helm/software/matita/nlibrary/re/re.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (*include "logic/connectives.ma".*)
  16 (*include "logic/equality.ma".*)
  17 include "datatypes/list.ma".
  18 include "datatypes/pairs.ma".
  19
  20 (*include "Plogic/equality.ma".*)
  21
  22 ndefinition word ≝ λS:Type[0].list S.
  23
  24 ninductive re (S: Type[0]) : Type[0] ≝
  25    z: re S
  26  | e: re S
  27  | s: S → re S
  28  | c: re S → re S → re S
  29  | o: re S → re S → re S
  30  | k: re S → re S.
  31
  32 (*
  33 alias symbol "not" (instance 1) = "Clogical not".
  34 nlemma foo1: ∀S. ¬ (z S = e S). #S; @; #H; ndestruct. nqed.
  35 nlemma foo2: ∀S,x. ¬ (z S = s S x). #S; #x; @; #H; ndestruct. nqed.
  36 nlemma foo3: ∀S,x1,x2. ¬ (z S = c S x1 x2). #S; #x1; #x2; @; #H; ndestruct. nqed.
  37 nlemma foo4: ∀S,x1,x2. ¬ (z S = o S x1 x2). #S; #x1; #x2; @; #H; ndestruct. nqed.
  38 nlemma foo5: ∀S,x. ¬ (z S = k S x). #S; #x; @; #H; ndestruct. nqed.
  39 nlemma foo6: ∀S,x. ¬ (e S = s S x). #S; #x; @; #H; ndestruct. nqed.
  40 nlemma foo7: ∀S,x1,x2. ¬ (e S = c S x1 x2). #S; #x1; #x2; @; #H; ndestruct. nqed.
  41 nlemma foo8: ∀S,x1,x2. ¬ (e S = o S x1 x2). #S; #x1; #x2; @; #H; ndestruct. nqed.
  42 nlemma foo9: ∀S,x. ¬ (e S = k S x). #S; #x; @; #H; ndestruct. nqed.
  43 *)
  44
  45 ninductive in_l (S: Type[0]): word S → re S → Prop ≝
  46    in_e: in_l S [] (e ?)
  47  | in_s: ∀x. in_l S [x] (s ? x)
  48  | in_c: ∀w1,w2,e1,e2. in_l ? w1 e1 → in_l ? w2 e2 → in_l S (w1@w2) (c ? e1 e2)
  49  | in_o1: ∀w,e1,e2. in_l ? w e1 → in_l S w (o ? e1 e2)
  50  | in_o2: ∀w,e1,e2. in_l ? w e2 → in_l S w (o ? e1 e2)
  51  | in_ke: ∀e. in_l S [] (k ? e)
  52  | in_ki: ∀w1,w2,e. in_l ? w1 e → in_l ? w2 (k ? e) → in_l S (w1@w2) (k ? e).
  53
  54 naxiom in_l_inv_z:
  55  ∀S,w. ¬ (in_l S w (z ?)).
  56 (* #S; #w; #H; ninversion H
  57   [ #_; #b; ndestruct
  58   | #a; #b; #c; ndestruct
  59   | #a; #b; #c; #d; #e; #f; #g; #h; #i; #l; ndestruct
  60   | #a; #b; #c; #d; #e; #f; #g; ndestruct
  61   | #a; #b; #c; #d; #e; #f; #g; ndestruct
  62   | #a; #b; #c; ndestruct
  63   | #a; #b; #c; #d; #e; #f; #g; #h; #i; ndestruct ]
  64 nqed. *)
  65
  66 nlemma in_l_inv_e:
  67  ∀S,w. in_l S w (e ?) → w = [].
  68  #S; #w; #H; ninversion H; #; ndestruct; //.
  69 nqed.
  70
  71 naxiom in_l_inv_s:
  72  ∀S,w,x. in_l S w (s ? x) → w = [x].
  73
  74 naxiom in_l_inv_c:
  75  ∀S,w,E1,E2. in_l S w (c S E1 E2) → ∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ in_l S w1 E1 ∧ in_l S w2 E2.
  76
  77 ninductive pre (S: Type[0]) : Type[0] ≝
  78    pz: pre S
  79  | pe: pre S
  80  | ps: S → pre S
  81  | pp: S → pre S
  82  | pc: pre S → pre S → pre S
  83  | po: pre S → pre S → pre S
  84  | pk: pre S → pre S.
  85
  86 nlet rec forget (S: Type[0]) (l : pre S) on l: re S ≝
  87  match l with
  88   [ pz ⇒ z S
  89   | pe ⇒ e S
  90   | ps x ⇒ s S x
  91   | pp x ⇒ s S x
  92   | pc E1 E2 ⇒ c S (forget ? E1) (forget ? E2)
  93   | po E1 E2 ⇒ o S (forget ? E1) (forget ? E2)
  94   | pk E ⇒ k S (forget ? E) ].
  95
  96 ninductive in_pl (S: Type[0]): word S → pre S → Prop ≝
  97    in_pp: ∀x. in_pl S [x] (pp S x)
  98  | in_pc1: ∀w1,w2,e1,e2. in_pl ? w1 e1 → in_l ? w2 (forget ? e2) →
  99             in_pl S (w1@w2) (pc ? e1 e2)
 100  | in_pc2: ∀w,e1,e2. in_pl ? w e2 → in_pl S w (pc ? e1 e2)
 101  | in_po1: ∀w,e1,e2. in_pl ? w e1 → in_pl S w (po ? e1 e2)
 102  | in_po2: ∀w,e1,e2. in_pl ? w e2 → in_pl S w (po ? e1 e2)
 103  | in_pki: ∀w1,w2,e. in_pl ? w1 e → in_l ? w2 (k ? (forget ? e)) →
 104            in_pl S (w1@w2) (pk ? e).
 105
 106 nlet rec eclose (S: Type[0]) (E: pre S) on E ≝
 107  match E with
 108   [ pz ⇒ 〈 false, pz ? 〉
 109   | pe ⇒ 〈 true, pe ? 〉
 110   | ps x ⇒ 〈 false, pp ? x 〉
 111   | pp x ⇒ 〈 false, pp ? x 〉
 112   | pc E1 E2 ⇒
 113      let E1' ≝ eclose ? E1 in
 114      let E1'' ≝ snd … E1' in
 115       match fst … E1' with
 116        [ true ⇒
 117           let E2' ≝ eclose ? E2 in
 118            〈 fst … E2', pc ? E1'' (snd … E2') 〉
 119        | false ⇒ 〈 false, pc ? E1'' E2 〉 ]
 120   | po E1 E2 ⇒
 121      let E1' ≝ eclose ? E1 in
 122      let E2' ≝ eclose ? E2 in
 123       〈 fst … E1' ∨ fst … E2', po ? (snd … E1') (snd … E2') 〉
 124   | pk E ⇒ 〈 true, pk ? (snd … (eclose S E)) 〉 ].
 125
 126 ntheorem forget_eclose:
 127  ∀S,E. forget S (snd … (eclose … E)) = forget ? E.
 128  #S; #E; nelim E; nnormalize; //;
 129  #p; ncases (fst … (eclose S p)); nnormalize; //.
 130 nqed.
 131
 132 ntheorem eclose_true:
 133  ∀S,E. (* bug refiner se si scambia true con il termine *)
 134   true = fst bool (pre S) (eclose S E) → in_l S [] (forget S E).
 135  #S; #E; nelim E; nnormalize; //
 136   [ #H; ncases (?: False); /2/
 137   | #x H; #H; ncases (?: False); /2/
 138   | #x; #H; ncases (?: False); /2/
 139   | #w1; #w2; ncases (fst … (eclose S w1)); nnormalize; /3/;
 140     #_; #_; #H; ncases (?:False); /2/
 141   | #w1; #w2; ncases (fst … (eclose S w1)); nnormalize; /3/]
 142 nqed.
 143
 144 (* to be moved *)
 145 nlemma eq_append_nil_to_eq_nil1:
 146  ∀A.∀l1,l2:list A. l1 @ l2 = [] → l1 = [].
 147  #A; #l1; nelim l1; nnormalize; /2/;
 148  #x; #tl; #_; #l3; #K; ndestruct.
 149 nqed.
 150
 151 (* to be moved *)
 152 nlemma eq_append_nil_to_eq_nil2:
 153  ∀A.∀l1,l2:list A. l1 @ l2 = [] → l2 = [].
 154  #A; #l1; nelim l1; nnormalize; /2/;
 155  #x; #tl; #_; #l3; #K; ndestruct.
 156 nqed.
 157
 158 ntheorem in_l_empty_c:
 159  ∀S,E1,E2. in_l S [] (c … E1 E2) → in_l S [] E2.
 160  #S; #E1; #E2; #H; ninversion H
 161   [##1,2,4,5,6,7: #; ndestruct
 162   | #w1; #w2; #E1'; #E2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
 163     nrewrite < H5; nlapply (eq_append_nil_to_eq_nil2 … w1 w2 ?); //;
 164     ndestruct; // ]
 165 nqed.
 166
 167 ntheorem eclose_true':
 168  ∀S,E. (* bug refiner se si scambia true con il termine *)
 169   in_l S [] (forget S E) → true = fst bool (pre S) (eclose S E).
 170  #S; #E; nelim E; nnormalize; //
 171   [ #H; ncases (?:False); /2/
 172   |##2,3: #x; #H; ncases (?:False); nlapply (in_l_inv_s ??? H); #K; ndestruct
 173   | #E1; #E2; ncases (fst … (eclose S E1)); nnormalize
 174      [ #H1; #H2; #H3; ninversion H3; /3/;
 175    ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
 176         [ ##1,2,4,5,6,7: #; ndestruct
 177         | #w1; #w2; #E1'; #E2'; #H4; #H5; #K1; #K2; #K3; #K4; ndestruct;
 178           napply H1; nrewrite < (eq_append_nil_to_eq_nil1 … w1 w2 ?); //]##]
 179 ##| #E1; ncases (fst … (eclose S E1)); nnormalize; //;
 180     #E2; #H1; #H2; #H3; ninversion H3
 181      [ ##1,2,3,5,6,7: #; ndestruct; /2/
 182      | #w; #E1'; #E2'; #H1'; #H2'; #H3'; #H4; ndestruct;
 183        ncases (?: False); napply (absurd ?? (not_eq_true_false …));
 184        /2/ ]##]
 185 nqed.
 186
 187 (*
 188 ntheorem eclose_superset:
 189  ∀S,E.
 190   ∀w. in_l S w (forget … E) ∨ in_pl ? w E →
 191        let E' ≝ eclose … E in
 192        in_pl ? w (snd … E') ∨ fst … E' = true ∧ w = [].
 193  #S; #E; #w; *
 194   [ ngeneralize in match w; nelim E; nnormalize
 195      [ #w'; #H; ncases (? : False); /2/
 196    ##| #w'; #H; @2; @; //; napply in_l_inv_e; //; (* auto non va *)
 197    ##|##3,4: #x; #w'; #H; @1; nrewrite > (in_l_inv_s … H); //;
 198    ##| #E1; #E2; #H1; #H2; #w'; #H3;
 199        ncases (in_l_inv_c … H3); #w1; *; #w2; *; *; #H4; #H5; #H6;
 200        ncases (fst … (eclose S E1)) in H1 H2 ⊢ %; nnormalize
 201         [ #H1; #H2; ncases (H1 … H5); ncases (H2 … H6)
 202           [ #K1; #K2; nrewrite > H4; /3/;
 203         ##| *; #_; #K1; #K2; nrewrite > H4; /3/;
 204         ##| #K1; *; #_; #K2; nrewrite > H4; @1; nrewrite > K2;
 205             /3/ ]
 206
 207     @2; @; //; ninversion H; //;
 208 ##| #H; nwhd; @1; (* manca intro per letin*)
 209     (* LEMMA A PARTE? *) (* manca clear E' *)
 210     nelim H; nnormalize; /2/
 211      [ #w1; #w2; #p; ncases (fst … (eclose S p));
 212        nnormalize; /2/
 213      | #w; #p; ncases (fst … (eclose S p));
 214        nnormalize; /2/ ]
 215 nqed.
 216 *)
 217
 218 nrecord decidable : Type[1] ≝
 219  { carr :> Type[0];
 220    eqb: carr → carr → bool;
 221    eqb_true: ∀x,y. eqb x y = true → x=y;
 222    eqb_false: ∀x,y. eqb x y = false → x≠y
 223  }.
 224
 225 nlet rec move (S: decidable) (x:S) (E: pre S) on E ≝
 226  match E with
 227   [ pz ⇒ 〈 false, pz ? 〉
 228   | pe ⇒ 〈 false, pe ? 〉
 229   | ps y ⇒ 〈false, ps ? y 〉
 230   | pp y ⇒ 〈 eqb … x y, ps ? y 〉
 231   | pc E1 E2 ⇒
 232      let E1' ≝ move ? x E1 in
 233      let E2' ≝ move ? x E2 in
 234      let E1'' ≝ snd … E1' in
 235      let E2'' ≝ snd ?? E2' in
 236       match fst … E1' with
 237        [ true =>
 238           let E2''' ≝ eclose S E2'' in
 239            〈 fst … E2' ∨ fst … E2''', pc ? E1'' (snd … E2''') 〉
 240        | false ⇒ 〈 fst … E2', pc ? E1'' E2'' 〉 ]
 241   | po E1 E2 ⇒
 242      let E1' ≝ move ? x E1 in
 243      let E2' ≝ move ? x E2 in
 244       〈 fst … E1' ∨ fst … E2', po ? (snd … E1') (snd … E2') 〉
 245   | pk E ⇒
 246      let E' ≝ move S x E in
 247      let E'' ≝ snd bool (pre S) E' in
 248       match fst … E' with
 249        [ true ⇒ 〈 true, pk ? (snd … (eclose … E'')) 〉
 250        | false ⇒ 〈 false, pk ? E'' 〉 ]].
 251
 252 (*
 253 ntheorem move_ok:
 254  ∀S:decidable.∀E,a,w.
 255   in_pl S w (snd … (move S a E)) → in_pl S (a::w) E.
 256  #S; #E; #a; #w;
 257 nqed.
 258 *)
 259
 260 nlet rec move_star S w E on w ≝
 261  match w with
 262   [ nil ⇒ E
 263   | cons x w' ⇒ move_star S w' (move S x (snd … E))].
 264
 265 ndefinition in_moves ≝ λS,w,E. fst … (move_star S w E).
 266
 267 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 268  mk_equiv:
 269   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 270    fst ?? E1  = fst ?? E2 →
 271     (∀x. equiv S (move S x (snd … E1)) (move S x (snd … E2))) →
 272      equiv S E1 E2.
 273
 274 ndefinition NAT: decidable.
 275  @ nat eqb; /2/.
 276 nqed.
 277
 278 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
 279
 280 nlet corec foo_nop (b: bool):
 281  equiv NAT
 282   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
 283   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
 284  @; //; #x; ncases x
 285   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 286   | #y; ncases y
 287      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 288      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
 289 nqed.
 290
 291 (*
 292 nlet corec foo (a: unit):
 293  equiv NAT
 294   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
 295   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
 296 ≝ ?.
 297  @;
 298   ##[ nnormalize; //
 299   ##| #x; ncases x
 300        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 301          nnormalize in foo: (? → ??%%);
 302          @; //; #y; ncases y
 303            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 304            | #y; ncases y
 305               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 306
 307             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
 308      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 309   ##]
 310 nqed.
 311 *)
 312
 313 notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 314 notation > "a ^ *" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
 315 interpretation "star" 'pk a = (pk ? a).
 316
 317 notation "❨a|b❩" non associative with precedence 90 for @{ 'po $a $b}.
 318 interpretation "or" 'po a b = (po ? a b).
 319
 320 notation < "a b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
 321 notation > "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
 322 interpretation "cat" 'pc a b = (pc ? a b).
 323
 324 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 325 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 326 interpretation "atom" 'pp a = (pp ? a).
 327
 328 (* to get rid of \middot *)
 329 ncoercion rex_concat : ∀S:Type[0].∀p:pre S. pre S → pre S  ≝ pc
 330 on _p : pre ? to ∀_:?.?.
 331 (* we could also get rid of ` with a coercion from nat → pre nat *)
 332
 333 ndefinition test1 ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
 334 ndefinition test2 ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
 335 ndefinition test3 ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
 336
 337 nlemma foo: in_moves NAT
 338   [0;0;1;0;1;1] (eclose ? test3) = true.
 339  nnormalize in match test3;
 340  nnormalize;
 341 //;
 342 nqed.
 343
 344 (**********************************************************)
 345
 346 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
 347    der_z: der S a (z S) (z S)
 348  | der_e: der S a (e S) (z S)
 349  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
 350  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
 351  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 352             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
 353  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
 354             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
 355  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 356     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
 357
 358 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 359  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 360  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 361 nqed.
 362
 363 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
 364
 365 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
 366 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
 367   [ #K; ninversion K
 368   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
 369   | (* tutti casi assurdi *) *)
 370
 371 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
 372    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
 373  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
 374
 375 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
 376    mk_eq_re: ∀E1,E2.
 377     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
 378     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
 379     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
 380       eq_re S E1 E2.
 381
 382 (* serve il lemma dopo? *)
 383 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
 384  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
 385   [ #r; #K (* ok *)
 386   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
 387
 388 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
 389 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
 390 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
 391   [ //
 392   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
 393   ]
 394 nqed. *)
 395
 396 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
 397  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
 398   [##1,2: #H1; ninversion H1
 399      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
 400      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 401      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 402      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 403      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 404      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 405      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
 406 ##| #H1; ninversion H1
 407      [ //
 408      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 409      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 410      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 411      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 412      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 413      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 414 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
 415      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
 416      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 417      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 418      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 419      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 420      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 421      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 422 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
 423