helm/software/matita/nlibrary/re/re-setoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/pairs.ma".
  16 include "datatypes/bool.ma".
  17 include "sets/sets.ma".
  18
  19 ninductive Admit : CProp[0] ≝ .
  20 naxiom admit : Admit.
  21
  22 ninductive list (A:Type[0]) : Type[0] ≝
  23   | nil: list A
  24   | cons: A -> list A -> list A.
  25
  26 nlet rec eq_list (A : setoid) (l1, l2 : list A) on l1 : CProp[0] ≝
  27 match l1 with
  28 [ nil ⇒ match l2 return λ_.CProp[0] with [ nil ⇒ True | _ ⇒ False ]
  29 | cons x xs ⇒ match l2 with [ nil ⇒ False | cons y ys ⇒ x = y ∧ eq_list ? xs ys]].
  30
  31 ndefinition LIST : setoid → setoid.
  32 #S; @(list S); @(eq_list S); ncases admit; nqed.
  33
  34 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
  35 unification hint 0 ≔ S : setoid;
  36   P1 ≟ refl ? (eq0 (LIST S)),
  37   P2 ≟ sym ? (eq0 (LIST S)),
  38   P3 ≟ trans ? (eq0 (LIST S)),
  39   X ≟ mk_setoid (list S) (mk_equivalence_relation ? (eq_list S) P1 P2 P3),
  40   T ≟ carr S
  41 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
  42      carr X ≡ list T.
  43
  44 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  45   right associative with precedence 47
  46   for @{'cons $hd $tl}.
  47
  48 notation "[ list0 x sep ; ]"
  49   non associative with precedence 90
  50   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  51
  52 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  53   right associative with precedence 47
  54   for @{'append $l1 $l2 }.
  55
  56 interpretation "nil" 'nil = (nil ?).
  57 interpretation "cons" 'cons hd tl = (cons ? hd tl).
  58
  59 nlet rec append A (l1: list A) l2 on l1 ≝
  60   match l1 with
  61   [ nil ⇒ l2
  62   | cons hd tl ⇒ hd :: append A tl l2 ].
  63
  64 interpretation "append" 'append l1 l2 = (append ? l1 l2).
  65
  66 ntheorem append_nil: ∀A:setoid.∀l:list A.l @ [] = l.
  67 #A;#l;nelim l;//; #a;#l1;#IH;nnormalize;/2/;nqed.
  68
  69 ndefinition associative ≝ λA:setoid.λf:A → A → A.∀x,y,z.f x (f y z) = f (f x y) z.
  70
  71 ninductive one : Type[0] ≝ unit : one.
  72
  73 ndefinition force ≝
  74   λS:Type[2].λs:S.λT:Type[2].λt:T.λlock:one.
  75     match lock return λ_.Type[2] with [ unit ⇒ T].
  76
  77 nlet rec lift (S:Type[2]) (s:S) (T:Type[2]) (t:T) (lock:one) on lock : force S s T t lock ≝
  78  match lock return λlock.force S s T t lock with [ unit ⇒ t ].
  79
  80 ncoercion lift1 : ∀S:Type[1].∀s:S.∀T:Type[1].∀t:T.∀lock:one. force S s T t lock ≝ lift
  81  on s : ? to force ?????.
  82
  83 ncoercion lift2 : ∀S:Type[2].∀s:S.∀T:Type[2].∀t:T.∀lock:one. force S s T t lock ≝ lift
  84  on s : ? to force ?????.
  85
  86 unification hint 0 ≔ R : setoid;
  87    TR ≟ setoid, MR ≟ (carr R), lock ≟ unit
  88 (* ---------------------------------------- *) ⊢
  89    setoid ≡ force ?(*Type[0]*) MR TR R lock.
  90
  91 unification hint 0 ≔ R : setoid1;
  92    TR ≟ setoid1, MR ≟ (carr1 R), lock ≟ unit
  93 (* ---------------------------------------- *) ⊢
  94    setoid1 ≡ force ? MR TR R lock.
  95
  96 ntheorem associative_append: ∀A:setoid.associative (list A) (append A).
  97 #A;#x;#y;#z;nelim x[//|#a;#x1;#H;nnormalize;/2/]nqed.
  98
  99 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
 100
 101 ninductive eq (A:Type[0]) (x:A) : A → CProp[0] ≝ refl: eq A x x.
 102
 103 nlemma eq_rect_Type0_r':
 104  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → P x p.
 105  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 106 nqed.
 107
 108 nlemma eq_rect_Type0_r:
 109  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
 110  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_Type0_r' ??? p0); nassumption.
 111 nqed.
 112
 113 nlemma eq_rect_CProp0_r':
 114  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 115  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 116 nqed.
 117
 118 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 119  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
 120  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_CProp0_r' ??? p0); nassumption.
 121 nqed.
 122
 123 notation < "a = b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqpp $a $b}.
 124 interpretation "bool eq" 'eqpp a b = (eq bool a b).
 125
 126 ndefinition BOOL : setoid.
 127 @bool; @(eq bool); ncases admit.nqed.
 128
 129 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 130 alias id "refl" = "cic:/matita/ng/properties/relations/refl.fix(0,1,3)".
 131 unification hint 0 ≔ ;
 132   P1 ≟ refl ? (eq0 BOOL),
 133   P2 ≟ sym ? (eq0 BOOL),
 134   P3 ≟ trans ? (eq0 BOOL),
 135   X ≟ mk_setoid bool (mk_equivalence_relation ? (eq bool) P1 P2 P3)
 136 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 137      carr X ≡ bool.
 138
 139 nrecord Alpha : Type[1] ≝ {
 140    acarr :> setoid;
 141    eqb: acarr → acarr → bool;
 142    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) = (x = y)
 143 }.
 144
 145 notation "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqb $a $b }.
 146 interpretation "eqb" 'eqb a b = (eqb ? a b).
 147
 148 ninductive re (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 149    z: re S
 150  | e: re S
 151  | s: S → re S
 152  | c: re S → re S → re S
 153  | o: re S → re S → re S
 154  | k: re S → re S.
 155
 156 naxiom eq_re : ∀S:Alpha.re S → re S → CProp[0].
 157 ndefinition RE : Alpha → setoid.
 158 #A; @(re A); @(eq_re A); ncases admit. nqed.
 159
 160 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 161 alias id "carr" = "cic:/matita/ng/sets/setoids/carr.fix(0,0,1)".
 162 unification hint 0 ≔ A : Alpha;
 163   P1 ≟ refl ? (eq0 (RE A)),
 164   P2 ≟ sym ? (eq0 (RE A)),
 165   P3 ≟ trans ? (eq0 (RE A)),
 166   X ≟ mk_setoid (re A) (mk_equivalence_relation ? (eq_re A) P1 P2 P3),
 167   T ≟ acarr A
 168 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 169      carr X ≡ (re T).
 170
 171 notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 172 notation > "a ^ *" non associative with precedence 75 for @{ 'pk $a}.
 173 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
 174 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
 175
 176 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
 177 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
 178
 179 (* to get rid of \middot *)
 180 ncoercion c  : ∀S.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
 181
 182 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 183 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 184 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
 185
 186 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
 187 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
 188
 189 notation "0" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
 190 interpretation "empty" 'empty = (z ?).
 191
 192 notation > "'lang' S" non associative with precedence 90 for @{ Ω^(list $S) }.
 193 notation > "'Elang' S" non associative with precedence 90 for @{ 𝛀^(list $S) }.
 194
 195 nlet rec flatten S (l : list (list S)) on l : list S ≝
 196 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
 197
 198 nlet rec conjunct S (l : list (list S)) (L : lang S) on l: CProp[0] ≝
 199 match l with [ nil ⇒ True | cons w tl ⇒ w ∈ L ∧ conjunct ? tl L ].
 200
 201
 202 ndefinition empty_set : ∀A.Ω^A ≝ λA.{ w | False }.
 203 notation "∅" non associative with precedence 90 for @{'emptyset}.
 204 interpretation "empty set" 'emptyset = (empty_set ?).
 205
 206 (*
 207 notation "{}" non associative with precedence 90 for @{'empty_lang}.
 208 interpretation "empty lang" 'empty_lang = (empty_lang ?).
 209 *)
 210
 211 ndefinition sing_lang : ∀A:setoid.∀x:A.Ω^A ≝ λS.λx.{ w | x = w }.
 212 interpretation "sing lang" 'singl x = (sing_lang ? x).
 213
 214 interpretation "subset construction with type" 'comprehension t \eta.x =
 215   (mk_powerclass t x).
 216
 217 ndefinition cat : ∀A:setoid.∀l1,l2:lang A.lang A ≝
 218   λS.λl1,l2.{ w ∈ list S | ∃w1,w2.w =_0 w1 @ w2 ∧ w1 ∈ l1 ∧ w2 ∈ l2}.
 219 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
 220
 221 ndefinition star : ∀A:setoid.∀l:lang A.lang A ≝
 222   λS.λl.{ w ∈ list S | ∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l}.
 223 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
 224
 225 notation > "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_re ? $E}.
 226 nlet rec L_re (S : Alpha) (r : re S) on r : lang S ≝
 227 match r with
 228 [ z ⇒ ∅
 229 | e ⇒ { [ ] }
 230 | s x ⇒ { [x] }
 231 | c r1 r2 ⇒ 𝐋 r1 · 𝐋 r2
 232 | o r1 r2 ⇒  𝐋 r1 ∪ 𝐋 r2
 233 | k r1 ⇒ (𝐋 r1) ^*].
 234 notation "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_re $E}.
 235 interpretation "in_l" 'L_re E = (L_re ? E).
 236
 237 notation "a || b" left associative with precedence 30 for @{'orb $a $b}.
 238 ndefinition orb ≝ λa,b:bool. match a with [ true ⇒ true | _ ⇒ b ].
 239 interpretation "orb" 'orb a b = (orb a b).
 240
 241 ninductive pitem (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 242    pz: pitem S
 243  | pe: pitem S
 244  | ps: S → pitem S
 245  | pp: S → pitem S
 246  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 247  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 248  | pk: pitem S → pitem S.
 249
 250 ndefinition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 251
 252 notation "\fst term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'fst $x}.
 253 interpretation "fst" 'fst x = (fst ? ? x).
 254 notation > "\snd term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'snd $x}.
 255 interpretation "snd" 'snd x = (snd ? ? x).
 256
 257 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 258 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 259 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 260 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 261 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 262 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 263 (* to get rid of \middot *)
 264 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 265 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 266 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 267 interpretation "pempty" 'empty = (pz ?).
 268
 269 notation > "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{forget ? $e}.
 270 nlet rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 271  match l with
 272   [ pz ⇒ 0
 273   | pe ⇒ ϵ
 274   | ps x ⇒ `x
 275   | pp x ⇒ `x
 276   | pc E1 E2 ⇒ (|E1| · |E2|)
 277   | po E1 E2 ⇒ (|E1| + |E2|)
 278   | pk E ⇒ |E|^* ].
 279 notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.
 280 interpretation "forget" 'forget a = (forget ? a).
 281
 282 notation > "𝐋\p\ term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_pi ? $E}.
 283 nlet rec L_pi (S : Alpha) (r : pitem S) on r : lang S ≝
 284 match r with
 285 [ pz ⇒ ∅
 286 | pe ⇒ ∅
 287 | ps _ ⇒ ∅
 288 | pp x ⇒ { [x] }
 289 | pc r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 |r2| ∪ 𝐋\p\ r2
 290 | po r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 ∪ 𝐋\p\ r2
 291 | pk r1 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 (|r1|^* ) ].
 292 notation > "𝐋\p term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 293 notation "𝐋\sub(\p) term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 294 interpretation "in_pl" 'L_pi E = (L_pi ? E).
 295
 296 unification hint 0 ≔ S,a,b;
 297    R ≟ LIST S,
 298    L ≟ (list S)
 299 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 300    eq_list S a b ≡ eq_rel L (eq0 R) a b.
 301
 302 ncoercion setoid1_of_setoid : ∀s:setoid. setoid1 ≝ setoid1_of_setoid on _s: setoid to setoid1.
 303
 304 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_CProp2".
 305 unification hint 0 ≔ S : setoid, x,y;
 306   SS ≟ LIST S,
 307   TT ≟ setoid1_of_setoid SS
 308 (*-----------------------------------------*) ⊢
 309   eq_list S x y ≡ eq_rel1 ? (eq1 TT) x y.
 310
 311 unification hint 0 ≔ SS : setoid;
 312   S ≟ carr SS,
 313   TT ≟ setoid1_of_setoid (LIST SS)
 314 (*-----------------------------------------------------------------*) ⊢
 315   list S ≡ carr1 TT.
 316
 317
 318 nlemma Sig: ∀S,T:setoid.∀P: S → (T → CPROP).
 319   ∀y,z:T.y = z → (∀x.y=z → P x y = P x z)  → (Ex S (λx.P x y)) =_1 (Ex S (λx.P x z)).
 320 #S T P y z Q E; @; *; #x Px; @x; nlapply (E x Q); *; /2/; nqed.
 321
 322 notation "∑" non associative with precedence 90 for @{Sig ?????}.
 323
 324 nlemma test : ∀S:setoid. ∀ee: S ⇒_1 S ⇒_1 CPROP.
 325  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y → (Ex S (λw.ee x w ∧ True)) =_1 (Ex S (λw.ee y w ∧ True)).
 326 #S m x y E;
 327 napply (.=_1 (∑ E (λw,H.(H ╪_1 #)╪_1 #))).
 328 napply #.
 329 nqed.
 330
 331 nlemma test2 : ∀S:setoid. ∀ee: S ⇒_1 S ⇒_1 CPROP.
 332  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y →
 333    (True ∧ (Ex S (λw.ee x w ∧ True))) =_1 (True ∧ (Ex S (λw.ee y w ∧ True))).
 334 #S m x y E;
 335 napply (.=_1 #╪_1(∑ E (λw,H.(H ╪_1 #) ╪_1 #))).
 336 napply #.
 337 nqed.
 338
 339 nlemma ex_setoid : ∀S:setoid.(S ⇒_1 CPROP) → setoid.
 340 #T P; @ (Ex T (λx:T.P x)); @;
 341 ##[ #H1 H2; napply True |##*: //; ##]
 342 nqed.
 343
 344 unification hint 0 ≔ T,P ; S ≟ (ex_setoid T P) ⊢
 345  Ex T (λx:T.P x) ≡ carr S.
 346
 347 nlemma test3 : ∀S:setoid. ∀ee: S ⇒_1 S ⇒_1 CPROP.
 348  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y →
 349    ((Ex S (λw.ee x w ∧ True) ∨ True)) =_1 ((Ex S (λw.ee y w ∧ True) ∨ True)).
 350 #S m x y E;
 351 napply (.=_1 (∑ E (λw,H.(H ╪_1 #) ╪_1 #)) ╪_1 #).
 352 napply #.
 353 nqed.
 354
 355 ndefinition L_pi_ext : ∀S:Alpha.∀r:pitem S.Elang S.
 356 #S r; @(𝐋\p r); #w1 w2 E; nelim r;
 357 ##[ /2/;
 358 ##| /2/;
 359 ##| #x; @; *;
 360 ##| #x; @; #H; nchange in H with ([?] =_0 ?); ##[ napply ((.=_0 H) E); ##]
 361     napply ((.=_0 H) E^-1);
 362 ##| #e1 e2 H1 H2;
 363     nchange in match (w1 ∈ 𝐋\p (?·?)) with ((∃_.?)∨?);
 364     nchange in match (w2 ∈ 𝐋\p (?·?)) with ((∃_.?)∨?);
 365     napply (.= (#‡H2));
 366     napply (.=_1 (∑ E (λx1,H1.∑ E (λx2,H2.?)))╪_1 #); ##[
 367       ncut ((w1 = (x1@x2)) = (w2 = (x1@x2)));##[
 368         @; #X; ##[ napply ((.= H1^-1) X) | napply ((.= H2) X) ] ##] #X;
 369       napply ( (X‡#)‡#); ##]
 370     napply #;
 371 ##| #e1 e2 H1 H2;
 372     nnormalize in ⊢ (???%%);
 373     napply (H1‡H2);
 374 ##| #e H; nnormalize in ⊢ (???%%);
 375     napply (.=_1 (∑ E (λx1,H1.∑ E (λx2,H2.?)))); ##[
 376       ncut ((w1 = (x1@x2)) = (w2 = (x1@x2)));##[
 377         @; #X; ##[ napply ((.= H1^-1) X) | napply ((.= H2) X) ] ##] #X;
 378       napply ((X‡#)‡#); ##]
 379     napply #;##]
 380 nqed.
 381
 382 unification hint 0 ≔ S : Alpha,e : pitem S;
 383   SS ≟ (list S),
 384   X ≟ (mk_ext_powerclass SS (𝐋\p e) (ext_prop SS (L_pi_ext S e)))
 385 (*-----------------------------------------------------------------*)⊢
 386   ext_carr SS X ≡ 𝐋\p e.
 387
 388 ndefinition epsilon ≝
 389   λS:Alpha.λb.match b return λ_.lang S with [ true ⇒ { [ ] } | _ ⇒ ∅ ].
 390
 391 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 392 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 393 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 394
 395 ndefinition L_pr ≝ λS : Alpha.λp:pre S.  𝐋\p\ (\fst p) ∪ ϵ (\snd p).
 396
 397 interpretation "L_pr" 'L_pi E = (L_pr ? E).
 398
 399 nlemma append_eq_nil : ∀S:setoid.∀w1,w2:list S. [ ] = w1 @ w2 → w1 = [ ].
 400 #S w1; ncases w1; //. nqed.
 401
 402 (* lemma 12 *)
 403 nlemma epsilon_in_true : ∀S:Alpha.∀e:pre S. [ ] ∈ 𝐋\p e = (\snd e = true).
 404 #S r; ncases r; #e b; @; ##[##2: #H; nrewrite > H; @2; /2/; ##] ncases b;//;
 405 *; ##[##2:*] nelim e;
 406 ##[ ##1,2: *; ##| #c; *; ##| #c; *| ##7: #p H;
 407 ##| #r1 r2 H G; *; ##[##2: nassumption; ##]
 408 ##| #r1 r2 H1 H2; *; /2/ by {}]
 409 *; #w1; *; #w2; *; *;
 410 ##[ #defw1 H1 foo; napply H;
 411     napply (. (append_eq_nil ? ?? defw1)^-1╪_1#);
 412     nassumption;
 413 ##| #defw1 H1 foo; napply H;
 414     napply (. (append_eq_nil ? ?? defw1)^-1╪_1#);
 415     nassumption;
 416 ##]
 417 nqed.
 418
 419 nlemma not_epsilon_lp : ∀S:Alpha.∀e:pitem S. ¬ ([ ] ∈ (𝐋\p e)).
 420 #S e; nelim e; ##[##1,2,3,4: nnormalize;/2/]
 421 ##[ #p1 p2 np1 np2; *; ##[##2: napply np2] *; #w1; *; #w2; *; *; #abs;
 422     nlapply (append_eq_nil ??? abs); # defw1; #; napply np1;
 423     napply (. defw1^-1╪_1#);
 424     nassumption;
 425 ##| #p1 p2 np1 np2; *; nchange with (¬?); //;
 426 ##| #r n; *; #w1; *; #w2; *; *; #abs; #; napply n;
 427     nlapply (append_eq_nil ??? abs); # defw1; #;
 428     napply (. defw1^-1╪_1#);
 429     nassumption;##]
 430 nqed.
 431
 432 ndefinition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 433 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 434 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 435
 436 ndefinition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa,b:pre S.
 437    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 438    match b1 with
 439    [ false ⇒ 〈e1 · \fst b, \snd b〉
 440    | true ⇒ 〈e1 · \fst (bcast ? (\fst b)),\snd b || \snd (bcast ? (\fst b))〉]].
 441
 442 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc $op $a $b}.
 443 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 444 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 445
 446 ndefinition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa:pre S.
 447    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 448    match b1 with
 449    [ false ⇒ 〈e1^*, false〉
 450    | true ⇒ 〈(\fst (bcast ? e1))^*, true〉]].
 451
 452 notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.
 453 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 454 notation > "a ^ ⊛" non associative with precedence 75 for @{'lk eclose $a}.
 455
 456 notation > "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 457 nlet rec eclose (S: Alpha) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 458  match E with
 459   [ pz ⇒ 〈 0, false 〉
 460   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 461   | ps x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 462   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 463   | po E1 E2 ⇒ •E1 ⊕ •E2
 464   | pc E1 E2 ⇒ •E1 ⊙ 〈 E2, false 〉
 465   | pk E ⇒ 〈(\fst (•E))^*,true〉].
 466 notation < "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 467 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 468 notation > "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 469
 470 ndefinition reclose ≝ λS:Alpha.λp:pre S.let p' ≝ •\fst p in 〈\fst p',\snd p || \snd p'〉.
 471 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 472
 473 nlemma cup0 :∀S.∀p:lang S.p ∪ ∅ = p.
 474 #S p; @; #w; ##[*; //| #; @1; //] *; nqed.
 475
 476 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:lang S.a ∪ b = b ∪ a.
 477 #S a b; @; #w; *; nnormalize; /2/; nqed.
 478
 479 nlemma cupID : ∀S. ∀a:lang S.a ∪ a = a.
 480 #S a; @; #w; ##[*; //] /2/; nqed.
 481
 482 nlemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. ϵ(b1 || b2) = ϵ b1 ∪ ϵ b2. ##[##2: napply S]
 483 #S b1 b2; ncases b1; ncases b2;
 484 nchange in match (true || true) with true;
 485 nchange in match (true || false) with true;
 486 nchange in match (ϵ true) with {[]};
 487 nchange in match (ϵ false) with ∅;
 488 ##[##1,4: napply ((cupID…)^-1);
 489 ##| napply ((cup0 S {[]})^-1);
 490 ##| napply (.= (cup0 S {[]})^-1); napply cupC; ##]
 491 nqed.
 492
 493 nlemma cupA : ∀S.∀a,b,c:lang S.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 494 #S a b c; @; #w; *; /3/; *; /3/; nqed.
 495
 496 ndefinition if': ∀A,B:CPROP. A = B → A → B.
 497 #A B; *; /2/. nqed.
 498
 499 ncoercion if : ∀A,B:CPROP. ∀p:A = B. A → B ≝ if' on _p : eq_rel1 ???? to ∀_:?.?.
 500
 501 (* theorem 16: 2 *)
 502 nlemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.𝐋\p (e1 ⊕ e2) = 𝐋\p e1 ∪ 𝐋\p e2.
 503 #S r1; ncases r1; #e1 b1 r2; ncases r2; #e2 b2;
 504 nwhd in ⊢ (???(??%)?);
 505 nchange in ⊢(???%?) with (𝐋\p (e1 + e2) ∪ ϵ (b1 || b2));
 506 nchange in ⊢(???(??%?)?) with (𝐋\p (e1) ∪ 𝐋\p (e2));
 507 napply (.=_1 #╪_1 (epsilon_or ???));
 508 napply (.=_1 (cupA…)^-1);
 509 napply (.=_1 (cupA…)╪_1#);
 510 napply (.=_1 (#╪_1(cupC…))╪_1#);
 511 napply (.=_1 (cupA…)^-1╪_1#);
 512 napply (.=_1 (cupA…));
 513 //;
 514 nqed.
 515
 516 FINQUI
 517
 518 manca setoide per pair (e pre)
 519
 520 nlemma odotEt :
 521   ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.∀b2. 〈e1,true〉 ⊙ 〈e2,b2〉 = ?.〈e1 · \fst (•e2),b2 || \snd (•e2)〉.
 522 #S e1 e2 b2; nnormalize; ncases (•e2); //; nqed.
 523
 524 nlemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋\p (e1 · e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|e2| ∪ 𝐋\p e2. //; nqed.
 525
 526 nlemma cup_dotD : ∀S.∀p,q,r:lang S.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 527 #S p q r; napply extP; #w; nnormalize; @;
 528 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 529 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 530 nqed.
 531
 532
 533 nlemma erase_dot : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 .|e1 · e2| =  𝐋 .|e1| · 𝐋 .|e2|.
 534 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; #w1; *; #w2; *; *; /7/ by ex_intro, conj;
 535 nqed.
 536
 537 nlemma erase_plus : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 .|e1 + e2| =  𝐋 .|e1| ∪ 𝐋 .|e2|.
 538 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; /4/ by or_introl, or_intror; nqed.
 539
 540 nlemma erase_star : ∀S.∀e1:pitem S.𝐋 .|e1|^* = 𝐋 .|e1^*|. //; nqed.
 541
 542 ndefinition substract := λS.λp,q:word S → Prop.λw.p w ∧ ¬ q w.
 543 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 544
 545 nlemma cup_sub: ∀S.∀a,b:word S → Prop. ¬ (a []) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 546 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /4/; *; /4/; nqed.
 547
 548 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 549 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 550
 551 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 552 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 553
 554 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 555 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed.
 556
 557 nlemma erase_bull : ∀S.∀a:pitem S. .|\fst (•a)| = .|a|.
 558 #S a; nelim a; // by {};
 559 ##[ #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| · .|e2|);
 560     nrewrite < IH1; nrewrite < IH2;
 561     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊙ 〈e2,false〉));
 562     ncases (•e1); #e3 b; ncases b; nnormalize;
 563     ##[ ncases (•e2); //; ##| nrewrite > IH2; //]
 564 ##| #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (.|e1| + .|e2|);
 565     nrewrite < IH2; nrewrite < IH1;
 566     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊕ •e2));
 567     ncases (•e1); ncases (•e2); //;
 568 ##| #e IH; nchange in ⊢ (???%) with (.|e|^* ); nrewrite < IH;
 569     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e))^*; //; ##]
 570 nqed.
 571
 572 nlemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 573 #S p; ncases p; //; nqed.
 574
 575 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 576 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 577 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 578 napply Hw2; nqed.
 579
 580 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 581 nlemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1,e2: pre S.
 582       𝐋\p (•(\fst e2)) =  𝐋\p (\fst e2) ∪ 𝐋 .|\fst e2| →
 583          𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 584 #S e1 e2 th1; ncases e1; #e1' b1'; ncases b1';
 585 ##[ nwhd in ⊢ (??(??%)?); nletin e2' ≝ (\fst e2); nletin b2' ≝ (\snd e2);
 586     nletin e2'' ≝ (\fst (•(\fst e2))); nletin b2'' ≝ (\snd (•(\fst e2)));
 587     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 588     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (?∪?);
 589     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 590     nrewrite > (epsilon_or …); nrewrite > (cupC ? (ϵ ?)…);
 591     nrewrite > (cupA …);nrewrite < (cupA ?? (ϵ?)…);
 592     nrewrite > (?: 𝐋\p e2'' ∪ ϵ b2'' = 𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|); ##[##2:
 593       nchange with (𝐋\p 〈e2'',b2''〉 =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋 .|e2'|);
 594       ngeneralize in match th1;
 595       nrewrite > (eta_lp…); #th1; nrewrite > th1; //;##]
 596     nrewrite > (eta_lp ? e2);
 597     nchange in match (𝐋\p 〈\fst e2,?〉) with (𝐋\p e2'∪ ϵ b2');
 598     nrewrite > (cup_dotD …); nrewrite > (epsilon_dot…);
 599     nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2')…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (cupA…);
 600     nrewrite < (erase_bull S e2') in ⊢ (???(??%?)); //;
 601 ##| ncases e2; #e2' b2'; nchange in match (〈e1',false〉⊙?) with 〈?,?〉;
 602     nchange in match (𝐋\p ?) with (?∪?);
 603     nchange in match (𝐋\p (e1'·?)) with (?∪?);
 604     nchange in match (𝐋\p 〈e1',?〉) with (?∪?);
 605     nrewrite > (cup0…);
 606     nrewrite > (cupA…); //;##]
 607 nqed.
 608
 609 nlemma sub_dot_star :
 610   ∀S.∀X:word S → Prop.∀b. (X - ϵ b) · X^* ∪ {[]} = X^*.
 611 #S X b; napply extP; #w; @;
 612 ##[ *; ##[##2: nnormalize; #defw; nrewrite < defw; @[]; @; //]
 613     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 614     @ (w1 :: lw); nrewrite < defw; nrewrite < flx; @; //;
 615     @; //; napply (subW … sube);
 616 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; nrewrite < defw; nelim wl in Pwl; ##[ #_; @2; //]
 617     #w' wl' IH; *; #Pw' IHp; nlapply (IH IHp); *;
 618     ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defwl' H1 H2;
 619         @; ncases b in H1; #H1;
 620         ##[##2: nrewrite > (sub0…); @w'; @(w1@w2);
 621                 nrewrite > (associative_append ? w' w1 w2);
 622                 nrewrite > defwl'; @; ##[@;//] @(wl'); @; //;
 623            ##| ncases w' in Pw';
 624                ##[ #ne; @w1; @w2; nrewrite > defwl'; @; //; @; //;
 625                ##| #x xs Px; @(x::xs); @(w1@w2);
 626                    nrewrite > (defwl'); @; ##[@; //; @; //; @; nnormalize; #; ndestruct]
 627                    @wl'; @; //; ##] ##]
 628         ##| #wlnil; nchange in match (flatten ? (w'::wl')) with (w' @ flatten ? wl');
 629             nrewrite < (wlnil); nrewrite > (append_nil…); ncases b;
 630             ##[ ncases w' in Pw'; /2/; #x xs Pxs; @; @(x::xs); @([]);
 631                 nrewrite > (append_nil…); @; ##[ @; //;@; //; nnormalize; @; #; ndestruct]
 632                 @[]; @; //;
 633             ##| @; @w'; @[]; nrewrite > (append_nil…); @; ##[##2: @[]; @; //]
 634                 @; //; @; //; @; *;##]##]##]
 635 nqed.
 636
 637 (* theorem 16: 1 *)
 638 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 639 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 640 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 641 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 642 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 .|e|.
 643 #S e; nelim e; //;
 644   ##[ #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 645   ##| #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl; *;
 646   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 647       nchange in ⊢ (??(??(%))?) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 648       nrewrite > (odot_dot_aux S (•e1) 〈e2,false〉 IH2);
 649       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (cup_dotD …);
 650       nrewrite > (cupA …); nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p ?) …);
 651       nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (𝐋\p e2 ∪ {}); nrewrite > (cup0 …);
 652       nrewrite < (erase_dot …); nrewrite < (cupA …); //;
 653   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 654       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2); nrewrite > (oplus_cup …);
 655       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (IH2 …); nrewrite > (cupA …);
 656       nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2)…);nrewrite < (cupA ??? (𝐋\p e2)…);
 657       nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p e2)…); nrewrite < (cupA …);
 658       nrewrite < (erase_plus …); //.
 659   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 660       nchange in match (𝐋\p ?) with  (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 661       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 662       nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 663       nrewrite > (erase_bull…e);
 664       nrewrite > (erase_star …);
 665       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b')); ##[##2:
 666         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 667         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 668             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 669         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 670       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 671       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 .|e^*|)); //;
 672       nchange in match (𝐋 .|e^*|) with ((𝐋. |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 673  nqed.
 674
 675 (* theorem 16: 3 *)
 676 nlemma odot_dot:
 677   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 678 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 679
 680 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 681 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 682 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 683     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 684     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 685 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 686     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 687     @; /2/; @xs; /2/;##]
 688  nqed.
 689
 690 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 691 #S e; @[]; /2/; nqed.
 692
 693 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 694 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 695
 696 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 697 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 698
 699 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 700   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 701 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 702 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 703 nqed.
 704
 705 (* theorem 16: 4 *)
 706 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 .|\fst e|)^*.
 707 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 708 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 709     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 710     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 711     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 712     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b' )); ##[##2:
 713       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 714       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 715       nchange in match b' in bc with b';
 716       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 717       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 718     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 719     nrewrite > (sub_dot_star…);
 720     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 721     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 722 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 723     nrewrite > (cup0…);
 724     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 .|e|^* );
 725     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 726 nqed.
 727
 728 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 729   match e with
 730   [ z ⇒ pz ?
 731   | e ⇒ pe ?
 732   | s x ⇒ ps ? x
 733   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 734   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 735   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 736
 737 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 738
 739 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 740 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 741 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 742
 743 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 744 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 745 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 746     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 747 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 748     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 749 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 750     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 751 nqed.
 752
 753 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 .|pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 754 #S A; nelim A; //;
 755 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 756     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 757 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 758     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 759 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 760     nrewrite < H1; //]
 761 nqed.
 762
 763 (* corollary 17 *)
 764 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 765 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 766 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 767 nqed.
 768
 769 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 770 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 771
 772 (* corollary 18 *)
 773 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ .|e|.
 774 #S e; @;
 775 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 776     nrewrite > defsnde; #H;
 777     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 778     E MO?
 779
 780 STOP
 781
 782 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 783 non associative with precedence 60 for @{move ? $x $E}.
 784 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 785  match E with
 786   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 787   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 788   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 789   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 790   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 791   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 792   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 793 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 794 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 795 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 796
 797 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
 798 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
 799
 800 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ∅ → False.
 801 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 802 nqed.
 803
 804
 805 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
 806 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 807 nqed.
 808
 809 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 810 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 811 nqed.
 812
 813
 814 naxiom in_move_cat:
 815  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
 816    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
 817 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
 818 ncases e1 in H; ncases e2;
 819 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 820    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 821    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 822 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 823    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 824    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 825 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
 826    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 827    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
 828    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
 829 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
 830    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
 831    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
 832 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
 833     ...
 834 nqed.
 835
 836 ntheorem move_ok:
 837  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
 838 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
 839 ##[##1,2: #a w; @;
 840    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
 841       #H; ninversion H; #; ndestruct;
 842    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
 843        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
 844 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
 845    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
 846 ##|#a c w; @; nnormalize;
 847    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
 848        #H; ninversion H; #; ndestruct;
 849    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
 850               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
 851 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
 852    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
 853       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
 854           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
 855           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
 856       ##|
 857       ...
 858 ##|
 859 ##|
 860 ##]
 861 nqed.
 862
 863
 864 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{move_star ? $x $E}.
 865 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
 866  match w with
 867   [ nil ⇒ E
 868   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
 869
 870 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
 871
 872 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 873  mk_equiv:
 874   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 875    \fst E1  = \fst E2 →
 876     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
 877      equiv S E1 E2.
 878
 879 ndefinition NAT: decidable.
 880  @ nat eqb; /2/.
 881 nqed.
 882
 883 include "hints_declaration.ma".
 884
 885 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 886 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
 887
 888 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
 889
 890 nlet corec foo_nop (b: bool):
 891  equiv ?
 892   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
 893   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
 894  @; //; #x; ncases x
 895   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 896   | #y; ncases y
 897      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 898      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
 899 nqed.
 900
 901 (*
 902 nlet corec foo (a: unit):
 903  equiv NAT
 904   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
 905   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
 906 ≝ ?.
 907  @;
 908   ##[ nnormalize; //
 909   ##| #x; ncases x
 910        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 911          nnormalize in foo: (? → ??%%);
 912          @; //; #y; ncases y
 913            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 914            | #y; ncases y
 915               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 916
 917             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
 918      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 919   ##]
 920 nqed.
 921 *)
 922
 923 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
 924 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
 925 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
 926
 927
 928 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
 929  nnormalize in match test3;
 930  nnormalize;
 931 //;
 932 nqed.
 933
 934 (**********************************************************)
 935
 936 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
 937    der_z: der S a (z S) (z S)
 938  | der_e: der S a (e S) (z S)
 939  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
 940  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
 941  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 942             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
 943  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
 944             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
 945  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 946     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
 947
 948 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 949  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 950  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 951 nqed.
 952
 953 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
 954
 955 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
 956 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
 957   [ #K; ninversion K
 958   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
 959   | (* tutti casi assurdi *) *)
 960
 961 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
 962    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
 963  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
 964
 965 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
 966    mk_eq_re: ∀E1,E2.
 967     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
 968     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
 969     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
 970       eq_re S E1 E2.
 971
 972 (* serve il lemma dopo? *)
 973 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
 974  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
 975   [ #r; #K (* ok *)
 976   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
 977
 978 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
 979 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
 980 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
 981   [ //
 982   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
 983   ]
 984 nqed. *)
 985
 986 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
 987  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
 988   [##1,2: #H1; ninversion H1
 989      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
 990      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 991      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 992      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 993      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 994      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 995      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
 996 ##| #H1; ninversion H1
 997      [ //
 998      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 999      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1000      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1001      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1002      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1003      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
1004 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
1005      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
1006      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1007      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1008      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1009      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1010      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1011      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
1012 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
1013