninductive pitem (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 360    pz: pitem S
 361  | pe: pitem S
 362  | ps: S → pitem S
 363  | pp: S → pitem S
 364  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 365  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 366  | pk: pitem S → pitem S.
 367
 368 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 369 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 370 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 371 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 372 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 373 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 374 (* to get rid of \middot *)
 375 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 376 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 377 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 378 interpretation "pempty" 'empty_r = (pz ?).
 379
 380 (* setoids for pitem *)
 381 nlet rec eq_pitem  (S : Alpha) (p1, p2 : pitem S) on p1 : CProp[0] ≝
 382  match p1 with
 383  [ pz ⇒ match p2 with [ pz ⇒ True | _ ⇒ False]
 384  | pe ⇒ match p2 with [ pe ⇒ True | _ ⇒ False]
 385  | ps x ⇒ match p2 with [ ps y ⇒ x = y | _ ⇒ False]
 386  | pp x ⇒ match p2 with [ pp y ⇒ x = y | _ ⇒ False]
 387  | pc a1 a2 ⇒ match p2 with [ pc b1 b2 ⇒ eq_pitem ? a1 b1 ∧ eq_pitem ? a2 b2| _ ⇒ False]
 388  | po a1 a2 ⇒ match p2 with [ po b1 b2 ⇒ eq_pitem ? a1 b1 ∧ eq_pitem ? a2 b2| _ ⇒ False]
 389  | pk a ⇒ match p2 with [ pk b ⇒ eq_pitem ? a b | _ ⇒ False]].
 390
 391 interpretation "eq_pitem" 'eq_low a b = (eq_pitem ? a b).
 392
 393 nlemma PITEM : ∀S:Alpha.setoid.
 394 #S; @(pitem S); @(eq_pitem …);
 395 ##[ #p; nelim p; //; nnormalize; #; @; //;
 396 ##| #p; nelim p; ##[##1,2: #y; ncases y; //; ##|##3,4: #x y; ncases y; //; #; napply (?^-1); nassumption;
 397     ##|##5,6: #r1 r2 H1 H2 p2; ncases p2; //; #s1 s2; nnormalize; *; #; @; /2/;
 398     ##| #r H y; ncases y; //; nnormalize; /2/;##]
 399 ##| #x; nelim x;
 400     ##[ ##1,2: #y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 401     ##| ##3,4: #a; #y z; ncases y; ncases z; /2/; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 402     ##| ##5,6: #r1 r2 H1 H2 y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize;
 403         ##[##1,2,5,6,7,8,4,10: #; ncases (?:False); //;##]
 404         #r1 r2 r3 r4; nnormalize; *; #H1 H2; *; #H3 H4; /3/;
 405     ##| #r H y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; ##[##1,2,3,4: #; ncases (?:False); //]
 406         #r2 r3; /3/; ##]##]
 407 nqed.
 408
 409 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 410 unification hint 0 ≔ SS:Alpha;
 411     S ≟ acarr SS,
 412     A ≟ carr S,
 413     P1 ≟ refl ? (eq0 (PITEM SS)),
 414     P2 ≟ sym ? (eq0 (PITEM SS)),
 415     P3 ≟ trans ? (eq0 (PITEM SS)),
 416     R ≟ mk_setoid (pitem S)
 417          (mk_equivalence_relation (pitem A) (eq_pitem SS) P1 P2 P3)
 418 (*-----------------------------------------------------------------*)⊢
 419     carr R ≡ pitem A.
 420
 421 unification hint 0 ≔ S:Alpha,a,b:pitem S;
 422    R ≟ PITEM S,  L ≟ (pitem S)
 423 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 424    eq_pitem S a b ≡ eq_rel L (eq0 R) a b.
 425
 426 (* end setoids for pitem *)
 427
 428 ndefinition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 429
 430 notation "\fst term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'fst $x}.
 431 interpretation "fst" 'fst x = (fst ? ? x).
 432 notation > "\snd term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'snd $x}.
 433 interpretation "snd" 'snd x = (snd ? ? x).
 434
 435 notation > "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{forget ? $e}.
 436 nlet rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 437  match l with
 438   [ pz ⇒ 0
 439   | pe ⇒ ϵ
 440   | ps x ⇒ `x
 441   | pp x ⇒ `x
 442   | pc E1 E2 ⇒ (|E1| · |E2|)
 443   | po E1 E2 ⇒ (|E1| + |E2|)
 444   | pk E ⇒ |E|^* ].
 445
 446 notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.
 447 interpretation "forget" 'forget a = (forget ? a).
 448
 449 notation > "𝐋\p\ term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_pi ? $E}.
 450 nlet rec L_pi (S : Alpha) (r : pitem S) on r : lang S ≝
 451 match r with
 452 [ pz ⇒ ∅
 453 | pe ⇒ ∅
 454 | ps _ ⇒ ∅
 455 | pp x ⇒ { [x] }
 456 | pc r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 |r2| ∪ 𝐋\p\ r2
 457 | po r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 ∪ 𝐋\p\ r2
 458 | pk r1 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 (|r1|^* ) ].
 459 notation > "𝐋\p term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 460 notation "𝐋\sub(\p) term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 461 interpretation "in_pl" 'L_pi E = (L_pi ? E).
 462
 463 (* set support for 𝐋\p *)
 464 ndefinition L_pi_ext : ∀S:Alpha.∀r:pitem S.Elang S.
 465 #S r; @(𝐋\p r); #w1 w2 E; nelim r;
 466 ##[ ##1,2: /2/;
 467 ##| #x; @; *;
 468 ##| #x; @; #H; nchange in H with ([?] =_0 ?); ##[ napply ((.=_0 H) E); ##]
 469     napply ((.=_0 H) E^-1);
 470 ##| #e1 e2 H1 H2;
 471     napply (.= (#‡H2));
 472     ncut (∀x1,x2. (w1 = (x1@x2)) = (w2 = (x1@x2)));##[
 473       #x1 x2; @; #X; ##[ napply ((.= E^-1) X) | napply ((.= E) X) ] ##] #X;
 474     napply ((∑w1,w2. X w1 w2 / H ; (H╪_1#)╪_1#) ╪_1 #);
 475 ##| #e1 e2 H1 H2; napply (H1‡H2);
 476 ##| #e H;
 477     ncut (∀x1,x2.(w1 = (x1@x2)) = (w2 = (x1@x2)));##[
 478       #x1 x2; @; #X; ##[ napply ((.= E^-1) X) | napply ((.= E) X) ] ##] #X;
 479     napply (∑w1,w2. X w1 w2 / H ; (H╪_1#)╪_1#);
 480 ##]
 481 nqed.
 482
 483 unification hint 0 ≔ S : Alpha,e : pitem S;
 484   SS ≟ (list S),
 485   X ≟ (mk_ext_powerclass SS (𝐋\p e) (ext_prop SS (L_pi_ext S e)))
 486 (*-----------------------------------------------------------------*)⊢
 487   ext_carr SS X ≡ 𝐋\p e.
 488
 489 (* end set support for 𝐋\p *)
 490
 491 ndefinition epsilon ≝
 492   λS:Alpha.λb.match b return λ_.lang S with [ true ⇒ { [ ] } | _ ⇒ ∅ ].
 493
 494 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 495 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 496 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 497
 498 ndefinition L_pr ≝ λS : Alpha.λp:pre S.  𝐋\p\ (\fst p) ∪ ϵ (\snd p).
 499
 500 interpretation "L_pr" 'L_pi E = (L_pr ? E).
 501
 502 nlemma append_eq_nil : ∀S:setoid.∀w1,w2:list S. [ ] = w1 @ w2 → w1 = [ ].
 503 #S w1; ncases w1; //. nqed.
 504
 505 (* lemma 12 *) (* XXX: a case where Leibnitz equality could be exploited for H *)
 506 nlemma epsilon_in_true : ∀S:Alpha.∀e:pre S. [ ] ∈ 𝐋\p e = (\snd e = true).
 507 #S r; ncases r; #e b; @; ##[##2: #H; ncases b in H; ##[##2:*] #; @2; /2/; ##]
 508 ncases b; //; *; ##[##2:*] nelim e;
 509 ##[ ##1,2: *; ##| #c; *; ##| #c; *| ##7: #p H;
 510 ##| #r1 r2 H G; *; ##[##2: nassumption; ##]
 511 ##| #r1 r2 H1 H2; *; /2/ by {}]
 512 *; #w1; *; #w2; *; *;
 513 ##[ #defw1 H1 foo; napply H;
 514     napply (. (append_eq_nil ? ?? defw1)^-1╪_1#);
 515     nassumption;
 516 ##| #defw1 H1 foo; napply H;
 517     napply (. (append_eq_nil ? ?? defw1)^-1╪_1#);
 518     nassumption;
 519 ##]
 520 nqed.
 521
 522 nlemma not_epsilon_lp : ∀S:Alpha.∀e:pitem S. ¬ ([ ] ∈ (𝐋\p e)).
 523 #S e; nelim e; ##[##1,2,3,4: nnormalize;/2/]
 524 ##[ #p1 p2 np1 np2; *; ##[##2: napply np2] *; #w1; *; #w2; *; *; #abs;
 525     nlapply (append_eq_nil ??? abs); # defw1; #; napply np1;
 526     napply (. defw1^-1╪_1#);
 527     nassumption;
 528 ##| #p1 p2 np1 np2; *; nchange with (¬?); //;
 529 ##| #r n; *; #w1; *; #w2; *; *; #abs; #; napply n;
 530     nlapply (append_eq_nil ??? abs); # defw1; #;
 531     napply (. defw1^-1╪_1#);
 532     nassumption;##]
 533 nqed.
 534
 535 ndefinition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 536 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 537 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 538
 539 ndefinition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa,b:pre S.
 540    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 541    match b1 with
 542    [ false ⇒ 〈e1 · \fst b, \snd b〉
 543    | true ⇒ 〈e1 · \fst (bcast ? (\fst b)),\snd b || \snd (bcast ? (\fst b))〉]].
 544
 545 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc $op $a $b}.
 546 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 547 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 548
 549 ndefinition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa:pre S.
 550    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 551    match b1 with
 552    [ false ⇒ 〈e1^*, false〉
 553    | true ⇒ 〈(\fst (bcast ? e1))^*, true〉]].
 554
 555 notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.
 556 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 557 notation > "a ^ ⊛" non associative with precedence 75 for @{'lk eclose $a}.
 558
 559 notation > "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 560 nlet rec eclose (S: Alpha) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 561  match E with
 562   [ pz ⇒ 〈 0, false 〉
 563   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 564   | ps x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 565   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 566   | po E1 E2 ⇒ •E1 ⊕ •E2
 567   | pc E1 E2 ⇒ •E1 ⊙ 〈 E2, false 〉
 568   | pk E ⇒ 〈(\fst (•E))^*,true〉].
 569 notation < "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 570 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 571 notation > "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 572
 573 ndefinition reclose ≝ λS:Alpha.λp:pre S.let p' ≝ •\fst p in 〈\fst p',\snd p || \snd p'〉.
 574 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 575
 576 nlemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. ϵ(b1 || b2) = ϵ b1 ∪ ϵ b2. ##[##2: napply S]
 577 #S b1 b2; ncases b1; ncases b2;
 578 nchange in match (true || true) with true;
 579 nchange in match (true || false) with true;
 580 nchange in match (ϵ true) with {[]};
 581 nchange in match (ϵ false) with ∅;
 582 ##[##1,4: napply ((cupID…)^-1);
 583 ##| napply ((cup0 ? {[]})^-1);
 584 ##| napply (.= (cup0 ? {[]})^-1); napply cupC; ##]
 585 nqed.
 586
 587 (* theorem 16: 2 *)
 588 nlemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.𝐋\p (e1 ⊕ e2) = 𝐋\p e1 ∪ 𝐋\p e2.
 589 #S r1; ncases r1; #e1 b1 r2; ncases r2; #e2 b2;
 590 napply (.=_1 #╪_1 (epsilon_or ???));
 591 napply (.=_1 (cupA…)^-1);
 592 napply (.=_1 (cupA…)╪_1#);
 593 napply (.=_1 (#╪_1(cupC…))╪_1#);
 594 napply (.=_1 (cupA…)^-1╪_1#);
 595 napply (.=_1 (cupA…));
 596 //;
 597 nqed.
 598
 599
 600 (* XXX problem: auto does not find # (refl) when it has a concrete == *)
 601 nlemma odotEt : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.∀b2:bool.
 602   〈e1,true〉 ⊙ 〈e2,b2〉 = 〈e1 · \fst (•e2),b2 || \snd (•e2)〉.
 603 #S e1 e2 b2; ncases b2; @; /3/ by refl, conj, I; nqed.
 604
 605 (*
 606 nlemma LcatE : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.
 607   𝐋\p (e1 · e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋  |e2| ∪ 𝐋\p e2. //; nqed.
 608 *)
 609
 610 nlemma cup_dotD : ∀S:Alpha.∀p,q,r:lang S.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 611 #S p q r; napply ext_set; #w; nnormalize; @;
 612 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 613 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 614 nqed.
 615
 616
 617 nlemma erase_dot : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.𝐋 |e1 · e2| =  𝐋 |e1| · 𝐋 |e2|.
 618 #S e1 e2; napply ext_set; nnormalize; #w; @; *; #w1; *; #w2; *; *; /7/ by ex_intro, conj;
 619 nqed.
 620
 621 nlemma erase_plus : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.𝐋 |e1 + e2| =  𝐋 |e1| ∪ 𝐋 |e2|.
 622 #S e1 e2; napply ext_set; nnormalize; #w; @; *; /4/ by or_introl, or_intror; nqed.
 623
 624 nlemma erase_star : ∀S:Alpha.∀e1:pitem S.𝐋 |e1|^* = 𝐋 |e1^*|. //; nqed.
 625
 626 nlemma mem_single : ∀S:setoid.∀a,b:S. a ∈ {(b)} → a = b.
 627 #S a b; nnormalize; /2/; nqed.
 628
 629 nlemma cup_sub: ∀S.∀A,B:𝛀^S.∀x. ¬ (x ∈ A) → A ∪ (B - {(x)}) = (A ∪ B) - {(x)}.
 630 #S A B x H; napply ext_set; #w; @;
 631 ##[ *; ##[ #wa; @; ##[@;//] #H2; napply H; napply (. (mem_single ??? H2)^-1╪_1#); //]
 632     *; #wb nwn; @; ##[@2;//] //;
 633 ##| *; *; ##[ #wa nwn; @; //] #wb nwn; @2; @; //;##]
 634 nqed.
 635
 636 nlemma sub0 : ∀S.∀a:Ω^S. a - ∅ = a.
 637 #S a; napply ext_set; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 638
 639 nlemma subK : ∀S.∀a:Ω^S. a - a = ∅.
 640 #S a; napply ext_set; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 641
 642 nlemma subW : ∀S.∀a,b:Ω^S.∀w.w ∈ (a - b) → w ∈ a.
 643 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed.
 644
 645 nlemma erase_bull : ∀S:Alpha.∀a:pitem S. |\fst (•a)| = |a|.
 646 #S a; nelim a; // by {};
 647 ##[ #e1 e2 IH1 IH2;
 648     napply (?^-1);
 649     napply (.=_0 (IH1^-1)╪_0 (IH2^-1));
 650     nchange in match (•(e1 · ?)) with (?⊙?);
 651     ncases (•e1); #e3 b; ncases b; ##[ nnormalize; ncases (•e2); /3/ by refl, conj]
 652     napply (.=_0 #╪_0 (IH2)); //;
 653 ##| #e1 e2 IH1 IH2; napply (?^-1);
 654     napply (.=_0 (IH1^-1)╪_0(IH2^-1));
 655     nchange in match (•(e1+?)) with (?⊕?);
 656     ncases (•e1); ncases (•e2); //]
 657 nqed.
 658
 659 (*
 660 nlemma eta_lp : ∀S:Alpha.∀p:pre S. 𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 661 #S p; ncases p; //; nqed.
 662 *)
 663
 664 (* XXX coercion ext_carr non applica *)
 665 nlemma epsilon_dot: ∀S:Alpha.∀p:Elang S. {[]} · (ext_carr ? p) = p.
 666 #S e; napply ext_set; #w; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; @; //; @; //; napply #; (* XXX auto *) ##]
 667 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2;
 668 napply (. defw╪_1#);
 669 napply (. ((defw1 : [ ] = ?)^-1 ╪_0 #)╪_1#);
 670 napply Hw2;
 671 nqed.
 672
 673 (* XXX This seems to be a pattern for equations *)
 674 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_CProp2".
 675 unification hint 0 ≔ S : Alpha, x,y: re S;
 676   SS ≟ RE S,
 677   TT ≟ setoid1_of_setoid SS,
 678   T ≟ carr1 TT
 679 (*-----------------------------------------*) ⊢
 680   eq_re S x y ≡ eq_rel1 T (eq1 TT) x y.
 681 (* XXX the previous hint does not work *)
 682
 683 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 684 nlemma odot_dot_aux : ∀S:Alpha.∀e1,e2: pre S.
 685       𝐋\p (•(\fst e2)) =  𝐋\p (\fst e2) ∪ 𝐋 |\fst e2| →
 686          𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 |\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 687 #S e1 e2 th1; ncases e1; #e1' b1'; ncases b1';
 688 ##[ nchange in match (〈?,true〉⊙?) with 〈?,?〉;
 689     nletin e2' ≝ (\fst e2); nletin b2' ≝ (\snd e2);
 690     nletin e2'' ≝ (\fst (•(\fst e2))); nletin b2'' ≝ (\snd (•(\fst e2)));
 691     napply (.=_1 (# ╪_1 (epsilon_or …))); (* XXX … is too slow if combined with .= *)
 692     nchange in match b2'' with b2''; (* XXX some unfoldings happened *)
 693     nchange in match b2' with b2';
 694     napply (.=_1 (# ╪_1 (cupC …))); napply (.=_1 (cupA …));
 695     napply (.=_1 (# ╪_1 (cupA …)^-1)); (* XXX slow, but not because of disamb! *)
 696     ncut (𝐋\p e2'' ∪ ϵ b2'' =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋  |e2'|); ##[
 697       napply (?^-1); napply (.=_1 th1^-1); //;##] #E;
 698     napply (.=_1 (# ╪_1 (E ╪_1 #)));
 699     napply (?^-1);
 700     napply (.=_1 (cup_dotD …) ╪_1 #);
 701     napply (.=_1 (# ╪_1 (epsilon_dot …)) ╪_1 #);
 702     napply (?^-1);
 703     napply (.=_1 # ╪_1 ((cupC …) ╪_1 #));
 704     napply (.=_1 (cupA …)^-1);
 705     napply (.=_1 (cupA …)^-1 ╪_1 #);
 706     napply (.=_1 (cupA …));
 707     nlapply (erase_bull S e2'); #XX;
 708     napply (.=_1 (((# ╪_1 (┼_1 ?) )╪_1 #)╪_1 #)); ##[##2: napply XX; ##| ##skip]
 709     //;
 710 ##| ncases e2; #e2' b2'; nchange in match (𝐋\p ?) with (?∪?∪?);
 711     napply (.=_1 (cupA…));
 712     napply (?^-1); nchange in match (𝐋\p 〈?,false〉) with (?∪?);
 713     napply (.=_1 ((cup0…)╪_1#)╪_1#);
 714     //]
 715 nqed.
 716
 717 STOP
 718
 719 nlemma sub_dot_star :
 720   ∀S.∀X:word S → Prop.∀b. (X - ϵ b) · X^* ∪ {[]} = X^*.
 721 #S X b; napply extP; #w; @;
 722 ##[ *; ##[##2: nnormalize; #defw; nrewrite < defw; @[]; @; //]
 723     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 724     @ (w1 :: lw); nrewrite < defw; nrewrite < flx; @; //;
 725     @; //; napply (subW … sube);
 726 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; nrewrite < defw; nelim wl in Pwl; ##[ #_; @2; //]
 727     #w' wl' IH; *; #Pw' IHp; nlapply (IH IHp); *;
 728     ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defwl' H1 H2;
 729         @; ncases b in H1; #H1;
 730         ##[##2: nrewrite > (sub0…); @w'; @(w1@w2);
 731                 nrewrite > (associative_append ? w' w1 w2);
 732                 nrewrite > defwl'; @; ##[@;//] @(wl'); @; //;
 733            ##| ncases w' in Pw';
 734                ##[ #ne; @w1; @w2; nrewrite > defwl'; @; //; @; //;
 735                ##| #x xs Px; @(x::xs); @(w1@w2);
 736                    nrewrite > (defwl'); @; ##[@; //; @; //; @; nnormalize; #; ndestruct]
 737                    @wl'; @; //; ##] ##]
 738         ##| #wlnil; nchange in match (flatten ? (w'::wl')) with (w' @ flatten ? wl');
 739             nrewrite < (wlnil); nrewrite > (append_nil…); ncases b;
 740             ##[ ncases w' in Pw'; /2/; #x xs Pxs; @; @(x::xs); @([]);
 741                 nrewrite > (append_nil…); @; ##[ @; //;@; //; nnormalize; @; #; ndestruct]
 742                 @[]; @; //;
 743             ##| @; @w'; @[]; nrewrite > (append_nil…); @; ##[##2: @[]; @; //]
 744                 @; //; @; //; @; *;##]##]##]
 745 nqed.
 746
 747 (* theorem 16: 1 *)
 748 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 749 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 750 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 751 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 752 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 .|e|.
 753 #S e; nelim e; //;
 754   ##[ #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 755   ##| #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl; *;
 756   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 757       nchange in ⊢ (??(??(%))?) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 758       nrewrite > (odot_dot_aux S (•e1) 〈e2,false〉 IH2);
 759       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (cup_dotD …);
 760       nrewrite > (cupA …); nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p ?) …);
 761       nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (𝐋\p e2 ∪ {}); nrewrite > (cup0 …);
 762       nrewrite < (erase_dot …); nrewrite < (cupA …); //;
 763   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 764       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2); nrewrite > (oplus_cup …);
 765       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (IH2 …); nrewrite > (cupA …);
 766       nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2)…);nrewrite < (cupA ??? (𝐋\p e2)…);
 767       nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p e2)…); nrewrite < (cupA …);
 768       nrewrite < (erase_plus …); //.
 769   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 770       nchange in match (𝐋\p ?) with  (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 771       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 772       nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 773       nrewrite > (erase_bull…e);
 774       nrewrite > (erase_star …);
 775       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b')); ##[##2:
 776         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 777         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 778             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 779         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 780       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 781       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 .|e^*|)); //;
 782       nchange in match (𝐋 .|e^*|) with ((𝐋. |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 783  nqed.
 784
 785 (* theorem 16: 3 *)
 786 nlemma odot_dot:
 787   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 788 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 789
 790 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 791 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 792 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 793     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 794     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 795 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 796     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 797     @; /2/; @xs; /2/;##]
 798  nqed.
 799
 800 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 801 #S e; @[]; /2/; nqed.
 802
 803 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 804 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 805
 806 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 807 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 808
 809 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 810   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 811 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 812 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 813 nqed.
 814
 815 (* theorem 16: 4 *)
 816 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 .|\fst e|)^*.
 817 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 818 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 819     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 820     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 821     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 822     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b' )); ##[##2:
 823       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 824       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 825       nchange in match b' in bc with b';
 826       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 827       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 828     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 829     nrewrite > (sub_dot_star…);
 830     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 831     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 832 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 833     nrewrite > (cup0…);
 834     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 .|e|^* );
 835     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 836 nqed.
 837
 838 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 839   match e with
 840   [ z ⇒ pz ?
 841   | e ⇒ pe ?
 842   | s x ⇒ ps ? x
 843   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 844   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 845   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 846
 847 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 848
 849 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 850 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 851 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 852
 853 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 854 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 855 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 856     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 857 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 858     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 859 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 860     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 861 nqed.
 862
 863 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 .|pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 864 #S A; nelim A; //;
 865 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 866     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 867 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 868     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 869 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 870     nrewrite < H1; //]
 871 nqed.
 872
 873 (* corollary 17 *)
 874 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 875 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 876 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 877 nqed.
 878
 879 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 880 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 881
 882 (* corollary 18 *)
 883 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ .|e|.
 884 #S e; @;
 885 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 886     nrewrite > defsnde; #H;
 887     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 888     E MO?
 889
 890 STOP
 891
 892 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 893 non associative with precedence 60 for @{move ? $x $E}.
 894 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 895  match E with
 896   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 897   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 898   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 899   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 900   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 901   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 902   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 903 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 904 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 905 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 906
 907 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
 908 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
 909
 910 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ∅ → False.
 911 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 912 nqed.
 913
 914
 915 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
 916 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 917 nqed.
 918
 919 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 920 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 921 nqed.
 922
 923
 924 naxiom in_move_cat:
 925  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
 926    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
 927 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
 928 ncases e1 in H; ncases e2;
 929 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 930    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 931    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 932 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 933    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 934    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 935 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
 936    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 937    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
 938    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
 939 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
 940    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
 941    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
 942 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
 943     ...
 944 nqed.
 945
 946 ntheorem move_ok:
 947  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
 948 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
 949 ##[##1,2: #a w; @;
 950    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
 951       #H; ninversion H; #; ndestruct;
 952    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
 953        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
 954 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
 955    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
 956 ##|#a c w; @; nnormalize;
 957    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
 958        #H; ninversion H; #; ndestruct;
 959    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
 960               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
 961 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
 962    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
 963       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
 964           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
 965           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
 966       ##|
 967       ...
 968 ##|
 969 ##|
 970 ##]
 971 nqed.
 972
 973
 974 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{move_star ? $x $E}.
 975 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
 976  match w with
 977   [ nil ⇒ E
 978   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
 979
 980 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
 981
 982 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 983  mk_equiv:
 984   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 985    \fst E1  = \fst E2 →
 986     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
 987      equiv S E1 E2.
 988
 989 ndefinition NAT: decidable.
 990  @ nat eqb; /2/.
 991 nqed.
 992
 993 include "hints_declaration.ma".
 994
 995 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 996 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
 997
 998 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
 999
1000 nlet corec foo_nop (b: bool):
1001  equiv ?
1002   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
1003   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
1004  @; //; #x; ncases x
1005   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
1006   | #y; ncases y
1007      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
1008      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
1009 nqed.
1010
1011 (*
1012 nlet corec foo (a: unit):
1013  equiv NAT
1014   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
1015   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
1016 ≝ ?.
1017  @;
1018   ##[ nnormalize; //
1019   ##| #x; ncases x
1020        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
1021          nnormalize in foo: (? → ??%%);
1022          @; //; #y; ncases y
1023            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
1024            | #y; ncases y
1025               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
1026
1027             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
1028      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
1029   ##]
1030 nqed.
1031 *)
1032
1033 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
1034 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
1035 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
1036
1037
1038 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
1039  nnormalize in match test3;
1040  nnormalize;
1041 //;
1042 nqed.
1043
1044 (**********************************************************)
1045
1046 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
1047    der_z: der S a (z S) (z S)
1048  | der_e: der S a (e S) (z S)
1049  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
1050  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
1051  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
1052             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
1053  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
1054             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
1055  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
1056     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
1057
1058 nlemma eq_rect_CProp0_r:
1059  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
1060  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
1061 nqed.
1062
1063 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
1064
1065 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
1066 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
1067   [ #K; ninversion K
1068   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
1069   | (* tutti casi assurdi *) *)
1070
1071 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
1072    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
1073  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
1074
1075 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
1076    mk_eq_re: ∀E1,E2.
1077     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
1078     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
1079     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
1080       eq_re S E1 E2.
1081
1082 (* serve il lemma dopo? *)
1083 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
1084  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
1085   [ #r; #K (* ok *)
1086   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
1087
1088 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
1089 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
1090 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
1091   [ //
1092   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
1093   ]
1094 nqed. *)
1095
1096 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
1097  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
1098   [##1,2: #H1; ninversion H1
1099      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
1100      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1101      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1102      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1103      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1104      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1105      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
1106 ##| #H1; ninversion H1
1107      [ //
1108      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1109      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1110      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1111      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1112      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1113      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
1114 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
1115      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
1116      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1117      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1118      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1119      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1120      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1121      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
1122 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
1123