helm/software/matita/nlibrary/re/re-setoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/pairs-setoids.ma".
  16 include "datatypes/bool-setoids.ma".
  17 include "datatypes/list-setoids.ma".
  18 include "sets/sets.ma".
  19
  20 (*
  21 ninductive Admit : CProp[0] ≝ .
  22 naxiom admit : Admit.
  23 *)
  24
  25 (* XXX move somewere else *)
  26 ndefinition if': ∀A,B:CPROP. A = B → A → B.
  27 #A B; *; /2/. nqed.
  28
  29 ncoercion if : ∀A,B:CPROP. ∀p:A = B. A → B ≝ if' on _p : eq_rel1 ???? to ∀_:?.?.
  30
  31 (* XXX move to list-setoids-theory.ma *)
  32
  33 ntheorem append_nil: ∀A:setoid.∀l:list A.l @ [] = l.
  34 #A;#l;nelim l;//; #a;#l1;#IH;nnormalize;/2/;nqed.
  35
  36 ndefinition associative ≝ λA:setoid.λf:A → A → A.∀x,y,z.f x (f y z) = f (f x y) z.
  37
  38 ntheorem associative_append: ∀A:setoid.associative (list A) (append A).
  39 #A;#x;#y;#z;nelim x[ napply (refl ???) |#a;#x1;#H;nnormalize;/2/]nqed.
  40
  41 (* end move to list *)
  42
  43
  44 (* XXX to undestand what I want inside Alpha
  45    the eqb part should be split away, but when available it should be
  46    possible to obtain a leibnitz equality on lemmas proved on setoids
  47 *)
  48 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
  49
  50 ninductive eq (A:Type[0]) (x:A) : A → CProp[0] ≝ erefl: eq A x x.
  51
  52 nlemma eq_rect_Type0_r':
  53  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (erefl A a) → P x p.
  54  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
  55 nqed.
  56
  57 nlemma eq_rect_Type0_r:
  58  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (erefl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
  59  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_Type0_r' ??? p0); nassumption.
  60 nqed.
  61
  62 nlemma eq_rect_CProp0_r':
  63  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (erefl A a) → P x p.
  64  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
  65 nqed.
  66
  67 nlemma eq_rect_CProp0_r:
  68  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (erefl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
  69  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_CProp0_r' ??? p0); nassumption.
  70 nqed.
  71
  72 nrecord Alpha : Type[1] ≝ {
  73    acarr :> setoid;
  74    eqb: acarr → acarr → bool;
  75    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) = (x = y)
  76 }.
  77
  78 interpretation "eqb" 'eq_low a b = (eqb ? a b).
  79 (* end alpha *)
  80
  81 (* re *)
  82 ninductive re (S: Type[0]) : Type[0] ≝
  83    z: re S
  84  | e: re S
  85  | s: S → re S
  86  | c: re S → re S → re S
  87  | o: re S → re S → re S
  88  | k: re S → re S.
  89
  90 notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
  91 notation > "a ^ *" non associative with precedence 75 for @{ 'pk $a}.
  92 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
  93 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
  94
  95 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
  96 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
  97
  98 (* to get rid of \middot *)
  99 ncoercion c  : ∀S.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
 100
 101 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 102 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 103 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
 104
 105 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
 106 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
 107
 108 notation "0" non associative with precedence 90 for @{ 'empty_r }.
 109 interpretation "empty" 'empty_r = (z ?).
 110
 111 notation > "'lang' S" non associative with precedence 90 for @{ Ω^(list $S) }.
 112 notation > "'Elang' S" non associative with precedence 90 for @{ 𝛀^(list $S) }.
 113
 114 (* setoid support for re *)
 115
 116 nlet rec eq_re (S:Alpha) (a,b : re S) on a : CProp[0] ≝
 117   match a with
 118   [ z ⇒ match b with [ z ⇒ True | _ ⇒ False]
 119   | e ⇒ match b with [ e ⇒ True | _ ⇒ False]
 120   | s x ⇒ match b with [ s y ⇒ x = y | _ ⇒ False]
 121   | c r1 r2 ⇒ match b with [ c s1 s2 ⇒ eq_re ? r1 s1 ∧ eq_re ? r2 s2 | _ ⇒ False]
 122   | o r1 r2 ⇒ match b with [ o s1 s2  ⇒ eq_re ? r1 s1 ∧ eq_re ? r2 s2 | _ ⇒ False]
 123   | k r1 ⇒ match b with [ k r2 ⇒ eq_re ? r1 r2 | _ ⇒ False]].
 124
 125 interpretation "eq_re" 'eq_low a b = (eq_re ? a b).
 126
 127 ndefinition RE : Alpha → setoid.
 128 #A; @(re A); @(eq_re A);
 129 ##[ #p; nelim p; /2/;
 130 ##| #p1; nelim p1; ##[##1,2: #p2; ncases p2; /2/;
 131     ##|##2,3: #x p2; ncases p2; /2/;
 132     ##|##4,5: #e1 e2 H1 H2 p2; ncases p2; /3/; #e3 e4; *; #; @; /2/;
 133     ##|#r H p2; ncases p2; /2/;##]
 134 ##| #p1; nelim p1;
 135     ##[ ##1,2: #y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 136     ##| ##3: #a; #y z; ncases y; ncases z; /2/; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 137     ##| ##4,5: #r1 r2 H1 H2 y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize;
 138         ##[##1,3,4,5,6,8: #; ncases (?:False); //;##]
 139         #r1 r2 r3 r4; nnormalize; *; #H1 H2; *; #H3 H4; /3/;
 140     ##| #r H y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; ##[##1,2,3: #; ncases (?:False); //]
 141         #r2 r3; /3/; ##]##]
 142 nqed.
 143
 144 unification hint 0 ≔ A : Alpha;
 145   S ≟ acarr A,
 146   T ≟ carr S,
 147   P1 ≟ refl ? (eq0 (RE A)),
 148   P2 ≟ sym ? (eq0 (RE A)),
 149   P3 ≟ trans ? (eq0 (RE A)),
 150   X ≟ mk_setoid (re T) (mk_equivalence_relation ? (eq_re A) P1 P2 P3)
 151 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 152      carr X ≡ re T.
 153
 154 unification hint 0 ≔ A:Alpha,a,b:re A;
 155    R ≟ eq0 (RE A),
 156    L ≟ re A
 157 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 158    eq_re A a b ≡ eq_rel L R a b.
 159
 160 nlemma c_is_morph : ∀A:Alpha.(re A) ⇒_0 (re A) ⇒_0 (re A).
 161 #A; napply (mk_binary_morphism … (λs1,s2:re A. s1 · s2));
 162 #a; nelim a;
 163 ##[##1,2: #a' b b'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj;
 164 ##|#x a' b b'; ncases a'; /2/ by conj;
 165 ##|##4,5: #r1 r2 IH1 IH2 a'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj;
 166 ##|#r IH a'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj; ##]
 167 nqed.
 168
 169 (* XXX This is the good format for hints about morphisms, fix the others *)
 170 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type0".
 171 unification hint 0 ≔ S:Alpha, A,B:re S;
 172     MM ≟ mk_unary_morphism ??
 173           (λA:re S.mk_unary_morphism ?? (λB.A · B) (prop1 ?? (c_is_morph S A)))
 174           (prop1 ?? (c_is_morph S)),
 175     T ≟ RE S
 176 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 177    fun1 T T (fun1 T (unary_morph_setoid T T) MM A) B ≡ A · B.
 178
 179 nlemma o_is_morph : ∀A:Alpha.(re A) ⇒_0 (re A) ⇒_0 (re A).
 180 #A; napply (mk_binary_morphism … (λs1,s2:re A. s1 + s2));
 181 #a; nelim a;
 182 ##[##1,2: #a' b b'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj;
 183 ##|#x a' b b'; ncases a'; /2/ by conj;
 184 ##|##4,5: #r1 r2 IH1 IH2 a'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj;
 185 ##|#r IH a'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj; ##]
 186 nqed.
 187
 188 unification hint 0 ≔ S:Alpha, A,B:re S;
 189     MM ≟ mk_unary_morphism ??
 190           (λA:re S.mk_unary_morphism ?? (λB.A + B) (prop1 ?? (o_is_morph S A)))
 191           (prop1 ?? (o_is_morph S)),
 192     T ≟ RE S
 193 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 194    fun1 T T (fun1 T (unary_morph_setoid T T) MM A) B ≡ A + B.
 195
 196 (* end setoids support for re *)
 197
 198 nlet rec conjunct S (l : list (list S)) (L : lang S) on l: CProp[0] ≝
 199 match l with [ nil ⇒ True | cons w tl ⇒ w ∈ L ∧ conjunct ? tl L ].
 200
 201 interpretation "subset construction with type" 'comprehension t \eta.x =
 202   (mk_powerclass t x).
 203
 204 ndefinition cat : ∀A:setoid.∀l1,l2:lang A.lang A ≝
 205   λS.λl1,l2.{ w ∈ list S | ∃w1,w2.w =_0 w1 @ w2 ∧ w1 ∈ l1 ∧ w2 ∈ l2}.
 206 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
 207
 208 ndefinition star : ∀A:setoid.∀l:lang A.lang A ≝
 209   λS.λl.{ w ∈ list S | ∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l}.
 210 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
 211
 212 notation > "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_re ? $E}.
 213 nlet rec L_re (S : Alpha) (r : re S) on r : lang S ≝
 214 match r with
 215 [ z ⇒ ∅
 216 | e ⇒ { [ ] }
 217 | s x ⇒ { [x] }
 218 | c r1 r2 ⇒ 𝐋 r1 · 𝐋 r2
 219 | o r1 r2 ⇒  𝐋 r1 ∪ 𝐋 r2
 220 | k r1 ⇒ (𝐋 r1) ^*].
 221 notation "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_re $E}.
 222 interpretation "in_l" 'L_re E = (L_re ? E).
 223
 224 ninductive pitem (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 225    pz: pitem S
 226  | pe: pitem S
 227  | ps: S → pitem S
 228  | pp: S → pitem S
 229  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 230  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 231  | pk: pitem S → pitem S.
 232
 233 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 234 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 235 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 236 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 237 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 238 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 239 (* to get rid of \middot *)
 240 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 241 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 242 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 243 interpretation "pempty" 'empty_r = (pz ?).
 244
 245 (* setoids for pitem *)
 246 nlet rec eq_pitem  (S : Alpha) (p1, p2 : pitem S) on p1 : CProp[0] ≝
 247  match p1 with
 248  [ pz ⇒ match p2 with [ pz ⇒ True | _ ⇒ False]
 249  | pe ⇒ match p2 with [ pe ⇒ True | _ ⇒ False]
 250  | ps x ⇒ match p2 with [ ps y ⇒ x = y | _ ⇒ False]
 251  | pp x ⇒ match p2 with [ pp y ⇒ x = y | _ ⇒ False]
 252  | pc a1 a2 ⇒ match p2 with [ pc b1 b2 ⇒ eq_pitem ? a1 b1 ∧ eq_pitem ? a2 b2| _ ⇒ False]
 253  | po a1 a2 ⇒ match p2 with [ po b1 b2 ⇒ eq_pitem ? a1 b1 ∧ eq_pitem ? a2 b2| _ ⇒ False]
 254  | pk a ⇒ match p2 with [ pk b ⇒ eq_pitem ? a b | _ ⇒ False]].
 255
 256 interpretation "eq_pitem" 'eq_low a b = (eq_pitem ? a b).
 257
 258 nlemma PITEM : ∀S:Alpha.setoid.
 259 #S; @(pitem S); @(eq_pitem …);
 260 ##[ #p; nelim p; //; nnormalize; #; @; //;
 261 ##| #p; nelim p; ##[##1,2: #y; ncases y; //; ##|##3,4: #x y; ncases y; //; #; napply (?^-1); nassumption;
 262     ##|##5,6: #r1 r2 H1 H2 p2; ncases p2; //; #s1 s2; nnormalize; *; #; @; /2/;
 263     ##| #r H y; ncases y; //; nnormalize; /2/;##]
 264 ##| #x; nelim x;
 265     ##[ ##1,2: #y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 266     ##| ##3,4: #a; #y z; ncases y; ncases z; /2/; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 267     ##| ##5,6: #r1 r2 H1 H2 y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize;
 268         ##[##1,2,5,6,7,8,4,10: #; ncases (?:False); //;##]
 269         #r1 r2 r3 r4; nnormalize; *; #H1 H2; *; #H3 H4; /3/;
 270     ##| #r H y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; ##[##1,2,3,4: #; ncases (?:False); //]
 271         #r2 r3; /3/; ##]##]
 272 nqed.
 273
 274 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 275 unification hint 0 ≔ SS:Alpha;
 276     S ≟ acarr SS,
 277     A ≟ carr S,
 278     P1 ≟ refl ? (eq0 (PITEM SS)),
 279     P2 ≟ sym ? (eq0 (PITEM SS)),
 280     P3 ≟ trans ? (eq0 (PITEM SS)),
 281     R ≟ mk_setoid (pitem S) (mk_equivalence_relation (pitem A) (eq_pitem SS) P1 P2 P3)
 282 (*---------------------------*)⊢
 283     carr R ≡ pitem A.
 284
 285 unification hint 0 ≔ S:Alpha,a,b:pitem S;
 286    R ≟ PITEM S,
 287    L ≟ (pitem S)
 288 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 289    eq_pitem S a b ≡ eq_rel L (eq0 R) a b.
 290
 291 (* end setoids for pitem *)
 292
 293 ndefinition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 294
 295 notation "\fst term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'fst $x}.
 296 interpretation "fst" 'fst x = (fst ? ? x).
 297 notation > "\snd term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'snd $x}.
 298 interpretation "snd" 'snd x = (snd ? ? x).
 299
 300 notation > "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{forget ? $e}.
 301 nlet rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 302  match l with
 303   [ pz ⇒ 0
 304   | pe ⇒ ϵ
 305   | ps x ⇒ `x
 306   | pp x ⇒ `x
 307   | pc E1 E2 ⇒ (|E1| · |E2|)
 308   | po E1 E2 ⇒ (|E1| + |E2|)
 309   | pk E ⇒ |E|^* ].
 310
 311 notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.
 312 interpretation "forget" 'forget a = (forget ? a).
 313
 314 notation > "𝐋\p\ term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_pi ? $E}.
 315 nlet rec L_pi (S : Alpha) (r : pitem S) on r : lang S ≝
 316 match r with
 317 [ pz ⇒ ∅
 318 | pe ⇒ ∅
 319 | ps _ ⇒ ∅
 320 | pp x ⇒ { [x] }
 321 | pc r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 |r2| ∪ 𝐋\p\ r2
 322 | po r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 ∪ 𝐋\p\ r2
 323 | pk r1 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 (|r1|^* ) ].
 324 notation > "𝐋\p term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 325 notation "𝐋\sub(\p) term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 326 interpretation "in_pl" 'L_pi E = (L_pi ? E).
 327
 328 (* set support for 𝐋\p *)
 329 ndefinition L_pi_ext : ∀S:Alpha.∀r:pitem S.Elang S.
 330 #S r; @(𝐋\p r); #w1 w2 E; nelim r;
 331 ##[ ##1,2: /2/;
 332 ##| #x; @; *;
 333 ##| #x; @; #H; nchange in H with ([?] =_0 ?); ##[ napply ((.=_0 H) E); ##]
 334     napply ((.=_0 H) E^-1);
 335 ##| #e1 e2 H1 H2; (*
 336     nchange in match (w1 ∈ 𝐋\p (?·?)) with ((∃_.?)∨?);
 337     nchange in match (w2 ∈ 𝐋\p (?·?)) with ((∃_.?)∨?); good! *)
 338     napply (.= (#‡H2));
 339     ncut (∀x1,x2. (w1 = (x1@x2)) = (w2 = (x1@x2)));##[
 340       #x1 x2; @; #X; ##[ napply ((.= E^-1) X) | napply ((.= E) X) ] ##] #X;
 341     napply ((∑w1,w2. X w1 w2 / H ; (H╪_1#)╪_1#) ╪_1 #);
 342 ##| #e1 e2 H1 H2; napply (H1‡H2); (* good! *)
 343 ##| #e H;
 344     ncut (∀x1,x2.(w1 = (x1@x2)) = (w2 = (x1@x2)));##[
 345       #x1 x2; @; #X; ##[ napply ((.= E^-1) X) | napply ((.= E) X) ] ##] #X;
 346     (* nnormalize in ⊢ (???%%); good! (but a bit too hard) *)
 347     napply (∑w1,w2. X w1 w2 / H ; (H╪_1#)╪_1#);
 348 ##]
 349 nqed.
 350
 351 unification hint 0 ≔ S : Alpha,e : pitem S;
 352   SS ≟ (list S),
 353   X ≟ (mk_ext_powerclass SS (𝐋\p e) (ext_prop SS (L_pi_ext S e)))
 354 (*-----------------------------------------------------------------*)⊢
 355   ext_carr SS X ≡ 𝐋\p e.
 356
 357 (* end set support for 𝐋\p *)
 358
 359 ndefinition epsilon ≝
 360   λS:Alpha.λb.match b return λ_.lang S with [ true ⇒ { [ ] } | _ ⇒ ∅ ].
 361
 362 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 363 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 364 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 365
 366 ndefinition L_pr ≝ λS : Alpha.λp:pre S.  𝐋\p\ (\fst p) ∪ ϵ (\snd p).
 367
 368 interpretation "L_pr" 'L_pi E = (L_pr ? E).
 369
 370 nlemma append_eq_nil : ∀S:setoid.∀w1,w2:list S. [ ] = w1 @ w2 → w1 = [ ].
 371 #S w1; ncases w1; //. nqed.
 372
 373 (* lemma 12 *) (* XXX: a case where Leibnitz equality could be exploited for H *)
 374 nlemma epsilon_in_true : ∀S:Alpha.∀e:pre S. [ ] ∈ 𝐋\p e = (\snd e = true).
 375 #S r; ncases r; #e b; @; ##[##2: #H; ncases b in H; ##[##2:*] #; @2; /2/; ##]
 376 ncases b; //; *; ##[##2:*] nelim e;
 377 ##[ ##1,2: *; ##| #c; *; ##| #c; *| ##7: #p H;
 378 ##| #r1 r2 H G; *; ##[##2: nassumption; ##]
 379 ##| #r1 r2 H1 H2; *; /2/ by {}]
 380 *; #w1; *; #w2; *; *;
 381 ##[ #defw1 H1 foo; napply H;
 382     napply (. (append_eq_nil ? ?? defw1)^-1╪_1#);
 383     nassumption;
 384 ##| #defw1 H1 foo; napply H;
 385     napply (. (append_eq_nil ? ?? defw1)^-1╪_1#);
 386     nassumption;
 387 ##]
 388 nqed.
 389
 390 nlemma not_epsilon_lp : ∀S:Alpha.∀e:pitem S. ¬ ([ ] ∈ (𝐋\p e)).
 391 #S e; nelim e; ##[##1,2,3,4: nnormalize;/2/]
 392 ##[ #p1 p2 np1 np2; *; ##[##2: napply np2] *; #w1; *; #w2; *; *; #abs;
 393     nlapply (append_eq_nil ??? abs); # defw1; #; napply np1;
 394     napply (. defw1^-1╪_1#);
 395     nassumption;
 396 ##| #p1 p2 np1 np2; *; nchange with (¬?); //;
 397 ##| #r n; *; #w1; *; #w2; *; *; #abs; #; napply n;
 398     nlapply (append_eq_nil ??? abs); # defw1; #;
 399     napply (. defw1^-1╪_1#);
 400     nassumption;##]
 401 nqed.
 402
 403 ndefinition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 404 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 405 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 406
 407 ndefinition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa,b:pre S.
 408    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 409    match b1 with
 410    [ false ⇒ 〈e1 · \fst b, \snd b〉
 411    | true ⇒ 〈e1 · \fst (bcast ? (\fst b)),\snd b || \snd (bcast ? (\fst b))〉]].
 412
 413 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc $op $a $b}.
 414 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 415 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 416
 417 ndefinition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa:pre S.
 418    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 419    match b1 with
 420    [ false ⇒ 〈e1^*, false〉
 421    | true ⇒ 〈(\fst (bcast ? e1))^*, true〉]].
 422
 423 notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.
 424 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 425 notation > "a ^ ⊛" non associative with precedence 75 for @{'lk eclose $a}.
 426
 427 notation > "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 428 nlet rec eclose (S: Alpha) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 429  match E with
 430   [ pz ⇒ 〈 0, false 〉
 431   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 432   | ps x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 433   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 434   | po E1 E2 ⇒ •E1 ⊕ •E2
 435   | pc E1 E2 ⇒ •E1 ⊙ 〈 E2, false 〉
 436   | pk E ⇒ 〈(\fst (•E))^*,true〉].
 437 notation < "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 438 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 439 notation > "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 440
 441 ndefinition reclose ≝ λS:Alpha.λp:pre S.let p' ≝ •\fst p in 〈\fst p',\snd p || \snd p'〉.
 442 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 443
 444 nlemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. ϵ(b1 || b2) = ϵ b1 ∪ ϵ b2. ##[##2: napply S]
 445 #S b1 b2; ncases b1; ncases b2;
 446 nchange in match (true || true) with true;
 447 nchange in match (true || false) with true;
 448 nchange in match (ϵ true) with {[]};
 449 nchange in match (ϵ false) with ∅;
 450 ##[##1,4: napply ((cupID…)^-1);
 451 ##| napply ((cup0 ? {[]})^-1);
 452 ##| napply (.= (cup0 ? {[]})^-1); napply cupC; ##]
 453 nqed.
 454
 455 (* theorem 16: 2 *)
 456 nlemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.𝐋\p (e1 ⊕ e2) = 𝐋\p e1 ∪ 𝐋\p e2.
 457 #S r1; ncases r1; #e1 b1 r2; ncases r2; #e2 b2; (* oh my!
 458 nwhd in ⊢ (???(??%)?);
 459 nchange in ⊢(???%?) with (𝐋\p (e1 + e2) ∪ ϵ (b1 || b2));
 460 nchange in ⊢(???(??%?)?) with (𝐋\p (e1) ∪ 𝐋\p (e2)); *)
 461 napply (.=_1 #╪_1 (epsilon_or ???));
 462 napply (.=_1 (cupA…)^-1);
 463 napply (.=_1 (cupA…)╪_1#);
 464 napply (.=_1 (#╪_1(cupC…))╪_1#);
 465 napply (.=_1 (cupA…)^-1╪_1#);
 466 napply (.=_1 (cupA…));
 467 //;
 468 nqed.
 469
 470
 471 (* XXX problem: auto does not find # (refl) when it has a concrete == *)
 472 nlemma odotEt : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.∀b2:bool.
 473   〈e1,true〉 ⊙ 〈e2,b2〉 = 〈e1 · \fst (•e2),b2 || \snd (•e2)〉.
 474 #S e1 e2 b2; ncases b2; @; /3/ by refl, conj, I; nqed.
 475
 476 (*
 477 nlemma LcatE : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.
 478   𝐋\p (e1 · e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋  |e2| ∪ 𝐋\p e2. //; nqed.
 479 *)
 480
 481 nlemma cup_dotD : ∀S:Alpha.∀p,q,r:lang S.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 482 #S p q r; napply ext_set; #w; nnormalize; @;
 483 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 484 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 485 nqed.
 486
 487
 488 nlemma erase_dot : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.𝐋 |e1 · e2| =  𝐋 |e1| · 𝐋 |e2|.
 489 #S e1 e2; napply ext_set; nnormalize; #w; @; *; #w1; *; #w2; *; *; /7/ by ex_intro, conj;
 490 nqed.
 491
 492 nlemma erase_plus : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.𝐋 |e1 + e2| =  𝐋 |e1| ∪ 𝐋 |e2|.
 493 #S e1 e2; napply ext_set; nnormalize; #w; @; *; /4/ by or_introl, or_intror; nqed.
 494
 495 nlemma erase_star : ∀S:Alpha.∀e1:pitem S.𝐋 |e1|^* = 𝐋 |e1^*|. //; nqed.
 496
 497 nlemma mem_single : ∀S:setoid.∀a,b:S. a ∈ {(b)} → a = b.
 498 #S a b; nnormalize; /2/; nqed.
 499
 500 nlemma cup_sub: ∀S.∀A,B:𝛀^S.∀x. ¬ (x ∈ A) → A ∪ (B - {(x)}) = (A ∪ B) - {(x)}.
 501 #S A B x H; napply ext_set; #w; @;
 502 ##[ *; ##[ #wa; @; ##[@;//] #H2; napply H; napply (. (mem_single ??? H2)^-1╪_1#); //]
 503     *; #wb nwn; @; ##[@2;//] //;
 504 ##| *; *; ##[ #wa nwn; @; //] #wb nwn; @2; @; //;##]
 505 nqed.
 506
 507 nlemma sub0 : ∀S.∀a:Ω^S. a - ∅ = a.
 508 #S a; napply ext_set; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 509
 510 nlemma subK : ∀S.∀a:Ω^S. a - a = ∅.
 511 #S a; napply ext_set; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 512
 513 nlemma subW : ∀S.∀a,b:Ω^S.∀w.w ∈ (a - b) → w ∈ a.
 514 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed.
 515
 516 nlemma erase_bull : ∀S:Alpha.∀a:pitem S. |\fst (•a)| = |a|.
 517 #S a; nelim a; // by {};
 518 ##[ #e1 e2 IH1 IH2;
 519     napply (?^-1);
 520     napply (.=_0 (IH1^-1)╪_0 (IH2^-1));
 521     nchange in match (•(e1 · ?)) with (?⊙?);
 522     ncases (•e1); #e3 b; ncases b; ##[ nnormalize; ncases (•e2); /3/ by refl, conj]
 523     napply (.=_0 #╪_0 (IH2)); //;
 524 ##| #e1 e2 IH1 IH2; napply (?^-1);
 525     napply (.=_0 (IH1^-1)╪_0(IH2^-1));
 526     nchange in match (•(e1+?)) with (?⊕?);
 527     ncases (•e1); ncases (•e2); //]
 528 nqed.
 529
 530 (*
 531 nlemma eta_lp : ∀S:Alpha.∀p:pre S. 𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 532 #S p; ncases p; //; nqed.
 533 *)
 534
 535 (* XXX coercion ext_carr non applica *)
 536 nlemma epsilon_dot: ∀S:Alpha.∀p:Elang S. {[]} · (ext_carr ? p) = p.
 537 #S e; napply ext_set; #w; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; @; //; @; //; napply #; (* XXX auto *) ##]
 538 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2;
 539 napply (. defw╪_1#);
 540 napply (. ((defw1 : [ ] = ?)^-1 ╪_0 #)╪_1#);
 541 napply Hw2;
 542 nqed.
 543
 544 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 545 nlemma odot_dot_aux : ∀S:Alpha.∀e1,e2: pre S.
 546       𝐋\p (•(\fst e2)) =  𝐋\p (\fst e2) ∪ 𝐋 |\fst e2| →
 547          𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 |\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 548 #S e1 e2 th1; ncases e1; #e1' b1'; ncases b1';
 549 ##[ nchange in match (〈?,true〉⊙?) with 〈?,?〉;
 550     nletin e2' ≝ (\fst e2); nletin b2' ≝ (\snd e2);
 551     nletin e2'' ≝ (\fst (•(\fst e2))); nletin b2'' ≝ (\snd (•(\fst e2)));
 552     napply (.=_1 (# ╪_1 (epsilon_or …))); (* XXX … is too slow if combined with .= *)
 553     nchange in match b2'' with b2''; (* XXX some unfoldings happened *)
 554     nchange in match b2' with b2';
 555     napply (.=_1 (# ╪_1 (cupC …))); napply (.=_1 (cupA …));
 556     napply (.=_1 (# ╪_1 (cupA …)^-1)); (* XXX slow, but not because of disamb! *)
 557     ncut (𝐋\p e2'' ∪ ϵ b2'' =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋  |e2'|); ##[
 558       nchange with (𝐋\p 〈e2'',b2''〉 =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋 |e2'|);
 559       napply (?^-1); napply (.=_1 th1^-1); //;##] #E;
 560     napply (.=_1 (# ╪_1 (E ╪_1 #)));
 561     STOP
 562
 563     nrewrite > (eta_lp ? e2);
 564     nchange in match (𝐋\p 〈\fst e2,?〉) with (𝐋\p e2'∪ ϵ b2');
 565     nrewrite > (cup_dotD …); nrewrite > (epsilon_dot…);
 566     nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2')…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (cupA…);
 567     nrewrite < (erase_bull S e2') in ⊢ (???(??%?)); //;
 568 ##| ncases e2; #e2' b2'; nchange in match (〈e1',false〉⊙?) with 〈?,?〉;
 569     nchange in match (𝐋\p ?) with (?∪?);
 570     nchange in match (𝐋\p (e1'·?)) with (?∪?);
 571     nchange in match (𝐋\p 〈e1',?〉) with (?∪?);
 572     nrewrite > (cup0…);
 573     nrewrite > (cupA…); //;##]
 574 nqed.
 575
 576 nlemma sub_dot_star :
 577   ∀S.∀X:word S → Prop.∀b. (X - ϵ b) · X^* ∪ {[]} = X^*.
 578 #S X b; napply extP; #w; @;
 579 ##[ *; ##[##2: nnormalize; #defw; nrewrite < defw; @[]; @; //]
 580     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 581     @ (w1 :: lw); nrewrite < defw; nrewrite < flx; @; //;
 582     @; //; napply (subW … sube);
 583 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; nrewrite < defw; nelim wl in Pwl; ##[ #_; @2; //]
 584     #w' wl' IH; *; #Pw' IHp; nlapply (IH IHp); *;
 585     ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defwl' H1 H2;
 586         @; ncases b in H1; #H1;
 587         ##[##2: nrewrite > (sub0…); @w'; @(w1@w2);
 588                 nrewrite > (associative_append ? w' w1 w2);
 589                 nrewrite > defwl'; @; ##[@;//] @(wl'); @; //;
 590            ##| ncases w' in Pw';
 591                ##[ #ne; @w1; @w2; nrewrite > defwl'; @; //; @; //;
 592                ##| #x xs Px; @(x::xs); @(w1@w2);
 593                    nrewrite > (defwl'); @; ##[@; //; @; //; @; nnormalize; #; ndestruct]
 594                    @wl'; @; //; ##] ##]
 595         ##| #wlnil; nchange in match (flatten ? (w'::wl')) with (w' @ flatten ? wl');
 596             nrewrite < (wlnil); nrewrite > (append_nil…); ncases b;
 597             ##[ ncases w' in Pw'; /2/; #x xs Pxs; @; @(x::xs); @([]);
 598                 nrewrite > (append_nil…); @; ##[ @; //;@; //; nnormalize; @; #; ndestruct]
 599                 @[]; @; //;
 600             ##| @; @w'; @[]; nrewrite > (append_nil…); @; ##[##2: @[]; @; //]
 601                 @; //; @; //; @; *;##]##]##]
 602 nqed.
 603
 604 (* theorem 16: 1 *)
 605 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 606 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 607 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 608 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 609 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 .|e|.
 610 #S e; nelim e; //;
 611   ##[ #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 612   ##| #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl; *;
 613   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 614       nchange in ⊢ (??(??(%))?) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 615       nrewrite > (odot_dot_aux S (•e1) 〈e2,false〉 IH2);
 616       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (cup_dotD …);
 617       nrewrite > (cupA …); nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p ?) …);
 618       nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (𝐋\p e2 ∪ {}); nrewrite > (cup0 …);
 619       nrewrite < (erase_dot …); nrewrite < (cupA …); //;
 620   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 621       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2); nrewrite > (oplus_cup …);
 622       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (IH2 …); nrewrite > (cupA …);
 623       nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2)…);nrewrite < (cupA ??? (𝐋\p e2)…);
 624       nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p e2)…); nrewrite < (cupA …);
 625       nrewrite < (erase_plus …); //.
 626   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 627       nchange in match (𝐋\p ?) with  (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 628       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 629       nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 630       nrewrite > (erase_bull…e);
 631       nrewrite > (erase_star …);
 632       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b')); ##[##2:
 633         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 634         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 635             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 636         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 637       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 638       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 .|e^*|)); //;
 639       nchange in match (𝐋 .|e^*|) with ((𝐋. |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 640  nqed.
 641
 642 (* theorem 16: 3 *)
 643 nlemma odot_dot:
 644   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 645 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 646
 647 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 648 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 649 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 650     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 651     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 652 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 653     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 654     @; /2/; @xs; /2/;##]
 655  nqed.
 656
 657 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 658 #S e; @[]; /2/; nqed.
 659
 660 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 661 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 662
 663 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 664 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 665
 666 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 667   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 668 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 669 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 670 nqed.
 671
 672 (* theorem 16: 4 *)
 673 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 .|\fst e|)^*.
 674 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 675 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 676     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 677     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 678     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 679     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b' )); ##[##2:
 680       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 681       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 682       nchange in match b' in bc with b';
 683       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 684       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 685     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 686     nrewrite > (sub_dot_star…);
 687     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 688     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 689 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 690     nrewrite > (cup0…);
 691     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 .|e|^* );
 692     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 693 nqed.
 694
 695 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 696   match e with
 697   [ z ⇒ pz ?
 698   | e ⇒ pe ?
 699   | s x ⇒ ps ? x
 700   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 701   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 702   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 703
 704 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 705
 706 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 707 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 708 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 709
 710 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 711 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 712 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 713     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 714 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 715     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 716 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 717     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 718 nqed.
 719
 720 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 .|pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 721 #S A; nelim A; //;
 722 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 723     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 724 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 725     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 726 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 727     nrewrite < H1; //]
 728 nqed.
 729
 730 (* corollary 17 *)
 731 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 732 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 733 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 734 nqed.
 735
 736 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 737 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 738
 739 (* corollary 18 *)
 740 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ .|e|.
 741 #S e; @;
 742 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 743     nrewrite > defsnde; #H;
 744     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 745     E MO?
 746
 747 STOP
 748
 749 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 750 non associative with precedence 60 for @{move ? $x $E}.
 751 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 752  match E with
 753   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 754   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 755   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 756   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 757   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 758   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 759   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 760 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 761 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 762 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 763
 764 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
 765 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
 766
 767 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ∅ → False.
 768 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 769 nqed.
 770
 771
 772 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
 773 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 774 nqed.
 775
 776 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 777 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 778 nqed.
 779
 780
 781 naxiom in_move_cat:
 782  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
 783    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
 784 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
 785 ncases e1 in H; ncases e2;
 786 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 787    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 788    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 789 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 790    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 791    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 792 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
 793    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 794    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
 795    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
 796 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
 797    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
 798    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
 799 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
 800     ...
 801 nqed.
 802
 803 ntheorem move_ok:
 804  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
 805 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
 806 ##[##1,2: #a w; @;
 807    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
 808       #H; ninversion H; #; ndestruct;
 809    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
 810        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
 811 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
 812    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
 813 ##|#a c w; @; nnormalize;
 814    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
 815        #H; ninversion H; #; ndestruct;
 816    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
 817               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
 818 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
 819    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
 820       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
 821           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
 822           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
 823       ##|
 824       ...
 825 ##|
 826 ##|
 827 ##]
 828 nqed.
 829
 830
 831 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{move_star ? $x $E}.
 832 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
 833  match w with
 834   [ nil ⇒ E
 835   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
 836
 837 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
 838
 839 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 840  mk_equiv:
 841   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 842    \fst E1  = \fst E2 →
 843     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
 844      equiv S E1 E2.
 845
 846 ndefinition NAT: decidable.
 847  @ nat eqb; /2/.
 848 nqed.
 849
 850 include "hints_declaration.ma".
 851
 852 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 853 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
 854
 855 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
 856
 857 nlet corec foo_nop (b: bool):
 858  equiv ?
 859   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
 860   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
 861  @; //; #x; ncases x
 862   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 863   | #y; ncases y
 864      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 865      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
 866 nqed.
 867
 868 (*
 869 nlet corec foo (a: unit):
 870  equiv NAT
 871   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
 872   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
 873 ≝ ?.
 874  @;
 875   ##[ nnormalize; //
 876   ##| #x; ncases x
 877        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 878          nnormalize in foo: (? → ??%%);
 879          @; //; #y; ncases y
 880            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 881            | #y; ncases y
 882               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 883
 884             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
 885      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 886   ##]
 887 nqed.
 888 *)
 889
 890 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
 891 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
 892 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
 893
 894
 895 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
 896  nnormalize in match test3;
 897  nnormalize;
 898 //;
 899 nqed.
 900
 901 (**********************************************************)
 902
 903 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
 904    der_z: der S a (z S) (z S)
 905  | der_e: der S a (e S) (z S)
 906  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
 907  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
 908  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 909             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
 910  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
 911             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
 912  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 913     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
 914
 915 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 916  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 917  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 918 nqed.
 919
 920 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
 921
 922 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
 923 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
 924   [ #K; ninversion K
 925   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
 926   | (* tutti casi assurdi *) *)
 927
 928 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
 929    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
 930  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
 931
 932 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
 933    mk_eq_re: ∀E1,E2.
 934     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
 935     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
 936     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
 937       eq_re S E1 E2.
 938
 939 (* serve il lemma dopo? *)
 940 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
 941  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
 942   [ #r; #K (* ok *)
 943   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
 944
 945 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
 946 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
 947 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
 948   [ //
 949   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
 950   ]
 951 nqed. *)
 952
 953 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
 954  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
 955   [##1,2: #H1; ninversion H1
 956      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
 957      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 958      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 959      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 960      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 961      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 962      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
 963 ##| #H1; ninversion H1
 964      [ //
 965      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 966      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 967      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 968      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 969      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 970      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 971 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
 972      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
 973      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 974      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 975      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 976      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 977      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 978      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 979 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
 980